高考数学(理数)一轮精品复习：《选修4-5 不等式选讲》讲与练(16页学生版)

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这是一份高考数学(理数)一轮精品复习：《选修4-5 不等式选讲》讲与练(16页学生版)，共16页。试卷主要包含了绝对值不等式的解法；2等内容，欢迎下载使用。

本节主要包括2个知识点： 1.绝对值不等式的解法；2.绝对值三角不等式.
突破点(一) 绝对值不等式的解法
eq \a\vs4\al([基本知识])
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解．
②利用零点分段法求解．
③构造函数，利用函数的图象求解．
eq \a\vs4\al([基本能力])
1．判断题
(1)不等式|x|(2)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．( )
(3)不等式|2x－3|≤5的解集为{x|－1≤x≤4}．( )
2．填空题
(1)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
(2)不等式|2x－1|>3的解集为________．
(3)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)(4)不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．
eq \a\vs4\al([全析考法])
[典例] 解下列不等式：
(1)|2x＋1|－2|x－1|>0. (2)|x＋3|－|2x－1|[方法技巧]
绝对值不等式的常用解法
(1)基本性质法
对a∈R＋，|x||x|>a⇔x<－a或x>a.
(2)平方法
两边平方去掉绝对值符号．
(3)零点分区间法
含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
eq \a\vs4\al([全练题点])
1．求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．
2．解不等式x＋|2x＋3|≥2.
3．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋a|，g(x)＝|x－2|＋1.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥5；
(2)若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的取值范围．
4．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋3|.
(1)解不等式f(x)≥8；
(2)若不等式f(x)突破点(二) 绝对值三角不等式
eq \a\vs4\al([基本知识])
绝对值三角不等式定理
eq \a\vs4\al([基本能力])
1．判断题
(1)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.( )
(2)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.( )
2．填空题
(1)函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．
(2)设a，b为满足ab<0的实数，那么下列正确的是________．
①|a＋b|>|a－b| ②|a＋b|<|a－b| ③|a－b|<||a|－|b|| ④|a－b|<|a|＋|b|
(3)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
eq \a\vs4\al([全析考法])
[例1] 已知x，y∈R，且|x＋y|≤eq \f(1,6)，|x－y|≤eq \f(1,4)，
求证：|x＋5y|≤1.
[方法技巧]
证明绝对值不等式的三种主要方法
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．
(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．
(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．
[例2]设函数f(x)＝|x－a|＋|x－3|，a<3.
(1)若不等式f(x)≥4的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,,))x≤\f(1,2)或x≥\f(9,2)))，求a的值；
(2)若对∀x∈R，不等式f(x)＋|x－3|≥1恒成立，求实数a的取值范围．
eq \a\vs4\al([全练题点])
1.eq \a\vs4\al([考点一])设函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,a)))＋|x－a|(a>0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围．
2.eq \a\vs4\al([考点二])已知函数f(x)＝|x－m|－|x＋3m|(m>0)．
(1)当m＝1时，求不等式f(x)≥1的解集；
(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)<|2＋t|＋|t－1|恒成立，求m的取值范围．
3.eq \a\vs4\al([考点二])已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.
(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1>0(a∈R)；
(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围．
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
2．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
3．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
4．已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
[课时达标检测]
1．已知函数f(x)＝|x＋m|－|5－x|(m∈R)．
(1)当m＝3时，求不等式f(x)>6的解集；
(2)若不等式f(x)≤10对任意实数x恒成立，求m的取值范围．
2．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|.
(1)若不等式f(x)≤2－|x－1|有解，求实数a的取值范围；
(2)当a<2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值．
3．设函数f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|.
(1)解不等式f(x)>4；
(2)若∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,2)))，不等式a＋14．已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.
(1)解不等式f(x)>1；
(2)当x>0时，函数g(x)＝eq \f(ax2－x＋1,x)(a>0)的最小值大于函数f(x)，试求实数a的取值范围．
5．已知函数f(x)＝e|x＋a|－|x－b|，a，b∈R.
(1)当a＝b＝1时，解不等式f(x)≥e；
(2)若f(x)≤e2恒成立，求a＋b的取值范围．
6．已知f(x)＝|x－1|＋|x＋a|，g(a)＝a2－a－2.
(1)当a＝3时，解关于x的不等式f(x)>g(a)＋2；
(2)当x∈[－a,1)时恒有f(x)≤g(a)，求实数a的取值范围．
7．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.
(1)解不等式|g(x)|<5；
(2)若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．
8．已知函数f(x)＝|3x＋2|.
