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中考数学总复习 03第三章 变量与函数 PPT课件（福建专用）
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这是一份中考数学总复习 03第三章 变量与函数 PPT课件（福建专用），文件包含§33反比例函数ppt、§32一次函数ppt、§34二次函数ppt、§31位置与变量之间的关系ppt等4份课件配套教学资源，其中PPT共235页， 欢迎下载使用。
中考数学 （福建专用）
§3.4 二次函数
2016—2020年全国中考题组
考点一 二次函数的概念
1.(2020广东,7,3分)把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数解析式为 ( )A.y=x2+2 B.y=(x-1)2+1C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-1)2+3
答案 C 根据抛物线的平移规律,知把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数 解析式为y=[(x-1)-1]2+2=(x-2)2+2,故选C.
解题关键 本题考查二次函数图象的平移,解答的关键在于熟练掌握抛物线的平移规律“左加右减、 上加下减”.
2.(2018山西,9,3分)用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为( )A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
3.(2016南平,14,4分)写出一个y关于x的二次函数的解析式,且它的图象的顶点在y轴上: .
答案 y=x2(答案不唯一)
解析 根据二次函数的图象的顶点在y轴上,可得解析式的一次项系数为0,进而得出答案.
4.(2019湖北武汉,15,3分)抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b- bx的解是 .
答案 x1=-2,x2=5
考点二 二次函数的图象与性质
1.(2020福建,10,4分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax2-2ax上的点,下列命题正确的是 ( )A.若|x1-1|>|x2-1|,则y1>y2B.若|x1-1|>|x2-1|,则y1答案 C 由二次函数y=ax2-2ax可知函数图象过(0,0)点,对称轴为直线x=1,因为a的值不确定,所以需分 类讨论.当a>0时,如图所示: 若|x1-1|>|x2-1|,则x1到1的距离大于x2到1的距离.由图知y1>y2,若|x1-1|<|x2-1|,则x1到1的距离小于x2到1的距离.由图知y1 若|x1-1|>|x2-1|,则x1到1的距离大于x2到1的距离.由图知y1y2.综上所述,A、B不正确.由图可知,D不正确.若|x1-1|=|x2-1|,则x1,x2到1的距离相等,所以y1=y2,故选C.
方法指导 解决二次函数中a不确定的问题时,一定要分a>0和a<0两种情况讨论,并且能结合图象分析 题意.(画草图时,需画出开口方向,对称轴等)
2.(2020河北,15,2分)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的 说法如下,甲:若b=5,则点P的个数为0;乙:若b=4,则点P的个数为1;丙:若b=3,则点P的个数为1.下列判断正确的是 ( ) A.乙错,丙对 B.甲和乙都错C.乙对,丙错 D.甲错,丙对
答案 C y=x(4-x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,抛物线的顶点坐标为(2,4),若b=5,则点P的个数为0,甲正确;若b=4,则 点P的个数为1(只能是顶点),乙正确;若b=3,根据二次函数图象的对称性,可知点P的个数为2,丙错误,故选 C.
解题关键 从抛物线的对称性入手,结合图象探究直线y=b与抛物线的交点情况是解题关键.
3.(2020浙江杭州,10,3分)在平面直角坐标系中,已知函数y1=x2+ax+1,y2=x2+bx+2,y3=x2+cx+4,其中a,b,c是正 实数,且满足b2=ac.设函数y1,y2,y3的图象与x轴的交点个数分别为M1,M2,M3, ( )A.若M1=2,M2=2,则M3=0 B.若M1=1,M2=0,则M3=0C.若M1=0,M2=2,则M3=0 D.若M1=0,M2=0,则M3=0
答案 B 令y1=0,y2=0,y3=0,它们的判别式分别为Δ1,Δ2,Δ3,则Δ1=a2-4,Δ2=b2-8,Δ3=c2-16.∵b2=ac,∴c= ,c2= (a,b,c为正实数).A.若M1=2,M2=2,则Δ1=a2-4>0,Δ2=b2-8>0,∴a2>4,b4>64,∴c2= 与16无法比较大小,∴无法判断Δ3=c2-16与0的大小,故A错误.B.若M1=1,M2=0,则Δ1=a2-4=0,Δ2=b2-8<0,∴a2=4,00,
∴064,∴c2= >16,∴Δ3=c2-16>0,∴M3=2,故C错误.D.若M1=0,M2=0,则Δ1=a2-4<0,Δ2=b2-8<0,∴0方法规律 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系:(1)b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根,函数图象与x轴有两个交点;(2)b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根,函数图象与x轴有一个交点;(3)b2-4ac<0时,方程没有实数根,函数图象与x轴无交点.这些结论反过来也成立.
4.(2019福建,10,4分)若二次函数y=|a|x2-bx+c的图象过不同的五点A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D( ,y2),E(2,y3),则y1,y2,y3的大小关系是 ( )A.y1思路分析 由|a|>0,确定抛物线的开口方向.观察点的坐标可知A和C两点的纵坐标相同,说明点A与点C 关于对称轴对称,由此得到对称轴为直线x= = .根据抛物线的开口方向及对称轴画出大致图象,由图象比较大小.
5.(2016福州,11,3分)已知点A(-1,m),B(1,m),C(2,m+1)在同一个函数图象上,这个函数图象可以是 ( )
答案 C ∵点A(-1,m),B(1,m),∴点A与B关于y轴对称,故A,B错误;∵B(1,m),C(2,m+1),m+1>m,∴C正确,D错误.故选C.
6.(2019河南,8,3分)已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为 ( )A.-2 B.-4 C.2 D.4
7.(2019天津,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
且当x=- 时,与其对应的函数值y>0.有下列结论:①abc>0;②-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根;③0答案 C 由题表可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(0,-2),(1,-2),∴对称轴为直线x= = ,c=-2,由题意可知,a>0,b<0,c<0,∴abc>0,∴①正确.根据二次函数的对称性可知(-2,t)关于对称轴x= 的对称点为(3,t),即-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根,∴②正确.∵对称轴为直线x= ,∴- = ,∴b=-a,∵当x=- 时,y>0,∴ a- b-2>0,即 a+ a-2>0,∴a> .∵对称轴为直线x= ,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,m),(2,n),∴m=n,当x=-1时,m=a-b+c=a+a-2=2a-2,∴m+n=4a-4,∵a> ,∴4a-4> ,∴③错误.故选C.
方法指导 本题考查了抛物线与y轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标 特征以及二次函数的性质,逐一分析三个结论的正误是解题的关键.
8.(2019黑龙江齐齐哈尔,10,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(-3,0),其对称轴为直线x=- ,结合图象分析下列结论: ①abc>0;②3a+c>0;③当x<0时,y随x的增大而增大;④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=- ,x2= ;⑤ <0;⑥若m,n(m2.其中正确的结论有 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
答案 C ∵抛物线开口向下,∴a<0,∵对称轴为直线x=- ,∴- =- ,∴b=a<0,∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0,∴abc>0,∴①正确.∵抛物线经过点(-3,0),∴9a-3b+c=0,又∵b=a,∴c=-6a,∴3a+c=3a-6a=-3a>0,∴②正确.
∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=- ,∴当x<- 时,y随x的增大而增大,当x>- 时,y随x的增大而减小,∴③错误.∵b=a,c=-6a,∴一元二次方程cx2+bx+a=0可化为一元二次方程-6ax2+ax+a=0,即6x2-x-1=0,解得x1=- ,x2= ,∴④正确.∵抛物线与x轴有2个交点,∴b2-4ac>0,∴ <0,∴⑤正确.
∵点(-3,0)关于直线x=- 的对称点为(2,0),∴y=a(x+3)(x-2),∴方程a(x+3)(x-2)+3=0的两根即为直线y=-3与抛物线交点的横坐标,结合题图可知m<-3,n>2,∴⑥正确.故选C.
解后反思 本题考查了二次函数图象与系数的关系,解题的关键是利用数形结合的思想将二次函数解 析式与函数图象结合在一起.二次函数图象的开口方向,对称轴方程,与x轴、y轴的交点坐标以及顶点坐 标等都是解题的突破口.
9.(2018湖北黄冈,6,3分)当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为 ( )A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2
答案 D y=x2-2x+1=(x-1)2,当a≥1时,函数y=x2-2x+1在a≤x≤a+1内,y随x的增大而增大,其最小值为a2-2a +1,则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+1≤1,即a≤0时,函数y=x2-2x+1在a≤x≤a+1内,y随x的增大而 减小,其最小值为(a+1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a=-1或a=1(舍去);当010.(2017江西,22,9分)已知抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a>0).(1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴;(2)①试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标;②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式;(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值. 备用图
考点三 二次函数综合
1.(2020山西,9,3分)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2 +v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地 面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为 ( )A.23.5 m B.22.5 m C.21.5 m D.20.5 m
2.(2020陕西,10,3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位,则平移 后得到的抛物线的顶点一定在 ( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
A.y= x2 B.y=- x2 C.y= x2 D.y=- x2
3.(2019山西,9,3分)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛 物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛 物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点.拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78 米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系.则 此抛物线型钢拱的函数表达式为 ( ) 图1 图2
答案 B 设抛物线型钢拱的函数表达式为y=ax2,将B(45,-78)代入得-78=a·452,∴a=- ,∴抛物线型钢拱的函数表达式为y=- x2,故选B.
思路分析 根据题意先确定点B的坐标,然后利用待定系数法求出函数表达式.
方法指导 用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤如下:步骤一:设出含待定系数的函数表达式;步骤二:把已知条件(自变量x与函数的对应值y)代入表达式,得到 关于待定系数的方程或方程组;步骤三:解方程或方程组,求出待定系数;步骤四:将求得的待定系数的值 代入所设表达式,写出表达式.
4.(2018北京,7,2分)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线 的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠ 0).下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后 飞行到最高点时,水平距离为 ( ) A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m
答案 B 由题图中给出的点可知,抛物线的最高点的横坐标在0到20之间.若最高点的横坐标为10,由对 称性可知,(0,54.0)关于对称轴的对称点为(20,54.0),而54.0<57.9,所以最高点的横坐标大于10.故选B.
5.(2018湖北武汉,15,3分)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t- t2.在飞机着陆滑行中,最后4 s滑行的距离是 m.
答案 24
6.(2020福建,25,14分)已知直线l1:y=-2x+10交y轴于点A,交x轴于点B,二次函数的图象过A,B两点,交x轴于 另一点C,BC=4,且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),当x1>x2≥5时,总有y1>y2.(1)求二次函数的表达式;(2)若直线l2:y=mx+n(n≠10),求证:当m=-2时,l2∥l1;(3)E为线段BC上不与端点重合的点,直线l3:y=-2x+q过点C且交直线AE于点F,求△ABE与△CEF面积之和 的最小值.
解析 本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知 识,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识,考查函数与方程思想、数形结合思 想、化归与转化思想及分类与整合思想.(1)对于l1:y=-2x+10,当x=0时,y=10,所以A(0,10);当y=0时,-2x+10=0,x=5,所以B(5,0).又因为BC=4,所以C(9,0)或C(1,0),若抛物线过C(9,0),则当53时,必有y随x的增大而增大,符合题意.故可设二次函数的表达式为y=ax2+bx+10(a≠0),依题意,二次函数的图象过B(5,0),C(1,0)两点,所以 解得
所以二次函数的表达式为y=2x2-12x+10.(2)证明:当m=-2时,直线l2:y=-2x+n(n≠10)与直线l1:y=-2x+10不重合,假设l1和l2不平行,则l1和l2必相交,设交点为P(x0,y0),由 得-2x0+10=-2x0+n,解得n=10,与已知n≠10矛盾,所以l1与l2不相交,所以l2∥l1.(3)如图,因为直线l3:y=-2x+q过C(1,0),所以q=2,
又因为直线l1:y=-2x+10,所以l3∥l1,即CF∥AB,所以∠FCE=∠ABE,∠CFE=∠BAE,所以△FCE∽△ABE,所以 = ,设BE=t(0一题多解 (2)设直线l2:y=-2x+n与x轴交于M,与y轴交于N,∴M ,N(0,n).∴tan∠OMN= = =2.∵tan∠OBA= = =2,∴tan∠OMN=tan∠OBA,∴∠OMN=∠OBA,∴MN∥BA,∴l1∥l2.
疑难突破 (1)求抛物线的表达式,可利用待定系数法列方程组解答,本题点A、B的坐标很容易就可以求 得,点C的坐标要通过所给的条件进行判断.(2)证明两条直线平行的方法:①利用反证法;②通过证同位角相等,进而得到两直线平行.(3)先根据题意设BE=t,用含t的式子表示出所求三角形的面积,可用配方法求面积和的最小值.
7.(2020广东广州,25,14分)平面直角坐标系xOy中,抛物线G:y=ax2+bx+c(0解析 (1)将A(1,c-5a)代入y=ax2+bx+c,得c-5a=a+b+c,∴b=-6a.(2)设点E的坐标为(xE,3).若x1 若x1>x2,即C在B的左侧,则BE=x1-xE,CE=xE-x2,此时S1= (x1-xE),S2= (xE-x2),∴ (x1-xE)= (xE-x2)+ ,∴xE= = ,∴E .
(3)∵y=ax2+bx+c=ax2-6ax+c=a(x-3)2+c-9a,∴D(3,c-9a).把xF= +3代入y=a(x-3)2+c-9a,得yF= +c-9a,∴F .∵F点在D点右侧,∴E .分别过点E,F作y轴的平行线,过点D作x轴的平行线,依次交于点H,K,则tan∠FDK=tan∠EDH,
∴ = ,即 = ,化简得c-9a=0.∴抛物线的解析式为y=a(x-3)2.当1思路分析 (1)将点A的坐标代入抛物线G的解析式中化简即可.(2)由于题目没有明确点B、C之间的位置关系,故应对点B、C之间的位置关系进行分类讨论.设点E的坐 标为(xE,3),当x1x2时,同理可得点E的坐标.(3)由抛物线的解析式得点D的坐标为(3,c-9a),将点F的横坐标代入解析式得点F的坐标为 .依据tan∠FDK=tan∠EDH可得方程 = ,化简得c-9a=0,从而进一步求出y=ax2+bx+c在18.(2018福建,23,10分)如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个 矩形菜园ABCD,其中AD≤MN.已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
解析 (1)设AD的长为x米,则AB的长为 米.依题意,得 =450.解得x1=10,x2=90.因为a=20,x≤a,所以x=90不合题意,舍去.故所利用旧墙AD的长为10米.(2)设AD的长为x米,0当0解后反思 本题考查一元二次方程、二次函数等基础知识,考查运算能力、推理能力、应用意识、创 新意识,考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想.
9.(2018湖北黄冈,23,9分)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品,经分析发现月销售量y(万件) 与月份x(月)的关系式为y= 每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表:
(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式;(2)若月利润w(万元)=当月销售量y(元件)×当月每件产品的利润z(元),求月利润w(万元)与月份x(月)的关 系式;(3)当x为何值时,月利润w有最大值?最大值为多少?
解析 (1)根据表格可知,当1≤x≤10且x为整数时,z=-x+20;当11≤x≤12且x为整数时,z=10.∴z与x的关系式为z= 或z= (2)当1≤x≤8且x为整数时,w=(-x+20)(x+4)=-x2+16x+80;当9≤x≤10且x为整数时,w=(-x+20)(-x+20)=x2-40x+400;当11≤x≤12且x为整数时,w=10(-x+20)=-10x+200,∴w与x的关系式为w=
(3)当1≤x≤8且x为整数时,w=-x2+16x+80=-(x-8)2+144,∴当x=8时,w有最大值,为144;当9≤x≤10且x为整数时,w=x2-40x+400=(x-20)2,∴当x=9时,w有最大值,为121;当11≤x≤12且x为整数时,w=-10x+200,∴当x=11时,w有最大值,为90.∵90<121<144,∴x=8时,w有最大值,为144.(或当1≤x≤8且x为整数时,w有最大值144;当x=9时,w=121;当x=10时,w=100;当x=11时,w=90;当x=12时,w =80)
10.(2019福建,25,14分)已知抛物线y=ax2+bx+c(b<0)与x轴只有一个公共点.(1)若抛物线与x轴的公共点坐标为(2,0),求a,c满足的关系式;(2)设A为抛物线上的一个定点,直线l:y=kx+1-k与抛物线交于点B,C,直线BD垂直于直线y=-1,垂足为D.当k =0时,直线l与抛物线的一个交点在y轴上,且△ABC是等腰直角三角形.①求点A的坐标和抛物线的解析式;②证明:对于每个给定的实数k,都有A,C,D三点共线.
解析 (1)依题意, Δ=b2-4ac=0,- =2,所以(-4a)2-4ac=0,因为a≠0,所以c=4a,即a,c满足的关系式为c=4a.(2)①当k=0时,直线l为y=1,它与y轴的交点为(0,1).因为直线y=1与x轴平行,所以等腰直角△ABC的直角顶点只能是A,且A是抛物线的顶点.过A作AM⊥BC,垂足为M,则AM=1,所以BM=MC=AM=1,故点A的坐标为(1,0).所以抛物线的解析式可改写为y=a(x-1)2.因为抛物线过点(0,1),所以1=a(0-1)2,解得a=1.所以抛物线的解析式为y=(x-1)2,即y=x2-2x+1.②证明:设B(x1,y1),C(x2,y2),则D(x1,-1).由 得x2-(k+2)x+k=0.Δ=(k+2)2-4k=k2+4>0,
由抛物线的对称性,不妨设x1所以直线AD的解析式为y=- x+ .因为y2- =(x2-1)2+ = = =0,即y2=- x2+ ,所以点C(x2,y2)在直线AD上.故对于每个给定的实数k,都有A,C,D三点共线.
11.(2018福建,25,14分)已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2).(1)若点(- ,0)也在该抛物线上,求a,b满足的关系式;(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x10;当0解析 (1)因为抛物线过点A(0,2),所以c=2.又因为点(- ,0)也在抛物线上,所以a(- )2+b(- )+c=0.即2a- b+2=0(a≠0).(2)①x10,得y1-y2<0,即当x<0时,y随x的增大而增大;同理可得,当x>0时,y随x的增大而减小.所以抛物线的对称轴为y轴且开口向下,则b=0.因为以O为圆心,OA为半径的圆与抛物线交于另两点B,C,所以△ABC是等腰三角形,又因为△ABC有一 个内角为60°,故△ABC为等边三角形.设线段BC与y轴的交点为D,则BD=CD,且∠OCD=30°,又因为OC=OA=2,所以CD=OC·cos 30°= ,OD=OC·sin 30°=1.不妨设C在y轴右侧,则点C坐标为( ,-1).
因为点C在抛物线上,且c=2,b=0,所以3a+2=-1,解得a=-1.所以所求抛物线的解析式为y=-x2+2. ②证明:设点M的坐标为(x1,- +2),点N的坐标为(x2,- +2).直线OM的解析式为y=k1x,因为O,M,N三点共线,所以x1≠0,x2≠0,且 = ,
即-x1+ =-x2+ ,化为x1-x2=- ,由x1≠x2,得x1x2=-2,即x2=- ,所以点N的坐标为 ,设点N关于y轴的对称点为点N',则点N'的坐标为 .因为点P与点O关于点A对称,所以OP=2OA=4,即点P坐标为(0,4).设直线PM的解析式为y=k2x+4,因为点M的坐标为(x1,- +2),所以- +2=k2x1+4,
则k2=- ,即直线PM的解析式为y=- x+4.因为- · +4= =- +2,即点N'在直线PM上,所以PA平分∠MPN.
解后反思 本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、圆的性质、等边三角形的判定与性质、解直 角三角形、角平分线的判定等基础知识,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识, 考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.
12.(2017福建,25,14分)已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),且a解析 (1)因为抛物线过点M(1,0),所以a+a+b=0,即b=-2a.所以y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a - ,所以抛物线顶点Q的坐标为 .(2)因为直线y=2x+m经过点M(1,0),所以0=2×1+m,解得m=-2.把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0,①所以Δ=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4,由(1)知b=-2a,又a0.所以Δ>0,所以方程①有两个不相等的实数根,故直线与抛物线有两个交点.(3)把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0,即x2+ x-2+ =0,
所以 = ,解得x1=1,x2= -2,所以点N .(i)根据勾股定理得,MN2= + = - +45=20 ,因为-1≤a≤- ,由反比例函数的性质知-2≤ ≤-1,所以 - <0,所以MN=2 =3 - ,所以5 ≤MN≤7 .(ii)作直线x=- 交直线y=2x-2于点E.
把x=- 代入y=2x-2得,y=-3,即E .又因为M(1,0),N ,且由(2)知a<0,所以△QMN的面积S=S△QEN+S△QEM= · · = - - .即27a2+(8S-54)a+24=0,②因为关于a的方程②有实数根,
所以Δ=(8S-54)2-4×27×24≥0,即(8S-54)2≥(36 )2,又因为a<0,所以S= - - > ,所以8S-54>0,所以8S-54≥36 ,即S≥ + ,当S= + 时,由方程②可得a=- 满足题意.故当a=- ,b= 时,△QMN面积的最小值为 + .
13.(2016三明,24,12分)如图,已知点A(0,2),B(2,2),C(-1,-2),抛物线F:y=x2-2mx+m2-2与直线x=-2交于点P.(1)当抛物线F经过点C时,求它的表达式;(2)设点P的纵坐标为yP,求yP的最小值,此时抛物线F上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1解析 (1)∵抛物线F经过点C(-1,-2),∴-2=1+2m+m2-2,∴m=-1.∴抛物线F的表达式是y=x2+2x-1.(2)当x=-2时,yP=4+4m+m2-2=(m+2)2-2,∴yP有最小值-2.此时抛物线F的表达式是y=(x+2)2-2.当x≤-2时,y随x的增大而减小.∵x1y2.(3)-2≤m≤0或2≤m≤4.详解:∵抛物线F与线段AB有公共点,点A(0,2),B(2,2),∴ 或
解得-2≤m≤0或2≤m≤4.
