高考数学(理数)一轮精品复习：第10章《计数原理、概率、随机变量及其分布列》讲与练(77页学生版)

这是一份高考数学(理数)一轮精品复习：第10章《计数原理、概率、随机变量及其分布列》讲与练(77页学生版)
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布列
第一节 　排列、组合
本节主要包括2个知识点：　1.两个计数原理；　2.排列、组合问题.
突破点(一)　两个计数原理　


1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
3．两个计数原理的比较
名称
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
都是解决完成一件事的不同方法的种数问题
不同点
运用加法运算
运用乘法运算
分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．分类计数原理可利用“并联”电路来理解
分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性．分步计数原理可利用“串联”电路来理解

1．判断题
(1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同．(　　)
(2)在分步乘法计数原理中，只有各步骤都完成后，这件事情才算完成．(　　)
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　)
2．填空题
(1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是________．
(2)从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个．
(3)书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从第1,2,3层分别各取1本书，则不同的取法种数为________．



分类加法计数原理
能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点：
(1)完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类．
(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事．
(3)把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．
[例1]　(1)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　　)
A．4种 B．6种
C．10种 D．16种
(2)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)
A．14 B．13
C．12 D．10
[易错提醒]
(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏．
(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．　　


分步乘法计数原理
能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点：
(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可．
(2)完成每一步有若干种方法．
(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．
[例2]　(1)从－2,0,1,8这四个数中选三个数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．

(2)如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种．

[易错提醒]
(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
(2)谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．　　

两个计数原理的综合问题
在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而可能是同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求解．分类的关键在于做到“不重不漏”，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．
[例3]　(1)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　)
A．144个 B．120个
C．96个 D．72个
(2)如图矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法．

[方法技巧]
使用两个计数原理进行计数的基本思想
对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．　　


1.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为(　　)
A．504 B．210
C．336 D．120
2.某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为(　　)
A．20 B．25
C．32 D．60
3.从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
4.在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个．
5.如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有________种．
突破点(二)　排列、组合问题　


1．排列与排列数
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A
2.组合与组合数
组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C
3.排列数、组合数的公式及性质

排列数
组合数
公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
C＝＝＝
性质
A＝n！；0！＝1
C＝1；C＝C_；C＋C＝C
备注
n，m∈N*且m≤n
4．排列与组合的区别
排列
组合
排列与顺序有关
组合与顺序无关
两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同
两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同


1．判断题
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　)
(3)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　)
(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　　)
(5)A＝nA.(　　)
(6)kC＝nC.(　　)
2．填空题
(1)A、B、C、D、E五人并排站成一排，不同的排法共有________种．
(2)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言________条．
(3)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中恰有1门相同的选法有________种．
(4)方程3A＝2A＋6A的解为________．
(5)已知－＝，则m＝________.



排列问题
[例1]　(1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)
A．192种 B．216种
C．240种 D．288种
(2)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．


[方法技巧]　　求解排列问题的六种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法


组合问题
组合问题的常见题型及解题思路
常见题型
一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等
解题思路
(1)分清问题是否为组合问题；
(2)对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个计数原理化归为简单问题
[例2]　(1)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为(　　)
A．85 B．86
C．91 D．90
(2)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为(　　)
A．130 B．120
C．90 D．60
(3)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)．
[方法技巧]
有限制条件的组合问题的解法
组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理．　　


分组分配问题
分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．
[例3]　(1)教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．
(2)某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为________．
(3)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
[方法技巧]　　分组分配问题的三种类型及求解策略
类型
求解策略
整体均分
解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数
部分均分
解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数
不等分组
只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数

　　　　　　　　　　　　　
1.某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行．则安排这6项工程的不同方法种数为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．40
2.世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为(　　)
A．12 B．10
C．8 D．6



3.某局安排3名副局长带5名职工去3地调研，每地至少去1名副局长和1名职工，则不同的安排方法总数为(　　)
A．1 800 B．900
C．300 D．1 440
4.用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)
5.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．

[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)
A．12种 B．18种
C．24种 D．36种
工作分配给3名志愿者，共有A种分配方法，故共有C·A＝36种安排方法．
2．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A．24 B．18
C．12 D．9
3．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)
A．18个 B．16个
C．14个 D．12个
4．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组．则不同的选法共有(　　)
A．60种 B．70种
C．75种 D．150种



[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一)　两个计数原理
1．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一个有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是(　　)
A．9　　　　　　　　　 B．14
C．15 D．21
2．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是(　　)
A．7 B．10
C．25 D．52
3．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有(　　)
A．4种 B．10种
C．18种 D．20种
4．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)
A．243 B．252
C．261 D．279
5．有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为(　　)
A．24 B．14
C．10 D．9
6.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为________．


