重庆市第八中学2021-2022学年高三下学期高考适应性月考（五）数学含解析

重庆市第八中学2022届高考适应性月考卷（五）

数   学

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由对数函数定义域可求得集合，由交集定义可得结果.

详解】由得：，，.

故选：C.

2. 设向量，，则与夹角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由向量夹角坐标运算可直接求得结果.

【详解】，.

故选：B.

3. 的展开式中的常数项为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由二项式定理可得展开式的通项公式，令可得常数项.

【详解】展开式的通项公式为：；

令，解得：，展开式中的常数项为.

故选：B.

4. 五声音阶（汉族古代音律）就是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为：宫，商，角，徵，羽，若宫的频率为，则宫，商，角，徵，羽的频率分别是、、、、.定义音比（大于1）是相邻两个音的频率比，上述音比只有两个不同的值，记为，则下列关系式不成立的是（    ）（参考数据：、）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】依题意首先求出音比，即可得到、，再根据对数的运算法则计算可得；

【详解】解：因为，，，，因为，所以，，故A正确，所以，故B正确；

，故C错误；

，故D正确；

故选：C

5. 函数的递增区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求导后，结合三角函数知识可确定当时，，由此可得结果.

【详解】，

当时，，，则；

当时，，，则；

在上的单调递增区间为.

故选：D.

6. 设，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数函数的性质可得， ，由此可判断得选项.

【详解】解：因为，，所以，所以，故排除A、B选项；

又，且，所以，

故选：D.

7. 已知点在动直线上的射影为点，为坐标原点，那么的最小值为（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出动直线恒过定点，依题意可知，则点的轨迹是以为直径的圆，求出圆心坐标与半径，即可得到轨迹方程，再求出，即可求出的最小值；

【详解】解：动直线，即，令，解得，即动直线恒过定点，又因为点在动直线上的射影为点，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆，故圆心为的中点，半径，所以点的轨迹方程为，又，所以，即的最小值为；

故选：B

8. 在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点在第一象限内.若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先利用两角和的正弦公式展开，与联立得到关于、的方程组，再利用任意角的三角函数定义即可求，要注意，.

【详解】因为角的终边与单位圆的交点在第一象限内，

所以，.

因为，所以，

即，

将代入，

得，

即，

解得，

当时，（舍）；

当时，；

所以.

故选：C.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9. 在复平面内，已知复数对应的点在第四象限，则实数的可能取值有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】由的幂指数运算的周期性可化简复数得其对应的点为，根据点在第四象限可构造不等式组求得，由此可确定结果.

【详解】，，

，

则对应的点为，

对应的点在第四象限，，解得：，

实数可能取值为，.

故选：AB.

10. 棱长为的正方体的展开图如图所示.已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（    ）

A. 与是异面直线 B. 与所成角为

C. 平面平面 D. 若，则点的运动轨迹长度为

【答案】BCD

【解析】

【分析】由展开图还原正方体，根据可知A错误；由可知异面直线与所成角为，由此可求得B正确；由线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可知C正确；根据平面，平面平面可得点轨迹，进而求得D正确.

【详解】由展开图还原正方体如下图所示，

对于A，，四边形为平行四边形，，

与是共面直线，A错误；

对于B，，与所成角即，

，为等边三角形，

，即与所成角为，B正确；

对于C，平面，平面，；

又，，平面，平面，

又平面，平面平面，C正确；

对于D，由正方体性质可知平面，

取中点，连接，

则平面平面，点的轨迹为正六边形的边，

点的轨迹长度为，D正确.

故选：BCD.

11. 已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称.当时，.则下列结论正确的是（    ）

A. 函数的图象关于点中心对称

B. 函数的最小正周期为2

C. 当时，

D. 函数在上单调递减

【答案】BC

【解析】

【分析】先求出周期和解析式，画出图像，对四个选项一一验证：

对于A：由图像可判断函数的中心对称；

对于B：利用图像变换作出函数的图象，即可判断；

对于C：直接求出解析式即可判断；

对于D：利用图像变换作出的图像，即可判断；

【详解】因为函数对任意都有，

所以，即，所以

所以，即恒成立，所以的周期为4.

因为函数的图象关于对称，所以将的图象向右平移一个单位，得到的图象，所以关于对称.