14.(2016南平,24,12分)已知抛物线y=ax2(a≠0)经过点A(4,4).(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,抛物线上存在点B,使得△AOB是以AO为直角边的直角三角形,请直接写出所有符合条件的点B 的坐标: ;(3)如图2,直线l经过点C(0,-1),且平行于x轴,若点D为抛物线上任意一点(原点O除外),直线DO交l于点E,过 点E作EF⊥l,交抛物线于点F,求证:直线DF一定经过点G(0,1).
解析 (1)∵抛物线y=ax2(a≠0)经过点A(4,4),∴16a=4,∴a= ,∴抛物线的解析式为y= x2.(2)(-4,4)或(-8,16).详解:∵△AOB是以AO为直角边的直角三角形,∴直角顶点是点O或点A,①当直角顶点是点O时,过点O作OB⊥OA,交抛物线于点B,∵点A(4,4),∴直线OA的解析式为y=x,∴直线OB的解析式为y=-x,由 得 或 ∴B(-4,4);②当直角顶点为点A时,过点A作AB⊥OA,由①得,直线OA的解析式为y=x,又∵A(4,4),∴直线AB的解析式 为y=-x+8,
由 得 或 ∴B(-8,16).∴满足条件的点B的坐标为(-4,4)或(-8,16).(3)证明:设点D ,∴直线DO的解析式为y= x,∵l∥x轴,C(0,-1),令y=-1,得x=- ,∴直线DO与l的交点E ,∵EF⊥l,l∥x轴,∴点F的横坐标为- ,∵点F在抛物线上,∴F .设直线DF的解析式为y=kx+b(k≠0),
∴ ∴ ∴直线DF的解析式为y= x+1,∵点G(0,1)满足直线DF的解析式,∴直线DF一定经过点G.
15.(2016福州,27,13分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,顶点为A(h,k)(h≠0).(1)当h=1,k=2时,求抛物线的解析式;(2)若抛物线y=tx2(t≠0)也经过A点,求a与t之间的关系式;(3)当点A在抛物线y=x2-x上,且-2≤h<1时,求a的取值范围.
解析 根据题意,抛物线的解析式可化为y=a(x-h)2+k(a≠0).(1)∵h=1,k=2,∴y=a(x-1)2+2,∵该抛物线经过原点,∴a+2=0,解得a=-2,∴y=-2(x-1)2+2,即y=-2x2+4x.(2)∵抛物线y=tx2(t≠0)经过点A(h,k),∴k=th2.∴y=a(x-h)2+k可化为y=a(x-h)2+th2.∵抛物线y=a(x-h)2+th2(a≠0)经过原点,∴ah2+th2=0.∵h≠0,∴a=-t.
(3)∵点A(h,k)在抛物线y=x2-x上,∴k=h2-h.∴y=a(x-h)2+k可化为y=a(x-h)2+h2-h.∵抛物线y=a(x-h)2+h2-h(a≠0)经过原点,∴ah2+h2-h=0.∵h≠0,∴a= -1.分两类讨论:①当-2≤h<0时,由反比例函数性质可知 ≤- ,∴a≤- ;②当01,∴a>0.综上所述,a的取值范围是a≤- 或a>0.
解后反思 本题考查二次函数等知识,解题的关键是会用参数解决问题,题目比较难,参数比较多,第(3) 问要注意分类讨论,属于中考压轴题.
16.(2016厦门,27,12分)已知抛物线y=-x2+bx+c与直线y=-4x+m相交于第一象限不同的两点:A(5,n),B(e,f).(1)若点B的坐标为(3,9),求此抛物线的解析式;(2)将此抛物线平移,设平移后的抛物线为y=-x2+px+q,过点A与点(1,2),且m-q=25.在平移过程中,若抛物线 y=-x2+bx+c向下平移了s(s>0)个单位长度,求s的取值范围.
解析 (1)将(3,9)代入y=-4x+m,得9=-12+m,解得m=21.故直线的解析式为y=-4x+21.将(5,n)代入y=-4x+21,得n=1.将A(5,1),B(3,9)分别代入y=-x2+bx+c,得b=4,c=6,故抛物线的解析式为y=-x2+4x+6.(2)将A(5,n)依次代入y=-x2+bx+c,y=-4x+m,将A(5,n),(1,2)分别代入y=-x2+px+q,得-25+5b+c=n,-20+m=n,-25+5p+q=n,-1+p+q=2.又m-q=25,解得m=22,n=2,p=6,q=-3,c=27-5b.∴直线的解析式为y=-4x+22,平移前抛物线的解析式为y=-x2+bx+27-5b,
平移后抛物线的解析式为y=-x2+6x-3.在平移过程中,抛物线向下平移了s个单位长度,又y=-x2+6x-3=-(x-3)2+6,y=-x2+bx+27-5b=- + ,∴s= -6= (b-10)2-4.当-x2+bx+27-5b=-4x+22时,可得x1=5,x2=b-1.∴B(b-1,-4b+26).∵A,B在第一象限且为不同的两点,∴b-1>0,-4b+26>0且b-1≠5.∴1∵ >0,∴当b<10时,s随b的增大而减小.∵10,∴017.(2019北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx- 与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P ,Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.
解析 (1)∵抛物线y=ax2+bx- 与y轴交于点A,∴点A的坐标为 .∵将点A向右平移2个单位长度,得到点B,∴点B的坐标为 .(2)∵点B 在抛物线上,∴4a+2b- =- ,即b=-2a.∴抛物线的对称轴为x=1.(3)点A ,B ,P .
当a>0时,- <0,如图1. 图1设抛物线上的点C .∵当x<1时,y随x的增大而减小,∴yC<- .
设抛物线上的点D(xD,2)(xD>1).∵当x>1时,y随x的增大而增大,∴xD>2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点.当a<0时,(i)当-2,如图2.图2
设抛物线上的点C .∵当x<1时,y随x的增大而增大,∴yC>- .令抛物线上的点D(xD,2)(xD>1).∵当x>1时,y随着x的增大而减小,∴xD>2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点.(ii)当a=- 时,A(0,2),B(2,2),P ,Q(2,2),如图3.
图3结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点Q(2,2).(iii)当a<- 时,0<- <2,如图4.
图4令抛物线上的点C .∵当x<1时,y随x的增大而增大,∴yC>- .令抛物线上的点D(xD,yD) ,∵当x>1时,y随x的增大而减小,
∴xD<2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点.综上所述,a的取值范围为a≤- .
思路分析 本题第(3)问需要对a的大小进行分类讨论,同时要关注抛物线与y轴的交点坐标.
解题关键 解决本题的关键是分情况讨论后精准画图,要在探究的过程中发现点P与点A,B纵坐标相等 的关系,进而关注点Q与抛物线的关系.
(2017甘肃兰州,9,4分)将抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到新抛物线的表达式为 ( )A.y=3(x-3)2-3 B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3 D.y=3x2-6
教师专用题组
考点一 二次函数的概念
答案 A 直接根据二次函数图象“左加右减,上加下减”的平移规律进行解答即可.故选A.
解题关键 本题考查了二次函数图象平移的变化规律,解题的关键是掌握二次函数图象平移与解析式 的变化规律的对应关系.
方法规律 二次函数图象的平移规律:将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向上平移k(k>0)个单位所得的函数图 象的关系式为y=ax2+bx+c+k,向下平移k(k>0)个单位所得的函数图象的关系式为y=ax2+bx+c-k;向左、右 平移应该先将二次函数解析式化为顶点式,即y=a(x-h)2+m的形式,向左平移k(k>0)个单位所得的函数图 象的关系式为y=a(x-h+k)2+m,向右平移k(k>0)个单位所得的函数图象的关系式为y=a(x-h-k)2+m.以上规律 可简记为“上加下减,左加右减”.
考点二 二次函数的图象与性质
1.(2020江西,6,3分)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点A,与x轴正半轴交 于点B,连接AB,将Rt△OAB向右上方平移,得到Rt△O'A'B',且点O',A'落在抛物线的对称轴上,点B'落在抛 物线上,则直线A'B'的表达式为 ( )A.y=x B.y=x+1C.y=x+ D.y=x+2
答案 B 令x=0,则y=-3,故A(0,-3).令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,故B(3,0),易得直线AB的表达式为y= x-3.∵将Rt△OAB向右上方平移得到Rt△O'A'B',且点O'、A'落在抛物线的对称轴x=1上,∴点B'的横坐标 为4,代入抛物线表达式可得B'(4,5).∵A'B'∥AB,∴可设直线A'B'的表达式为y=x+b,将点B'(4,5)代入可得b=1,∴直线A'B'的表达式为y=x+1,故选B.
思路分析 首先求出点A、B的坐标,然后由待定系数法求出直线AB的表达式.因为点O、B在x轴上,所以 向右上方平移后O'B'∥x轴,A'B'∥AB,又点O'、A'落在抛物线的对称轴x=1上,可推出点B'的横坐标为4,从 而可求点B'的坐标,将点B'的坐标代入所设的直线A'B'的表达式中即可得解.
2.(2020浙江温州,9,4分)已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则 ( )A.y3思路分析 根据函数表达式可求出抛物线的对称轴及开口方向,再利用二次函数的性质即可比较y1,y2,y3 的大小.
3.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是( ) A.c<0 B.b2-4ac<0C.a-b+c<0 D.图象的对称轴是直线x=3
答案 D 抛物线与y轴的正半轴相交,所以c>0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0;当x=-1时,y=a-b+c,由题图可知a-b+c>0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x= =3,选项D正确,故选D.
4.(2018四川成都,10,3分)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是 ( )A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x<0时,y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为-3
答案 D 因为y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,所以,当x=0时,y=-1,选项A错误;该函数图象的对称轴是直线x=-1,选 项B错误;当x<-1时,y随x的增大而减小,选项C错误;当x=-1时,y取得最小值,此时y=-3,选项D正确.故选D.
思路分析 根据题中的函数解析式以及二次函数的性质,可以判断各个选项中的结论是否成立,从而解 答本题.
解题关键 解答本题的关键是理解二次函数的性质,会用配方法求二次函数的最值.
5.(2018黑龙江齐齐哈尔,10,3分)抛物线C1:y1=mx2-4mx+2n-1与平行于x轴的直线交于A、B两点,且A点坐 标为(-1,2),请结合图象分析以下结论:①对称轴为直线x=2;②抛物线与y轴交点坐标为(0,-1);③m> ;④若抛物线C2:y2=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点,则a的取值范围是 ≤a<2;⑤不等式mx2-4mx+2n>0的解作为函数C1的自变量的取值时,对应的函数值均为正数,其中正确的结论有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案 B 抛物线的对称轴为直线x= =2,所以①正确;抛物线与y轴的交点坐标是(0,2n-1),所以②错误;把(-1,2)代入抛物线解析式,可得2n=3-5m,所以抛物线解析式为y1=mx2-4mx+2-5m,因为抛物线与y轴的 交点在y轴负半轴上,所以当x=0时,y1<0,即2-5m<0,解得m> ,所以③正确;由抛物线C1与平行于x轴的直线交于A(-1,2)及结论①,可得B(5,2),易知抛物线C2的对称轴为y轴,设A点关于y轴对称的点为E,画图可知,要 使抛物线C2与线段AB恰有一个公共点,则抛物线C2与线段EB(不含点E,含点B)恰有一个公共点,当抛物线 C2经过点E时,a=2,当抛物线C2经过点B时,a= ,所以 ≤a<2,所以④正确;mx2-4mx+2n>0,即y1+1>0,即y1>-1,由图象知y1不一定是正数,所以⑤错误,正确的有①③④,共3个,故选B.
6.(2017四川绵阳,10,3分)将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与 一次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是 ( )A.b>8 B.b>-8 C.b≥8 D.b≥-8
7.(2017甘肃兰州,5,4分)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:
那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是 ( )A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3
答案 C 由表格中的数据可以看出最接近于0的数是0.04,它对应的x的值是1.2,故方程x2+3x-5=0的一 个近似根是1.2,故选C.
8.(2019吉林长春,14,3分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax+ (a>0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M,P为抛物线的顶点,若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则a的值 为 .
答案 2
思路分析 根据对称性和解析式特点,求出A、B、M的坐标,再根据三角形相似,求出点P的坐标,代入抛 物线解析式求出a.
9.(2019河北,26,12分)如图,若b是正数,直线l:y=b与y轴交于点A;直线a:y=x-b与y轴交于点B;抛物线L:y=-x2 +bx的顶点为C,且L与x轴右交点为D.(1)若AB=8,求b的值,并求此时L的对称轴与a的交点坐标;(2)当点C在l下方时,求点C与l距离的最大值;(3)设x0≠0,点(x0,y1),(x0,y2),(x0,y3)分别在l,a和L上,且y3是y1,y2的平均数,求点(x0,0)与点D间的距离;(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上,把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”,分别直接写出b=2 019和b=2 019.5时“美点”的个数.
解析 (1)当x=0时,y=x-b=-b,∴B(0,-b).∵AB=8,A(0,b),∴b-(-b)=8.∴b=4. (2分)∴L的方程为y=-x2+4x.∴L的对称轴为x=2.当x=2时,y=x-4=-2.∴L的对称轴与a的交点坐标为(2,-2). (4分)(2)∵y=- + ,∴L的顶点C的坐标为 . (5分)∵点C在l下方,∴C与l的距离为b- =- (b-2)2+1≤1.∴点C与l距离的最大值为1. (7分)
(3)由题意得y3= ,即y1+y2=2y3,得b+x0-b=2(- +bx0).解得x0=0或x0=b- .但x0≠0,取x0=b- . (9分)对于L,当y=0时,0=-x2+bx,即0=-x(x-b).解得x1=0,x2=b.∵b>0,∴右交点D的坐标为(b,0).∴点(x0,0)与点D间的距离为b- = . (10分)(4)4 040;1 010. (12分)详解:如图,a与L的交点坐标满足:y=x-b=-x2+bx,得交点D(b,0),E(-1,-1-b).
①当b为整数时,而x也是整数,∴对应的y=-x2+bx和y=x-b均为整数.∴当x=-1和x=b时,对应的“美点”各只有一个.从x=0到x=b-1共有b个整数,每个整数x都对应两个“美点”,∴此时“美点”个数为2b+2.把b=2 019代入,求得“美点”个数为4 040.②当b不是整数时,但x是整数,∴x-b不是整数,即边界y=x-b(-1≤x≤b)上没有“美点”;而在边界y=-x2+bx (-1≤x≤b)上,满足bx是整数才有“美点”.对于b=2 019.5,x应是从0到2 018的偶数,∴此时“美点”的个
数为2 018÷2+1=1 010.
思路分析 (1)由题意得OA=OB,∵AB=8,∴b=4,可得L的方程为y=-x2+4x,进而得出L的对称轴为x=2,把x= 2代入y=x-4得出交点坐标;(2)将二次函数解析式配方得出顶点坐标为 ,根据点C在l下方得出点C与l的距离为b- =- (b-2)2+1≤1,进而得出最大值;(3)由y3是y1,y2的平均数,可得y3= ,即y1+y2=2y3,得b+x0-b=2(- +bx0),求出x0的值,令y=-x2+bx=0,求出点D的坐标,两者横坐标相减得出结论;(4)易得点D(b,0),点E(-1,-1-b),分两种情况,①当b为整数,而x也是整数时,求得“美点”的个数;②当b不是整数,但x是整数 时,求得“美点”的个数.
考点三 二次函数综合
1.(2019湖北武汉,22,10分)某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件) 的一次函数.其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);②该商品进价是 元/件;当售价是 元/件时,周销售利润最大,最大利润是 元;(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m>0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件.该商店在 今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1 400元,求m的值.
解析 (1)①设y与x的函数关系式为y=kx+b,依题意有 解得 ∴y与x的函数关系式是y=-2x+200.②40;70;1 800.进价是50-(1 000÷100)=40元/件.w=(-2x+200)(x-40)=-2(x-70)2+1 800,∴当售价为70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1 800元.(2)依题意有w=(-2x+200)(x-40-m)=-2x2+(2m+280)x-8 000-200m=-2 + m2-60m+1 800,∵m>0,∴ >70,
∵-2<0,∴抛物线开口向下,∵x≤65,∴w随x的增大而增大,∴当x=65时,w有最大值,为(-2×65+200)(65-40-m),∴(-2×65+200)(65-40-m)=1 400,∴m=5.∴若周销售最大利润是1 400元,则m的值为5.
2.(2019湖北武汉,24,12分)已知抛物线C1:y=(x-1)2-4和C2:y=x2.(1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2?(2)如图1,抛物线C1与x轴正半轴交于点A,直线y=- x+b经过点A,交抛物线C1于另一点B,请你在线段AB上取点P,过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q,连接AQ.①若AP=AQ,求点P的横坐标;②若PA=PQ,直接写出点P的横坐标;(3)如图2,△MNE的顶点M,N在抛物线C2上,点M在点N右边,两条直线ME,NE与抛物线C2均有唯一公共点, ME,NE均与y轴不平行.若△MNE的面积为2,设M,N两点的横坐标分别为m,n,求m与n的数量关系.
解析 (1)将C1先向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度得到C2.或将C1先向上平移4个单位长度,再向左平移1个单位长度得到C2.(2)①如图,设直线AB与y轴交于点D,延长AQ交y轴于点D',∵C1:y=(x-1)2-4,∴A(3,0),∵直线y=- x+b经过A(3,0),∴b=4,∴D(0,4),则易知D'(0,-4),∴直线AD'的解析式为y= x-4,由 得x1=3,x2= ,∴xQ= ,∴xP=xQ= ,∴点P的横坐标为 .
②点P的横坐标为- .详解:由 得x1=- ,x2=3,故B .设点P的横坐标为a ,
∵点P在线段AB上,∴点P的坐标为 ,∵点Q在抛物线C1上,∴点Q的坐标为(a,a2-2a-3).∴PQ2= ,又∵PA=PQ,∴PA2=(a-3)2+ = ,∴(a-3)2=(a-3)(a+1)(a-3) ,又∵a≠3,∴(a+1) =1,∴ (a+4)=0,∴a1=- ,a2=-4(舍),∴点P的横坐标为- .
(3)∵C2:y=x2,∴M(m,m2),N(n,n2),设直线ME的解析式为y=kx+t,∵M(m,m2),∴t=m2-km,由 得x2-kx+km-m2=0,依题意有Δ=k2-4(km-m2)=0,∴k=2m,∴直线ME的解析式为y=2mx-m2,同理,直线NE的解析式为y=2nx-n2,由 得E ,∵M(m,m2),N(n,n2),∴直线MN的解析式为y=(m+n)x-mn,过E作EF∥y轴交MN于点F,则F ,
∴EF= -mn= (m-n)2,∴S△MNE= (m-n)· (m-n)2= (m-n)3=2,∴m-n=2.∴m与n的数量关系为m-n=2.
3.(2019天津,25,10分)已知抛物线y=x2-bx+c(b,c为常数,b>0)经过点A(-1,0),点M(m,0)是x轴正半轴上的动 点.(1)当b=2时,求抛物线的顶点坐标;(2)点D(b,yD)在抛物线上,当AM=AD,m=5时,求b的值;(3)点Q 在抛物线上,当 AM+2QM的最小值为 时,求b的值.
解析 (1)∵抛物线y=x2-bx+c经过点A(-1,0),∴1+b+c=0,即c=-b-1,当b=2时,y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴抛物线的顶点坐标为(1,-4).
(2)由(1)知,抛物线的解析式为y=x2-bx-b-1,∵点D(b,yD)在抛物线y=x2-bx-b-1上,∴yD=b2-b·b-b-1=-b-1.由b>0,得b> >0,-b-1<0,∴点D(b,-b-1)在第四象限,且在抛物线对称轴x= 的右侧.如图,过点D作DE⊥x轴,垂足为E,则点E(b,0),∴AE=b+1,DE=b+1,∴AE=DE,∴在Rt△ADE中,∠ADE=∠DAE=45°,∴AD= AE,又已知AM=AD,m=5,∴5-(-1)= (b+1),∴b=3 -1.(3)∵点Q 在抛物线y=x2-bx-b-1上,∴yQ= -b -b-1=- - ,
可知点Q 在第四象限,且在直线x=b的右侧,考虑到 AM+2QM=2 ,可取点N(0,1),如图,过点Q作直线AN的垂线,垂足为G,QG与x轴相交于点M, 有∠GAM=45°,得 AM=GM,则此时点M满足题意.
过点Q作QH⊥x轴于点H,则点H ,在Rt△MQH中,可知∠QMH=∠MQH=45°,∴QH=MH,QM= MH,∵点M(m,0),∴0- = -m,解得m= - .∵ AM+2QM= ,∴ +2 - = .∴b=4.
思路分析 (1)根据抛物线y=x2-bx+c经过点A(-1,0),可得1+b+c=0,当b=2时,c=-3,即y=x2-2x-3=(x-1)2-4,顶点 坐标为(1,-4).(2)由(1)知,c=-b-1,则y=x2-bx-b-1,根据点D(b,yD)在抛物线y=x2-bx-b-1上,可得yD=b2-b·b-b-1=-b-1,过点D作 DE⊥x轴,可得AE=b+1,DE=b+1,AD= AE,最后根据AM=AD,m=5得出b=3 -1.(3)首先确定点Q ,取点N(0,1),过点Q作直线AN的垂线,根据题意确定符合条件时点M的位置,依据QH=MH,得出m= - ,最后根据 AM+2QM= ,得出b=4.
