专题18 与一次函数、反比例函数有关的常见压轴题-【聚焦压轴】2022届中考数学压轴大题专项训练1

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（2）设平行四边形BCDE与△BOF重叠部分面积为S，求S与m的关系式，并直接写出自变量m的取值范围
【答案】（1）直线DF的解析式为；（2）
【解题思路分析】（1）利用平行四边形的性质结合一次函数的图象与性质求出点D的坐标即可解决问题；
（2）分三种情况进行分别探究，即①当时，②当时，③当时，分别画出相应的图形，求出相应的边的长用含有m的代数式表示，再表示面积，从而确定在不同情况下S与m的函数解析式．
【解析】解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x、y轴交于A、B两点，
∴令，则；令，则，解得，
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）
∵
∴C（0，2）
∴OC=2
∴
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴DE=BC=1
∵轴
∴点E的纵坐标为2
∴
∴
∴，
∴
∵点D在直线y=kx上
∴，即
∴直线DF的解析式为
（2）联立，
解得，
①当时，如图1，
∵轴
∴，即CE为OB边上的高，
∴
把代入 y＝﹣x+3得：
∴，
∴
②当时，设CD，ED分另交OF于点H，P，如图2，
由①知，
把代入得：
∴
∵
∴
∴
∵，且
∴直线DC为
∵H为CD与OF的交点，
∴
∴
∴点H与PD之间的距离d=
∴
=
∴
③当时，CD，CE分另交OF于点H，P，如图3，
由②可得
∴
∵直线OF与AB相交于点F
∴
∴
∴
∴
综上，
2．（2021·辽宁铁西·九年级月考）如图，一次函数与坐标轴交于，两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点的对应点落在第二象限的点处，且的面积为．
（1）求点的坐标及直线的表达式；
（2）点是直线上第二象限内一点，若面积为，求点的坐标；
（3）过原点的直线，与直线交于点，与直线交于点，在、、三点中，当其中一点是另外两点所连线段中点时，直接写出的坐标．
【答案】（1），；（2）；（3）①当点是中点时，点的坐标为，②当点是中点时，点的坐标为；③当点是中点时，点的坐标为．
【解题思路分析】（1）由的面积，求出，由，求出的值，确定点坐标，之后可以求得直线的表达式；
（2）过点作轴于，过点作轴于，连接，这样用四边形的面积减去和的面积，即可得出结论；
（3）设出点的坐标，表示出直线的解析式，与直线联立，确定点的坐标，分别以点是中点、点是中点、点是中点三种情况，利用中点坐标公式列方程求解．
【解析】解：（1）∵一次函数与坐标轴交于，两点，
故点，的坐标分别为、，
∴，
则的面积=，
解得，
设点的坐标为，且由已知可得，
∴，
解得，
∴点的坐标为，
设的表达式为，且，，
∴，
解得，
∴直线的表达为；
（2）过点作轴于，过点作轴于，连接，
∴四边形为梯形，
由（1）可得 ，
∴ ，，，
∴ ，
∵在直线上， ，
∴设且在第二象限，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴，
，
∴解得 ，
∴ ，
∴；
（3）设点的坐标为，
则的表达式为，
联立上式与并解得，
即点的横坐标为，
①当点是中点时，
则点、的横坐标互为相反数，
即，
解得（舍去）或，
故点的坐标为，
②当点是中点时，
可得：，
解得（舍去）或，
故点的坐标为；
③当点是中点时，
可得
解得（舍去）或，
故点的坐标为．
综上所述，点坐标为，，
3．（2021·哈尔滨市第十七中学校九年级月考）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点，点的横坐标为．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点在第二象限，直线上一点，连接，过点作的垂线，在上截取线段，，点在第一象限，过点作轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作交的延长线于点，连接，点为中点，连接并延长交轴于点，连接、，当时，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）=5+t；（3）M（-3,4）