任取，则，

因为函数对任意都有，即，所以.

所以，

作出的图象如图所示：

对于A：由图象可知：函数的图象关于点中心对称，故A错误；

对于B：函数的图象可以看成的图象x轴上方的图象保留，把x轴上方的图象轴下方的图象翻折到x轴上方，所以函数的最小正周期为2.故B正确；

对于C：由前面的推导可得：当，.故C正确；

对于D：作出的图像如图所示，在上函数单调递增.故D错误.

故选：BC

12. 已知双曲线：和点，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上在第一象限内的点，点为的内心，则下列说法正确的是（    ）

A. 的最小值为25 B.

C.  D. 若，，则

【答案】BC

【解析】

【分析】首先根据双曲线方程求出焦点坐标，根据双曲线的定义判断A，设的内切圆的半径为，利用面积公式及双曲线的定义计算即可判断B，设在上的垂足为，根据切线长定理可得，即可得到的坐标，记渐近线的倾斜角为，则，记则，利用临界值求出，即可求出的取值范围，即可判断C，延长交于点，由角平分线定理得到，即可求出、，即可判断D；

【详解】解：因为双曲线：，所以，，，则、，双曲线的渐近线为，因为，所以，所以，当且仅当、、在同一直线且在之间时取等号，故A错误；

设的内切圆的半径为，则，故B正确；

设在上的垂足为，根据双曲线的定义及切线长定理可得，又，所以，所以，记渐近线的倾斜角为，则，记，则，当，即，解得，所以，则，所以，故C正确；

延长交于点，由解得，由角平分线定理可知，所以，又由角平分线定理知，过点作交、分别于点、点，则，所以，所以，因为，所以又，解得，所以，故D错误；

故选：BC

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）

13. 若，且，则的最大值是_______________.

【答案】##.

【解析】

【分析】利用基本不等式可直接求得结果.

【详解】，，，，

即（当且仅当，即，时取等号），

，即的最大值为.

故答案为：.

14. 袋中装有编号为的个球，先从袋中一次性任取两个球，在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，号球被取出的概率为_______________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据条件概率公式计算可得结果.

【详解】记事件为“取出的两个球编号之和为偶数”，事件为“号球被取出”，

则，，，

即在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，号球被取出的概率为.

故答案为：.

15. 在四面体中，，均为边长为的正三角形，平面平面，则四面体的外接球的表面积为_______________.

【答案】

【解析】

【分析】取中点，，，作，，由面面垂直性质和球的性质可确定为四面体的外接球球心，由长度关系可求得外接球半径，由球的表面积公式可得结果.

【详解】取中点，连接，

均为正三角形，，，

平面平面，平面平面，

平面，平面；

取，，作，，

均为正三角形，分别为的外心，

又平面，平面，即为四面体的外接球球心，

，，，

，

四面体的外接球的表面积为.

故答案为：.

16. 设，用表示不小于的最小整数，例如，，，则称为向上取整函数.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且，.则_______________.

【答案】

【解析】

【分析】利用与关系可证得数列为等差数列，由此得到；分类讨论得到在每段区间上的取值，加和可得最终结果.

【详解】当时，，又，；

当时，，则，

即，，

数列是以为首项，为公差的等差数列，；

当时，；当时，；当时，；

当时，；当时，；

.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查数列和函数的综合应用问题的求解，解题关键是能够通过与关系证得数列为等差数列，得到的通项公式，进而根据向上取整函数的定义得到分段函数的函数值.

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 如图，四边形内接于一个圆中，其中为直径，，，.

（1）求的长；

（2）求的面积.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理可求得，利用正弦定理可求得结果；

（2）利用勾股定理可求得，利用三角形面积公式可得结果.

【小问1详解】

在中，由余弦定理得：

，解得：，

设为外接圆半径，由正弦定理得：，

即.

【小问2详解】

为直径，，

，，又，

.

18. 已知数列满足，.

（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有.

【答案】（1）证明见解析；；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）由递推关系式可得，由此证得结论；利用等差数列通项公式可求得，进而得到；

（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得，结合，可证得结论.

【小问1详解】

由得：，又，

数列是以为首项，为公差的等差数列，，

；

【小问2详解】

由（1）得：，

，

，，.