对点练(二)　排列、组合问题
1．有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有(　　)
A．34种 B．48种
C．96种 D．144种
2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．40
3．“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的五个焦点．小赵想利用国庆节假期调查一下社会对这些热点的关注度．若小赵准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“住房”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为(　　)
A．13 B．24
C．18 D．72
4．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)
A．18种 B．24种
C．36种 D．72种
5．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有(　　)
A．72种 B．36种
C．24种 D．18种
6．7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法．
7．把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．
8．若把英语单调“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误种数共有________种．

[大题综合练——迁移贯通]
1．从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排．
(1)共有多少种不同的排法？
(2)若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？(用数字表示)










2．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文科代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；
(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．










3．有编号分别为1,2,3,4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．
(1)共有多少种放法？
(2)恰有一个空盒，有多少种放法？
(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？

















第二节 二项式定理
本节主要包括2个知识点：　
1.二项式的通项公式及应用；　2.二项式系数的性质及应用.
突破点(一)　二项式的通项公式及应用　


1．二项式定理
二项
展开式
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理
二项式
的通项
Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第k＋1项

2．二项式系数与项的系数
二项式
系数
二项展开式中各项的系数C(r∈{0，1，…，n})叫做第r＋1项的二项式系数
项的
系数
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是Can－rbr


1．判断题
(1)Can－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．(　　)
(2)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．(　　)
(3)(a＋b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．(　　)
(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(　　)
2．填空题
(1)已知a>0，6展开式的常数项为15，则a＝________.
(2)(1－2x)7展开式中x3的系数为________．
(3)8的展开式中的有理项共有________项．
(4)若(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝________.




形如(a＋b)n的展开式问题
[例1]　(1)5的展开式中的常数项为(　　)　　　　　　　　
A．80 B．－80
C．40 D．－40
(2)在6的展开式中，若x4的系数为－3，则a＝________.
(3)二项式n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为________．
[方法技巧]
二项展开式问题的常见类型及解法
(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．
(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．　　


形如(a＋b)m(c＋d)n的展开式问题

[例2]　(1)已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ＝(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
(2)在(2x＋1)(x－1)5的展开式中含x3项的系数是________．(用数字作答)
[方法技巧]
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．　　





形如(a＋b＋c)n的展开式问题

[例3]　(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．60
(2)5的展开式中常数项是________．

[方法技巧]　求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤


1.6的展开式中，常数项是(　　)
A．－ B.
C．－ D.
2.设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　　)
A．－15x4 B．15x4
C．－20ix4 D．20ix4
3.在10的展开式中，含x2项的系数为(　　)
A．10 B．30
C．45 D．120
4.(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)
A．56 B．84
C．112 D．168
5.(x＋2)2(1－x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为(　　)
A．5 B．3
C．2 D．0
6.在4的展开式中，常数项为________．

突破点(二)　二项式系数的性质及应用　


二项式系数的性质
(1)对称性：当0≤k≤n时，C＝.
(2)二项式系数的最值：二项式系数先增后减，当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和第项的二项式系数最大，最大值为.
(3)二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.


1．判断题
(1)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)
(2)在(1－x)9的展开式中，系数最大的项是第5项和第6项．(　　)
(3)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(　　)
2．填空题
(1)若m的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是________．
(2)若(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.












二项展开式中系数和的问题
赋值法在求各项系数和中的应用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．
①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
[例1]　(1)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A．212 B．211
C．210 D．29
(2)若(1－3x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________.

[易错提醒]
(1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；
(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．　　


二项式系数或展开式系数的最值问题
求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤
第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个．
第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．
思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案．


[例2]　(1)在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
(2)在5的展开式中x3的系数等于－5，则该展开式各项的系数中最大值为(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20


1.已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为(　　)
A．－20 B．0
C．1 D．20
2.(x＋2y)7的展开式中系数最大的项是________．

3.(x－2y)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数为________(用数字作答)．

4.(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.