【解题思路分析】（1）先利用求出点C的坐标，再利用待定系数法求解；
（2）过点M作MR⊥y轴于R，过点N作NS⊥y轴于S，则，证明△AMR≌△NAS，得到SN=AR=，得到点N的坐标，即可得到关系式；
（3）求出点H，K，D的坐标，得到DG、HG、HN、DG、DH的长，过点N作NP⊥DH于P，证明△HPN∽△HGD，，求出PN、HP、PD，根据代入计算求出t的值，由此得到点M的坐标．
【解析】解：（1）将x=代入中，得，
∴C（），
设直线OC的解析式为y=kx，将点C坐标代入，得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）∵点在第二象限，直线上一点，点的横坐标为，
∴点的坐标为（），
如图，过点M作MR⊥y轴于R，过点N作NS⊥y轴于S，则，
∴
∵AM⊥AN，
∴
∴
∴
又∵AM=AN，
∴△AMR≌△NAS，
∴AS=MR=-t，SN=AR=，
∴点N的坐标为（，5+t），
∵轴，
∴线段的长为=5+t；
（3）∵AH⊥AB，直线AB的解析式为，
∴AH的解析式为y=-x+5，
∴点H的坐标为（），
∵点B的坐标为（-5,0），
∴直线BH的中点K的坐标为（），
∴直线MK的解析式为，
∴D（），
∵H()，G（），N（，5+t），
∴，，，
∴，
过点N作NP⊥DH于P，则，
∴△HPN∽△HGD，
∴，
∴，
解得，
，
∴,
∵,
∴PD=3PN，
∴，
解得t=-5,或t=-3，
∴M()(不合题意，舍去)或M（-3,4）．
4．（2021·四川省成都市七中育才学校九年级月考）如图，在矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B坐标为（6，8）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使点A落在对角线OB上的E处，折痕与OA、x轴分别交于点 D、F．
（1）求点D的坐标；
（2）在直线BD上找一点P，使△OFP的面积是△DEO面积的两倍，求点P的坐标；
（3）连接EF，在第二象限是否存在点G，使得△EFG是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）D（0，5）；（2）P（-，）或（-，-）；（3）存在，点G坐标为（-，）或（-，）或（-，）．
【解题思路分析】（1）由勾股定理可求OB=10，由折叠的性质可得AB=BE=6，AD=DE，∠BAO=∠DEB=90°，利用勾股定理可求解；
（2）先求出BD解析式，可求点F坐标，由三角形的面积公式可求点P坐标；
（3）利用三角形的面积公式可求点E坐标，分三种情况讨论，利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求解．
【解析】解：（1）∵矩形ABCO中，点B坐标为（6，8），
∴AB=OC=6，AO=BC=8，
∴OB==10，
∵矩形ABCO沿直线BD折叠，
∴AB=BE=6，AD=DE，∠BAO=∠DEB=90°，
∴OE=4，
∵OD2=DE2+OE2，
∴OD2=（8-OD）2+42，
∴OD=5，
∴点D（0，5）；
（2）∵点D（0，5），点B（6，8），
∴直线BD解析式为：y=x+5，
当y=0时，x=-10，
∴点F（-10，0），
∴OF=10，
∵OD=5，
∴AD=3，
∴S△DEO=S△ABO-2S△ADB=24-2××3×6=6，
∴S△OFP=2×6=12，
设点P（a，a+5），
∴×10×|a+5|=12，
∴a1=-，a2=-，
∴点P（-，）或（-，-）；
（3）存在，理由如下：
如图1，过点E作EH⊥AO于H，
∵S△DEO=×OD×HE=6，
∴HE=，
∴OH==，
∴点E（，），
如图2，当∠GFE=90°，GF=EF时，过点G作GN⊥x轴于N，过点E作EM⊥x轴于M，
∴EM=，OM=，
∴FM=，
∵∠GFE=90°=∠GNF=∠FME，
