初中数学人教版七年级下册5.3.2 命题、定理、证明学案设计

5.3.2命题、定理、证明（知识讲解）

【学习目标】

1、掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；

2、掌握定理的定义，理解定理与真命题的关系，能写出一个定理的逆命题，并判断是否为真命题；

3、理解并掌握证明的基本推理过程。

【要点梳理】

1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
特别说明：

（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.

（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”

（3）真命题与假命题：

  真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.

假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.

2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.

3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.

特别说明：

（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.

（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．

【典型例题】

类型一、判断是否为命题 

1．下列语句哪些是命题，哪些不是命题？

（1）作，（ ）      （2）两个锐角互余．（    ）

（3）直线a与b有可能垂直．（ ）      （4）作射线．（    ）

（5）作直线．（ ）      （6）整数一定是有理数．（    ）

【答案】（1）不是，（2）是，（3）不是，（4）不是，（5）不是，（6）是

【分析】判断一件事情的语句叫命题，根据定义解答．

解：（1）作 ，不是命题；故答案为：不是．（2）两个锐角互余，是命题；故答案为：是．（3）直线a与b有可能垂直，不是命题；故答案为：不是． （4）作射线 ，不是命题；故答案为：不是．（5）作直线 ，不是命题； 故答案为：不是． （6）整数一定是有理数，是命题；故答案为：是．

【点拨】此题考查命题的定义，熟记定义是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 下列语句中，命题有_______个．

①对顶角相等；②内错角相等；③∠1＞∠2吗？④若a∥b，b∥c，则a∥c；⑤两点确定一条直线．

【答案】4．

【分析】直接利用判断一件事情的语句，叫做命题，分别判断得出答案．

解：①对顶角相等，是命题，符合题意；

②内错角相等，是命题，符合题意；

③∠1＞∠2吗？不是命题，不符合题意；

④若a∥b，b∥c，则a∥c，是命题，符合题意；

⑤两点确定一条直线，是命题，符合题意．

故答案为：4．

【点拨】本题考查了命题的定义，数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题．

【变式2】下列语句：

①今天上午第几节课是数学课？

②取线段的中点．

③如果，那么．

④这两条直线平行吗？

⑤凡是直角都相等．

其中______是命题．（填序号）

【答案】③⑤

【分析】直接根据命题的定义对这五个语句判断即可得到答案．

解：①今天上午第几节课是数学课？这是疑问句，不是陈述句，因此它不是命题；

②取线段的中点．这是陈述句，但这只是描叙性语言，没有判断，因此它不是命题；

③如果，那么．这符合命题的“如果……那么……”形式，因此它是命题；

④这两条直线平行吗？这是疑问句，不是陈述句，因此它不是命题；

⑤凡是直角都相等．这是陈述句，并且有判断，因此它是命题．

故答案为：③⑤

【点拨】本题考查了命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题．理解掌握命题的定义是解题的关键．

类型二、判断真假命题 

2．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．

（1）两个锐角的和是锐角；

（2）邻补角是互补的角；

（3）同旁内角互补．

【答案】（1）是假命题，见解析；（2）是真命题；（3）是假命题，见解析

【分析】

（1）锐角之和可以为钝角；

（2）根据邻补角定义“另一边互为反向延长线的角叫做邻补角”进行解答即可判断；

（3）根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补进行解答即可判断．

解：（1）两个锐角的和是锐角，假命题．反例为：与的和为；

（2）邻补角是互补的角，真命题．理由：根据邻补角的定义“互为邻补角的两个角之和为平角”，即互补；

（3）同旁内角互补，假命题．反例为：任意一个三角形的两个内角都是相对于它们所夹边的同旁内角，但它们之和小于，故不互补．

【点拨】本题考查了真假命题，解题的关键是要正确的判断出命题的真假．

举一反三：

【变式1】 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假，填入题前括号内．

（    ）（1）两点确定一条直线．

（    ）（2）等角的补角相等．

（    ）（3）内铺角相等．

（    ）（4）平行于同一直线的两条直线互相平行．

（    ）（5）直角都相等．

（    ）（6）对顶角的平分线成一条直线．

（    ）（7）两边分别平行的两个角相等．

【答案】（1）如果有两个点，那么可以确定一条直线，真命题；（2）如果两个角相等，那么它们的补角相等，真命题；（3）如果两个角是内错角，那么这两个角相等，假命题；（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行，真命题；（5）如果两个角都是直角，那么它们相等，真命题；（6）如果两个角是对顶角，那么它们的平分线成一条直线，真命题；（7）如果两个角的两边分别平行，那么它们相等，假命题．

