专题15 开放探究类的常见压轴题-【聚焦压轴】2022届中考数学压轴大题专项训练1

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小丽提出了自己的想法：如图2在线段AB上取一点F，使DA＝DF，通过证明△BDF≌△PDA可以解决问题．
（尝试）①请你帮助小丽完成说理过程．
②若AC＝6，BC＝4，AD＝3，求AP的长．
（拓展）如图3，过点A的直线MN∥BC， AB＝3 cm，AC＝4cm，点D是直线MN上一点，点P是线段AC上的一点，连接DP，使得∠BDP＝∠BAC，求的值．
2．（2021·福建省厦门第六中学九年级三模）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P为△ABC外一点，点P与点C位于直线AB异侧，连接AP，∠APB＝45°，过点C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）当∠ABP＝90°时，直接写出线段AP与CD的数量关系为AP＝_____________；
（2）如图，当∠ABP＞90°时．
①试探究（1）中的结论是否成立；
②在线段AP上取一点K，使得∠ABK＝∠ACD，画出图形并直接写出的值．
3．（2021·福建涵江·九年级期末）矩形中，点在上，，．将直角尺的顶点放在处直角尺的两边分别交，于点，，连接（如图1）．
（1）当点与点重合时，点恰好与点重合（如图2），求的长；
（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点顺时针旋转，当点和点重合时停止，在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：
①的值是否发生变化？请说明理由；
②求从开始到停止，线段的中点经过的路线长．
4．（2021·河北新华·石家庄新世纪外国语学校九年级月考）操作与探究，如图1，将等腰直角三角形的边绕点顺时针旋转得到线段，，，连接，过点做交延长线于点．
（1）在图1中，易知与全等，则的面积为______，______；
拓展与延伸
（2）如图2，若为任意直角三角形，，、、分别用、、表示．将边绕点顺时针旋转，得到，过点作，交延长线于点；
①判断与是否全等，并说明理由；
②求的值；（用，，表示）
（3）如图3，在中，，，，，，连接．
①的面积为______；
②点是边的高上的一点，当______时，有最小值为______．
5．（2021·浙江南浔·九年级二模）特例感知
（1）如图，已知在中，，，取边上中点，连结，点为边上一点，连结，作交于点，求证；
探索发现
（2）如图，已知在中，，，取边上中点，连结，点为延长线上一点，，连结，作交延长线于点，求的长；
类比迁移
（3）如图，已知在中，，，取边上中点，连结，点为射线上一点（不与点、点重合），连结，将射线绕点顺时针旋转30°交射线于点，当时，求的长．
6．（2021·湖北孝南·九年级二模）在与中，且，点D始终在线段AB上（不与A、B重合）．

（1）问题发现：如图1，若度，的度数______，______；
（2）类比探究：如图2，若度，试求的度数和的值；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，M为DE的中点，当时，BM的最小值为多少？直接写出答案．
7．（2021·河南信阳·九年级一模）在中，于点，点为射线上任一点（点除外）连接，将线段绕点顺时针方向旋转，，得到，连接．
（1）（观察发现）如图1，当，且时，BP与的数量关系是___________，与的位置关系是___________．
（2）（猜想证明）如图2，当，且时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）
（3）（拓展探究）在（2）的条件下，若，，请直接写出的长．
8．（2021·山西洪洞·九年级二模）综合与实践．
问题情境：
综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动．
实践操作：
如图1，将等腰Rt△AEF绕正方形ABCD的顶点A逆时针方向旋转，其中∠AEF＝90，EA＝EF，连接CF，点H为CF的中点，连接HD，HE，DE，得到△DHE．
应用探究：
（1）勤奋组：
如图2，当点E恰好落在正方形ABCD的对角线AC上时，判断△DHE的形状，并说明理由；
（2）善思组：
如图3，当点E恰好落在正方形ABCD的边AB上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
深入探究：
（3）创新小组：
发现若连接BE，在旋转Rt△AEF的过程中，为定值，请你直接写出其值 ．
9．（2021·山西九年级二模）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，是轴负半轴上一点，，直线与抛物线交于点．
（1）求直线的函数表达式．
（2）如图2，在线段上有一条2个单位长度的动线段（点在点的左侧），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点；过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，连接，．设点的横坐标为，请解答下列问题：
①线段的长为______；（用含的代数式表示）
②当时，判断四边形的形状，并说明理由；
③求当为何值时，．
（3）如图3，当点在抛物线的对称轴上时，连接．试探究：此时在第一象限内是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2021·湖北曾都·九年级期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一内角的倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”，把这个倍角的平分线（线段）称为这个三角形的“伴线”．
在倍角中，的平分线就是它的“伴线”，用分别表示的对边．现在我们探究之间存在的数量关系．
（1）（特例探究）（补全填空）
如图1，若，易求得的值为的值为；
如图2，若，易求得的值为 ；的值为 ；
（2）（猜想论证）
根据猜想之间存在怎样的数量关系？请从下列思路中选择一种证明你的猜想．
思路一：如图3，延长至使连接．
思路二：如图4，作的平分线交于点．
（3）（素养提升）
若在这个倍角中，已知且它的三边长恰好是三个连续的正整数，请根据中的结论直接写出这个三角形的“伴线”长．
11．（2020·吉林农安县第三中学、农安三中九年级月考）（感知）如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证：∽．
（探究）如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．
（1）求证：∽ ；
（2）若PD=4，PC=8，BC=6，求AP的长．
（应用）如图③，在中，AC=BC=8，AB=12，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作PE与边BC交于点E．当CE=3EB时，求AP的长．
12．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在平行四边形中，点是的中点，点是线段上一点，的延长线交射线于点．若，求的值．
（1）尝试探究
在图1中，过点作交于点，则和的数量关系是_________，和的数量关系是_________，的值是_________．
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若，则的值是_________（用含有的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形中，，点是的延长线上的一点，和相交于点．若，，，则的值是________（用含、的代数式表示）．
13．（2020·四川邛崃·九年级期中）几何探究题
（1）发现：在平面内，若，，其中．
当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为 ；
当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为 ．
（2）应用：点A为线段BC外一动点，如图2，分别以AB、AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE．
①证明：；
②若，，则线段BE长度的最大值为 ．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线AB外一动点，且，，．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
14．（认识新知）对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（概念理解）（1）如图1，在四边形ABCD中，，，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（性质探究）（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，．
若OA=1，OB=5,，OC=7，OD=2，则________；________；
求证：；
（解决问题）（3）如图3，中，，且，且，连结CE、BG、则________．
15．（2021·广西九年级二模）如图，在，，，过A作于D，点E为直线上的一动点，把线段绕点E顺时针旋转α，得到线段EF，连接，，直线与相交于点G，与交于点M．
（1）（发现）如图1，当时，填空：
①的值为__________；
②∠AGB的度数为__________；
（2）（探究）如图2，当时，请写出的值及的度数，并就图2的情形给出证明；
（3）（应用）如图3，当时，若﹐，请直接写出的面积．