4.(2019河南,23,11分)如图,抛物线y=ax2+ x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y=- x-2经过点A,C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.①当△PCM是直角三角形时,求点P的坐标;②作点B关于点C的对称点B',则平面内存在直线l,使点M,B,B'到该直线的距离都相等.当点P在y轴右侧的 抛物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线l:y=kx+b的解析式.(k,b可用含m的式子表示)
解析 (1)∵直线y=- x-2交x轴于点A,交y轴于点C,∴A(-4,0),C(0,-2).∵抛物线y=ax2+ x+c经过点A,C,∴ ∴ ∴抛物线的解析式为y= x2+ x-2. (3分)(2)∵点P的横坐标为m,∴点P的坐标为 .
①当△PCM是直角三角形时,有以下两种情况:当∠CPM=90°时,PC∥x轴, m2+ m-2=-2.解得m1=0(舍去),m2=-2.∴点P的坐标为(-2,-2). (5分)当∠PCM=90°时,过点P作PN⊥y轴于点N,∴∠CNP=∠AOC=90°.∵∠NCP+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°,∴∠NCP=∠OAC.∴△CNP∽△AOC.∴ = .∵C(0,-2),N ,∴CN= m2+ m,PN=m.
即 = ,解得m3=0(舍去),m4=6.∵当m=6时, m2+ m-2=10,∴点P的坐标为(6,10).综上所述,点P的坐标为(-2,-2)或(6,10). (8分)②y=x- m-2或y= x-2或y= x-2. (11分)提示:满足条件的直线l即△MBB'的三条中位线所在的直线.当y=0时, x2+ x-2=0,解得x1=-4,x2=2,∴点B的坐标为(2,0).∵点C的坐标为(0,-2),点B,B'关于点C对称,∴点B'的坐标为(-2,-4).
∵点P的横坐标为m(m>0),∴点M的坐标为 .利用待定系数法可求出直线BB'的解析式为y=x-2;直线BM的解析式为y=- x+ ;直线B'M的解析式为y= x- .分三种情况考虑:当直线l∥BB'且过线段CM的中点N 时,直线l的解析式为y=x- m-2;当直线l∥BM且过点C时,直线l的解析式为y=- x-2;当直线l∥B'M且过点C时,直线l的解析式为y= x-2.综上所述,直线l的解析式为y=x- m-2或y=- x-2或y= x-2.
思路分析 (1)由直线y=- x-2经过点A,C,求得点A,C的坐标,代入y=ax2+ x+c中,求得抛物线的解析式;(2)①当△PCM是直角三角形时,分以下两种情况:当∠CPM=90°时,由PC∥x轴,得 m2+ m-2=-2,可求得P(-2,-2);当∠PCM=90°时,作PN⊥y轴于点N,易证△CNP∽△AOC,∴ = ,可求得P(6,10).②由题意知,直线l是△MBB'的三条中位线所在的直线,当点B,B'在l同侧时,l过CM的中点与BB'平行,当点 B,B'在l异侧时,l过点C与BM平行或与B'M平行,计算可得l的解析式.
A组 2018—2020年模拟·基础题组时间:70分钟 分值:90分
一、选择题（每小题4分，共20分）
1.(2020泉州二检,10)已知点A(a-m,y1)、B(a-n,y2)、C(a+b,y3)都在二次函数y=x2-2ax+1的图象上,若0答案 B 二次函数y=x2-2ax+1的图象开口向上,对称轴为直线x=a,抛物线上的点越靠近对称轴,函数值 越小,因为02.(2020莆田二检,10)抛物线y=ax2+4x+c(a>0)经过点(x0,y0),且x0满足关于x的方程ax+2=0,则下列说法正确 的是 ( )A.对于任意实数x都有y≥y0B.对于任意实数x都有y≤y0C.对于任意实数x都有y>y0D.对于任意实数x都有y答案 A ∵x0满足关于x的方程ax+2=0,∴x0=- ,又∵抛物线的对称轴为直线x=- ,∴点(x0,y0)是抛物线的顶点,又∵a>0,∴抛物线y=ax2+4x+c有最小值为y0.∴对于任意实数x都有y≥y0.故选A.
难点突破 本题的难点在于寻找方程与二次函数之间的关系,x0满足关于x的方程,代入求得x0=- ,而抛物线的对称轴为直线x=- ,由此可得(x0,y0)是抛物线的顶点,最后通过图象的开口方向得出对于任意实数x都有y≥y0.
3.(2020漳州二检,10)若函数y=x2(x≥0)的图象与直线y=kx+k+1有公共点,则k的取值范围是 ( )A.k≤0 B.k≤-1C.k≥-1 D.k为任意实数
4.(2020福州二检,10)小明在研究抛物线y=-(x-h)2-h+1(h为常数)时,得到如下结论,其中正确的是 ( )A.无论x取何值,y的值都小于0B.该抛物线的顶点始终在直线y=x-1上C.当-12h,则y1>y2
答案 D A.令x=h,则y=1-h.当h<1时,y>0,故A错误;B.抛物线的顶点坐标为(h,1-h),易知顶点(h,1-h)在直 线y=-x+1上,故B错误;C.当-12h,则点B到对称 轴的距离比点A到对称轴的距离远,故y1>y2.故D正确.
解题思路 本题四个选项都和对称轴有关,故关键是明确与对称轴有关的性质.①增减性,当a>0时,在对 称轴左侧,y随x的增大而减小;在对称轴右侧,y随x的增大而增大.当a<0时,在对称轴左侧,y随x的增大而增 大;在对称轴右侧,y随x的增大而减小.②比较大小:a>0时,越靠近对称轴,y值越小;a<0时,越靠近对称轴,y 值越大.
5.(2020漳州一检,6)把抛物线y=3(x+1)2先向左平移1个单位,再向上平移n个单位后,得到抛物线y=3x2+12x +14,则n的值是 ( )A.-2 B.2 C.8 D.14
答案 B y=3x2+12x+14=3(x+2)2+2.抛物线y=3(x+1)2经过两次平移变换后,所得图象对应的解析式为y=3 (x+1+1)2+n=3(x+2)2+n.由题意可知n=2.选B.
方法指导 抛物线平移时一定要先配方成顶点式,再根据“左加右减”的规律进行平移.
二、填空题（共4分）
6.(2020漳州一检,13)足球从地面被踢出后,在空中飞行时离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可近 似表示为h=-t2+9.8t,则该足球在空中飞行的时间为 s.
答案 9.8
解析 依题意得-t2+9.8t=0,解得t1=0,t2=9.8.∴该足球在空中飞行的时间为t2-t1=9.8-0=9.8 s.
三、解答题（共66分）
7.(2020漳州平和质检,22)在疫情期间,某企业生产消毒产品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场 进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售 出5件,但要求销售单价不得低于成本.(1)求出每天的销售利润y (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式;(2)当销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4 000元,且每天的总成本不超过7 000元,那么销售单价应控 制在什么范围内?
解析 (1)y=(x-50)[50+5(100-x)]=(x-50)(-5x+550)=-5x2+800x-27 500. (2分)∴y=-5x2+800x-27 500(50≤x≤100). (3分)(2)y=-5x2+800x-27 500=-5(x-80)2+4 500. (4分)∵50≤x≤100,图象的对称轴是直线x=80,∴当x=80时,y最大值=4 500. (6分)(3)当y=4 000时,-5(x-80)2+4 500=4 000, (7分)解得x1=70,x2=90. (8分)∴当70≤x≤90时,每天的销售利润不低于4 000元.由每天的总成本不超过7 000元,得50(-5x+550)≤7 000,解得x≥82.∴82≤x≤90, (9分)∴销售单价应该控制在82元至90元之间. (10分)
8.(2020莆田二检,25)已知抛物线F1:y=x2-4与抛物线F2:y=ax2-4a(a≠1).(1)直接写出抛物线F1与抛物线F2的两条相同性质;(2)抛物线F1与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧),直线BC交抛物线F1于点C(点C与点B不重合),点D是抛 物线F2的顶点.①若点C为抛物线F1的顶点,且点C为△ABD的外心,求a的值;②设直线BC的解析式为y=kx+b,若k+2a=4,则直线CD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点, 请说明理由.
解析 (1)性质1:对称轴都为y轴;性质2:都经过(-2,0),(2,0)两点;性质3:顶点的横坐标为0;性质4:与x轴的两交点间的距离为4. (4分)(答对一个得2分,答对两个得4分)(2)①点C、D分别为抛物线F1、F2的顶点,故C(0,-4),D(0,-4a),抛物线F1与x轴交于A,B两点,则A(-2,0),B(2,0),故AC=2 , (5分)当a>0时,如图1,依题意得,CD=AC=2 ,则OD=OC+CD=4+2 ,即4a=4+2 ,解得a= ; (7分)当a<0时,如图2,依题意得,CD=AC=2 ,则OD=CD-OC=2 -4,即-4a=2 -4,解得a= .
故a的值为 或 . (9分) ②直线CD过定点.设C(x1,y1).依题意,直线BC:y=kx+b过点B(2,0),
则b=-2k,故直线BC的解析式为y=kx-2k.由 得x2-kx+2k-4=0,易知x1=k-2,y1= -4=(k-2)2-4=k2-4k,即C(k-2,k2-4k). (10分)设直线CD的解析式为y=mx+n,直线CD过点D(0,-4a),C(k-2,k2-4k).则有 则m(k-2)-4a=k2-4k,又k+2a=4,则a= ,由a≠1,得k≠2.解得 (12分)又点C异于点B,故k-4≠0.故直线CD的解析式为y=(k-4)x+2k-8,即y=(k-4)(x+2).故直线CD恒过点(-2,0). (14分)
9.(2020福州二检,25)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=kx2+(4k2-k)x的对称轴是y轴,过点F(0,2)作一直 线与抛物线C相交于P,Q两点,过点Q作x轴的垂线与直线OP相交于点A.(1)求抛物线C的解析式;(2)判断点A是否在直线y=-2上,并说明理由;(3)若直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切.过抛物 线C上的任意一点(除顶点外)作该抛物线的切线l,分别交直线y=2和直线y=-2于点M,N,求MF2-NF2的值.
解析 (1)∵抛物线C的对称轴是y轴,∴- =0且k≠0, (1分)∴ =0,解得k= , (3分)∴抛物线C的解析式为y= x2. (4分)(2)点A在直线y=-2上. (5分)理由如下:∵过F(0,2)的直线与抛物线C交于P,Q两点,∴直线PQ与x轴不垂直.设直线PQ的解析式为y=tx+2,将y=tx+2代入y= x2,得x2-4tx-8=0,Δ=16t2+32>0,
该方程有两个不相等的实数根x1,x2,∴x1x2=-8.不妨设P(x1,y1),Q(x2,y2),∴直线OP的解析式为y= x. (6分)设A(m,n).∵QA⊥x轴交直线OP于点A,∴m=x2,∴n= ·x2= = x1x2=-2. (7分)即点A的纵坐标为-2,∴点A在直线y=-2上. (9分)(3)∵切线l不过抛物线C的顶点,∴设切线l的解析式为y=ax+b(a≠0),
将y=ax+b代入y= x2,得x2-4ax-4b=0, (10分)依题意得Δ=0,即(-4a)2-4×(-4b)=16a2+16b=0,∴b=-a2,∴切线l的解析式为y=ax-a2. (11分)当y=2时,x= ,∴M . (12分)当y=-2时,x= ,∴N . (13分)∵F(0,2),∴MF2= ,
NF2= +(-2-2)2= +16,∴MF2-NF2= - = -16= · -16=8-16=-8. (14分)
10.(2020漳州二检,25)已知抛物线y=ax2+bx经过点(2,8),(4,8).(1)求抛物线的解析式;(2)若点P(x1,y1),Q(x2,y1)均在该抛物线上,且x1解析 (1)依题意,得 (2分)解得a=-1,b=6.∴抛物线的解析式为y=-x2+6x. (4分)(2)抛物线y=-x2+6x的对称轴为直线x=3, (5分)∵P(x1,y1),Q(x2,y1)均在该抛物线上,且x1设A(x3,y3),则y3=- +6x3=-(x3-3)2+9.设线段AB的中点为M(x0,y0).则x0= ,y0= . (10分)∴点M到直线y= 的距离为d= = .(11分)由勾股定理,得AB2=(x3-3)2+(y3-7)2,∴AB2=-y3+9+(y3-7)2. (12分)设以线段AB为直径的圆截直线y= 所得弦的长为l,则 = -d2. (13分)∵ -d2= - = ,
∴ = .解得l= .∴以线段AB为直径的圆截直线y= 所得弦的长为定值,其值为 . (14分)
11.(2020南平一检,25)抛物线C1:y=-x2+2mx-m2+m+3的顶点为A,抛物线C2:y=-(x+m+4)2-m-1的顶点为B,其中 m≠-2,抛物线C1与C2相交于点P.(1)当m=-3时,在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C1,C2;(2)已知点C(-2,1),求证:点A,B,C三点共线;(3)设点P的纵坐标为q,求q的取值范围.
解析 (1)当m=-3时,抛物线C1:y=-x2-6x-9.
抛物线C2:y=-(x+1)2+2.
抛物线C1,C2如图所示. (2)证明:∵抛物线C1:y=-x2+2mx-m2+m+3=-(x-m)2+m+3,抛物线C2:y=-(x+m+4)2-m-1.∴A(m,m+3),B(-m-4,-m-1).设直线AB的解析式为y=kx+b,将A(m,m+3),B(-m-4,-m-1)代入y=kx+b得 ①-②得,2m+4=(2m+4)k,
即2(m+2)=2(m+2)k.∵m≠-2,∴k=1,把k=1代入①得,b=3,∴直线AB的解析式为y=x+3,当x=-2时,y=1,∴C(-2,1)在直线AB上,即点A,B,C三点共线.(3) ③-④得,(x+m+4)2-(x-m)2+2m+4=0,整理得(2x+5)(m+2)=0.∵m≠-2,∴x=- ,把x=- 代入③得,y=-m2-4m- ,
∴点P的坐标为 .因此,q=-m2-4m- =-(m+2)2+ .∵m≠-2,∴q< .
B组 2018—2020年模拟·提升题组时间:80分钟 分值:100分
一、选择题（每小题4分，共8分）
1.(2020福州福清线上质检,10)已知实数m,n,c满足m2-m+ c=0,n=4m2-4m+c2- ,则n的取值范围是 ( )A.n>- B.n≥- C.n>-1 D.n≥-1
答案 D ∵m2-m+ c=0,∴m2-m=- c,∴n=4(m2-m)+c2- =-2c+c2- =(c-1)2- .又∵ c=-m2+m,∴c=-2m2+2m=-2 + ≤ .由图可知,当c≤ 时,n≥-1,故选D.
易错警示 本题容易错选B选项,忘记求出c的取值范围.
2.(2019厦门二检,10)已知二次函数y=-3x2+2x+1的图象经过点A(a,y1),B(b,y2),C(c,y3),其中a,b,c均大于0.记 点A,B,C到该二次函数图象的对称轴的距离分别为dA,dB,dC.若dA<答案 C 由y=-3x2+2x+1可知,其图象的对称轴为直线x= .∵a,b,c均大于0,且dA< 二、填空题（共4分）
3.(2020龙岩二检,16)当-3≤x≤0时,-x2+2mx-2m+2≤0,则m的取值范围是 .
答案 m≥1
解析 设y=-x2+2mx-2m+2.则y=-(x-m)2+m2-2m+2.当-3≤x≤0时,y≤0.①当m≥0时,ymax=-(0-m)2+m2-2m+2=-2m+2.故-2m+2≤0,即m≥1.②当-30,不符合题意,③当m≤-3时,ymax=-(-3-m)2+m2-2m+2=-m2-6m-9+m2-2m+2=-8m-7>0,不符合题意.故m≥1.
三、解答题（共88分）
4.(2020漳州一检,25)在平面直角坐标系xOy中,直线y=-2x+2与x,y轴分别交于A,B两点,点C(0,m)在线段OB 上,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A,C两点,且与x轴交于另一点D.(1)求点D的坐标(用只含a,m的代数式表示);(2)当a= m时,若点P(n,y1),Q(4,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c上,且y1>y2,求实数n的取值范围;(3)当AD= 时,函数y=ax2+bx+c有最小值m-1,求a的值.
∴D .(2)∵点C(0,m)在线段OB上,∴0≤m≤2.∵a= m,∴a>0,D(2,0).∴抛物线开口向上,对称轴是直线x= .在抛物线上取点E,使点E与点Q关于直线x= 对称.由Q(4,y2)得E(-1,y2).∵点P(n,y1)在抛物线上,且y1>y2,∴n<-1或n>4.(3)∵函数y=ax2-(a+m)x+m有最小值m-1,
∴ =m-1.①当点D在点A的右侧时,得 -1= ,解得m= a.∴ = a-1.解得a= (a=0舍去).②当点D在点A的左侧时,得1- = ,解得m= a.∴ = a-1.解得a= (a=0舍去).综上所述,a= 或 .
5.(2020福州一检,25)已知抛物线C:y=ax2-4(m-1)x+3m2-6m+2.(1)当a=1,m=0时,求抛物线C与x轴的交点个数;(2)当m=0时,判断抛物线C的顶点能否落在第四象限,并说明理由;(3)当m≠0时,过点(m,m2-2m+2)的抛物线C中,将其中两条抛物线的顶点分别记为A, B,若点A, B的横坐标 分别是t,t+2,且点A在第三象限.以线段AB为直径作圆,设该圆的面积为S,求S的取值范围.
解析 (1) 当a=1,m=0时,抛物线C的解析式为y=x2+4x+2.令y=0,得x2+4x+2=0,Δ=42-4×1×2=8>0,∴抛物线C与x轴有两个交点.(2)抛物线C的顶点不会落在第四象限.理由:当m=0时,抛物线C的解析式为y=ax2+4x+2,∴顶点坐标为 .解法一:假设顶点坐标在第四象限,则 解得 该不等式组无解,∴假设不成立,抛物线C的顶点不会落在第四象限.
解法二:设x=- ,y=- +2,则y=2x+2,∴该抛物线C的顶点在直线y=2x+2上运动,而该直线不经过第四象限,∴抛物线C的顶点不会落在第四象限.(3)将点(m,m2-2m+2)代入抛物线C: y=ax2-4(m-1)x+3m2-6m+2,得am2-4m2+4m+3m2-6m+2=m2-2m+2,化简,得(a-2)m2=0.∵m≠0,∴a-2=0,即a=2,∴此时,抛物线C的解析式为y=2x2-4(m-1)x+3m2-6m+2,顶点坐标为(m-1,m2-2m).当m-1=t时,m=t+1,∴A(t,t2-1).
当m-1=t+2时,m=t+3,∴B(t+2,t2+4t+3).∵点A在第三象限,∴ ∴-10,t2+4t+3-(t2-1)=4t+4>0,∴点B在点A的右上方,∴AB2=22+(4t+4)2=16(t+1)2+4.∵16>0,∴当-10,
∴S随AB2的增大而增大,∴π6.(2020厦门一检,25)已知抛物线y=x2-2mx+m2+2m-2,直线l1:y=x+m,直线l2:y=x+m+b.(1)当m=0时,若直线l2经过此抛物线的顶点,求b的值;(2)将此抛物线夹在l1与l2之间的部分(含交点)图象记为C,若- 解析 (1)当m=0时,抛物线为y=x2-2,顶点坐标为(0,-2).把(0,-2)代入l2:y=x+b,可得b=-2.(2)①抛物线的顶点不在图象C上.理由:因为y=x2-2mx+m2+2m-2=(x-m)2+(2m-2),所以抛物线顶点坐标为(m,2m-2).当x=m时,l1:y=2m,l2:y=2m+b.因为- 解得x1=m-1,x2=m+2.因为yA- ,所以4b+9>0,即Δ>0.所以x= .因为yC所以xD= ,此时yD= +m+b.因为yA-yD= ,- 0.所以yA-yD<0,即yA设(x0,y0)是抛物线上A,C两点之间的任意一点,则有xA7.(2020宁德二检,25)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点M(1-m,n),点N ,交y轴于点A.(1)求a,b满足的关系式;(2)若抛物线上始终存在不重合的P,Q两点(P在Q的左边)关于原点对称.①求a的取值范围;②若点A,P,Q三点到直线l:y=- x+ 的距离相等,求线段PQ长.
解析 (1)∵函数图象经过点M(1-m,n),点N ,∴该函数图象的对称轴为直线x= = . (2分)∴- = ,∴b=-a-3. (4分)(2)①设点P的坐标为(x1,y1),则Q点的坐标为(-x1,-y1),∴ (6分)由①+②得2a +6=0③. (7分)∵始终存在不重合的P、Q关于原点对称,故方程③始终有解,解法一: =- ≥0,
可得a<0. (8分)解法二:方程③始终有解,故Δ=0-48a≥0,解得a≤0,∴a<0. (8分)②易知A点坐标为(0,3), (9分)设直线l:y=- x+ 交y轴于点B,则B点坐标为 ,∴B为OA的中点. (10分)分别作PD⊥l于D点,QE⊥l于E点.若P,Q位于直线l异侧,如图1,PQ交直线l于C点.图1
图2由已知得PD=QE,又∵∠PDC=∠QEC=90°,∠PCD=∠QCE,∴△PDC≌△QEC,∴CP=CQ,∴C为PQ的中点,∵O为PQ的中点,但直线l并没有经过点O,∴不存在这种情况. (11分)
若P,Q位于直线l同侧,如图2,由PD=QE得PQ∥l.又∵PQ经过原点O,∴直线PQ的表达式为y=- x.∴a -(a+3)x1+3=- x1.由①知a =-3,则有-3-(a+3)x1+3=- x1,整理得-(a+3)x1=- x1.∵x1≠0,∴a+3= .解得a=- .
