精品解析：山东省德州市庆云县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

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九年级数学试题
（满分150分，时间120分钟）
一、选择题（每小题4分，共48分）
1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. 圆 B. 菱形 C. 正十边形 D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．
【详解】解：A．圆属于中心对称图形，不合题意；
B．菱形属于中心对称图形，不合题意；
C．正十边形属于中心对称图形，不合题意；
D．等边三角形不属于中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. “买一张电影票，座号是5的倍数”是必然事件
B. 了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查（普查）方式
C. “明天降雨的概率为”，意味着明天一定有半天都在降雨
D. 一组数据的方差越小，则这组数据的波动也越小
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机事件的定义、抽样调查和全面调查、概率的计算以及方差的意义对每一项进行分析即可得出结果．
【详解】解：、“买一张电影票，座号是5的倍数”是随机事件，故本选项不正确；
、了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用抽样调查，故本选项不正确；
、“明天降雨的概率为”，意味着明天有可能下雨，故本选项不正确；
、一组数据的方差越小，则这组数据的波动也越小，故本选项正确；
故选：．
【点睛】本题主要考查了方差、随机事件的定义，以及概率的计算，可能性等于所求情况数与总情况数之比，比较简单．
3. 验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表．根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
【详解】解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：．
故选A．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
4. 已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2 B. 有最大值0，有最小值﹣1
C. 有最大值7，有最小值﹣1 D. 有最大值7，有最小值﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】把函数解析式整理成顶点式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【详解】解：∵y＝x2−4x＋2＝（x−2）2−2，
∴在−1≤x≤3取值范围内，当x＝2时，有最小值−2，
当x＝−1时，有最大值为y＝9−2＝7．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键．
5. 如图，AB是⊙的直径，AC是⊙的切线，A为切点，BC与⊙交于点D，连结OD．若，则∠AOD的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由AC是⊙的切线可得∠CAB=,又由，可得∠ABC=40;再由OD=OB，则∠BDO=40最后由∠AOD=∠OBD+∠OBD计算即可.
【详解】解：∵AC是⊙的切线
∴∠CAB=,
又∵
∴∠ABC=-=40
又∵OD=OB
∴∠BDO=∠ABC=40
又∵∠AOD=∠OBD+∠OBD
∴∠AOD=40+40=80
故答案为C.
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形以及三角形外角的概念.其中解题关键是运用圆的切线垂直于半径的性质.
6. 一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数和反比例函数图象可以确定a、b、c的正负，再根据它们确定抛物线的大致位置即可．
【详解】解：由一次函数和反比例函数图象可得，，
可知抛物线开口向下，对称轴直线，在y轴右侧，抛物线与y轴交点在负半轴，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键．．
7. 如图，在△ABC中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时针旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值（　　）

A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质求出∠DEC的度数，再根据特殊角三角函数值求值即可．
【详解】解：由旋转的性质可知：AE＝AC，∠CAE＝70°，
∴∠ACE＝∠AEC＝55°，
又∵∠AED＝∠ACB，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，
∴∠ACB＝∠AED＝100°，
∴∠DEC＝100°﹣55°＝45°，
∴tan∠DEC＝tan45°＝1，
故选：B
【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质求出角度，熟记特殊角三角函数值．
8. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了45次手，这次会议到会的人数有多少人（ ）．
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他（x-1）人握手，共握手次数为x（x-1），根据一共握了45次手列出方程求解．
【详解】设参加会议有人，依题意得：，
整理得：，
解得，（舍去），
故选：C．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为x（x-1）．
9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（ ）

A. 10 B. 24 C. 48 D. 50
【答案】C
【解析】
【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点C坐标代入解析式可求k的值．
【详解】解：如图，过点C作于点E，

∵菱形OABC的边OA在x轴上，点，
∴，
∵．
∴，
∴
∴点C坐标
∵若反比例函数经过点C，
∴
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．
10. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（　　）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分类讨论，随着点P位置的变化，△CPE的面积的变化趋势．
【详解】解：通过已知条件可知，当点P与点E重合时，△CPE的面积为0；
当点P在EA上运动时，△CPE的高BC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大，
当x＝2时有最大面积为4，
当P在AD边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大，
当x＝6时，有最大面积为8，当点P在DC边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而减小，最小面积为0；
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
11. 如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角为（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比），那么建筑物AB的高度约为（ ）
（参考数据，，）

A. 65.8米 B. 71.8米 C. 73.8米 D. 119.8米
【答案】B
【解析】
【分析】过点E作与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）可设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出，，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．
【详解】解：过点E作与点M，延长ED交BC于G，
∵斜坡CD的坡度（或坡比），米，
∴设，则．
在中，
∵，即，解得，
∴米，米，
∴米，米．
∵，，，
∴四边形EGBM是矩形，
∴米，米．
在中，
∵，
∴米，
∴米．
故选B．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1与直线y＝m＋2有且只有一个交点；
②若点M（－2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y18），
（2）把y＝3代入，得：x＝4，
把y＝3代入，得：x＝16，
∵16﹣4＝12>10，
所以这次消毒是有效的．
【点睛】此题主要考查了正比例函数和反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
22. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝CE，连接AE交BC于点D，延长DC至F点，使CF＝CD，连接AF．