[全国卷5年真题集中演练——明规律]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(1＋x)6展开式中x2的系数为(　　)
A．15 B．20
C．30 D．35
2．(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．－80 B．－40
C．40 D．80
3．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
4．(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)
5．(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)



[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一)　二项式的通项公式及应用
1．二项式10的展开式中的常数项是(　　)
A．180 B．90
C．45 D．360
2．已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a＝(　　)
A. B．－
C．6 D．－6
3．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)
A．30 B．20
C．15 D．10
4．(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为(　　)
A．－210 B．210
C．30 D．－30
5．已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.
6．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是________．
7．(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)

对点练(二)　二项式系数的性质及应用
1．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为(　　)
A．1或3 B．－3
C．1 D．1或－3
2．若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7＝(　　)
A．－2 B．－3
C．125 D．－131
3．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　　)
A．－960 B．960
C．1 120 D．1 680


4．若n的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是(　　)
A．－10 B．10
C．－45 D．45
5．在二项式n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为256，则展开式中x的系数为________．
6．在二项式n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是________．
7．在(x＋y)n的展开式中，若第7项系数最大，则n的值可能等于____________．

[大题综合练——迁移贯通]
1．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.





2．已知(1＋m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112.
(1)求m，n的值；
(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和；
(3)求(1＋m)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．








3．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值；
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．








第三节 随机事件的概率
本节主要包括2个知识点：　1.随机事件的频率与概率；2.互斥事件与对立事件.
突破点(一)　随机事件的频率与概率　


1．事件的分类

2．频率和概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．


1．判断题
(1)“下周六会下雨”是随机事件．(　　)
(2)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)
(3)随机事件和随机试验是一回事．(　　)
(4)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　)

2．填空题
(1)掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上．则P(M)＝________；P(N)＝________.
(2)在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，P(A)与的关系是________．(填“等于”或“约等于”)
(3)给出下列三个说法，其中正确的有________个．
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
(4)某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶．假设此人射击1次，则其中靶的概率约为________；中10环的概率约为________．




随机事件的频率与概率
事件A发生的频率是利用频数nA除以试验总次数n所得到的值，且随着试验次数的增多，它在A的概率附近摆动幅度越来越小，即概率是频率的稳定值，因此在试验次数足够的情况下，给出不同事件发生的次数，可以利用频率来估计相应事件发生的概率．
[典例]　某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔偿金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率．
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．








1．某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查．这1 000名购物者2017年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：

电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：
购物金额分组
[0.3,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.8)
[0.8,0.9]
发放金额
50
100
150
200
(1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数；
(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．



2．随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
(1)在4月份任选一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．





突破点(二)　互斥事件与对立事件　


1．概率的基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率：P(A)＝1.不可能事件的概率：P(A)＝0.
2．互斥事件和对立事件
事件
定义
概率公式
互斥
事件
在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
对立
事件
在一个随机试验中，两个试验不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A和称为对立事件
P()＝1－P(A)


1．判断题
(1)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.(　　)
(2)两个事件的和事件是指两个事件同时发生．(　　)
(3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　)
(4)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件．(　　)
2．填空题
(1)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是____________．
(2)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为________．
(3)甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么甲是乙的____________条件．
(4)从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．






事件关系的判断
[例1]　(1)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示“向上的一面出现奇数”，事件B表示“向上的一面出现的数字不超过3”，事件C表示“向上的一面出现的数字不小于4”，则(　　)
A．A与B是互斥而非对立事件
B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件
D．B与C是对立事件
(3)对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．

[方法技巧]
事件间的关系的判断方法
(1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系．
(2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断．
(3)从集合的角度上看：事件A，B对应的基本事件构成了集合A，B，则A，B互斥时，A∩B＝∅；A，B对立时，A∩B＝∅且A∪B＝U(U为全集)．两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件．　　






互斥事件、对立事件的概率
[例2]　袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？






[方法技巧]
求复杂互斥事件概率的两种方法
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；
(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．　　


1.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　)
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥事件但不是对立事件
D．以上答案都不对
2.设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为(　　)
A．两个任意事件 B．互斥事件
C．非互斥事件 D．对立事件
3.由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.11
0.16
0.3
0.29
0.1
0.04
则至多2人排队的概率为(　　)
A．0.3 B．0.43
C．0.57 D．0.27
4.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)
A. B.
C. D．1
5.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
























[全国卷5年真题集中演练——明规律]　　　　　　　　　　　　　　　　
1．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．

B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
8
14
10
6
(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．

(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．







2．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出
险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．







[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一)　随机事件的频率与概率
1．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10,40)的频率为(　　)
A．0.35 B．0.45
C．0.55 D．0.65
2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)
A．134石 B．169石
C．338石 D．1 365石



3．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：
162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，
151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.
根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5 cm～170.5 cm 之间的概率约为(　　)
A. B.
C. D.
4．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为(　　)
A．49 B．0.5
C．0.51 D．0.49