∴∠NFG+∠NGF=∠NFG+∠EFM=90°，
∴∠EFM=∠NGF，
又∵GF=EF，
∴△GFN≌△FEM（AAS），
∴NF=EM=，GN=FM=，
∴ON=，
∴点G（-，）；
当∠FG''E=90°，EG''=FG''时，
∴点G''是GE的中点，
∴点G''的坐标为（-，）；
当∠FEG'=90°，EF=EG'时，
∴点G''是FG'的中点，
∴点G'坐标为（-，），
综上所述：点G坐标为（-，）或（-，）或（-，）．
5．（2021·北京市第五中学分校九年级月考）在平面直角坐标系xOy中，正方形MNPQ中M（1，1），N（﹣1，1），P（﹣1，﹣1），Q（1，﹣1）．给出如下定义：记线段AB的中点为G，当点G不在正方形MNPQ上时，平移线段AB，使点G落在正方形MNPQ上，得到线段A′B′（A′，B′分别为点A，B的对应点）线段AA′长度的最小值称为线段AB到正方形MNPQ的“平移距离”．
（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上；
①若点B与原点O重合，则线段AB到正方形MNPQ的“平移距离”为 ；
②若线段AB到正方形MNPQ的“平移距离”为2，则点B的坐标为 ；
（2）若点A，B都在直线y＝x+4上，AB＝2，记线段AB到正方形MNPQ的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（4，4），AB＝2，记线段AB到正方形MNPQ的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
【答案】（1）①，②(-5，0)或(7，0)；（2） ；（3）．
【解题思路分析】（1）①由题意可直接得出G的坐标为，即得出移动最小距离为；
②根据题意可知AB中点G在x轴上．即可分类讨论Ⅰ当B点在A点左侧时，即G点也在A点左侧时，由平移距离的定义可知NP与x轴的交点即点A到的距离为2，即可得出
B点坐标；Ⅱ当B点在A点右侧时，即G点也在A点右侧时， 由平移距离的定义可知MQ与x轴的交点到点的距离为2，即可得出B点坐标．
（2）由题意可知点N到直线的距离即为的最小值，由N点向直线所做垂线与直线的交点即为G点．易求出GN的解析式为．联立两个函数解析式，即可求出G点坐标，即求出GN的长度，即为．
（3）由题意可知点B是以A为圆心，半径为2的圆上的点，即得出点G是以A为圆心，半径为1的圆上的点，由，，即可求出的取值范围．
【解析】（1）①如图，当B与原点O重合时，AB中点G的坐标为，
∴移动最小距离为向左平移到NP与x轴交点上．
②由点A，B点在x轴上可知：AB中点G也在x轴上．
Ⅰ当B点在A点左侧时，即G点也在A点左侧时，如图，
由平移距离的定义可知NP与x轴的交点，即点A到的距离为2，
∴，
∴
∵G为AB中点，
∴
∴，
∴B点坐标为(-5，0)．
Ⅱ当B点在A点右侧时，即G点也在A点右侧时，如图，
由平移距离的定义可知MQ与x轴的交点到点的距离为2，
∴
∴
∴
∵G为AB中点，
∴
∴，
∴B点坐标为(7，0)．
综上可知B点坐标为(-5，0)或(7，0)．
（2）由题意作出图形如下：
∴点N到直线的距离即为的最小值，由N点向直线所做垂线与直线的交点即为G点．
∴设直线GN的解析式为，
∵N(-1，1)
∴，解得：
故直线GN的解析式为．
联立，解得：，
∴G点坐标为，
∴
（3）如图，由题意可知点B是以A为圆心，半径为2的圆上的点，
∴点G是以A为圆心，半径为1的圆上的点，
∴，
∵，
∴，
∴
6．（2021·长春市第一零九中学九年级月考）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax+1（x＞a）的图像记为M1，函数y＝ax+1（x≤a）的图像记为M2，图像M1和M2合起来记为图像M．
（1）当a＝1时
①若点P（﹣2，b）在图像M上，求b的值．
②求图像M与x轴的交点坐标．
③直接写出﹣2≤x≤3时，y的最大值和最小值．
（2）当图像M上存在1个或3个点到x轴距离为2时，直接写出a的取值范围．