【分析】先把命题改成“如果……那么……”的形式，然后判断其真假即可得到答案．

解：（1）如果有两个点，那么可以确定一条直线，真命题；

（2）如果两个角相等，那么它们的补角相等，真命题；

（3）如果两个角是内错角，那么这两个角相等，假命题；

（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行，真命题；

（5）如果两个角都是直角，那么它们相等，真命题；

（6）如果两个角是对顶角，那么它们的平分线成一条直线，真命题；

（7）如果两个角的两边分别平行，那么它们相等，假命题．

【点拨】本题主要考查了命题的真假，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

【变式2】下列命题是真命题还是假命题？说明理由．

（1）一个数的平方大于原数；

（2）如果，那么．

【答案】（1）假命题，理由见解析；（2）真命题，理由见解析

【分析】（1）举反例解答即可；（2）根据等式的性质解答即可．

解：（1）假命题，理由：若一个数为，则，，所以该命题是假命题；

（2）真命题，理由：因为，根据等式的基本性质可得，所以该命题是真命题．

【点拨】本题考查了命题与定理之真假命题，掌握举反例的方法是判断（1）的关键，掌握等式的性质是判断（2）的关键．

类型三、写出命题的题设和结论 

3．对于命题“相等的角是直角”，解决下列问题．

（1）指出命题的条件和结论，并改写成“如果…那么…”的形式；

（2）判断此命题是真命题还是假命题．

【答案】（1）见解析；（2）假命题．

【分析】

（1）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论解答；

（2）根据有关性质与定理，对命题的真假进行判断，如果是假命题，再举出反例即可．

解：（1）对于命题“相等的角是直角”，

条件是：相等的两个角；结论是：都是直角；

改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角相等，那么它们是直角；

（2）命题“相等的角是直角”，是假命题．

例如：当∠1=∠2=30°时，满足相等的角，但∠1和∠2不是直角，故原命题是假命题．

【点拨】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理、论证得到的真命题称为定理．

举一反三：

【变式1】 下列命题的条件是什么？结论是什么？并指出真假．

（1）两条直线相交，只有一个交点；

（2）相等的角是对顶角；

（3）直角三角形的两个锐角互余．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

【分析】根据命题的组成，把命题写成“如果……那么……”形式，“如果”后面的是条件，“那么”后面的是结论，就可以得到命题的条件和结论，再根据语句相关知识判断命题的真假．

解：（1）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点，

条件：两条直线相交，结论：它们只有一个交点

这是真命题．

（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，

条件：两个角相等，结论：这两个角是对顶角，

这是假命题．

（3）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余，

条件：一个三角形是直角三角形，结论：它的两个锐角互余，

这是真命题．

【点拨】本题考查了命题与定理的知识点，把命题写成“如果……那么……”形式，“如果”后面的是条件，“那么”后面的是结论，熟练掌握命题的相关知识是解题的关键．

【变式2】把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的条件是什么？结论是什么？

（1）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

（2）对顶角相等．

【分析】根据语句先找出命题的组成部分题设和结论，再把题设和结论放进“如果……那么……”形式即可得出答案．

【详解】

（1）如果一个四边形的对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形．

条件：一个四边形的对角线互相垂直平分且相等，结论：这个四边形是正方形．

（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．

条件：两个角是对顶角，结论：这两个角相等．

【点拨】本题考查了命题与定理的知识点，把命题写成“如果……那么……”形式，“如果”后面的是条件，“那么”后面的是结论，熟练掌握这些知识点是解题的关键．

类型四、写出一个命题的已知、求证、证明过程 

4．命题证明.求证：等腰三角形两底角的角平分线相等．

已知：________________

求证：___________________

证明：____________________．

【答案】见解析

【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，求出，利用全等三角形的判定，证明,由全等三角形的性质即可证明．

已知：在中，，、分别是和的角平分线，

求证：.

证明：,

,

、分别是和的角平分线,

,

,

在和中

，

，

即等腰三角形两底角的角平分线相等．

【点拨】考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质和判定定理是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③.请将其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论构成一个真命题，然后写出证明过程.

【分析】假设 ②∠BAC＝∠DAC；③AB＝AD，证明：①BC＝DC结论正确，我们可以先求证两个三角形全等，然后即可得出结论．

条件：②，③；结论：①.

证明：在和中，，

所以，所以.（答案不唯一）

【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质这一知识点，此题的关键是明确题设和结论的含义，然后问题可解．

【变式2】求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半

（1）在图中按照下面“已知”的要求，画出符合题意的图形，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“己知”和“求证”．