∴- =-3,∴x1=-2或x1=2(舍去).∴y1= .∴P . (13分)∴OP= = .∴PQ= . (14分)
8.(2019宁德二检,25)如图1,已知水龙头喷水的初始速度v0可以分解为横向初始速度vx和纵向初始速度vy, θ是水龙头的仰角,且 = + ,图2是一个建在斜坡上的花圃场地的截面示意图,水龙头的喷射点A在山坡的坡顶上(喷射点离地面的高度忽略不计),坡顶的铅直高度OA为15米,山坡的坡比为 ,离开水龙头后的水(看成点)获得初始速度v0米/秒后的运动路径可以看作是抛物线,点M是运动过程中的某一位置.忽略 空气阻力,实验表明:M与A的高度之差d(米)与喷出时间t(秒)的关系为d=vyt-5t2,M与A的水平距离为vxt米. 已知该水流的初始速度v0为15米/秒,水龙头的仰角θ为53°.(1)求水流的横向初始速度vx和纵向初始速度vy;(2)用含t的代数式表示点M的横坐标x和纵坐标y,并求y与x的关系式(不写x的取值范围);(3)水流在山坡上的落点C离喷射点A的水平距离是多少米?若要使水流恰好喷射到坡脚B处的小树,在相 同仰角下,则需要把喷射点A沿坡面AB方向移动多少米?
解析 (1)∵ = + ,θ=53°,∴vx=v0cos θ≈15× =9(米/秒), (2分)vy=v0sin θ≈15× =12(米/秒). (3分)(2)由(1)得vx=9,vy=12.根据题意,得d=vyt-5t2=12t-5t2,点M的横坐标x=vxt=9t①,又y-yA=d,∴点M的纵坐标y=d+15=-5t2+12t+15②. (6分)由①得t= ,代入②得y=- x2+ x+15. (8分)(3)∵坡顶的铅直高度为15米,山坡的坡比为 ,∴OB=15÷ =45(米).∴A点的坐标为(0,15),B点的坐标为(45,0).
设直线AB的函数关系式为y=kx+b(k≠0).将A,B两点坐标代入上式,得 解得 ∴线段AB的函数关系式为y=- x+15. (10分)由 解得 或 ∴C(27,6).
∴水流在山坡上的落点C离喷射点A的水平距离是27米. (11分)过C点作CD⊥x轴,垂足为D,得CD=6(米),BD=18(米).在Rt△DCB中,根据勾股定理,得BC= = =6 (米).故需要把喷射点A沿坡面AB方向移动6 米. (13分)
9.(2019福州二检,25)已知抛物线y=- (x+5)(x-m)(m>0)与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点C.(1)直接写出点B,C的坐标(用含m的式子表示);(2)若抛物线与直线y= x交于点E,F,且点E,F关于原点对称,求抛物线的解析式;(3)若点P是线段AB上一点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,交直线AC于点N,当线段MN长的最大值 为 时,求m的取值范围.
解析 (1)B(m,0),C . (2分)(2)设点E,F的坐标分别为 , , (3分)代入y=- (x+5)(x-m)=- x2+ (m-5)x+ m,得 (4分)由①-②,得(m-5)a=a.∵a≠0,∴m=6, (5分)∴抛物线的解析式为y=- x2+ x+15. (6分)
(3)依题意得A(-5,0),C ,由m>0,设过A,C两点的一次函数解析式是y=kx+b(k≠0). (7分)将A,C两点坐标代入,得 解得 ∴过A,C两点的一次函数解析式是y= mx+ m.设点P(t,0),则-5≤t≤m(m>0),∴M ,N .①当-5≤t≤0时,∴MN=- t2+ (m-5)t+ m-
=- t2- t. (8分)∵- <0,∴该二次函数的图象开口向下,又其图象的对称轴是直线t=- ,∴当t=- 时,MN的长最大,此时MN=- × - × = . (9分)②当00,∴该二次函数的图象开口向上,
又其图象的对称轴是直线t=- ,∴当00,∴m的取值范围是010.(2019泉州二检,25)如图,二次函数y=x2+bx-3的图象与x轴相交于A、B两点,点B的坐标为(3,0),与y轴的 交点为C,动点T在射线AB上运动,在抛物线的对称轴l上有一定点D,其纵坐标为2 ,l与x轴的交点为E,过A、T、D三点作☉M.(1)求二次函数的表达式;(2)在点T的运动过程中.①∠DMT是不是定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由;②若MT= AD,求点M的坐标;(3)当动点T在射线EB上运动时,过点M作MH⊥x轴于点H,设HT=a,当OH≤x≤OT时,求y的最大值与最小 值(用含a的式子表示).
解析 (1)把点B(3,0)代入y=x2+bx-3,得b=-2,∴二次函数的解析式为y=x2-2x-3. (2分)(2)①∠DMT为定值. (3分)理由:如图,∵抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴抛物线的对称轴为直线x=1.又点D的纵坐标为2 ,∴D(1,2 ). (4分)
在y=x2-2x-3中,令y=0,即x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,∴A(-1,0).在Rt△AED中,tan∠DAE= = = ,∴∠DAE=60°, (5分)∴∠DMT=2∠DAE=120°,∴在点T的运动过程中,∠DMT为定值120°. (6分)②如图,
∵MT= AD,又MT=MD,∴MD= AD,∵△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上,∴当点M是线段AD的中点,即AD为☉M的直径时,MD= AD. (7分)∵A(-1,0),D(1,2 ),∴点M的坐标为(0, ). (8分)(3)如图,由题意知AH=HT= AT,
又HT=a,∴H(a-1,0),T(2a-1,0). (9分)∵OH≤x≤OT,又动点T在射线EB上运动,∴0≤a-1≤x≤2a-1,∴0≤a-1≤2a-1,∴a≥1,∴2a-1≥1. (10分)(i)若 即1≤a≤ ,则当x=a-1时,ymax=(a-1)2-2(a-1)-3=a2-4a;
当x=1时,ymin=-4. (11分)(ii)若 即1,即a>2,则当x=2a-1时,ymax=(2a-1)2-2(2a-1)-3=4a2-8a;当x=a-1时,ymin=(a-1)2-2(a-1)-3=a2-4a. (13分)
11.(2020福州福清线上质检,25)已知抛物线y=a(x-h)2+k的顶点A在x轴上.(1)若点A是抛物线最低点,且落在x轴正半轴上,直接写出a, h, k的取值范围;(2)P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线上两点,若x1x2>0,则(x2-x1)(y2-y1)>0,且当y1的绝对值 为4时,△APQ 为等腰直角三角形(其中∠PAQ=90°).①求抛物线的解析式;②设PQ中点为N,若PQ≥6,求点N纵坐标的最小值.
解析 (1)a>0,h>0,k=0. (3分)(2)①∵当x1x2>0时,(x2-x1)(y2-y1)>0,则y20, (5分)当△APQ是等腰直角三角形,∠PAQ=90°时,AP=AQ,所以点P,Q关于y轴对称.∵|y1|=4,a>0,∴y2=y1=4,设PQ交y轴于点G,则PQ=2OG=8,∴点P,Q中一个坐标为(4,4),另一个为(-4,4). (6分)把(4,4)代入y=ax2,解得a= . (7分)
∴抛物线的解析式为y= x2.②设直线PQ的解析式为y=kx+b,把y=kx+b代入y= x2中,得 x2=kx+b,即x2-4kx-4b=0, (8分)则x1+x2=4k,x1x2=-4b, (9分)∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=16k2+16b,由P(x1,y1),Q(x2,y2),得N , (10分)如图所示,在Rt△PDQ中,根据勾股定理得PQ2=PD2+DQ2,∴PQ2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+ =(x1-x2)2+ (x1+x2)2·(x1-x2)2=16(k2+b)+ (4k)2·16(k2+b)
=16(k2+b)(k2+1), (11分)∵PQ≥6,∴PQ2≥36,∴16(k2+b)(k2+1)≥36. (12分)化简,得k4+(b+1)k2+b- ≥0,故k2≥ (负根舍去), (13分)∴yN= = ( + )= [(x1+x2)2-2x1x2]=2k2+b≥-1+ =-1+ .∴当b=1时,yN有最小值2. (14分)
一、选择题（每小题4分，共32分）
1.如图,在3×3的正方形网格中有四个格点A,B,C,D,以其中一点为原点,网格线所在的直线为坐标轴,建立 平面直角坐标系(网格中每个小正方形的边长均为1),使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称, 则原点是( ) A.A点 B.B点 C.C点 D.D点
答案 B 当以点B为原点时,建立坐标系如图, 此时A(-1,-1),C(1,-1),则点A和点C关于y轴对称,符合题意,故选B.
2.(2020南平一检,2)将抛物线y=x2先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到新抛物线的解析式是 ( )A.y=(x+2)2-1 B.y=(x+2)2+1C.y=(x-2)2-1 D.y=(x-2)2+1
答案 A 将抛物线y=x2先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,所得图象对应的解析式为y=(x+2)2-1.故选A.
3.匀速向如图所示的容器中注水,能体现在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是 ( )
答案 A 该容器是由三个圆柱组成的,其中,中间的圆柱底面圆半径最大,故第二阶段的函数图象上升 得最慢,最上面的圆柱底面圆半径最小,故该阶段的函数图象上升得最快.故选A.
4.在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(2,1),C(-1,-3),D(-2,3),其中不可能与点E(1,3)在同一函数图象上的 一个点是 ( )A.点A B.点B C.点C D.点D
答案 A 根据函数的概念,当x=1时,不能有两个y的值与它对应,∴不可能和点E在同一函数图象上的 是点A.
5.一次函数y=kx-1的图象经过点P,且y的值随x值的增大而增大,则点P的坐标可以为 ( )A.(-5,3) B.(1,-3)C.(2,2) D.(5,-1)
6.直线y=kx-k(k≠0)必经过点 ( )A.(0,0) B.(1,0) C.(1,1) D.(1,k)
答案 B y=kx-k=k(x-1),当x=1时,y=0,∴直线经过定点(1,0),故选B.
7.(2018龙岩质检,8)在同一直角坐标系中,函数y= (k≠0)和y=kx+1(k≠0)的大致图象可能是 ( )
答案 A 两个函数的k值相同,故排除D;一次函数的图象与y轴交于点(0,1),故选A.
8.已知在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx(a≠0)和反比例函数y= (c≠0)的图象如图所示,则一次函数y= x-b的图象可能是 ( )
答案 B 由二次函数的图象可知a<0,b>0,由反比例函数的图象可知c>0,∴ <0,-b<0,∴一次函数y= x-b的图象与y轴负半轴相交且y随x的增大而减小.故选B.
二、填空题（每小题4分，共24分）
9.如图,已知A(2,n),B(6,m)是反比例函数y= (x>0)图象上的两点,分别过点A,B作y轴,x轴的平行线交于点C,连接OC并延长,与AB交于点M,则tan∠MCB= .
答案
10.已知y是x的二次函数,y与x的部分对应值如下表:
将该二次函数图象向左平移 个单位,图象经过原点.
答案 3
解析 由题表数据可知,抛物线的对称轴为直线x=1,∵当x=-1时,y=0,∴当x=3时,y=0,∴将该二次函数图象向左平移3个单位,图象经过原点.
11.(2018三明质检,15)二次函数y=x2+mx+m-2的图象与x轴有 个交点.
答案 2
解析 令x2+mx+m-2=0,∵Δ=b2-4ac=m2-4(m-2)=m2-4m+4+4=(m-2)2+4>0,∴二次函数y=x2+mx+m-2的图象与x轴有2个交点.
12.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留 1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的饲养室总占地面积最大为 m2.(墙的厚度忽略不计)
答案 75
13.抛物线y=2x2-4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是 .
答案 y=-2x2-4x-3
解析 将y=2x2-4x+3化为顶点式,得y=2(x-1)2+1,抛物线y=2x2-4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=-2(x+1)2-1,化为一般式,得y=-2x2-4x-3.
14.[素养题]如图,直线y=-x+b与双曲线y= 相交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标为(-1,9),点P是线段BC上的动点(点P不与点B,C重合),过P作y轴的平行线,交双曲线于点D,连接CD,则△PDC的面积的 最大值为 .
解析 把(-1,9)代入y=-x+b,得b=8,∴y=-x+8,把(-1,9)代入y= ,得k=-9.易得B(9,-1).设点P的横坐标是m(0三、解答题（共44分）
15.[原创题](10分)疫情期间,某社区采用“出门卡制度”,落实“10条强化措施”,双管齐下,做好疫情防 控工作,充分发挥基层党组织和党员的先锋模范作用,构筑防疫钢铁长城,切实把牢疫情防控的每一个环 节、每一个细节,坚决阻断疫情传播途径,全力打赢疫情防控阻击战.近日该社区准备发放“出门卡”, “出门卡”的制作有两种方案可供选择:方案一:由某公司代做,所需费用y1(元)与“出门卡”张数x满足如图①所示的函数关系;方案二:租赁机器,自己制作,所需费用y2(元)(包括租赁机器的费用和制作“出门卡”的费用)与“出门 卡”张数x满足如图②所示的函数关系.(1)分别求出y1,y2关于x的函数表达式;(2)仅从省钱角度看,如何选择制作“出门卡”方案?
解析 (1)设y1=k1x,y2=k2x+b,由题意,得50=100k1, 解得k1=0.5, ∴y1=0.5x(x≥0),y2=0.3x+120(x≥0).(2)由题意,得当y1>y2时,0.5x>0.3x+120,解得x>600,当y1=y2时,0.5x=0.3x+120,解得x=600,当y1600时,方案二优惠些,选择方案二.
16.(12分)(2018厦门质检,23)已知点A,B在反比例函数y= (x>0)的图象上,且横坐标分别为m、n,过点A向y轴作垂线,过点B向x轴作垂线,两条垂线交于点C.过点A、B分别作AD⊥x轴于D,BE⊥y轴于E.(1)若m=6,n=1,求点C的坐标;(2)若m(n-2)=3,当点C在直线DE上时,求n的值.
解析 (1)当m=6时,y= =1.又因为n=1,所以C(1,1).(2)因为点A,B的横坐标分别为m,n,所以A ,B (m>0,n>0),所以D(m,0),E ,C .设直线DE的表达式为y=kx+b(k≠0),把(m,0), 分别代入表达式,得 解得
所以y=- x+ ,因为点C在直线DE上,所以把 代入y=- x+ ,化简得m=2n.把m=2n代入m(n-2)=3,得2n(n-2)=3,解得n= .因为n>0,所以n= .
17.(10分)(2019泉州石狮质检,23)某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机,该饮水机的工作程 序是放满水后,接通电源,自动开始加热,每分钟水温上升10 ℃,加热到100 ℃时,饮水机自动停止加热,水 温开始下降,水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系,直至水温降至室温,饮水机再次自动加热,重复上 述过程.设某天水温和室温均为20 ℃,接通电源后,水温y(℃)与通电时间x(min)的关系如图所示,回答下 列问题:(1)当0≤x≤8时,求y与x之间的函数关系式;(2)求出图中a的值;(3)某天早上7:20,李老师将放满水后的饮水机电源打开,若他想在8:00上课前能喝到不超过40 ℃的温开 水,问:他应在什么时间段内接水?
解析 (1)当0≤x≤8时,设y与x之间的函数关系式为y=k1x+b(k1≠0),将(0,20),(8,100)代入y=k1x+b(k1≠0),得 (1分)解得 (2分)∴当0≤x≤8时,y与x之间的函数关系式为y=10x+20.(3分)(2)当8≤x≤a时,设y与x之间的函数关系式为y= (k2≠0),将(8,100)代入y= ,得100= , (4分)解得k2=800, (5分)∴当8≤x≤a时,y与x之间的函数关系式为y= .
将(a,20)代入y= ,得a=40. (6分)(3)依题意,得 ≤40, (7分)解得x≥20. (8分)又∵x≤40,∴20≤x≤40. (9分)∴他应在7:40~8:00这个时间段内接水. (10分)
18.[素养题](12分)建医疗污水处理池及排污工作是疫情防控工作的一项重要内容,为保证医疗污水处理 水质检测达标,防止新冠病毒经污水传播扩散,某医院规划建一座三级污水处理池,平面图为如图所示的 矩形ABCD,其中AB解析 (1)y=400[4x+2(3x-30)]x+200(3x-30)x=4 600x2-30 000x.自变量的取值范围为15一、选择题（每小题4分，共32分）
1.已知一个函数图象经过(1,-4),(2,-2)两点,在自变量x的某个取值范围内,都有函数值y随x的增大而减小, 则符合上述条件的函数可能是 ( )A.正比例函数 B.一次函数C.反比例函数 D.二次函数
答案 D 易知经过点(1,-4),(2,-2)的直线不经过原点,所以所求函数不是正比例函数,A不符合题意;若为 一次函数或反比例函数,则在自变量x的某个取值范围内,函数值y随x的增大而增大,所以B、C不符合题 意;只有D正确,故选D.
2.无论m为何值,点A(m,3-2m)不可能在 ( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
答案 C 当m>0时,3-2m可能大于0,也可能小于0,点A可能在第一或第四象限;当m<0时,-2m>0,3-2m>0, 点A在第二象限,故选C.
3.[原创题]在平面直角坐标系xOy中,A(0,3),B(m-1,m),则当AB-OB取得最大值时,m的值是 ( )A.-3 B.-2 C.-1 D.0
4.如图,点P是y轴正半轴上的一动点,过点P作AB∥x轴,分别交反比例函数y=- (x<0)与y= (x>0)的图象于点A,B,连接OA,OB,有以下结论:①AP=2BP;②∠AOP=2∠BOP;③△AOB的面积为定值;④△AOB是等 腰三角形.其中一定正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 B 设P(0,t)(t>0),则A ,B ,AP= ,BP= ,∴AP=2BP,①正确;∵S△AOB=S△AOP+S△BOP= × ×t+ × ×t= ,∴△AOB的面积为定值,③正确;取PA的中点C,连接OC,由PA=2PB,易证∠POB=∠POC,又△AOP是直角三角形,且∠APO=90°,所以∠COA不可能等于∠POC,因此∠AOP≠2∠BOP,②错误; ∵点P是动点,AP=2BP,所以AB不可能始终与OA或OB相等,因此,△AOB不可能始终是等腰三角形,④错
误.故一定正确的结论有2个.
5.已知双曲线y= (k≠0)经过点(m,n),(n+1,m-1),(m2-1,n2-1),则k的值为 ( )A.0或3 B.0或-3C.-3 D.3
思路分析 由k=xy得到k=mn=(n+1)(m-1),从而求得m-n=1,再利用k=(m2-1)(n2-1)变形为k(m+1)·(n-1)=k,即 可求得k=3.
6.在平面直角坐标系中,O为原点,抛物线y=-x2+3x的对称轴l交x轴于点M,直线y=mx-2m(m<0)与该抛物线x 轴上方的部分交于点A,与l交于点B,过点A作AN⊥x轴,垂足为N,则下列线段中,长度随线段ON长度的增 大而增大的是 ( )A.AN B.MN C.BM D.AB
答案 C 直线y=mx-2m过定点(2,0)且m<0,由题意画出草图如图,∵点A在x轴上方,∴07.(2019莆田二检,10)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特 定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系式p=at2+bt+c(a,b,c是常数且a≠0),如图记录 了三次试验的数据.根据上述函数模型和试验数据,可得到最佳加工时间为 ( ) A.4.25分钟 B.4.00分钟C.3.75分钟 D.3.50分钟
答案 C 由题意知,函数p=at2+bt+c(a,b,c为常数且a≠0)的图象经过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),则 解得 ∴p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,∴最佳加工时间为3.75分钟,故选C.
8.P是抛物线y=x2-4x+5上一点,过点P作PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足分别是M,N,则PM+PN的最小值是 ( )A. B. C.3 D.5
二、填空题（每小题4分，共12分）
9.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表所示.
得出下列结论:①ac<0;②当x>1时,y随x的增大而减小;③3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根;④当-10.以上结论正确的是 .(填序号)
答案 ①③④
解析 利用待定系数法,任取表格中三组对应值代入解析式,可求得a=-1,b=3,c=3,∴ac<0,①正确;图象的对称轴为直线x=1.5,∵a<0,∴当x>1.5时,y随x的增大而减小,当10,故④正确.
10.在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,Q两点.若平移 直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是 .
答案 a>1或a<-1
解法二:∵直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且P、Q都在x轴的下方,∴令y=x-a+1<0,解得x0时,解得00时,若 有解,则a-1>0,解得a>1;②当a<0时,若 有解,则2a1或a<-1.
难点突破 根据二次函数图象的特点分a<0和a>0两种情况考虑是解答本题的突破口.
11.[素养题]已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y= (x>0)、y= (k>2,x>0)的图象分别交于P,Q两点,点Q关于点P的对称点为O,Rt△ABC的直角顶点A (a>0)是反比例函数y= (x>0)图象上一动点,顶点B,C在反比例函数y= (x>0)的图象上,且AC平行于y轴,AB平行于x轴,则△ABC的面积为 .
解析 如图. ∵函数y=2x的图象与反比例函数y= (x>0)的图象交于P,∴2x= ,解得x=±1,又∵x>0,∴x=1,∴点P的坐标为(1,2).∵Q关于点P的对称点为O,∴点P为OQ的中点,
∴Q(2,4),∵点Q在反比例函数y= (x>0)的图象上,∴k=8,∴y= .故A (a>0),则C ,把y= 代入y= ,解得x= ,∴B ,∴AB=a- = ,AC= - = ,∴S△ABC= AB·AC= · · = .故答案为 .
