初中数学浙教版八年级下册4.2 平行四边形背景图课件ppt

新知讲解

提炼概念

证明命题：平行四边形的对角线互相平分

已知：如图，在 ▱ABCD  中，对角线AC，BD相交于点O.

求证: OA=OC,OB=OD.

证明∵AD∥BC(平行四边形的定义

∴∠1=∠2, ∠3=∠4 .

又∵AD=BC(平行四边形的对边相等).

∴⊿AOD≌⊿COB（ASA）

∴OA=OC,OB=OD.

性质：平行四边形的对角线互相平分

几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形

∴ OA＝OC，OB＝OD．（平行四边形的对角线互相平分）

或在▱ABCD中，

OA＝OC，OB＝OD．（平行四边形的对角线互相平分）

或AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO

典例精讲

例3  如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O.过点O作直线EF，分别交AB，CD于点E，F.

求证：OE＝OF.

证明：如图，在□ABCD中，

AB∥CD(平行四边形的定义)，

∴∠1＝∠2，

又∵OA＝OC (平行四边形的对角线互相平分)，∠3＝∠4

∴△AOE≌△COF.

∴OE＝OF.

思考：请判断下列图中，OE=OF还成立么？

过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分。

想一想

有一块平行四边形的草地，学校想在中间留一条小路，把它分成面积相等的两块，请你来想想，可以怎样分？有多少种分法？

有无数种分法，分割线只要过对角线的交点

例4  如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点E，AC⊥BC.若AC＝4，AB＝5，求BD的长.

解：∵ AC⊥BC∴BC2=AB2-AC2=25=16=9（勾股定理）

∴ BC=3

∵ 四边形ABCD是平行四边形

∴CE=AC=2，BD=2BE

（平行四边形对角线互相平分）

BD=2BE=

课堂练习

巩固训练

1.已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，AB的长为5，则△AOB的周长为________．

【解析】 ∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，∴AO＝3，BO＝4.AB=5，

∴△AOB的周长12。

2.四边形ABCD是平行四边形，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求BC，CD，AC，OA的长以及▱ABCD的面积．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10，

∵AC⊥BC，

∴AC＝＝＝6，

∴OA＝3，

S▱ABCD＝BC·AC＝8×6＝48.

3.已知▱ABCD和▱EBFD的顶点A，E，F，C在一条直线上．

  求证：AE＝CF.

证明：如答图，连结BD，交AC于点O.

∵四边形ABCD和四边形EBFD是平行四边形，

∴AO＝CO，EO＝FO，

∴AO－EO＝CO－FO，即AE＝CF.

课堂小结

注意：对角线间的关系是平行四边形中很重要的关系，解涉及到线段平分的问题时，通常可通过此性质求解．