已知：在锐角中，，______

求证：______

（2）证明上述命题

【答案】（1 ）BD⊥AC于点D，∠DBC＝∠A；（2）见解析

【分析】

（1）先根据命题内容确定命题的题设和结论，画出符合条件的图形，并写出已知，根据结论写出求证内容；

（2）根据等腰三角形的性质，可得出底角与顶角的数量关系，再由内角和定理证明出结论．

（1）解：已知：如图，在锐角△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D．

求证：∠DBC＝∠A．

故答案为：BD⊥AC于点D，∠DBC＝∠A．

（2）证明：∵AB＝AC，

∴ ∠ABC＝∠C．

∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，

∴2∠C＝180°－∠A．

即∠C＝（180°－∠A）．

∵BD⊥AC，

∴∠DBC＋∠C＝90°．

∴∠DBC＝90°－∠C＝90°－（180°－∠A）＝∠A．

即等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．

【点拨】本题考查了命题与证明，掌握命题的证明方法和基本步骤，并结合题设和结论画出符合条件的图形是解题的关键．

类型五、写出一个命题逆命题题 

5．说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：

（1）四边形是多边形；

（2）两直线平行，同旁内角互补；

（3）如果，那么．

【答案】（1）多边形是四边形，真，假；（2）同旁内角互补，两直线平行，真，真；（3）如果a=0，b=0，则ab=0，假，真．

【分析】

（1）交换命题的题设与结论得到原命题的逆命题，根据四边形与多边形的定义判断两命题的真假；

（2）交换命题的题设与结论得到原命题的逆命题，根据平行线的性质和判定方法判断两命题的真假；

（3）交换命题的题设与结论得到原命题的逆命题，根据有理数的性质判断两命题的真假．

解：（1）四边形是多边形为真命题，其逆命题为多边形是四边形，此逆命题为假命题；

（2）两直线平行，同旁内角互补为真命题，其逆命题为同旁内角互补，两直线平行，此逆命题为真命题；

（3）如果ab=0，那么a=0，b=0为假命题，其逆命题为如果a=0，b=0，则ab=0，此逆命题为真命题．

【点拨】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

举一反三：

【变式1】 写出下列命题的逆命题，并指出原命题与逆命题的真假性．

（1）如果，那么；

（2）如果，那么．

（3）如果两个角的两边互相平行，那么这两个角一定相等．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【详解】要写出一个命题的逆命题，关键是找出已知命题的条件和结论，然后把已知命题的条件和结论互换过来得到新命题即可．如（1）的条件是：，结论是：，则它的逆命题的条件是：；结论是：，即逆命题是：如果，那么．

解：（1）逆命题：如果，那么；原命题是假命题，逆命题是真命题；

（2）逆命题：如果，那么；原命题是真命题，逆命题是假命题；

（3）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角的两边互相平行；原命题和逆命题都是假命题．

易错：解：（1）逆命题：如果，那么；原命题和逆命题均为假命题．

错因：误认为假命题的逆命题也是假命题．

满分备考：命题的“真”“假”是就命题的内容而言的．任何一个命题非真即假．要判断一个命题是真命题，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

【变式2】根据命题“两直线平行，内错角相等”，解决下列问题：

（1）写出逆命题；

（2）判断逆命题是真命题还是假命题；

（3）根据逆命题画出图形，写出已知、求证．

【答案】（1）逆命题：内错角相等，两直线平行；（2）是真命题；（3）见解析

【分析】（1）把命题的题设和结论交换即可；（2）根据平行线的判定方法解答；
（3）把文字叙述转化为图形写出已知求证即可．解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行；

（2）是真命题；

（3）已知：如图，，

求证：．

【点拨】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

类型六、定理与证明 

6．请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，并进行证明：

【答案】见解析.

【分析】先写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，再根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形的内角和定理得出，代入即可求出，即，即可推出答案．

逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

已知，如图，中，D是AB边的中点，且，

求证：是直角三角形

证明：是AB边的中点，且，

，

，

，

，

，

又，

，

，

，

是直角三角形．

【点拨】此题考查的是命题与定理，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和定理的运用是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 （1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．求证：；

（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．

【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．

【分析】

（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论；

（2）利用了平行线的判定与性质定理求解．

（1）证明：∵∠B＋∠1＝180°，

∴AB∥CD，

∵∠2＝∠3，

∴CD∥EF，

∴AB∥EF，

∴∠B＋∠F＝180°；

（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．

【点拨】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

【变式2】如图，，，，求证：．

【分析】由得到，然后根据SAS，得到，然后得到结论成立.

证明：∵（已知），

∴（等式的性质），

即．

在和中，

∴．

∴（全等三角形的对应边相等）．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是得到.

类型七、反证法 

7．用反证法证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角．

【答案】见解析

【分析】用反证法进行证明；先假设原结论不成立，经过推导得出与三角形内角和定理相矛盾，从而得出原结论成立．

解：（1）假设△ABC中只有一个角是锐角，不妨设∠A＜90°，∠B≥90°，∠C≥90°；

于是，∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；

（2）假设△ABC中没 有一个角是锐角，不妨设∠A≥90°，∠B≥90°，∠C≥90°；

于是，∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾.

所以假设不成立，则原结论是正确的

【点拨】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：

（1）假设结论不成立；

（2）从假设出发推出矛盾；

（3）假设不成立，则结论成立．

在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

举一反三：

【变式1】 如图，在△ABC中，∠B≠∠C.求证：AB≠AC.

试题分析：首先假设AB=AC，从而得出与已知条件矛盾，从而得出答案．

解：假设AB=AC， 则∠B=∠C，∴与已知矛盾，∴AB≠AC．

【变式2】用反证法证明：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么这两条边所对的角也不相等.

解：已知：如图，在△ABC中，，

求证：∠∠.

证明：假设∠∠C，那么根据“等角对等边”可得，

但已知条件是，矛盾，因此∠∠.