三、解答题（共56分）
12.(14分)(2018漳州质检,24)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的对称轴为直线x=-2.(1)b= (用含a的代数式表示);(2)当a=-1时, 若关于x的方程ax2+bx+c=0在-3解析 (1)4a.(2)当a=-1时,b=-4.∵关于x的方程-x2-4x+c=0在-3当x=-1时,y=a-2.∵当-1≤x≤0时,抛物线上的点到x轴距离的最大值为4,∴有两种情况:①若|4a-2|=4,则a= 或a=- .此时|a-2|= <4或|a-2|= <4,符合题意.②若|a-2|=4,则a=6或a=-2.此时|4a-2|=22>4或|4a-2|=10>4.∴a=6或a=-2不符合题意,舍去.综上所述,a= 或a=- .
13.[原创题](14分)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0,b>0)与x轴只有一个公共点(-2,0).(1)求a、b满足的关系式;(2)设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0,b>0)与y轴的交点为B,直线l过点A(m,0)(m<0).①当m=-4时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0,b>0)上存在点C,点C和A,B构成以点C为直角顶点的等腰直角三角 形,求抛物线的解析式;②将①中的抛物线向右平移2个单位后得抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0),设直线l与抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠ 0)交于M,N两点,与y轴交于D点,若OM⊥ON,证明:对于每个满足条件的实数m,OD的长都为定值.
解析 (1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0,b>0)与x轴只有一个公共点(-2,0),∴4a-2b+c=0,Δ=b2-4ac=0,∴c=2b-4a,∴b2-4a(2b-4a)=0,∴(b-4a)2=0,∴b=4a.(2)①∵m=-4,∴A(-4,0).∵点C和A,B构成以点C为直角顶点的等腰直角三角形,∴C(-4,4),B(0,4),∴c=2b-4a=4,∴8a-4a=4,∴a=1,∴b=4.∴抛物线的解析式为y=x2+4x+4.②证明:将抛物线y=x2+4x+4=(x+2)2向右平移2个单位后得抛物线y=x2.
如图,设直线l的解析式为y=kx+t,则D(0,t),OD=t,不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),x1<0,x2>0.过M、N分别作x轴的垂线,垂足分别为P、Q,∴∠OPM=∠NQO=90°.∵OM⊥ON,∴∠MON=90°,∴∠MOP+∠NOQ=90°,∵∠ONQ+∠NOQ=90°,∴∠MOP=∠ONQ.在△MOP与△ONQ中, ∴△MOP∽△ONQ,∴ = ,即 = ,∴x1·x2+y1·y2=0,
∵y1= ,y2= ,∴x1·x2+ · =0,∴x1·x2(1+x1·x2)=0,∵x1·x2≠0,∴1+x1·x2=0,∴x1·x2=-1.将y=kx+t代入y=x2,整理得x2-kx-t=0,则x1·x2=-t,∴-t=-1,∴t=1,即OD=1,∴对于每个满足条件的实数m,OD的长都为定值.
思路分析 (1)由抛物线y=ax2+bx+c(a≠0,b>0)与x轴只有一个公共点(-2,0),可得Δ=b2-4ac=0,4a-2b+c=0,消去c可求出a、b的关系式.(2)①由等腰直角三角形的性质可知,C点横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值,于是可由A(-4,0)求得C(-4,4),B(0,4),因此c=4,进而求出a、b的值;②将抛物线y=x2+4x+4=(x+2)2向右平移2个单位后得抛物线y=x2.设直线l的解析式为y=kx+t,则D(0,t),OD =t,设M(x1,y1),N(x2,y2),x1<0,x2>0.过M、N分别作x轴的垂线,垂足分别为P、Q,由两角对应相等的两个三角 形相似得出△MOP∽△ONQ,根据相似三角形对应边成比例得到x1·x2=-1,而将y=kx+t代入y=x2,整理得x2- kx-t=0,根据一元二次方程根与系数的关系得出x1·x2=-t,于是t=1,即OD=1,从而证明OD的长与m无关.
14.(14分)(2019龙岩二检,25)已知直线y=x+t与双曲线y= (k>0)交于C、D两点,过C作CA⊥x轴于点A,过D作DB⊥y轴于点B,连接AB.(1)求C、D两点的坐标;(2)试探究直线AB与CD的位置关系,并说明理由;(3)已知点D(3,2),且C、D在抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)上.当m≤x≤n(mn<0)时,函数y=ax2+bx+5的最小值为 2m,最大值为2n,求m+n的值.
解析 (1)由直线y=x+t与双曲线y= (k≠0)相交,得 =x+t,得x2+tx-k=0,所以x= . (2分)设C(xC,yC),D(xD,yD).若xCxD,则D ,C , .(4分)(注:只写其中一种不扣分)(2)AB∥CD,理由如下: (5分)不妨设xC由(1)知C ,D , ,所以A ,B . (6分)设直线AB的解析式为y=px+q(p≠0),将A,B两点坐标代入得p· +q=0,q= ,所以p=1,所以直线AB的解析式为y=x+ . (7分)所以AB∥CD. (8分)(3)将(3,2)代入y= (k>0)得k=6,
将(3,2)代入y=x+t,得t=-1.所以双曲线的解析式为y= ,直线的解析式为y=x-1.由 =x-1得x1=3,x2=-2,所以C(-2,-3). (9分)因为C(-2,-3),D(3,2)在抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)上,所以 解得 所以y=-x2+2x+5=-(x-1)2+6. (10分)由mn<0,可知m<0,n>0.①当0所以m,n即为一元二次方程-x2+2x+5=2x的两根,又该方程的根为x1,2=± ,且m1,即m>2-n时,由函数的最小值为2m,最大值为2n可知
所以 又因为m<0,所以m=1,n=3不符合题意. (13分)综上所述,m+n的值为- +3. (14分)
15.(14分)(2019福州一检,25)已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为y轴,且过点(1,2),(2,5).(1)求二次函数的解析式;(2)如图,过点E(0,2)的一次函数图象与二次函数的图象交于A,B两点(A点在B点的左侧),过点A,B分别作 AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D.①当CD=3时,求该一次函数的解析式;②分别用S1,S2,S3表示△ACO,△ECD,△EDB的面积,问是否存在实数t,使得 =tS1S3成立?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
解析 (1)依题意,得 解得 (3分)∴二次函数的解析式为y=x2+1. (4分)(2)设一次函数的解析式为y=kx+m(k≠0),则2=k·0+m,∴m=2,即该一次函数的解析式为y=kx+2(k≠0). (5分)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1解得x= ,∴x1= ,x2= .①CD=x2- x1= - = , (6分)∵CD=3,∴k2+4=9,解得k=± , (7分)∴该一次函数的解析式是y= x+2或y=- x+2. (9分)②依题意,得S1= AC·OC= y1·|x1|=- x1y1,S2= CD·OE= (x2-x1)·2=x2-x1,
S3= BD·OD= x2y2, (11分)∴ =(x2-x1)2=k2+4,S1S3=- x1y1· x2y2=- x1x2(kx1+2)(kx2+2)=- x1x2[k2x1x2+2k(x1+x2)+4], (12分)∵x1= ,x2= ,∴x1+x2=k,x1x2=-1,∴S1S3=- ×(-1)×[k2×(-1)+2k·k+4]= k2+1= (k2+4), (13分)∴ =4S1S3,故存在实数t=4,使得 =tS1S3成立. (14分)
中考数学 （福建专用）
§3.4 二次函数
2016—2020年全国中考题组
考点一 二次函数的概念
1.(2020广东,7,3分)把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数解析式为 ( )A.y=x2+2 B.y=(x-1)2+1C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-1)2+3
答案 C 根据抛物线的平移规律,知把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数 解析式为y=[(x-1)-1]2+2=(x-2)2+2,故选C.
解题关键 本题考查二次函数图象的平移,解答的关键在于熟练掌握抛物线的平移规律“左加右减、 上加下减”.
2.(2018山西,9,3分)用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为( )A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
3.(2016南平,14,4分)写出一个y关于x的二次函数的解析式,且它的图象的顶点在y轴上: .
答案 y=x2(答案不唯一)
解析 根据二次函数的图象的顶点在y轴上,可得解析式的一次项系数为0,进而得出答案.
4.(2019湖北武汉,15,3分)抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b- bx的解是 .
答案 x1=-2,x2=5
考点二 二次函数的图象与性质
1.(2020福建,10,4分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax2-2ax上的点,下列命题正确的是 ( )A.若|x1-1|>|x2-1|,则y1>y2B.若|x1-1|>|x2-1|,则y1
方法指导 解决二次函数中a不确定的问题时,一定要分a>0和a<0两种情况讨论,并且能结合图象分析 题意.(画草图时,需画出开口方向,对称轴等)
2.(2020河北,15,2分)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的 说法如下,甲:若b=5,则点P的个数为0;乙:若b=4,则点P的个数为1;丙:若b=3,则点P的个数为1.下列判断正确的是 ( ) A.乙错,丙对 B.甲和乙都错C.乙对,丙错 D.甲错,丙对
答案 C y=x(4-x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,抛物线的顶点坐标为(2,4),若b=5,则点P的个数为0,甲正确;若b=4,则 点P的个数为1(只能是顶点),乙正确;若b=3,根据二次函数图象的对称性,可知点P的个数为2,丙错误,故选 C.
解题关键 从抛物线的对称性入手,结合图象探究直线y=b与抛物线的交点情况是解题关键.
3.(2020浙江杭州,10,3分)在平面直角坐标系中,已知函数y1=x2+ax+1,y2=x2+bx+2,y3=x2+cx+4,其中a,b,c是正 实数,且满足b2=ac.设函数y1,y2,y3的图象与x轴的交点个数分别为M1,M2,M3, ( )A.若M1=2,M2=2,则M3=0 B.若M1=1,M2=0,则M3=0C.若M1=0,M2=2,则M3=0 D.若M1=0,M2=0,则M3=0
答案 B 令y1=0,y2=0,y3=0,它们的判别式分别为Δ1,Δ2,Δ3,则Δ1=a2-4,Δ2=b2-8,Δ3=c2-16.∵b2=ac,∴c= ,c2= (a,b,c为正实数).A.若M1=2,M2=2,则Δ1=a2-4>0,Δ2=b2-8>0,∴a2>4,b4>64,∴c2= 与16无法比较大小,∴无法判断Δ3=c2-16与0的大小,故A错误.B.若M1=1,M2=0,则Δ1=a2-4=0,Δ2=b2-8<0,∴a2=4,0
∴0
4.(2019福建,10,4分)若二次函数y=|a|x2-bx+c的图象过不同的五点A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D( ,y2),E(2,y3),则y1,y2,y3的大小关系是 ( )A.y1
5.(2016福州,11,3分)已知点A(-1,m),B(1,m),C(2,m+1)在同一个函数图象上,这个函数图象可以是 ( )
答案 C ∵点A(-1,m),B(1,m),∴点A与B关于y轴对称,故A,B错误;∵B(1,m),C(2,m+1),m+1>m,∴C正确,D错误.故选C.
6.(2019河南,8,3分)已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为 ( )A.-2 B.-4 C.2 D.4
7.(2019天津,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
且当x=- 时,与其对应的函数值y>0.有下列结论:①abc>0;②-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根;③0
方法指导 本题考查了抛物线与y轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标 特征以及二次函数的性质,逐一分析三个结论的正误是解题的关键.
8.(2019黑龙江齐齐哈尔,10,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(-3,0),其对称轴为直线x=- ,结合图象分析下列结论: ①abc>0;②3a+c>0;③当x<0时,y随x的增大而增大;④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=- ,x2= ;⑤ <0;⑥若m,n(m
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
答案 C ∵抛物线开口向下,∴a<0,∵对称轴为直线x=- ,∴- =- ,∴b=a<0,∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0,∴abc>0,∴①正确.∵抛物线经过点(-3,0),∴9a-3b+c=0,又∵b=a,∴c=-6a,∴3a+c=3a-6a=-3a>0,∴②正确.
∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=- ,∴当x<- 时,y随x的增大而增大,当x>- 时,y随x的增大而减小,∴③错误.∵b=a,c=-6a,∴一元二次方程cx2+bx+a=0可化为一元二次方程-6ax2+ax+a=0,即6x2-x-1=0,解得x1=- ,x2= ,∴④正确.∵抛物线与x轴有2个交点,∴b2-4ac>0,∴ <0,∴⑤正确.
∵点(-3,0)关于直线x=- 的对称点为(2,0),∴y=a(x+3)(x-2),∴方程a(x+3)(x-2)+3=0的两根即为直线y=-3与抛物线交点的横坐标,结合题图可知m<-3,n>2,∴⑥正确.故选C.
解后反思 本题考查了二次函数图象与系数的关系,解题的关键是利用数形结合的思想将二次函数解 析式与函数图象结合在一起.二次函数图象的开口方向,对称轴方程,与x轴、y轴的交点坐标以及顶点坐 标等都是解题的突破口.
9.(2018湖北黄冈,6,3分)当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为 ( )A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2
答案 D y=x2-2x+1=(x-1)2,当a≥1时,函数y=x2-2x+1在a≤x≤a+1内,y随x的增大而增大,其最小值为a2-2a +1,则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+1≤1,即a≤0时,函数y=x2-2x+1在a≤x≤a+1内,y随x的增大而 减小,其最小值为(a+1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a=-1或a=1(舍去);当0
考点三 二次函数综合
1.(2020山西,9,3分)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2 +v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地 面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为 ( )A.23.5 m B.22.5 m C.21.5 m D.20.5 m
2.(2020陕西,10,3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位,则平移 后得到的抛物线的顶点一定在 ( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
A.y= x2 B.y=- x2 C.y= x2 D.y=- x2
3.(2019山西,9,3分)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛 物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛 物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点.拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78 米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系.则 此抛物线型钢拱的函数表达式为 ( ) 图1 图2
答案 B 设抛物线型钢拱的函数表达式为y=ax2,将B(45,-78)代入得-78=a·452,∴a=- ,∴抛物线型钢拱的函数表达式为y=- x2,故选B.
思路分析 根据题意先确定点B的坐标,然后利用待定系数法求出函数表达式.
方法指导 用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤如下:步骤一:设出含待定系数的函数表达式;步骤二:把已知条件(自变量x与函数的对应值y)代入表达式,得到 关于待定系数的方程或方程组;步骤三:解方程或方程组,求出待定系数;步骤四:将求得的待定系数的值 代入所设表达式,写出表达式.
4.(2018北京,7,2分)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线 的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠ 0).下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后 飞行到最高点时,水平距离为 ( ) A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m
答案 B 由题图中给出的点可知,抛物线的最高点的横坐标在0到20之间.若最高点的横坐标为10,由对 称性可知,(0,54.0)关于对称轴的对称点为(20,54.0),而54.0<57.9,所以最高点的横坐标大于10.故选B.
5.(2018湖北武汉,15,3分)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t- t2.在飞机着陆滑行中,最后4 s滑行的距离是 m.
答案 24
6.(2020福建,25,14分)已知直线l1:y=-2x+10交y轴于点A,交x轴于点B,二次函数的图象过A,B两点,交x轴于 另一点C,BC=4,且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),当x1>x2≥5时,总有y1>y2.(1)求二次函数的表达式;(2)若直线l2:y=mx+n(n≠10),求证:当m=-2时,l2∥l1;(3)E为线段BC上不与端点重合的点,直线l3:y=-2x+q过点C且交直线AE于点F,求△ABE与△CEF面积之和 的最小值.
解析 本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知 识,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识,考查函数与方程思想、数形结合思 想、化归与转化思想及分类与整合思想.(1)对于l1:y=-2x+10,当x=0时,y=10,所以A(0,10);当y=0时,-2x+10=0,x=5,所以B(5,0).又因为BC=4,所以C(9,0)或C(1,0),若抛物线过C(9,0),则当5
所以二次函数的表达式为y=2x2-12x+10.(2)证明:当m=-2时,直线l2:y=-2x+n(n≠10)与直线l1:y=-2x+10不重合,假设l1和l2不平行,则l1和l2必相交,设交点为P(x0,y0),由 得-2x0+10=-2x0+n,解得n=10,与已知n≠10矛盾,所以l1与l2不相交,所以l2∥l1.(3)如图,因为直线l3:y=-2x+q过C(1,0),所以q=2,
又因为直线l1:y=-2x+10,所以l3∥l1,即CF∥AB,所以∠FCE=∠ABE,∠CFE=∠BAE,所以△FCE∽△ABE,所以 = ,设BE=t(0
疑难突破 (1)求抛物线的表达式,可利用待定系数法列方程组解答,本题点A、B的坐标很容易就可以求 得,点C的坐标要通过所给的条件进行判断.(2)证明两条直线平行的方法:①利用反证法;②通过证同位角相等,进而得到两直线平行.(3)先根据题意设BE=t,用含t的式子表示出所求三角形的面积,可用配方法求面积和的最小值.
7.(2020广东广州,25,14分)平面直角坐标系xOy中,抛物线G:y=ax2+bx+c(0
(3)∵y=ax2+bx+c=ax2-6ax+c=a(x-3)2+c-9a,∴D(3,c-9a).把xF= +3代入y=a(x-3)2+c-9a,得yF= +c-9a,∴F .∵F点在D点右侧,∴E .分别过点E,F作y轴的平行线,过点D作x轴的平行线,依次交于点H,K,则tan∠FDK=tan∠EDH,
∴ = ,即 = ,化简得c-9a=0.∴抛物线的解析式为y=a(x-3)2.当1
解析 (1)设AD的长为x米,则AB的长为 米.依题意,得 =450.解得x1=10,x2=90.因为a=20,x≤a,所以x=90不合题意,舍去.故所利用旧墙AD的长为10米.(2)设AD的长为x米,0
9.(2018湖北黄冈,23,9分)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品,经分析发现月销售量y(万件) 与月份x(月)的关系式为y= 每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表:
(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式;(2)若月利润w(万元)=当月销售量y(元件)×当月每件产品的利润z(元),求月利润w(万元)与月份x(月)的关 系式;(3)当x为何值时,月利润w有最大值?最大值为多少?
解析 (1)根据表格可知,当1≤x≤10且x为整数时,z=-x+20;当11≤x≤12且x为整数时,z=10.∴z与x的关系式为z= 或z= (2)当1≤x≤8且x为整数时,w=(-x+20)(x+4)=-x2+16x+80;当9≤x≤10且x为整数时,w=(-x+20)(-x+20)=x2-40x+400;当11≤x≤12且x为整数时,w=10(-x+20)=-10x+200,∴w与x的关系式为w=
(3)当1≤x≤8且x为整数时,w=-x2+16x+80=-(x-8)2+144,∴当x=8时,w有最大值,为144;当9≤x≤10且x为整数时,w=x2-40x+400=(x-20)2,∴当x=9时,w有最大值,为121;当11≤x≤12且x为整数时,w=-10x+200,∴当x=11时,w有最大值,为90.∵90<121<144,∴x=8时,w有最大值,为144.(或当1≤x≤8且x为整数时,w有最大值144;当x=9时,w=121;当x=10时,w=100;当x=11时,w=90;当x=12时,w =80)
10.(2019福建,25,14分)已知抛物线y=ax2+bx+c(b<0)与x轴只有一个公共点.(1)若抛物线与x轴的公共点坐标为(2,0),求a,c满足的关系式;(2)设A为抛物线上的一个定点,直线l:y=kx+1-k与抛物线交于点B,C,直线BD垂直于直线y=-1,垂足为D.当k =0时,直线l与抛物线的一个交点在y轴上,且△ABC是等腰直角三角形.①求点A的坐标和抛物线的解析式;②证明:对于每个给定的实数k,都有A,C,D三点共线.
解析 (1)依题意, Δ=b2-4ac=0,- =2,所以(-4a)2-4ac=0,因为a≠0,所以c=4a,即a,c满足的关系式为c=4a.(2)①当k=0时,直线l为y=1,它与y轴的交点为(0,1).因为直线y=1与x轴平行,所以等腰直角△ABC的直角顶点只能是A,且A是抛物线的顶点.过A作AM⊥BC,垂足为M,则AM=1,所以BM=MC=AM=1,故点A的坐标为(1,0).所以抛物线的解析式可改写为y=a(x-1)2.因为抛物线过点(0,1),所以1=a(0-1)2,解得a=1.所以抛物线的解析式为y=(x-1)2,即y=x2-2x+1.②证明:设B(x1,y1),C(x2,y2),则D(x1,-1).由 得x2-(k+2)x+k=0.Δ=(k+2)2-4k=k2+4>0,
由抛物线的对称性,不妨设x1
11.(2018福建,25,14分)已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2).(1)若点(- ,0)也在该抛物线上,求a,b满足的关系式;(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x1
因为点C在抛物线上,且c=2,b=0,所以3a+2=-1,解得a=-1.所以所求抛物线的解析式为y=-x2+2. ②证明:设点M的坐标为(x1,- +2),点N的坐标为(x2,- +2).直线OM的解析式为y=k1x,因为O,M,N三点共线,所以x1≠0,x2≠0,且 = ,
即-x1+ =-x2+ ,化为x1-x2=- ,由x1≠x2,得x1x2=-2,即x2=- ,所以点N的坐标为 ,设点N关于y轴的对称点为点N',则点N'的坐标为 .因为点P与点O关于点A对称,所以OP=2OA=4,即点P坐标为(0,4).设直线PM的解析式为y=k2x+4,因为点M的坐标为(x1,- +2),所以- +2=k2x1+4,
则k2=- ,即直线PM的解析式为y=- x+4.因为- · +4= =- +2,即点N'在直线PM上,所以PA平分∠MPN.
解后反思 本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、圆的性质、等边三角形的判定与性质、解直 角三角形、角平分线的判定等基础知识,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识, 考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.
12.(2017福建,25,14分)已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),且a
所以 = ,解得x1=1,x2= -2,所以点N .(i)根据勾股定理得,MN2= + = - +45=20 ,因为-1≤a≤- ,由反比例函数的性质知-2≤ ≤-1,所以 - <0,所以MN=2 =3 - ,所以5 ≤MN≤7 .(ii)作直线x=- 交直线y=2x-2于点E.