（3）已知矩形ABCD的四个端点坐标分别为A（﹣2，a），B（3，a），C（3，﹣a），D（﹣2，﹣a），当图像M与矩形ABCD恰有2个公共点时，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）①；②；③﹣2≤x≤3时，y的最大值为，最小值为；（2）或；（3）或者或者．
【解题思路分析】（1）①将代入解析式，进而根据的解析式求得的值；
②根据①中的解析式，令，进而求得图像M与x轴的交点坐标；
③分类讨论当时，求得的最大值和最小值，当时，求得的最小值，进而求得﹣2≤x≤3时，y的最大值和最小值；
（2）分类讨论，分图像M上存在1个点和3个点到x轴距离为2时两种情况讨论，当存在3个点时，根据当（）时，且，当存在1个点时，根据当（）时，且，分别列出不等式组，解不等式即可求的出a的取值范围；
（3）当图像M与矩形ABCD恰有2个公共点时，分三种情况讨论，①当，且与矩形有2个交点时，当在下方时， 且；②当，且与矩形有2个交点时当过点上方时，即，且与矩形有2个交点，即时，，③当且有2个交点时，当时，，且，，分别列出不等式组，解不等式即可求的出a的取值范围．
【解析】（1）根据题意，当时，的解析式为，的解析式为：；
的解析式为
①若点P（﹣2，b）在图像M上，
点在上，
将代入，解得
②时，，则与轴无交点
由的解析式为：；
令，解得
与x轴的交点坐标为
③如图，当时，由的图象可知，随的增大而增大，
的最小值为时，，
的最大值为时，，
当时，由的图象可知，随的增大而减小，
则不存在最大值，
的最小值为当时，
综上所述，﹣2≤x≤3时，y的最大值为，最小值为．
（2）①当图像M上存在3个点到x轴距离为2时，如图，
当（）时，且
即，
解得 ，
，
②当图像M上存在1个点到x轴距离为2时，如图，
当（）时，且，
即，
解得，
，
综上所述，当图像M上存在1个或3个点到x轴距离为2时，或；
（3）当图像M与矩形ABCD恰有2个公共点时，分三种情况讨论，
矩形ABCD的四个端点坐标分别为A（﹣2，a），B（3，a），C（3，﹣a），D（﹣2，﹣a），
①当，且与矩形有2个交点时，如图，
当在下方时， 且
即
解不等式，即，
恒成立，
取任何实数，
解不等式，
即，
令 ，
解得，
，
，
，
则或
解得或，
，
，
的解集为，
②如图，当，且与矩形有2个交点时当过点上方时，即，且与矩形有2个交点，即时，，
即，
解得，
，
③当且有2个交点时，
，，
当时，，且，如图，
即，
即，
解不等式，
，
或，
解得（舍），，
解不等式，即，
恒成立，
取任何实数，
的解集为．
综上所述，当图像M与矩形ABCD恰有2个公共点时，或者或者．
7．（2021·北京北师大实验中学九年级开学考试）在平面直角坐标系中，点，点在轴的负半轴上．若点，在线段上，且为某个一边与轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点，的“伴随矩形”．下图为点，的“伴随矩形”的示意图．
（1）若点，点的横坐标为，则点，的“伴随矩形”的面积为 ；
（2）点，的“伴随矩形”是正方形．
①当正方形面积为4，且点到轴的距离为3时，写出点的坐标，并求出直线的函数解析式；
②当正方形的对角线长度为时，原点与所有正方形上各点所连线段的长记为，直接写出的取值范围．
【答案】（1）8；（2）①，的解析式为或；②
【解题思路分析】（1）确定BC的解析式求出点C坐标即可解决问题；
（2）①根据题意确定点N的坐标即可解决问题；
②由正方形MENF的对角线为，推出点F的运动轨迹是直线l′：y＝x＋9，点E的运动轨迹是直线l：y＝x＋3，作OP⊥直线l于P交直线l′于Q．求出OP，OQ即可解决问题．
【解析】解：（1）如图1中，
设直线的解析式为
把，代入得
解得
直线的解析式为，
当时，，
，
，的“伴随矩形”矩形的长为4，宽为2，面积为8．
故答案为8．
（2）①如图2中，
点，的“伴随矩形”是正方形，
，
由图可得，或，
设直线的解析式为y=mx，把或代入得1=-5m或-5=m
解得m=或m=-5
直线的解析式为或．
②如图3中：
正方形的对角线为，
由图可得点的运动轨迹是直线，点的运动轨迹是直线，
作直线于交直线于．可得，，
当点与重合时，点，此时的值最大，最大值，
原点与所有正方形上各点所连线段中的最大值为，最小值为，
．
8．（2021·重庆巴蜀中学九年级月考）如图，已知直线与双曲线交于两点，且点坐标为（）.