(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；
(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．
第二节不等式的证明
本节重点突破1个知识点：不等式的证明.
突破点不等式的证明
eq \a\vs4\al([基本知识])
1．基本不等式
2.比较法
(1)作差法的依据是：a－b＞0⇔a＞b.
(2)作商法：若B＞0，欲证A≥B，只需证eq \f(A,B)≥1.
3．综合法与分析法
eq \a\vs4\al([基本能力])
1．判断题
(1)已知x为正实数，则1＋x＋eq \f(1,x)≥3.( )
(2)若a>2，b>2，则a＋b>ab.( )
(3)设x＝a＋2b，S＝a＋b2＋1则S≥x.( )
2．填空题
(1)已知a，b∈R＋，a＋b＝2，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为________．
(2)已知正实数a，b满足2ab＝a＋b＋12，则ab的最小值是________．
(3)已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)的最小值为________．
(4)设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x>y，则实数a，b应满足的条件为________________．
eq \a\vs4\al([全析考法])
[例1] 求证：(1)当x∈R时，1＋2x4≥2x3＋x2；
(2)当a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab)eq \f(a＋b,2).
[
[方法技巧]
作差比较法证明不等式的步骤
(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．
[例2] 已知a，b，c>0且互不相等，abc＝1.试证明：eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c)＜eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c).
[方法技巧]
综合法证明时常用的不等式
(1)a2≥0；|a|≥0.
(2)a2＋b2≥2ab.
(3)eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，它的变形形式有：a＋eq \f(1,a)≥2(a>0)；eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2(ab>0)；eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≤－2(ab<0)．
[例3]已知函数f(x)＝|x＋1|.
(1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M；
(2)设a，b∈M，证明：f(ab)＞f(a)－f(－b)．
[方法技巧]
分析法的应用
当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a2＋b2≥2ab)、基本不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(ab)≤\f(a＋b,2)，a>0，b>0))没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．
eq \a\vs4\al([全练题点])
1.eq \a\vs4\al([考点三])设x≥1，y≥1，求证x＋y＋eq \f(1,xy)≤eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋xy.
证明：由于x≥1，y≥1，
2.eq \a\vs4\al([考点一])设不等式|2x－1|＜1的解集为M.
(1)求集合M.
(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．
3.eq \a\vs4\al([考点二])已知a，b，c，d均为正数，且ad＝bc.
(1)证明：若a＋d>b＋c，则|a－d|>|b－c|；
(2)t·eq \r(a2＋b2)eq \r(c2＋d2)＝eq \r(a4＋c4)＋eq \r(b4＋d4)，求实数t的取值范围．
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，M为不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
[课时达标检测]
1．若正实数a，b满足a＋b＝eq \f(1,2)，求证：eq \r(a)＋eq \r(b)≤1.
2．已知函数f(x)＝|x＋3|＋|x－1|，其最小值为t.
(1)求t的值；
(2)若正实数a，b满足a＋b＝t，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)≥eq \f(9,4).
3．设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.
(1)证明：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a＋\f(1,6)b))(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．
4．已知x，y，z∈(0，＋∞)，x＋y＋z＝3.
(1)求eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)的最小值；
(2)证明：3≤x2＋y2＋z2<9.
5．已知a>0，b>0，函数f(x)＝|2x＋a|＋2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(b,2)))＋1的最小值为2.
(1)求a＋b的值；
(2)求证：a＋lg3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))≥3－b.
6．已知函数f(x)＝|x－2|.
(1)解不等式：f(x)＋f(x＋1)≤2；
(2)若a<0，求证：f(ax)－af(x)≥f(2a)．
7．设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1.
求证：(1)2ab＋bc＋ca＋eq \f(c2,2)≤eq \f(1,2)；
(2)eq \f(a2＋c2,b)＋eq \f(b2＋a2,c)＋eq \f(c2＋b2,a)≥2.
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－a∅
∅
|x|>a
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x>a或x<－a))
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R|x≠0))
R
绝对值不等式的解法
定理1
如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立
定理2
如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立
证明绝对值不等式
绝对值不等式的恒成立问题
定理1
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立
定理2
如果a，b＞0，那么eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均
定理3
如果a，b，c∈R＋，那么eq \f(a＋b＋c,3)≥eq \r(3,abc)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立
综合法
一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立
分析法
从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立
比较法证明不等式
综合法证明不等式
分析法证明不等式

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