把x=- 代入y=2x-2得,y=-3,即E .又因为M(1,0),N ,且由(2)知a<0,所以△QMN的面积S=S△QEN+S△QEM= · · = - - .即27a2+(8S-54)a+24=0,②因为关于a的方程②有实数根,
所以Δ=(8S-54)2-4×27×24≥0,即(8S-54)2≥(36 )2,又因为a<0,所以S= - - > ,所以8S-54>0,所以8S-54≥36 ,即S≥ + ,当S= + 时,由方程②可得a=- 满足题意.故当a=- ,b= 时,△QMN面积的最小值为 + .
13.(2016三明,24,12分)如图,已知点A(0,2),B(2,2),C(-1,-2),抛物线F:y=x2-2mx+m2-2与直线x=-2交于点P.(1)当抛物线F经过点C时,求它的表达式;(2)设点P的纵坐标为yP,求yP的最小值,此时抛物线F上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1
解得-2≤m≤0或2≤m≤4.
14.(2016南平,24,12分)已知抛物线y=ax2(a≠0)经过点A(4,4).(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,抛物线上存在点B,使得△AOB是以AO为直角边的直角三角形,请直接写出所有符合条件的点B 的坐标: ;(3)如图2,直线l经过点C(0,-1),且平行于x轴,若点D为抛物线上任意一点(原点O除外),直线DO交l于点E,过 点E作EF⊥l,交抛物线于点F,求证:直线DF一定经过点G(0,1).
解析 (1)∵抛物线y=ax2(a≠0)经过点A(4,4),∴16a=4,∴a= ,∴抛物线的解析式为y= x2.(2)(-4,4)或(-8,16).详解:∵△AOB是以AO为直角边的直角三角形,∴直角顶点是点O或点A,①当直角顶点是点O时,过点O作OB⊥OA,交抛物线于点B,∵点A(4,4),∴直线OA的解析式为y=x,∴直线OB的解析式为y=-x,由 得 或 ∴B(-4,4);②当直角顶点为点A时,过点A作AB⊥OA,由①得,直线OA的解析式为y=x,又∵A(4,4),∴直线AB的解析式 为y=-x+8,
由 得 或 ∴B(-8,16).∴满足条件的点B的坐标为(-4,4)或(-8,16).(3)证明:设点D ,∴直线DO的解析式为y= x,∵l∥x轴,C(0,-1),令y=-1,得x=- ,∴直线DO与l的交点E ,∵EF⊥l,l∥x轴,∴点F的横坐标为- ,∵点F在抛物线上,∴F .设直线DF的解析式为y=kx+b(k≠0),
∴ ∴ ∴直线DF的解析式为y= x+1,∵点G(0,1)满足直线DF的解析式,∴直线DF一定经过点G.
15.(2016福州,27,13分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,顶点为A(h,k)(h≠0).(1)当h=1,k=2时,求抛物线的解析式;(2)若抛物线y=tx2(t≠0)也经过A点,求a与t之间的关系式;(3)当点A在抛物线y=x2-x上,且-2≤h<1时,求a的取值范围.
解析 根据题意,抛物线的解析式可化为y=a(x-h)2+k(a≠0).(1)∵h=1,k=2,∴y=a(x-1)2+2,∵该抛物线经过原点,∴a+2=0,解得a=-2,∴y=-2(x-1)2+2,即y=-2x2+4x.(2)∵抛物线y=tx2(t≠0)经过点A(h,k),∴k=th2.∴y=a(x-h)2+k可化为y=a(x-h)2+th2.∵抛物线y=a(x-h)2+th2(a≠0)经过原点,∴ah2+th2=0.∵h≠0,∴a=-t.
(3)∵点A(h,k)在抛物线y=x2-x上,∴k=h2-h.∴y=a(x-h)2+k可化为y=a(x-h)2+h2-h.∵抛物线y=a(x-h)2+h2-h(a≠0)经过原点,∴ah2+h2-h=0.∵h≠0,∴a= -1.分两类讨论:①当-2≤h<0时,由反比例函数性质可知 ≤- ,∴a≤- ;②当0
解后反思 本题考查二次函数等知识,解题的关键是会用参数解决问题,题目比较难,参数比较多,第(3) 问要注意分类讨论,属于中考压轴题.
16.(2016厦门,27,12分)已知抛物线y=-x2+bx+c与直线y=-4x+m相交于第一象限不同的两点:A(5,n),B(e,f).(1)若点B的坐标为(3,9),求此抛物线的解析式;(2)将此抛物线平移,设平移后的抛物线为y=-x2+px+q,过点A与点(1,2),且m-q=25.在平移过程中,若抛物线 y=-x2+bx+c向下平移了s(s>0)个单位长度,求s的取值范围.
解析 (1)将(3,9)代入y=-4x+m,得9=-12+m,解得m=21.故直线的解析式为y=-4x+21.将(5,n)代入y=-4x+21,得n=1.将A(5,1),B(3,9)分别代入y=-x2+bx+c,得b=4,c=6,故抛物线的解析式为y=-x2+4x+6.(2)将A(5,n)依次代入y=-x2+bx+c,y=-4x+m,将A(5,n),(1,2)分别代入y=-x2+px+q,得-25+5b+c=n,-20+m=n,-25+5p+q=n,-1+p+q=2.又m-q=25,解得m=22,n=2,p=6,q=-3,c=27-5b.∴直线的解析式为y=-4x+22,平移前抛物线的解析式为y=-x2+bx+27-5b,
平移后抛物线的解析式为y=-x2+6x-3.在平移过程中,抛物线向下平移了s个单位长度,又y=-x2+6x-3=-(x-3)2+6,y=-x2+bx+27-5b=- + ,∴s= -6= (b-10)2-4.当-x2+bx+27-5b=-4x+22时,可得x1=5,x2=b-1.∴B(b-1,-4b+26).∵A,B在第一象限且为不同的两点,∴b-1>0,-4b+26>0且b-1≠5.∴1
解析 (1)∵抛物线y=ax2+bx- 与y轴交于点A,∴点A的坐标为 .∵将点A向右平移2个单位长度,得到点B,∴点B的坐标为 .(2)∵点B 在抛物线上,∴4a+2b- =- ,即b=-2a.∴抛物线的对称轴为x=1.(3)点A ,B ,P .
当a>0时,- <0,如图1. 图1设抛物线上的点C .∵当x<1时,y随x的增大而减小,∴yC<- .
设抛物线上的点D(xD,2)(xD>1).∵当x>1时,y随x的增大而增大,∴xD>2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点.当a<0时,(i)当-
设抛物线上的点C .∵当x<1时,y随x的增大而增大,∴yC>- .令抛物线上的点D(xD,2)(xD>1).∵当x>1时,y随着x的增大而减小,∴xD>2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点.(ii)当a=- 时,A(0,2),B(2,2),P ,Q(2,2),如图3.
图3结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点Q(2,2).(iii)当a<- 时,0<- <2,如图4.
图4令抛物线上的点C .∵当x<1时,y随x的增大而增大,∴yC>- .令抛物线上的点D(xD,yD) ,∵当x>1时,y随x的增大而减小,
∴xD<2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点.综上所述,a的取值范围为a≤- .
思路分析 本题第(3)问需要对a的大小进行分类讨论,同时要关注抛物线与y轴的交点坐标.
解题关键 解决本题的关键是分情况讨论后精准画图,要在探究的过程中发现点P与点A,B纵坐标相等 的关系,进而关注点Q与抛物线的关系.
(2017甘肃兰州,9,4分)将抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到新抛物线的表达式为 ( )A.y=3(x-3)2-3 B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3 D.y=3x2-6
教师专用题组
考点一 二次函数的概念
答案 A 直接根据二次函数图象“左加右减,上加下减”的平移规律进行解答即可.故选A.
解题关键 本题考查了二次函数图象平移的变化规律,解题的关键是掌握二次函数图象平移与解析式 的变化规律的对应关系.
方法规律 二次函数图象的平移规律:将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向上平移k(k>0)个单位所得的函数图 象的关系式为y=ax2+bx+c+k,向下平移k(k>0)个单位所得的函数图象的关系式为y=ax2+bx+c-k;向左、右 平移应该先将二次函数解析式化为顶点式,即y=a(x-h)2+m的形式,向左平移k(k>0)个单位所得的函数图 象的关系式为y=a(x-h+k)2+m,向右平移k(k>0)个单位所得的函数图象的关系式为y=a(x-h-k)2+m.以上规律 可简记为“上加下减,左加右减”.
考点二 二次函数的图象与性质
1.(2020江西,6,3分)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点A,与x轴正半轴交 于点B,连接AB,将Rt△OAB向右上方平移,得到Rt△O'A'B',且点O',A'落在抛物线的对称轴上,点B'落在抛 物线上,则直线A'B'的表达式为 ( )A.y=x B.y=x+1C.y=x+ D.y=x+2
答案 B 令x=0,则y=-3,故A(0,-3).令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,故B(3,0),易得直线AB的表达式为y= x-3.∵将Rt△OAB向右上方平移得到Rt△O'A'B',且点O'、A'落在抛物线的对称轴x=1上,∴点B'的横坐标 为4,代入抛物线表达式可得B'(4,5).∵A'B'∥AB,∴可设直线A'B'的表达式为y=x+b,将点B'(4,5)代入可得b=1,∴直线A'B'的表达式为y=x+1,故选B.
思路分析 首先求出点A、B的坐标,然后由待定系数法求出直线AB的表达式.因为点O、B在x轴上,所以 向右上方平移后O'B'∥x轴,A'B'∥AB,又点O'、A'落在抛物线的对称轴x=1上,可推出点B'的横坐标为4,从 而可求点B'的坐标,将点B'的坐标代入所设的直线A'B'的表达式中即可得解.
2.(2020浙江温州,9,4分)已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则 ( )A.y3
3.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是( ) A.c<0 B.b2-4ac<0C.a-b+c<0 D.图象的对称轴是直线x=3
答案 D 抛物线与y轴的正半轴相交,所以c>0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0;当x=-1时,y=a-b+c,由题图可知a-b+c>0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x= =3,选项D正确,故选D.
4.(2018四川成都,10,3分)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是 ( )A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x<0时,y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为-3
答案 D 因为y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,所以,当x=0时,y=-1,选项A错误;该函数图象的对称轴是直线x=-1,选 项B错误;当x<-1时,y随x的增大而减小,选项C错误;当x=-1时,y取得最小值,此时y=-3,选项D正确.故选D.
思路分析 根据题中的函数解析式以及二次函数的性质,可以判断各个选项中的结论是否成立,从而解 答本题.
解题关键 解答本题的关键是理解二次函数的性质,会用配方法求二次函数的最值.
5.(2018黑龙江齐齐哈尔,10,3分)抛物线C1:y1=mx2-4mx+2n-1与平行于x轴的直线交于A、B两点,且A点坐 标为(-1,2),请结合图象分析以下结论:①对称轴为直线x=2;②抛物线与y轴交点坐标为(0,-1);③m> ;④若抛物线C2:y2=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点,则a的取值范围是 ≤a<2;⑤不等式mx2-4mx+2n>0的解作为函数C1的自变量的取值时,对应的函数值均为正数,其中正确的结论有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案 B 抛物线的对称轴为直线x= =2,所以①正确;抛物线与y轴的交点坐标是(0,2n-1),所以②错误;把(-1,2)代入抛物线解析式,可得2n=3-5m,所以抛物线解析式为y1=mx2-4mx+2-5m,因为抛物线与y轴的 交点在y轴负半轴上,所以当x=0时,y1<0,即2-5m<0,解得m> ,所以③正确;由抛物线C1与平行于x轴的直线交于A(-1,2)及结论①,可得B(5,2),易知抛物线C2的对称轴为y轴,设A点关于y轴对称的点为E,画图可知,要 使抛物线C2与线段AB恰有一个公共点,则抛物线C2与线段EB(不含点E,含点B)恰有一个公共点,当抛物线 C2经过点E时,a=2,当抛物线C2经过点B时,a= ,所以 ≤a<2,所以④正确;mx2-4mx+2n>0,即y1+1>0,即y1>-1,由图象知y1不一定是正数,所以⑤错误,正确的有①③④,共3个,故选B.
6.(2017四川绵阳,10,3分)将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与 一次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是 ( )A.b>8 B.b>-8 C.b≥8 D.b≥-8
7.(2017甘肃兰州,5,4分)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:
那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是 ( )A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3
答案 C 由表格中的数据可以看出最接近于0的数是0.04,它对应的x的值是1.2,故方程x2+3x-5=0的一 个近似根是1.2,故选C.
8.(2019吉林长春,14,3分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax+ (a>0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M,P为抛物线的顶点,若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则a的值 为 .
答案 2
思路分析 根据对称性和解析式特点,求出A、B、M的坐标,再根据三角形相似,求出点P的坐标,代入抛 物线解析式求出a.
9.(2019河北,26,12分)如图,若b是正数,直线l:y=b与y轴交于点A;直线a:y=x-b与y轴交于点B;抛物线L:y=-x2 +bx的顶点为C,且L与x轴右交点为D.(1)若AB=8,求b的值,并求此时L的对称轴与a的交点坐标;(2)当点C在l下方时,求点C与l距离的最大值;(3)设x0≠0,点(x0,y1),(x0,y2),(x0,y3)分别在l,a和L上,且y3是y1,y2的平均数,求点(x0,0)与点D间的距离;(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上,把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”,分别直接写出b=2 019和b=2 019.5时“美点”的个数.
解析 (1)当x=0时,y=x-b=-b,∴B(0,-b).∵AB=8,A(0,b),∴b-(-b)=8.∴b=4. (2分)∴L的方程为y=-x2+4x.∴L的对称轴为x=2.当x=2时,y=x-4=-2.∴L的对称轴与a的交点坐标为(2,-2). (4分)(2)∵y=- + ,∴L的顶点C的坐标为 . (5分)∵点C在l下方,∴C与l的距离为b- =- (b-2)2+1≤1.∴点C与l距离的最大值为1. (7分)
(3)由题意得y3= ,即y1+y2=2y3,得b+x0-b=2(- +bx0).解得x0=0或x0=b- .但x0≠0,取x0=b- . (9分)对于L,当y=0时,0=-x2+bx,即0=-x(x-b).解得x1=0,x2=b.∵b>0,∴右交点D的坐标为(b,0).∴点(x0,0)与点D间的距离为b- = . (10分)(4)4 040;1 010. (12分)详解:如图,a与L的交点坐标满足:y=x-b=-x2+bx,得交点D(b,0),E(-1,-1-b).
①当b为整数时,而x也是整数,∴对应的y=-x2+bx和y=x-b均为整数.∴当x=-1和x=b时,对应的“美点”各只有一个.从x=0到x=b-1共有b个整数,每个整数x都对应两个“美点”,∴此时“美点”个数为2b+2.把b=2 019代入,求得“美点”个数为4 040.②当b不是整数时,但x是整数,∴x-b不是整数,即边界y=x-b(-1≤x≤b)上没有“美点”;而在边界y=-x2+bx (-1≤x≤b)上,满足bx是整数才有“美点”.对于b=2 019.5,x应是从0到2 018的偶数,∴此时“美点”的个
数为2 018÷2+1=1 010.
思路分析 (1)由题意得OA=OB,∵AB=8,∴b=4,可得L的方程为y=-x2+4x,进而得出L的对称轴为x=2,把x= 2代入y=x-4得出交点坐标;(2)将二次函数解析式配方得出顶点坐标为 ,根据点C在l下方得出点C与l的距离为b- =- (b-2)2+1≤1,进而得出最大值;(3)由y3是y1,y2的平均数,可得y3= ,即y1+y2=2y3,得b+x0-b=2(- +bx0),求出x0的值,令y=-x2+bx=0,求出点D的坐标,两者横坐标相减得出结论;(4)易得点D(b,0),点E(-1,-1-b),分两种情况,①当b为整数,而x也是整数时,求得“美点”的个数;②当b不是整数,但x是整数 时,求得“美点”的个数.
考点三 二次函数综合
1.(2019湖北武汉,22,10分)某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件) 的一次函数.其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);②该商品进价是 元/件;当售价是 元/件时,周销售利润最大,最大利润是 元;(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m>0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件.该商店在 今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1 400元,求m的值.
解析 (1)①设y与x的函数关系式为y=kx+b,依题意有 解得 ∴y与x的函数关系式是y=-2x+200.②40;70;1 800.进价是50-(1 000÷100)=40元/件.w=(-2x+200)(x-40)=-2(x-70)2+1 800,∴当售价为70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1 800元.(2)依题意有w=(-2x+200)(x-40-m)=-2x2+(2m+280)x-8 000-200m=-2 + m2-60m+1 800,∵m>0,∴ >70,
∵-2<0,∴抛物线开口向下,∵x≤65,∴w随x的增大而增大,∴当x=65时,w有最大值,为(-2×65+200)(65-40-m),∴(-2×65+200)(65-40-m)=1 400,∴m=5.∴若周销售最大利润是1 400元,则m的值为5.
2.(2019湖北武汉,24,12分)已知抛物线C1:y=(x-1)2-4和C2:y=x2.(1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2?(2)如图1,抛物线C1与x轴正半轴交于点A,直线y=- x+b经过点A,交抛物线C1于另一点B,请你在线段AB上取点P,过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q,连接AQ.①若AP=AQ,求点P的横坐标;②若PA=PQ,直接写出点P的横坐标;(3)如图2,△MNE的顶点M,N在抛物线C2上,点M在点N右边,两条直线ME,NE与抛物线C2均有唯一公共点, ME,NE均与y轴不平行.若△MNE的面积为2,设M,N两点的横坐标分别为m,n,求m与n的数量关系.
解析 (1)将C1先向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度得到C2.或将C1先向上平移4个单位长度,再向左平移1个单位长度得到C2.(2)①如图,设直线AB与y轴交于点D,延长AQ交y轴于点D',∵C1:y=(x-1)2-4,∴A(3,0),∵直线y=- x+b经过A(3,0),∴b=4,∴D(0,4),则易知D'(0,-4),∴直线AD'的解析式为y= x-4,由 得x1=3,x2= ,∴xQ= ,∴xP=xQ= ,∴点P的横坐标为 .
②点P的横坐标为- .详解:由 得x1=- ,x2=3,故B .设点P的横坐标为a ,
∵点P在线段AB上,∴点P的坐标为 ,∵点Q在抛物线C1上,∴点Q的坐标为(a,a2-2a-3).∴PQ2= ,又∵PA=PQ,∴PA2=(a-3)2+ = ,∴(a-3)2=(a-3)(a+1)(a-3) ,又∵a≠3,∴(a+1) =1,∴ (a+4)=0,∴a1=- ,a2=-4(舍),∴点P的横坐标为- .
(3)∵C2:y=x2,∴M(m,m2),N(n,n2),设直线ME的解析式为y=kx+t,∵M(m,m2),∴t=m2-km,由 得x2-kx+km-m2=0,依题意有Δ=k2-4(km-m2)=0,∴k=2m,∴直线ME的解析式为y=2mx-m2,同理,直线NE的解析式为y=2nx-n2,由 得E ,∵M(m,m2),N(n,n2),∴直线MN的解析式为y=(m+n)x-mn,过E作EF∥y轴交MN于点F,则F ,
∴EF= -mn= (m-n)2,∴S△MNE= (m-n)· (m-n)2= (m-n)3=2,∴m-n=2.∴m与n的数量关系为m-n=2.
3.(2019天津,25,10分)已知抛物线y=x2-bx+c(b,c为常数,b>0)经过点A(-1,0),点M(m,0)是x轴正半轴上的动 点.(1)当b=2时,求抛物线的顶点坐标;(2)点D(b,yD)在抛物线上,当AM=AD,m=5时,求b的值;(3)点Q 在抛物线上,当 AM+2QM的最小值为 时,求b的值.
解析 (1)∵抛物线y=x2-bx+c经过点A(-1,0),∴1+b+c=0,即c=-b-1,当b=2时,y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴抛物线的顶点坐标为(1,-4).
(2)由(1)知,抛物线的解析式为y=x2-bx-b-1,∵点D(b,yD)在抛物线y=x2-bx-b-1上,∴yD=b2-b·b-b-1=-b-1.由b>0,得b> >0,-b-1<0,∴点D(b,-b-1)在第四象限,且在抛物线对称轴x= 的右侧.如图,过点D作DE⊥x轴,垂足为E,则点E(b,0),∴AE=b+1,DE=b+1,∴AE=DE,∴在Rt△ADE中,∠ADE=∠DAE=45°,∴AD= AE,又已知AM=AD,m=5,∴5-(-1)= (b+1),∴b=3 -1.(3)∵点Q 在抛物线y=x2-bx-b-1上,∴yQ= -b -b-1=- - ,
可知点Q 在第四象限,且在直线x=b的右侧,考虑到 AM+2QM=2 ,可取点N(0,1),如图,过点Q作直线AN的垂线,垂足为G,QG与x轴相交于点M, 有∠GAM=45°,得 AM=GM,则此时点M满足题意.
过点Q作QH⊥x轴于点H,则点H ,在Rt△MQH中,可知∠QMH=∠MQH=45°,∴QH=MH,QM= MH,∵点M(m,0),∴0- = -m,解得m= - .∵ AM+2QM= ,∴ +2 - = .∴b=4.
思路分析 (1)根据抛物线y=x2-bx+c经过点A(-1,0),可得1+b+c=0,当b=2时,c=-3,即y=x2-2x-3=(x-1)2-4,顶点 坐标为(1,-4).(2)由(1)知,c=-b-1,则y=x2-bx-b-1,根据点D(b,yD)在抛物线y=x2-bx-b-1上,可得yD=b2-b·b-b-1=-b-1,过点D作 DE⊥x轴,可得AE=b+1,DE=b+1,AD= AE,最后根据AM=AD,m=5得出b=3 -1.(3)首先确定点Q ,取点N(0,1),过点Q作直线AN的垂线,根据题意确定符合条件时点M的位置,依据QH=MH,得出m= - ,最后根据 AM+2QM= ,得出b=4.