（1）求双曲线解析式及点坐标；
（2）将直线向下平移一个单位得直线，是轴上的一个动点，是上的一个动点，求的最小值；
（3）若点为轴上的一个动点，为平面内一个动点，当以、、为顶点的四边形是矩形时，直接写出点坐标．
【答案】（1），B（-2，-1）；（2）AP+PQ 的最小值为；（3）．
【解题思路分析】（1）把的坐标代入求解的值，再求解反比例解析式为 再联立两个函数解析式，解方程组可得的坐标；
（2）如图，作关于y轴的对称点，过作于，交轴于 则取得最小值,此时 再先求解 再利用等腰直角三角形的性质可得答案；
（3）分两种情况讨论，如图，当为边时，当为矩形的对角线时，再利用矩形的性质及勾股定理与中点坐标公式建立方程，解方程可得答案.
【解析】解：（1）把点坐标为（）代入得：
则

.
双曲线为

解得：或

（2）如图，作关于y轴的对称点，过作于，交轴于 则取得最小值,此时


将直线向下平移一个单位得直线，
的解析式为： 且是第一，第三象限的角平分线组成的，








所以最小值为；
（3）如图，当为边时，设
四边形为矩形，





则由平移的性质可得：
同理可得：

则
由平移的性质可得：
如图，当为矩形的对角线时，设
由矩形的性质：对角线相等且互相平分，再结合中点坐标可得，

解得：

综上：.
9．（2021·沙坪坝·重庆一中九年级开学考试）如图1，在平面直角坐标系xOy中，双曲线与直线交于A、B两点，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，E为x轴上一点．已知，A点坐标为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）如图2，将线段DO沿y轴平移得线段，在移动过程中，是否存在某个位置使的值最大？若存在，求出的最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在x轴取一点，将直线OA沿x轴正半轴平移，平移过程中在第一象限交的图象于点M（M可与A重合），交x轴于点N．在平移过程中，是否存在某个位置使以M、N、E和平面内某一点P为顶点的四边形为菱形且以MN为菱形的边？若存在，请直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x＋，；（2）的最大值为，此时点O’（0，）；（3）（，）或（8，4）．
【解题思路分析】（1）先求出点C的坐标，再根据待定系数法，即可求解；
（2）把A向下平移个单位得A′（3，），作B关于y轴的对称点B′，则四边形AA’O’D’是平行四边形，则有＝|B′O’−A′O’|＝B′O’−A′O’≤A′B′，想办法求出A′B′，直线A′B′，的解析式即可解决问题．
（3）设设M（m，），则N（m−，0），NE2＝（5−m＋）2，ME2＝（5−m）2＋（）2，MN2＝（）2＋（）2，分MN＝EM，MN＝NE两种情形，分别构建方程即可解决问题．
【解析】解：（1）∵A（3，4），
∴OA＝，
∵OA＝OC，
∴OA＝OC=5，
∴C（−5，0），
把A、C两点坐标代入y＝ax＋b得到:，解得：，
∴直线的解析式为y＝x＋，
把A（3，4）代入中，得到k＝12，
∴反比例函数的解析式为；
（2）把x=0代入y＝x＋，可得：y=，即：OD=，
把A向下平移个单位得A′（3，），作B关于y轴的对称点B′，则四边形AA’O’D’是平行四边形，
则有＝|B′O’−A′O’|＝B′O’−A′O’≤A′B′，
联立y＝x＋，可得：或
∴B（−8，），B′（8，），
∴A’B’＝
直线A’B’：y＝x＋，
令x＝0，可得y＝，
∴O’（0，）．
∴的最大值为，此时点O’（0，）；
（2）设M（m，），
∵AO∥MN，
∴∠AOE=∠MNE，即：tan∠AOE=tan∠MNE=，
∴N（m−，0），NE2＝（5−m＋）2，ME2＝（5−m）2＋（）2，MN2＝（）2＋（）2
假设存在某个位置使以M、N、E和平面内某一点P为顶点的四边形为菱形且以MN为菱形的边，
①当MN＝ME，即（5−m）2＋（）2＝（）2＋（）2，解得m＝或（舍去）
经检验：m＝是方程的解，
∴M（，），N（5，0），此时点N，E重合，不符合题意舍去，
②当MN＝NE，即（5−m＋）2＝（）2＋（）2，解得m＝8或3或-3（舍去）或2（舍弃），
经检验：m＝8或3是方程的解，
∴M（8， ）或（3，4），此时N（，0）或（0，0），
∴NE=-5=或5，