19. 随着人们节能减排意识的提高以及共享单车的大范围推广，越来越多的市民在出行时愿意选择共享单车.为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了200名用户进行调查，得到如下数据：

（1）如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请你判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关?

（2）每周使用共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，用频率估计概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户.

①求抽取的4名用户中，没有男性“骑行达人”的概率；

②为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女性“骑行达人”每人奖励200元，记奖励总金额为，求的数学期望及方差.

附表及公式：

【答案】（1）在犯错误概率不超过0.01的前提下，不能认为“喜欢骑行共享单车”与性别有关，理由见解析；   

（2）①；②数学期望320，方差为38400

【解析】

【分析】（1）列出列联表，求出卡方，和6.635进行比较得出答案；（2）①求出频率，相应的得到概率，结合独立性重复试验事件的概率公式进行求解，②利用二项分布期望公式和方差公式进行求解.

【小问1详解】

填写列联表：

故在犯错误概率不超过0.01的前提下，不能认为“喜欢骑行共享单车”与性别有关

【小问2详解】

①抽取的200人中，男性“骑行达人”的频率为，女性“骑行达人”的频率为，则从我市所有“骑行达人”中，随机抽取，抽到男性的概率为，抽到女性的概率为，设抽取的4名用户中，没有男性“骑行达人”为事件A，则；

②记Y为抽出的女性“骑行达人”人数，则，则，，而，故元，，即数学期望为320，方差为38400.

20. 如图，在三棱柱中，，.分别是的中点，平面平面.

（1）求证：；

（2）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）连接，由菱形和三角形中位线性质可得；由面面垂直和线面垂直性质可得；由线面垂直的判定可得平面，由线面垂直性质可证得结论；

（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，，利用二面角的向量求法可表示出；令，利用二次函数的值域求法可求得的范围，进而得到结果.

【小问1详解】

连接，

，，

四边形为菱形，为等边三角形，，

分别为中点，，；

又为中点，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，又平面，；

又，平面，平面，

平面，；

【小问2详解】

，，为等边三角形，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

则以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，

，，，，

设，，则，

，，，，；

由（1）知：平面，平面的一个法向量；

设平面的法向量，

则，令，则，，；

，

令，则，；

，，，

即锐二面角的余弦值的取值范围为.

21. 已知点，，动点满足直线与直线的斜率之积为.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）如图，当动点位于轴左侧时，抛物线：上存在不同的两点满足线段的中点均在上.

①设的中点为，证明：直线垂直于轴；

②求的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）①证明见解析；②.

【解析】

【分析】（1）设，利用可整理得到结果；

（2）①根据中点均在上，可知为方程的两个不等实根，由此可确定点纵坐标与点纵坐标相同，由此可得结论；

②由韦达定理可知，结合韦达定理和点轨迹可化简得到，结合可得结果.

【小问1详解】

设，则，

整理可得：，即动点的轨迹方程为：；

【小问2详解】

①设，，，

中点均在抛物线上，为方程的两个不等实根，

方程可化为：，由韦达定理知：，

又为中点，，与点纵坐标相同，

直线垂直于轴；

②由（1）知：点的轨迹方程为：，，，

又为中点，；由①知：；

轴，

，

，

又，，即的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆、直线与抛物线的综合应用问题，求解取值范围的关键是能够将其表示为关于变量的函数的形式，从而结合的范围，利用二次函数值域的求解方法求得结果.

22. 已知函数，其中且.

（1）当时，曲线在点处的切线方程为．求证：；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用导数的几何意义可求得，令，利用导数可求得，由此可证得结论；

（2）令，当和时，可通过反例确定不符合题意；当时，由可放缩得到；令，则可得到，可分别在和两种情况下，结合的正负确定的单调性，从而得到，由此可得的取值范围.

【小问1详解】

当时，，则，

，，在处的切线为：，

即；

令，则，令，解得：；

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，，

，即；

【小问2详解】

令，则；

①当时，，不合题意；

②当时，，不合题意；

③当时，由（1）知：，（当且仅当时取等号），

，

令，则，，

则，

⑴当时，，在上单调递增，

；

⑵当时，在上单调递减，在上单调递增，

；

综上所述：若，则的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数证明不等式、由不等式恒成立求解参数范围的问题；求解参数范围的关键是能够通过放缩的方式将恒成立的不等式转化为的最小值的问题.