4.(2019河南,23,11分)如图,抛物线y=ax2+ x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y=- x-2经过点A,C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.①当△PCM是直角三角形时,求点P的坐标;②作点B关于点C的对称点B',则平面内存在直线l,使点M,B,B'到该直线的距离都相等.当点P在y轴右侧的 抛物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线l:y=kx+b的解析式.(k,b可用含m的式子表示)
解析 (1)∵直线y=- x-2交x轴于点A,交y轴于点C,∴A(-4,0),C(0,-2).∵抛物线y=ax2+ x+c经过点A,C,∴ ∴ ∴抛物线的解析式为y= x2+ x-2. (3分)(2)∵点P的横坐标为m,∴点P的坐标为 .
①当△PCM是直角三角形时,有以下两种情况:当∠CPM=90°时,PC∥x轴, m2+ m-2=-2.解得m1=0(舍去),m2=-2.∴点P的坐标为(-2,-2). (5分)当∠PCM=90°时,过点P作PN⊥y轴于点N,∴∠CNP=∠AOC=90°.∵∠NCP+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°,∴∠NCP=∠OAC.∴△CNP∽△AOC.∴ = .∵C(0,-2),N ,∴CN= m2+ m,PN=m.
即 = ,解得m3=0(舍去),m4=6.∵当m=6时, m2+ m-2=10,∴点P的坐标为(6,10).综上所述,点P的坐标为(-2,-2)或(6,10). (8分)②y=x- m-2或y= x-2或y= x-2. (11分)提示:满足条件的直线l即△MBB'的三条中位线所在的直线.当y=0时, x2+ x-2=0,解得x1=-4,x2=2,∴点B的坐标为(2,0).∵点C的坐标为(0,-2),点B,B'关于点C对称,∴点B'的坐标为(-2,-4).
∵点P的横坐标为m(m>0),∴点M的坐标为 .利用待定系数法可求出直线BB'的解析式为y=x-2;直线BM的解析式为y=- x+ ;直线B'M的解析式为y= x- .分三种情况考虑:当直线l∥BB'且过线段CM的中点N 时,直线l的解析式为y=x- m-2;当直线l∥BM且过点C时,直线l的解析式为y=- x-2;当直线l∥B'M且过点C时,直线l的解析式为y= x-2.综上所述,直线l的解析式为y=x- m-2或y=- x-2或y= x-2.
思路分析 (1)由直线y=- x-2经过点A,C,求得点A,C的坐标,代入y=ax2+ x+c中,求得抛物线的解析式;(2)①当△PCM是直角三角形时,分以下两种情况:当∠CPM=90°时,由PC∥x轴,得 m2+ m-2=-2,可求得P(-2,-2);当∠PCM=90°时,作PN⊥y轴于点N,易证△CNP∽△AOC,∴ = ,可求得P(6,10).②由题意知,直线l是△MBB'的三条中位线所在的直线,当点B,B'在l同侧时,l过CM的中点与BB'平行,当点 B,B'在l异侧时,l过点C与BM平行或与B'M平行,计算可得l的解析式.
A组 2018—2020年模拟·基础题组时间:70分钟 分值:90分
一、选择题（每小题4分，共20分）
1.(2020泉州二检,10)已知点A(a-m,y1)、B(a-n,y2)、C(a+b,y3)都在二次函数y=x2-2ax+1的图象上,若0
难点突破 本题的难点在于寻找方程与二次函数之间的关系,x0满足关于x的方程,代入求得x0=- ,而抛物线的对称轴为直线x=- ,由此可得(x0,y0)是抛物线的顶点,最后通过图象的开口方向得出对于任意实数x都有y≥y0.
3.(2020漳州二检,10)若函数y=x2(x≥0)的图象与直线y=kx+k+1有公共点,则k的取值范围是 ( )A.k≤0 B.k≤-1C.k≥-1 D.k为任意实数
4.(2020福州二检,10)小明在研究抛物线y=-(x-h)2-h+1(h为常数)时,得到如下结论,其中正确的是 ( )A.无论x取何值,y的值都小于0B.该抛物线的顶点始终在直线y=x-1上C.当-1
答案 D A.令x=h,则y=1-h.当h<1时,y>0,故A错误;B.抛物线的顶点坐标为(h,1-h),易知顶点(h,1-h)在直 线y=-x+1上,故B错误;C.当-1
解题思路 本题四个选项都和对称轴有关,故关键是明确与对称轴有关的性质.①增减性,当a>0时,在对 称轴左侧,y随x的增大而减小;在对称轴右侧,y随x的增大而增大.当a<0时,在对称轴左侧,y随x的增大而增 大;在对称轴右侧,y随x的增大而减小.②比较大小:a>0时,越靠近对称轴,y值越小;a<0时,越靠近对称轴,y 值越大.
5.(2020漳州一检,6)把抛物线y=3(x+1)2先向左平移1个单位,再向上平移n个单位后,得到抛物线y=3x2+12x +14,则n的值是 ( )A.-2 B.2 C.8 D.14
答案 B y=3x2+12x+14=3(x+2)2+2.抛物线y=3(x+1)2经过两次平移变换后,所得图象对应的解析式为y=3 (x+1+1)2+n=3(x+2)2+n.由题意可知n=2.选B.
方法指导 抛物线平移时一定要先配方成顶点式,再根据“左加右减”的规律进行平移.
二、填空题（共4分）
6.(2020漳州一检,13)足球从地面被踢出后,在空中飞行时离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可近 似表示为h=-t2+9.8t,则该足球在空中飞行的时间为 s.
答案 9.8
解析 依题意得-t2+9.8t=0,解得t1=0,t2=9.8.∴该足球在空中飞行的时间为t2-t1=9.8-0=9.8 s.
三、解答题（共66分）
7.(2020漳州平和质检,22)在疫情期间,某企业生产消毒产品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场 进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售 出5件,但要求销售单价不得低于成本.(1)求出每天的销售利润y (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式;(2)当销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4 000元,且每天的总成本不超过7 000元,那么销售单价应控 制在什么范围内?
解析 (1)y=(x-50)[50+5(100-x)]=(x-50)(-5x+550)=-5x2+800x-27 500. (2分)∴y=-5x2+800x-27 500(50≤x≤100). (3分)(2)y=-5x2+800x-27 500=-5(x-80)2+4 500. (4分)∵50≤x≤100,图象的对称轴是直线x=80,∴当x=80时,y最大值=4 500. (6分)(3)当y=4 000时,-5(x-80)2+4 500=4 000, (7分)解得x1=70,x2=90. (8分)∴当70≤x≤90时,每天的销售利润不低于4 000元.由每天的总成本不超过7 000元,得50(-5x+550)≤7 000,解得x≥82.∴82≤x≤90, (9分)∴销售单价应该控制在82元至90元之间. (10分)
8.(2020莆田二检,25)已知抛物线F1:y=x2-4与抛物线F2:y=ax2-4a(a≠1).(1)直接写出抛物线F1与抛物线F2的两条相同性质;(2)抛物线F1与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧),直线BC交抛物线F1于点C(点C与点B不重合),点D是抛 物线F2的顶点.①若点C为抛物线F1的顶点,且点C为△ABD的外心,求a的值;②设直线BC的解析式为y=kx+b,若k+2a=4,则直线CD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点, 请说明理由.
解析 (1)性质1:对称轴都为y轴;性质2:都经过(-2,0),(2,0)两点;性质3:顶点的横坐标为0;性质4:与x轴的两交点间的距离为4. (4分)(答对一个得2分,答对两个得4分)(2)①点C、D分别为抛物线F1、F2的顶点,故C(0,-4),D(0,-4a),抛物线F1与x轴交于A,B两点,则A(-2,0),B(2,0),故AC=2 , (5分)当a>0时,如图1,依题意得,CD=AC=2 ,则OD=OC+CD=4+2 ,即4a=4+2 ,解得a= ; (7分)当a<0时,如图2,依题意得,CD=AC=2 ,则OD=CD-OC=2 -4,即-4a=2 -4,解得a= .
故a的值为 或 . (9分) ②直线CD过定点.设C(x1,y1).依题意,直线BC:y=kx+b过点B(2,0),
则b=-2k,故直线BC的解析式为y=kx-2k.由 得x2-kx+2k-4=0,易知x1=k-2,y1= -4=(k-2)2-4=k2-4k,即C(k-2,k2-4k). (10分)设直线CD的解析式为y=mx+n,直线CD过点D(0,-4a),C(k-2,k2-4k).则有 则m(k-2)-4a=k2-4k,又k+2a=4,则a= ,由a≠1,得k≠2.解得 (12分)又点C异于点B,故k-4≠0.故直线CD的解析式为y=(k-4)x+2k-8,即y=(k-4)(x+2).故直线CD恒过点(-2,0). (14分)
9.(2020福州二检,25)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=kx2+(4k2-k)x的对称轴是y轴,过点F(0,2)作一直 线与抛物线C相交于P,Q两点,过点Q作x轴的垂线与直线OP相交于点A.(1)求抛物线C的解析式;(2)判断点A是否在直线y=-2上,并说明理由;(3)若直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切.过抛物 线C上的任意一点(除顶点外)作该抛物线的切线l,分别交直线y=2和直线y=-2于点M,N,求MF2-NF2的值.
解析 (1)∵抛物线C的对称轴是y轴,∴- =0且k≠0, (1分)∴ =0,解得k= , (3分)∴抛物线C的解析式为y= x2. (4分)(2)点A在直线y=-2上. (5分)理由如下:∵过F(0,2)的直线与抛物线C交于P,Q两点,∴直线PQ与x轴不垂直.设直线PQ的解析式为y=tx+2,将y=tx+2代入y= x2,得x2-4tx-8=0,Δ=16t2+32>0,
该方程有两个不相等的实数根x1,x2,∴x1x2=-8.不妨设P(x1,y1),Q(x2,y2),∴直线OP的解析式为y= x. (6分)设A(m,n).∵QA⊥x轴交直线OP于点A,∴m=x2,∴n= ·x2= = x1x2=-2. (7分)即点A的纵坐标为-2,∴点A在直线y=-2上. (9分)(3)∵切线l不过抛物线C的顶点,∴设切线l的解析式为y=ax+b(a≠0),
将y=ax+b代入y= x2,得x2-4ax-4b=0, (10分)依题意得Δ=0,即(-4a)2-4×(-4b)=16a2+16b=0,∴b=-a2,∴切线l的解析式为y=ax-a2. (11分)当y=2时,x= ,∴M . (12分)当y=-2时,x= ,∴N . (13分)∵F(0,2),∴MF2= ,
NF2= +(-2-2)2= +16,∴MF2-NF2= - = -16= · -16=8-16=-8. (14分)
10.(2020漳州二检,25)已知抛物线y=ax2+bx经过点(2,8),(4,8).(1)求抛物线的解析式;(2)若点P(x1,y1),Q(x2,y1)均在该抛物线上,且x1
∴ = .解得l= .∴以线段AB为直径的圆截直线y= 所得弦的长为定值,其值为 . (14分)
11.(2020南平一检,25)抛物线C1:y=-x2+2mx-m2+m+3的顶点为A,抛物线C2:y=-(x+m+4)2-m-1的顶点为B,其中 m≠-2,抛物线C1与C2相交于点P.(1)当m=-3时,在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C1,C2;(2)已知点C(-2,1),求证:点A,B,C三点共线;(3)设点P的纵坐标为q,求q的取值范围.
解析 (1)当m=-3时,抛物线C1:y=-x2-6x-9.
抛物线C2:y=-(x+1)2+2.
抛物线C1,C2如图所示. (2)证明:∵抛物线C1:y=-x2+2mx-m2+m+3=-(x-m)2+m+3,抛物线C2:y=-(x+m+4)2-m-1.∴A(m,m+3),B(-m-4,-m-1).设直线AB的解析式为y=kx+b,将A(m,m+3),B(-m-4,-m-1)代入y=kx+b得 ①-②得,2m+4=(2m+4)k,
即2(m+2)=2(m+2)k.∵m≠-2,∴k=1,把k=1代入①得,b=3,∴直线AB的解析式为y=x+3,当x=-2时,y=1,∴C(-2,1)在直线AB上,即点A,B,C三点共线.(3) ③-④得,(x+m+4)2-(x-m)2+2m+4=0,整理得(2x+5)(m+2)=0.∵m≠-2,∴x=- ,把x=- 代入③得,y=-m2-4m- ,
∴点P的坐标为 .因此,q=-m2-4m- =-(m+2)2+ .∵m≠-2,∴q< .
B组 2018—2020年模拟·提升题组时间:80分钟 分值:100分
一、选择题（每小题4分，共8分）
1.(2020福州福清线上质检,10)已知实数m,n,c满足m2-m+ c=0,n=4m2-4m+c2- ,则n的取值范围是 ( )A.n>- B.n≥- C.n>-1 D.n≥-1
答案 D ∵m2-m+ c=0,∴m2-m=- c,∴n=4(m2-m)+c2- =-2c+c2- =(c-1)2- .又∵ c=-m2+m,∴c=-2m2+2m=-2 + ≤ .由图可知,当c≤ 时,n≥-1,故选D.
易错警示 本题容易错选B选项,忘记求出c的取值范围.
2.(2019厦门二检,10)已知二次函数y=-3x2+2x+1的图象经过点A(a,y1),B(b,y2),C(c,y3),其中a,b,c均大于0.记 点A,B,C到该二次函数图象的对称轴的距离分别为dA,dB,dC.若dA<
3.(2020龙岩二检,16)当-3≤x≤0时,-x2+2mx-2m+2≤0,则m的取值范围是 .
答案 m≥1
解析 设y=-x2+2mx-2m+2.则y=-(x-m)2+m2-2m+2.当-3≤x≤0时,y≤0.①当m≥0时,ymax=-(0-m)2+m2-2m+2=-2m+2.故-2m+2≤0,即m≥1.②当-3
三、解答题（共88分）
4.(2020漳州一检,25)在平面直角坐标系xOy中,直线y=-2x+2与x,y轴分别交于A,B两点,点C(0,m)在线段OB 上,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A,C两点,且与x轴交于另一点D.(1)求点D的坐标(用只含a,m的代数式表示);(2)当a= m时,若点P(n,y1),Q(4,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c上,且y1>y2,求实数n的取值范围;(3)当AD= 时,函数y=ax2+bx+c有最小值m-1,求a的值.
∴D .(2)∵点C(0,m)在线段OB上,∴0≤m≤2.∵a= m,∴a>0,D(2,0).∴抛物线开口向上,对称轴是直线x= .在抛物线上取点E,使点E与点Q关于直线x= 对称.由Q(4,y2)得E(-1,y2).∵点P(n,y1)在抛物线上,且y1>y2,∴n<-1或n>4.(3)∵函数y=ax2-(a+m)x+m有最小值m-1,
∴ =m-1.①当点D在点A的右侧时,得 -1= ,解得m= a.∴ = a-1.解得a= (a=0舍去).②当点D在点A的左侧时,得1- = ,解得m= a.∴ = a-1.解得a= (a=0舍去).综上所述,a= 或 .
5.(2020福州一检,25)已知抛物线C:y=ax2-4(m-1)x+3m2-6m+2.(1)当a=1,m=0时,求抛物线C与x轴的交点个数;(2)当m=0时,判断抛物线C的顶点能否落在第四象限,并说明理由;(3)当m≠0时,过点(m,m2-2m+2)的抛物线C中,将其中两条抛物线的顶点分别记为A, B,若点A, B的横坐标 分别是t,t+2,且点A在第三象限.以线段AB为直径作圆,设该圆的面积为S,求S的取值范围.
解析 (1) 当a=1,m=0时,抛物线C的解析式为y=x2+4x+2.令y=0,得x2+4x+2=0,Δ=42-4×1×2=8>0,∴抛物线C与x轴有两个交点.(2)抛物线C的顶点不会落在第四象限.理由:当m=0时,抛物线C的解析式为y=ax2+4x+2,∴顶点坐标为 .解法一:假设顶点坐标在第四象限,则 解得 该不等式组无解,∴假设不成立,抛物线C的顶点不会落在第四象限.
解法二:设x=- ,y=- +2,则y=2x+2,∴该抛物线C的顶点在直线y=2x+2上运动,而该直线不经过第四象限,∴抛物线C的顶点不会落在第四象限.(3)将点(m,m2-2m+2)代入抛物线C: y=ax2-4(m-1)x+3m2-6m+2,得am2-4m2+4m+3m2-6m+2=m2-2m+2,化简,得(a-2)m2=0.∵m≠0,∴a-2=0,即a=2,∴此时,抛物线C的解析式为y=2x2-4(m-1)x+3m2-6m+2,顶点坐标为(m-1,m2-2m).当m-1=t时,m=t+1,∴A(t,t2-1).
当m-1=t+2时,m=t+3,∴B(t+2,t2+4t+3).∵点A在第三象限,∴ ∴-1
∴S随AB2的增大而增大,∴π
解析 (1)∵函数图象经过点M(1-m,n),点N ,∴该函数图象的对称轴为直线x= = . (2分)∴- = ,∴b=-a-3. (4分)(2)①设点P的坐标为(x1,y1),则Q点的坐标为(-x1,-y1),∴ (6分)由①+②得2a +6=0③. (7分)∵始终存在不重合的P、Q关于原点对称,故方程③始终有解,解法一: =- ≥0,
可得a<0. (8分)解法二:方程③始终有解,故Δ=0-48a≥0,解得a≤0,∴a<0. (8分)②易知A点坐标为(0,3), (9分)设直线l:y=- x+ 交y轴于点B,则B点坐标为 ,∴B为OA的中点. (10分)分别作PD⊥l于D点,QE⊥l于E点.若P,Q位于直线l异侧,如图1,PQ交直线l于C点.图1
图2由已知得PD=QE,又∵∠PDC=∠QEC=90°,∠PCD=∠QCE,∴△PDC≌△QEC,∴CP=CQ,∴C为PQ的中点,∵O为PQ的中点,但直线l并没有经过点O,∴不存在这种情况. (11分)
若P,Q位于直线l同侧,如图2,由PD=QE得PQ∥l.又∵PQ经过原点O,∴直线PQ的表达式为y=- x.∴a -(a+3)x1+3=- x1.由①知a =-3,则有-3-(a+3)x1+3=- x1,整理得-(a+3)x1=- x1.∵x1≠0,∴a+3= .解得a=- .
∴- =-3,∴x1=-2或x1=2(舍去).∴y1= .∴P . (13分)∴OP= = .∴PQ= . (14分)
8.(2019宁德二检,25)如图1,已知水龙头喷水的初始速度v0可以分解为横向初始速度vx和纵向初始速度vy, θ是水龙头的仰角,且 = + ,图2是一个建在斜坡上的花圃场地的截面示意图,水龙头的喷射点A在山坡的坡顶上(喷射点离地面的高度忽略不计),坡顶的铅直高度OA为15米,山坡的坡比为 ,离开水龙头后的水(看成点)获得初始速度v0米/秒后的运动路径可以看作是抛物线,点M是运动过程中的某一位置.忽略 空气阻力,实验表明:M与A的高度之差d(米)与喷出时间t(秒)的关系为d=vyt-5t2,M与A的水平距离为vxt米. 已知该水流的初始速度v0为15米/秒,水龙头的仰角θ为53°.(1)求水流的横向初始速度vx和纵向初始速度vy;(2)用含t的代数式表示点M的横坐标x和纵坐标y,并求y与x的关系式(不写x的取值范围);(3)水流在山坡上的落点C离喷射点A的水平距离是多少米?若要使水流恰好喷射到坡脚B处的小树,在相 同仰角下,则需要把喷射点A沿坡面AB方向移动多少米?
解析 (1)∵ = + ,θ=53°,∴vx=v0cos θ≈15× =9(米/秒), (2分)vy=v0sin θ≈15× =12(米/秒). (3分)(2)由(1)得vx=9,vy=12.根据题意,得d=vyt-5t2=12t-5t2,点M的横坐标x=vxt=9t①,又y-yA=d,∴点M的纵坐标y=d+15=-5t2+12t+15②. (6分)由①得t= ,代入②得y=- x2+ x+15. (8分)(3)∵坡顶的铅直高度为15米,山坡的坡比为 ,∴OB=15÷ =45(米).∴A点的坐标为(0,15),B点的坐标为(45,0).
设直线AB的函数关系式为y=kx+b(k≠0).将A,B两点坐标代入上式,得 解得 ∴线段AB的函数关系式为y=- x+15. (10分)由 解得 或 ∴C(27,6).
∴水流在山坡上的落点C离喷射点A的水平距离是27米. (11分)过C点作CD⊥x轴,垂足为D,得CD=6(米),BD=18(米).在Rt△DCB中,根据勾股定理,得BC= = =6 (米).故需要把喷射点A沿坡面AB方向移动6 米. (13分)
9.(2019福州二检,25)已知抛物线y=- (x+5)(x-m)(m>0)与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点C.(1)直接写出点B,C的坐标(用含m的式子表示);(2)若抛物线与直线y= x交于点E,F,且点E,F关于原点对称,求抛物线的解析式;(3)若点P是线段AB上一点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,交直线AC于点N,当线段MN长的最大值 为 时,求m的取值范围.