（1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝10，tan∠CAE＝，求AE的长．
【答案】（1）直线AF是⊙O切线，见解析；（2）AE＝16.
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质可得∠CAF＝∠EAC，再根据切线的判定定理即可得到直线AF是⊙O的切线；
（2）等腰三角形ACE中，两腰AC=CE=10，且已知底角正切值，过点C作CM⊥AE，底边长AE可以求出来．
【详解】解：（1）直线AF是⊙O的切线，理由是：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
又∵CF＝CD，
∴根据全等三角形的判定（HL）可知△ADC与△AFC是全等三角形，
∴根据全等三角形的性质可得∠CAF＝∠EAC，
∵AC＝CE，
∴∠E＝∠EAC，
∵∠B＝∠E，
∴∠B＝∠FAC，
∵∠B+∠BAC＝90°，
∴∠FAC+∠BAC＝90°，
∴OA⊥AF，
又∵点A在⊙O上，
∴直线AF是⊙O的切线；
（2）过点C作CM⊥AE，
∵tan∠CAE＝，
∴，
∵AC＝10，
∴设CM＝3x，则AM＝4x，
在Rt△ACM中，根据勾股定理，CM2+AM2＝AC2，
∴（3x）2+（4x）2＝100，
解得x＝2，
∴AM＝8，
∵AC＝CE，
∴AE＝2AM＝2×8＝16．

【点睛】此题考查圆周角定理，解直角三角形，切线的判定与性质及全等三角形的判定和性质，解题关键在于作辅助线.
23. “新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：

普通口罩
N95口罩
进价（元/包）
8
20
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价．
（2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．
（3）疫情期间，该药店进货3000包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了500包后，又打9折销售，全部售完，这批3000包的N95口罩所获利润为多少元？
【答案】（1）普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．（2）10元；（3）3000元．
【解析】
【分析】（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，根据“N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，根据每天的利润＝每包的利润×日均销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）根据利润＝销售收入﹣进货成本，即可得出答案．
【详解】解：（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，
依题意，得：（12﹣m﹣8）（120+20m）＝320，
整理，得：m2+2m﹣8＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴12﹣m＝10．
答：此时普通口罩每包的售价为10元．
（3）由题意得，这批3000包的N95口罩所获利润为2500×28×0.9﹣3000×20＝3000（元）．
答：这批3000包的N95口罩所获利润为3000元
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系列式计算．
24. 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
   (1)温故：如图 1，在△ABC中，AD⊥BC 于点D，正方形PQMN 的边QM在BC上，顶点P ，N 分别在AB， AC上，若BC=6 ，AD=4，求正方形 PQMN的边长．
  (2)操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图 2，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形 P′Q′M′N′ ，使Q′,M′在BC边上， N′在△ABC 内，连结B N′ 并延长交AC 于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM 交AB于点P，PQ⊥BC 于点Q，得到四边形 PQMN．小波把线段BN 称为“波利亚线”．
 (3)推理：证明图2 中的四边形  PQMN 是正方形．
 (4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线B N 上截取NE=NM ，连结EQ ，EM(如图 3)．当tan∠NBM=  时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

【答案】（1）温故：；（3）推理：四边形PQMN正方形.见解析；（4）拓展：猜想，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据，列比例式求解即可；
（3）由作法知四边形PQMN为矩形，通过三角形相似证明,,从而，可证四边形PQMN为正方形；
（4）可设MN=3k，.则，，.根据两边对应成比例且夹角相等可证，从而.通过证明，可得.
【详解】（1）温故：．
.
即.
解得.
（2）推理：由画法可得.
四边形PQMN为矩形，.
，

同理可得.
.
，.
四边形PQMN为正方形.
（3）拓展：猜想，理由如下：
由可设MN=3k，.
则，，.
，，
.
，
，
.
，
.
，
.
.
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.相似三角形的判定方法有：①平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；②两角相等的两个三角形相似；③两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；④三边对应成比例的两个三角形相似.
25. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q的坐标；
（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．

【答案】（1）；（2）或；（3），，，
【解析】
【分析】（1）把A，B代入解析式求解即可；
（2）根据已知条件分∠QCB=90°或∠QBC=90°，再利用勾股定理列出方程，即可求解；
（3）设点，则，根据以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形分类计算即可；
【详解】（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，解得，
∴；
（2）由（1）知B（3，0），，
连接BC，

∵△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，
则或，
∵Q在对称轴上，设，
则，
，
，
当时，由勾股定理得：，
即，
解得，
∴；
当时，由勾股定理得：，
即，
解得，
∴；
综上所述，或；
（3）设点，则，
∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，
∴FM=MG，即，
当，解得；
当，解得；
∴，，，．

【点睛】本题主要考查了二次函数动点问题，根据直角三角形和正方形的几何特征，列出相关的方程，是解题的关键，特别要注意分类讨论思想在解题中的应用.