对点练(二)　互斥事件与对立事件
1．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数为a，设事件A＝“a为3”，B＝“a为4”，C＝“a为奇数”，则下列结论正确的是(　　)
A．A与B为互斥事件 B．A与B为对立事件
C．A与C为对立事件 D．A与C为互斥事件
2．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．相互独立事件 D．以上都不对
3．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是(　　)
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有两个红球
4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一个产品是正品(甲级)的概率为(　　)
A．0.95 B．0.97
C．0.92 D．0.08



5．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
6．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.
7．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
8．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，则x＋y的最小值为________．


[大题综合练——迁移贯通]
1．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：

“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．









2．某校有教职工500人，对他们的年龄状况和受教育程度进行调查，其结果如下：

高中
专科
本科
研究生
合计
35岁以下
10
150
50
35
245
35～50
20
100
20
13
153
50岁以上
30
60
10
2
102
随机地抽取一人，求下列事件的概率：
(1)50岁以上具有专科或专科以上学历；
(2)具有本科学历；
(3)不具有研究生学历．








3．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为
140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率






(2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．








第四节 古典概型与几何概型
本节主要包括3个知识点：　
1.古典概型；　2.几何概型；　3.概率与统计的综合问题.
突破点(一)　古典概型　


1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件都是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
3．古典概型的概率公式
P(A)＝.

1．判断题
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　)
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　　)
(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(　　)
(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.(　　)
2．填空题
(1)一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是________．
(2)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．
(3)从一副混合后的扑克牌(除去大、小王，共52张)中，随机抽取1张．事件A为“抽到红桃K”，事件B为“抽到黑桃”，则P(A∪B)＝________(结果用最简分数表示)．





古典概型的求法

[典例]某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．








[方法技巧]　　　解决古典概型实际问题的步骤


1．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
2．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为(　　)
A. B.
C. D.


3．从集合A＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{－1,1,3}中随机选取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为(　　)
A. B.
C. D.
4．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．

5．按照国家环保部发布的新修订的《环境空气质量标准》，规定：PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．国家环保部门在2016年10月1日到2017年1月30日这120天对全国的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：
组别
PM2.5浓度(微克/立方米)
频数/天
第一组
(0,35]
32
第二组
(35,75]
64
第三组
(75,115]
16
第四组
115以上
8
(1)在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？
(2)在(1)中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75微克/立方米的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115微克/立方米的概率．

















突破点(二)　几何概型　


1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝.

1．判断题
(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(　　)
(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　　)
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　　)
2．填空题
(1)某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是________．
(2)已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M­ABCD的体积小于的概率为________．
(3)如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为________．










与长度、角度有关的几何概型
[例1]　(1)在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20 cm2的概率为(　　)
A. B.
C. D.
(2)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
(3)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与AB交于点M，则AM300
空气
质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
天数
4
13
18
30
9
11
15
记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S(单位：元)，PM2.5指数为x.当x在区间[0,100]内时对企业没有造成经济损失；当x在区间(100,300]内时对企业造成的经济损失成直线模型(当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元)；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2 000元．
(1)试写出S(x)的表达式；
(2)试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；
(3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？

非重度污染
重度污染
合计
供暖季



非供暖季



合计


100







[全国卷5年真题集中演练——明规律]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.


2．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
3．某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)
A. B.
C. D.
4．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)
A. B.
C. D.
5．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　)
A. B.
C. D.
6．从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)
A. B.
C. D.
7．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)
A. B.
C. D.


8．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)
A. B.
C. D.

[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一)　古典概型
1．已知袋子中装有大小相同的6个小球，其中有2个红球、4个白球．现从中随机摸出3个小球，则至少有2个白球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
2．现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说课，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为(　　)
A. B.
C. D.
3．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序A，B，C，D，E，F，则程序A在第一或最后一步，且程序B和C相邻的概率为(　　)
A. B.
C. D.
4．已知集合M＝，N＝，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是(　　)
A. B.
C. D.
5．从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为________．

6．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
对点练(二)　几何概型
1．在区间[0,1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
2．设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线y＋2＝0的距离大于2的概率是(　　)
A. B.
C. D.
3．已知正棱锥S­ABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得VP­ABC＜VS­ABC的概率是(　　)
A. B.
C. D.

4.如图，长方形的四个顶点为O(0,0)，A(4,0)，B(4,2)，C(0,2)，曲线y＝经过点B.小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC中，则该电子元件落在图中阴影区域的概率是(　　)

A. B.
C. D.
5．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于点P，则使得PF1―→·PF2―→