∴P（8-，）或（3+5，4），即：P（，）或（8，4），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，）或（8，4）．
10．（2021·江苏常州·中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
（理解）
（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．
①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
（应用）
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．
①当时，__________；当时，________；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
【答案】（1）①，=；②＞，＞；（2）①，1；②l的最小值是1，理由见详解
【解题思路分析】（1）①先证明，从而得，进而得CD的值，根据直角三角形的性质，直接得CE的值；②根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论；
（2）①把m，n的值直接代入=进行计算，即可；②过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，画出图形，用矩形的面积表示，进而即可得到结论．
【解析】解：（1）①∵，
∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，即：∠A=∠BCD，
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴，
∴，即：，
∴，即：（负值舍去），
∵E是的中点，
∴==；
②∵，，
∴＞，即：＞．
故答案是：＞；
（2）①当时，==，
当时，==，
故答案是：，1；
②l的最小值是：1，理由如下：
由题意得：M(m，)，N(n，)，过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，
==
=[（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积+③的面积 +④的面积）]
= [（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+③的面积]
=(1+1+1+1+③的面积)≥1，
∴l的最小值是1．
11．（2021·哈尔滨市第一一三中学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点A，OA＝OB＝2．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图，点C在OA的延长线上，点D在x轴的正半轴上，连接CD交直线AB于点E，点E为线段CD的中点，设点D的横坐标为t，△CAE的面积为S，求S与t的函数解析式；
（3）如图，在（2）的条件下，过点E作EF⊥x轴于点F，点M为EB的中点，过M作MH⊥CD于点H，延长HM交x轴于点G，点N在AB的延长线上，连接NG、DN、CM，若FG＝OC，∠ACM＝∠GDN，求GN的长．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解题思路分析】（1）根据OA、OB的长度写出点坐标，将A、B点坐标代入解析式中即可求出答案；
（2）利用E是CD的中点，写出E点横坐标，再利用点E在直线AB上，将E点横坐标代入求出纵坐标，继而表示出点C的纵坐标坐标，最后即可表示出与的函数解析式；
（3）由题意可知，再根据已知条件表示出各点的坐标以及直线CD和GM的k值，最后利用垂直关系求解即可．
【解析】解：（1）∵直线交x轴于点B，交y轴于点A，，
∴，，
将A、B两点代入中，
得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为;
（2）∵点D的横坐标是t，且E是CD的中点 ，
∴点E的横坐标为，
∵点E在直线AB上，
∴将E的横坐标为代入中，得，
∴点C的纵坐标为，
∴，
∴与的函数解析式为；
（3）由题可知：，， ，，，
∵点M是BE的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴， ，
∵，即，
∴，即，
整理得：，
解得：，，
∵点D在x轴正半轴上，