解析 (1)B(m,0),C . (2分)(2)设点E,F的坐标分别为 , , (3分)代入y=- (x+5)(x-m)=- x2+ (m-5)x+ m,得 (4分)由①-②,得(m-5)a=a.∵a≠0,∴m=6, (5分)∴抛物线的解析式为y=- x2+ x+15. (6分)
(3)依题意得A(-5,0),C ,由m>0,设过A,C两点的一次函数解析式是y=kx+b(k≠0). (7分)将A,C两点坐标代入,得 解得 ∴过A,C两点的一次函数解析式是y= mx+ m.设点P(t,0),则-5≤t≤m(m>0),∴M ,N .①当-5≤t≤0时,∴MN=- t2+ (m-5)t+ m-
=- t2- t. (8分)∵- <0,∴该二次函数的图象开口向下,又其图象的对称轴是直线t=- ,∴当t=- 时,MN的长最大,此时MN=- × - × = . (9分)②当0
又其图象的对称轴是直线t=- ,∴当0
解析 (1)把点B(3,0)代入y=x2+bx-3,得b=-2,∴二次函数的解析式为y=x2-2x-3. (2分)(2)①∠DMT为定值. (3分)理由:如图,∵抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴抛物线的对称轴为直线x=1.又点D的纵坐标为2 ,∴D(1,2 ). (4分)
在y=x2-2x-3中,令y=0,即x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,∴A(-1,0).在Rt△AED中,tan∠DAE= = = ,∴∠DAE=60°, (5分)∴∠DMT=2∠DAE=120°,∴在点T的运动过程中,∠DMT为定值120°. (6分)②如图,
∵MT= AD,又MT=MD,∴MD= AD,∵△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上,∴当点M是线段AD的中点,即AD为☉M的直径时,MD= AD. (7分)∵A(-1,0),D(1,2 ),∴点M的坐标为(0, ). (8分)(3)如图,由题意知AH=HT= AT,
又HT=a,∴H(a-1,0),T(2a-1,0). (9分)∵OH≤x≤OT,又动点T在射线EB上运动,∴0≤a-1≤x≤2a-1,∴0≤a-1≤2a-1,∴a≥1,∴2a-1≥1. (10分)(i)若 即1≤a≤ ,则当x=a-1时,ymax=(a-1)2-2(a-1)-3=a2-4a;
当x=1时,ymin=-4. (11分)(ii)若 即
11.(2020福州福清线上质检,25)已知抛物线y=a(x-h)2+k的顶点A在x轴上.(1)若点A是抛物线最低点,且落在x轴正半轴上,直接写出a, h, k的取值范围;(2)P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线上两点,若x1
解析 (1)a>0,h>0,k=0. (3分)(2)①∵当x1
∴抛物线的解析式为y= x2.②设直线PQ的解析式为y=kx+b,把y=kx+b代入y= x2中,得 x2=kx+b,即x2-4kx-4b=0, (8分)则x1+x2=4k,x1x2=-4b, (9分)∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=16k2+16b,由P(x1,y1),Q(x2,y2),得N , (10分)如图所示,在Rt△PDQ中,根据勾股定理得PQ2=PD2+DQ2,∴PQ2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+ =(x1-x2)2+ (x1+x2)2·(x1-x2)2=16(k2+b)+ (4k)2·16(k2+b)
=16(k2+b)(k2+1), (11分)∵PQ≥6,∴PQ2≥36,∴16(k2+b)(k2+1)≥36. (12分)化简,得k4+(b+1)k2+b- ≥0,故k2≥ (负根舍去), (13分)∴yN= = ( + )= [(x1+x2)2-2x1x2]=2k2+b≥-1+ =-1+ .∴当b=1时,yN有最小值2. (14分)
一、选择题（每小题4分，共32分）
1.如图,在3×3的正方形网格中有四个格点A,B,C,D,以其中一点为原点,网格线所在的直线为坐标轴,建立 平面直角坐标系(网格中每个小正方形的边长均为1),使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称, 则原点是( ) A.A点 B.B点 C.C点 D.D点
答案 B 当以点B为原点时,建立坐标系如图, 此时A(-1,-1),C(1,-1),则点A和点C关于y轴对称,符合题意,故选B.
2.(2020南平一检,2)将抛物线y=x2先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到新抛物线的解析式是 ( )A.y=(x+2)2-1 B.y=(x+2)2+1C.y=(x-2)2-1 D.y=(x-2)2+1
答案 A 将抛物线y=x2先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,所得图象对应的解析式为y=(x+2)2-1.故选A.
3.匀速向如图所示的容器中注水,能体现在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是 ( )
答案 A 该容器是由三个圆柱组成的,其中,中间的圆柱底面圆半径最大,故第二阶段的函数图象上升 得最慢,最上面的圆柱底面圆半径最小,故该阶段的函数图象上升得最快.故选A.
4.在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(2,1),C(-1,-3),D(-2,3),其中不可能与点E(1,3)在同一函数图象上的 一个点是 ( )A.点A B.点B C.点C D.点D
答案 A 根据函数的概念,当x=1时,不能有两个y的值与它对应,∴不可能和点E在同一函数图象上的 是点A.
5.一次函数y=kx-1的图象经过点P,且y的值随x值的增大而增大,则点P的坐标可以为 ( )A.(-5,3) B.(1,-3)C.(2,2) D.(5,-1)
6.直线y=kx-k(k≠0)必经过点 ( )A.(0,0) B.(1,0) C.(1,1) D.(1,k)
答案 B y=kx-k=k(x-1),当x=1时,y=0,∴直线经过定点(1,0),故选B.
7.(2018龙岩质检,8)在同一直角坐标系中,函数y= (k≠0)和y=kx+1(k≠0)的大致图象可能是 ( )
答案 A 两个函数的k值相同,故排除D;一次函数的图象与y轴交于点(0,1),故选A.
8.已知在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx(a≠0)和反比例函数y= (c≠0)的图象如图所示,则一次函数y= x-b的图象可能是 ( )
答案 B 由二次函数的图象可知a<0,b>0,由反比例函数的图象可知c>0,∴ <0,-b<0,∴一次函数y= x-b的图象与y轴负半轴相交且y随x的增大而减小.故选B.
二、填空题（每小题4分，共24分）
9.如图,已知A(2,n),B(6,m)是反比例函数y= (x>0)图象上的两点,分别过点A,B作y轴,x轴的平行线交于点C,连接OC并延长,与AB交于点M,则tan∠MCB= .
答案
10.已知y是x的二次函数,y与x的部分对应值如下表:
将该二次函数图象向左平移 个单位,图象经过原点.
答案 3
解析 由题表数据可知,抛物线的对称轴为直线x=1,∵当x=-1时,y=0,∴当x=3时,y=0,∴将该二次函数图象向左平移3个单位,图象经过原点.
11.(2018三明质检,15)二次函数y=x2+mx+m-2的图象与x轴有 个交点.
答案 2
解析 令x2+mx+m-2=0,∵Δ=b2-4ac=m2-4(m-2)=m2-4m+4+4=(m-2)2+4>0,∴二次函数y=x2+mx+m-2的图象与x轴有2个交点.
12.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留 1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的饲养室总占地面积最大为 m2.(墙的厚度忽略不计)
答案 75
13.抛物线y=2x2-4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是 .
答案 y=-2x2-4x-3
解析 将y=2x2-4x+3化为顶点式,得y=2(x-1)2+1,抛物线y=2x2-4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=-2(x+1)2-1,化为一般式,得y=-2x2-4x-3.
14.[素养题]如图,直线y=-x+b与双曲线y= 相交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标为(-1,9),点P是线段BC上的动点(点P不与点B,C重合),过P作y轴的平行线,交双曲线于点D,连接CD,则△PDC的面积的 最大值为 .
解析 把(-1,9)代入y=-x+b,得b=8,∴y=-x+8,把(-1,9)代入y= ,得k=-9.易得B(9,-1).设点P的横坐标是m(0
15.[原创题](10分)疫情期间,某社区采用“出门卡制度”,落实“10条强化措施”,双管齐下,做好疫情防 控工作,充分发挥基层党组织和党员的先锋模范作用,构筑防疫钢铁长城,切实把牢疫情防控的每一个环 节、每一个细节,坚决阻断疫情传播途径,全力打赢疫情防控阻击战.近日该社区准备发放“出门卡”, “出门卡”的制作有两种方案可供选择:方案一:由某公司代做,所需费用y1(元)与“出门卡”张数x满足如图①所示的函数关系;方案二:租赁机器,自己制作,所需费用y2(元)(包括租赁机器的费用和制作“出门卡”的费用)与“出门 卡”张数x满足如图②所示的函数关系.(1)分别求出y1,y2关于x的函数表达式;(2)仅从省钱角度看,如何选择制作“出门卡”方案?
解析 (1)设y1=k1x,y2=k2x+b,由题意,得50=100k1, 解得k1=0.5, ∴y1=0.5x(x≥0),y2=0.3x+120(x≥0).(2)由题意,得当y1>y2时,0.5x>0.3x+120,解得x>600,当y1=y2时,0.5x=0.3x+120,解得x=600,当y1
16.(12分)(2018厦门质检,23)已知点A,B在反比例函数y= (x>0)的图象上,且横坐标分别为m、n,过点A向y轴作垂线,过点B向x轴作垂线,两条垂线交于点C.过点A、B分别作AD⊥x轴于D,BE⊥y轴于E.(1)若m=6,n=1,求点C的坐标;(2)若m(n-2)=3,当点C在直线DE上时,求n的值.
解析 (1)当m=6时,y= =1.又因为n=1,所以C(1,1).(2)因为点A,B的横坐标分别为m,n,所以A ,B (m>0,n>0),所以D(m,0),E ,C .设直线DE的表达式为y=kx+b(k≠0),把(m,0), 分别代入表达式,得 解得
所以y=- x+ ,因为点C在直线DE上,所以把 代入y=- x+ ,化简得m=2n.把m=2n代入m(n-2)=3,得2n(n-2)=3,解得n= .因为n>0,所以n= .
17.(10分)(2019泉州石狮质检,23)某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机,该饮水机的工作程 序是放满水后,接通电源,自动开始加热,每分钟水温上升10 ℃,加热到100 ℃时,饮水机自动停止加热,水 温开始下降,水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系,直至水温降至室温,饮水机再次自动加热,重复上 述过程.设某天水温和室温均为20 ℃,接通电源后,水温y(℃)与通电时间x(min)的关系如图所示,回答下 列问题:(1)当0≤x≤8时,求y与x之间的函数关系式;(2)求出图中a的值;(3)某天早上7:20,李老师将放满水后的饮水机电源打开,若他想在8:00上课前能喝到不超过40 ℃的温开 水,问:他应在什么时间段内接水?
解析 (1)当0≤x≤8时,设y与x之间的函数关系式为y=k1x+b(k1≠0),将(0,20),(8,100)代入y=k1x+b(k1≠0),得 (1分)解得 (2分)∴当0≤x≤8时,y与x之间的函数关系式为y=10x+20.(3分)(2)当8≤x≤a时,设y与x之间的函数关系式为y= (k2≠0),将(8,100)代入y= ,得100= , (4分)解得k2=800, (5分)∴当8≤x≤a时,y与x之间的函数关系式为y= .
将(a,20)代入y= ,得a=40. (6分)(3)依题意,得 ≤40, (7分)解得x≥20. (8分)又∵x≤40,∴20≤x≤40. (9分)∴他应在7:40~8:00这个时间段内接水. (10分)
18.[素养题](12分)建医疗污水处理池及排污工作是疫情防控工作的一项重要内容,为保证医疗污水处理 水质检测达标,防止新冠病毒经污水传播扩散,某医院规划建一座三级污水处理池,平面图为如图所示的 矩形ABCD,其中AB
1.已知一个函数图象经过(1,-4),(2,-2)两点,在自变量x的某个取值范围内,都有函数值y随x的增大而减小, 则符合上述条件的函数可能是 ( )A.正比例函数 B.一次函数C.反比例函数 D.二次函数
答案 D 易知经过点(1,-4),(2,-2)的直线不经过原点,所以所求函数不是正比例函数,A不符合题意;若为 一次函数或反比例函数,则在自变量x的某个取值范围内,函数值y随x的增大而增大,所以B、C不符合题 意;只有D正确,故选D.
2.无论m为何值,点A(m,3-2m)不可能在 ( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
答案 C 当m>0时,3-2m可能大于0,也可能小于0,点A可能在第一或第四象限;当m<0时,-2m>0,3-2m>0, 点A在第二象限,故选C.
3.[原创题]在平面直角坐标系xOy中,A(0,3),B(m-1,m),则当AB-OB取得最大值时,m的值是 ( )A.-3 B.-2 C.-1 D.0
4.如图,点P是y轴正半轴上的一动点,过点P作AB∥x轴,分别交反比例函数y=- (x<0)与y= (x>0)的图象于点A,B,连接OA,OB,有以下结论:①AP=2BP;②∠AOP=2∠BOP;③△AOB的面积为定值;④△AOB是等 腰三角形.其中一定正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 B 设P(0,t)(t>0),则A ,B ,AP= ,BP= ,∴AP=2BP,①正确;∵S△AOB=S△AOP+S△BOP= × ×t+ × ×t= ,∴△AOB的面积为定值,③正确;取PA的中点C,连接OC,由PA=2PB,易证∠POB=∠POC,又△AOP是直角三角形,且∠APO=90°,所以∠COA不可能等于∠POC,因此∠AOP≠2∠BOP,②错误; ∵点P是动点,AP=2BP,所以AB不可能始终与OA或OB相等,因此,△AOB不可能始终是等腰三角形,④错
误.故一定正确的结论有2个.
5.已知双曲线y= (k≠0)经过点(m,n),(n+1,m-1),(m2-1,n2-1),则k的值为 ( )A.0或3 B.0或-3C.-3 D.3
思路分析 由k=xy得到k=mn=(n+1)(m-1),从而求得m-n=1,再利用k=(m2-1)(n2-1)变形为k(m+1)·(n-1)=k,即 可求得k=3.
6.在平面直角坐标系中,O为原点,抛物线y=-x2+3x的对称轴l交x轴于点M,直线y=mx-2m(m<0)与该抛物线x 轴上方的部分交于点A,与l交于点B,过点A作AN⊥x轴,垂足为N,则下列线段中,长度随线段ON长度的增 大而增大的是 ( )A.AN B.MN C.BM D.AB
答案 C 直线y=mx-2m过定点(2,0)且m<0,由题意画出草图如图,∵点A在x轴上方,∴0
答案 C 由题意知,函数p=at2+bt+c(a,b,c为常数且a≠0)的图象经过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),则 解得 ∴p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,∴最佳加工时间为3.75分钟,故选C.
8.P是抛物线y=x2-4x+5上一点,过点P作PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足分别是M,N,则PM+PN的最小值是 ( )A. B. C.3 D.5
二、填空题（每小题4分，共12分）
9.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表所示.
得出下列结论:①ac<0;②当x>1时,y随x的增大而减小;③3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根;④当-1
答案 ①③④
解析 利用待定系数法,任取表格中三组对应值代入解析式,可求得a=-1,b=3,c=3,∴ac<0,①正确;图象的对称轴为直线x=1.5,∵a<0,∴当x>1.5时,y随x的增大而减小,当1
10.在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,Q两点.若平移 直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是 .
答案 a>1或a<-1
解法二:∵直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且P、Q都在x轴的下方,∴令y=x-a+1<0,解得x
难点突破 根据二次函数图象的特点分a<0和a>0两种情况考虑是解答本题的突破口.
11.[素养题]已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y= (x>0)、y= (k>2,x>0)的图象分别交于P,Q两点,点Q关于点P的对称点为O,Rt△ABC的直角顶点A (a>0)是反比例函数y= (x>0)图象上一动点,顶点B,C在反比例函数y= (x>0)的图象上,且AC平行于y轴,AB平行于x轴,则△ABC的面积为 .
解析 如图. ∵函数y=2x的图象与反比例函数y= (x>0)的图象交于P,∴2x= ,解得x=±1,又∵x>0,∴x=1,∴点P的坐标为(1,2).∵Q关于点P的对称点为O,∴点P为OQ的中点,
∴Q(2,4),∵点Q在反比例函数y= (x>0)的图象上,∴k=8,∴y= .故A (a>0),则C ,把y= 代入y= ,解得x= ,∴B ,∴AB=a- = ,AC= - = ,∴S△ABC= AB·AC= · · = .故答案为 .
三、解答题（共56分）
12.(14分)(2018漳州质检,24)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的对称轴为直线x=-2.(1)b= (用含a的代数式表示);(2)当a=-1时, 若关于x的方程ax2+bx+c=0在-3
13.[原创题](14分)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0,b>0)与x轴只有一个公共点(-2,0).(1)求a、b满足的关系式;(2)设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0,b>0)与y轴的交点为B,直线l过点A(m,0)(m<0).①当m=-4时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0,b>0)上存在点C,点C和A,B构成以点C为直角顶点的等腰直角三角 形,求抛物线的解析式;②将①中的抛物线向右平移2个单位后得抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0),设直线l与抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠ 0)交于M,N两点,与y轴交于D点,若OM⊥ON,证明:对于每个满足条件的实数m,OD的长都为定值.
解析 (1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0,b>0)与x轴只有一个公共点(-2,0),∴4a-2b+c=0,Δ=b2-4ac=0,∴c=2b-4a,∴b2-4a(2b-4a)=0,∴(b-4a)2=0,∴b=4a.(2)①∵m=-4,∴A(-4,0).∵点C和A,B构成以点C为直角顶点的等腰直角三角形,∴C(-4,4),B(0,4),∴c=2b-4a=4,∴8a-4a=4,∴a=1,∴b=4.∴抛物线的解析式为y=x2+4x+4.②证明:将抛物线y=x2+4x+4=(x+2)2向右平移2个单位后得抛物线y=x2.
如图,设直线l的解析式为y=kx+t,则D(0,t),OD=t,不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),x1<0,x2>0.过M、N分别作x轴的垂线,垂足分别为P、Q,∴∠OPM=∠NQO=90°.∵OM⊥ON,∴∠MON=90°,∴∠MOP+∠NOQ=90°,∵∠ONQ+∠NOQ=90°,∴∠MOP=∠ONQ.在△MOP与△ONQ中, ∴△MOP∽△ONQ,∴ = ,即 = ,∴x1·x2+y1·y2=0,
∵y1= ,y2= ,∴x1·x2+ · =0,∴x1·x2(1+x1·x2)=0,∵x1·x2≠0,∴1+x1·x2=0,∴x1·x2=-1.将y=kx+t代入y=x2,整理得x2-kx-t=0,则x1·x2=-t,∴-t=-1,∴t=1,即OD=1,∴对于每个满足条件的实数m,OD的长都为定值.
思路分析 (1)由抛物线y=ax2+bx+c(a≠0,b>0)与x轴只有一个公共点(-2,0),可得Δ=b2-4ac=0,4a-2b+c=0,消去c可求出a、b的关系式.(2)①由等腰直角三角形的性质可知,C点横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值,于是可由A(-4,0)求得C(-4,4),B(0,4),因此c=4,进而求出a、b的值;②将抛物线y=x2+4x+4=(x+2)2向右平移2个单位后得抛物线y=x2.设直线l的解析式为y=kx+t,则D(0,t),OD =t,设M(x1,y1),N(x2,y2),x1<0,x2>0.过M、N分别作x轴的垂线,垂足分别为P、Q,由两角对应相等的两个三角 形相似得出△MOP∽△ONQ,根据相似三角形对应边成比例得到x1·x2=-1,而将y=kx+t代入y=x2,整理得x2- kx-t=0,根据一元二次方程根与系数的关系得出x1·x2=-t,于是t=1,即OD=1,从而证明OD的长与m无关.
14.(14分)(2019龙岩二检,25)已知直线y=x+t与双曲线y= (k>0)交于C、D两点,过C作CA⊥x轴于点A,过D作DB⊥y轴于点B,连接AB.(1)求C、D两点的坐标;(2)试探究直线AB与CD的位置关系,并说明理由;(3)已知点D(3,2),且C、D在抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)上.当m≤x≤n(mn<0)时,函数y=ax2+bx+5的最小值为 2m,最大值为2n,求m+n的值.
解析 (1)由直线y=x+t与双曲线y= (k≠0)相交,得 =x+t,得x2+tx-k=0,所以x= . (2分)设C(xC,yC),D(xD,yD).若xC
将(3,2)代入y=x+t,得t=-1.所以双曲线的解析式为y= ,直线的解析式为y=x-1.由 =x-1得x1=3,x2=-2,所以C(-2,-3). (9分)因为C(-2,-3),D(3,2)在抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)上,所以 解得 所以y=-x2+2x+5=-(x-1)2+6. (10分)由mn<0,可知m<0,n>0.①当0
所以 又因为m<0,所以m=1,n=3不符合题意. (13分)综上所述,m+n的值为- +3. (14分)
15.(14分)(2019福州一检,25)已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为y轴,且过点(1,2),(2,5).(1)求二次函数的解析式;(2)如图,过点E(0,2)的一次函数图象与二次函数的图象交于A,B两点(A点在B点的左侧),过点A,B分别作 AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D.①当CD=3时,求该一次函数的解析式;②分别用S1,S2,S3表示△ACO,△ECD,△EDB的面积,问是否存在实数t,使得 =tS1S3成立?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
解析 (1)依题意,得 解得 (3分)∴二次函数的解析式为y=x2+1. (4分)(2)设一次函数的解析式为y=kx+m(k≠0),则2=k·0+m,∴m=2,即该一次函数的解析式为y=kx+2(k≠0). (5分)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1
S3= BD·OD= x2y2, (11分)∴ =(x2-x1)2=k2+4,S1S3=- x1y1· x2y2=- x1x2(kx1+2)(kx2+2)=- x1x2[k2x1x2+2k(x1+x2)+4], (12分)∵x1= ,x2= ,∴x1+x2=k,x1x2=-1,∴S1S3=- ×(-1)×[k2×(-1)+2k·k+4]= k2+1= (k2+4), (13分)∴ =4S1S3,故存在实数t=4,使得 =tS1S3成立. (14分)
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