∴，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵点N在直线AB上，
∴将代入中，
得，
∴，
∴
12．（2021·首都师范大学附属中学九年级月考）对图形M，N和点P，如果图形M上存在点Q1，图形N上存在点Q2，使得点Q1绕点P顺时针旋转90°后与点Q2重合，则称图形N是图形M关于点P的“秋实”图形．
（1）如图1，A（﹣3，0），B（0，3），则点C1（1，0），C2（﹣2，﹣1），C3（3，0）中．是线段AB关于坐标原点O的“秋实”图形的点是 ；
（2）设直线y＝x+b（b＞0）与x轴负半轴交于点D，与y轴正半轴交于点E，⊙F是以点F（2，1）为圆心，2为半径的圆．若⊙F是线段DE关于坐标原点O的“秋实”图形，求b的取值范围；
（3）设直线l：y＝k（x+m），其中m＞0，⊙G是以G（4，0）为圆心，1为半径的圆，若对⊙G上的任意一点H，存在k（≤k≤），使得点H是直线l关于坐标原点O的“秋实”图形，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）C3；（2）≤b≤；（3）．
【解题思路分析】（1）先理解新定义，利用待定系数法求 AB的解析式为，然后求出点逆时针旋转后的点坐标点C1（1，0）对应点坐标为（0， 1），点C2（-2，-1）对应点坐标为（1，-2），点C3（3，0）对应点坐标为（0， 3），在代入解析式验证即可；
（2）连结OF并延长与圆交于M、N两点，先求出OF=，再求ON=,OM=，点M是圆上最近点，点N是圆上最远点，tan∠IOF= ，cs∠IOF=，求出点M（，），点N（，），点M绕点O逆时针旋转90°点M的对应点坐标（，），点N绕点O逆时针旋转90°点N的对应点坐标（，），点N、M的对应点在直线y＝x+b上，代入求出b的值即可；
（3）过点O作⊙G的切线OD、OE，连结DE交x轴于F，连结OD，OE，求出OD=OE=，利用面积求EF=DF=，在Rt△ODF中，求出点D（，），点E（，）逆时针方向旋转90°，点D′（，），点E′（，）分别代入最大与最小k对应解析式求出m即可．
【解析】解：（1）设AB的解析式为，
∵点A（﹣3，0），B（0，3），将坐标代入解析式得
，
解得，
∴AB的解析式为，
点C1（1，0）绕原点O逆时针旋转90°对应点坐标为（0， 1），
点C2（-2，-1）绕原点O顺时针旋转90°对应点坐标为（1，-2），
点C3（3，0）绕原点O顺时针旋转90°对应点坐标为（0， 3），
当x=0时，，C1不是线段AB关于坐标原点O的“秋实”图形的点，
当x=-1时，，C2不是线段AB关于坐标原点O的“秋实”图形的点，
当x=0时，，C3是线段AB关于坐标原点O的“秋实”图形的点，
故答案为C3；
（2）连结OF并延长与圆交于M、N两点，OF=，ON=，OM=，
点M是圆上最近点，OM长最小，点N是圆上最远点，ON长最大，
过M、F、N分别作MG⊥y轴于G，FI⊥y轴于I，NH⊥y轴于H，
∴tan∠IOF= ，cs∠IOF=，
∴OG=OMcs∠IOF=，
∴GM=2OG=，
∴OH=ON cs∠IOF=，
∴NH=2OH=，
点M（，），点N（，），
点M绕点O逆时针旋转90°点M的对应点坐标（，），
点N绕点O逆时针旋转90°点N的对应点坐标（，），
点N、M的对应点在直线y＝x+b上，
=+b，
∴b=，
=+b，
∴b=，
∴≤b≤；
（3）过点O作⊙G的切线OD、OE，连结DE交x轴于F，连结OD，OE，
∵OG=4，DG=1，OG⊥OD，
∴OD=OE=，
∴EF=DF=，
在Rt△ODF中，
∴点D（，），点E（，），
逆时针方向旋转90°，点D′（，），点E′（，），
点D′在y＝（x+m）上，
∴，
解得，
点E′在直线在y＝（x+m）上，
∴，
解得，
∴，
13．（2021·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．
（1）如图1，过点作轴于点，连结．
①若，求证：四边形是平行四边形；
②连结，若，求的面积．
（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．
【答案】（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析
【解题思路分析】（1）①计算得出，利用平行四边形的判定方法即可证明结论；
②证明∽，利用反比例函数的几何意义求得，即可求解；
（2）点的坐标为，点的坐标为，可知四边形是平行四边形，由∽，利用相似三角形的性质得到关于的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解．
【解析】（1）①证明：设点的坐标为，
则当时，点的坐标为，
，
轴，
，
∴四边形是平行四边形；
②解：过点作轴于点，
轴，
，
∽，
，
∴当时，则，即．
；
（2）解 不改变．
理由如下：
过点作轴于点与轴交于点，
设点的坐标为，点的坐标为，
则，OH=b，
由题意，可知四边形是平行四边形，
∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=90°，
∴∽，
，
即，
∴，
，
解得，
异号，，
，
．
∴对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化．
．
14．（2021·湖南茶陵·九年级模拟预测）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，），反比例函数（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．
（1）写出D点坐标，并求出反比例函数关系式；
（2）判断线段DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
【答案】（1）D（），；（2）DE//AC，理由见解析；（3）点G的坐标为或G，都在反比例函数的图象上．
【解题思路分析】（1）先根据图象确定BC的长，再结合BD＝，求得CD,J进而确定点D的坐标，最后运用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）可得，进而确定点E的坐标，然后求出AE、BE，再证即可完成证明；
（3）分当点F在点C的下方和上方两种情况分别求解即可．
【解析】解：(1)∵B（2，），
∴BC=2，
又∵BD＝
∴，D（ ）
∴
∴
（2）DE//AC，理由如下：
由（1）得，当时，，
∴，，
∵，，
∴
∴DE//AC；
（3）①当点F在点C的下方，且点G在点F的右方时，如下图：
过点F作FH于点H，
∵四边形BCFG是菱形，
∴BC=CF=FG=GB=2，
在中，OA=BC=2，OC=AB=，
∴AC=4，∠ACB=30°，
∴在中，HF=，，
∴OH=，
∴F（（，G
当时，，
∴点G在反比例函数的图象上；
②当点F在点C的上方，且点G在点F的右方时，
同理可得：G，点G在反比例函数的图象上．
综上：点G的坐标为或G，都在反比例函数的图象上．
15．（2021·广东南山·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．
（1）求b、k的值；
（2）求△ABD的面积；
（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．
【答案】（1）b＝3，k＝18；（2）9；（3）m的值为1或
【解题思路分析】（1）作CH⊥y轴于点H，把点A坐标代入直线解析式中求出b，求出点B坐标，再用相似三角形的性质求出CH、BH，求出点C坐标，即可求出k；
（2）先求出点D坐标，求出BD，根据三角形的面积公式计算，得到答案；
（3）先求出EF=2，设出点E坐标，分0＜m＜2、m＞2两种情况，表示出点F坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求解，即可得出结论．
【解析】解：（1）作CH⊥y轴于点H，
∵直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），
∴﹣1×3+b＝0，
解得，b＝3，
对于直线y＝3x+3，当x＝0时，x＝3，
∴点B的坐标为（0，3），即OB＝3，
∵CH∥OA，
∴△AOB∽△CHB，
∴，即，
解得，CH＝2，BH＝6，
∴OH＝OB+BH＝9，
∴点C的坐标为（2，9），
∴k＝2×9＝18；
（2）∵BD∥x轴，
∴点D的纵坐标为3，
∴点D的横坐标为＝6，即BD＝6，
∴△ABD的面积＝×6×3＝9；
（3）EF＝BD＝×6＝2，
设E（m，3m+3），
当0＜m＜2时，点F的坐标为（m+2，3m+3），
∵点F在反比例函数y＝上，
∴（m+2）（3m+3）＝18，
解得，m1＝﹣4（舍去），m2＝1，
当m＞2时，点F的坐标为（m﹣2，3m+3），
∵点F在反比例函数y＝上，
∴（m﹣2）（3m+3）＝18，
解得，m3＝（舍去），m4＝，
综上所述，m的值为1或．