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新高考数学大二轮复习压轴题突破练含答案课件PPT
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压轴题突破练41.(2021·梅州模拟)给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的一个焦点为F(-2,0),点(2,)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程;(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P的直线l1,l2与椭圆C都只有一个交点,且l1,l2分别交其“卫星圆”于点M,N.试探究:|MN|的长是否为定值?若为定值,写出证明过程;若不是,说明理由.解 (1)由条件可得椭圆C的另一个焦点为F1(2,0),所以2a=+=4,所以a=2,c=2,b=2,所以椭圆的方程为+=1,卫星圆的方程为x2+y2=12.(2)|MN|的长度为定值4,证明过程如下:①当l1,l2中有一条无斜率时,不妨设l1无斜率,因为l1与椭圆只有一个交点,则其方程为x=2或x=-2,当方程为x=2时,此时l1与“卫星圆”交于点(2,2)和(2,-2),此时经过点(2,2),(2,-2)且与椭圆只有一个交点的直线是y=2或y=-2,即l2为y=2或y=-2,所以l1⊥l2,所以线段MN是“卫星圆”的直径,所以|MN|=4.②当l1,l2都有斜率时,设点P(x0,y0),其中x+y=12,设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个交点的直线为y=t(x-x0)+y0,则消去y得到 (1+2t2)x2+4t(y0-tx0)x+2(y0-tx0)2-8=0,所以Δ=(64-8x)t2+16x0y0t+32-8y=0,所以t1·t2===-1,所以t1·t2=-1,满足条件的两直线l1,l2垂直.所以线段MN是“卫星圆”的直径,所以|MN|=4,综合①②知,|MN|=4为定值.2.(2021·深圳模拟)已知函数f(x)=aln2x+2x(1-ln x),a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数g(x)=e2f(x)-2a2有且仅有3个零点,求a的取值范围.(其中常数e=2.718 28…是自然对数的底数)解 (1)∵f(x)=aln2x+2x(1-ln x),其定义域为(0,+∞),则f′(x)=,x>0,且f′(1)=0,①若a≤0,当0<x<1时,f′(x)>0,即函数f(x)在(0,1)上单调递增,当x>1时,f′(x)<0,函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,②当0<a<1时,令f′(x)=0,解得x=1或x=a,当a<x<1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x>1或0<x<a时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,∴f(x)在(a,1)上单调递增,在(0,a),(1,+∞)上单调递减;③当a=1时,f′(x)≤0恒成立,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;④当a>1时,当1<x<a时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x>a或0<x<1时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,∴f(x)在(1,a)上单调递增,在(0,1),(a,+∞)上单调递减.(2)令g(x)=e2f(x)-2a2=0,即f(x)=有且仅有3个零点,∴依题意,y=f(x)与y=的图象有三个交点,∴由(1)知,必有0<a<1和a>1,①当0<a<1时,f(x)在(a,1)上单调递增,在(0,a),(1,+∞)上单调递减;∴f(x)的极小值为f(a)=aln2a+2a(1-ln a),极大值为f(1)=2,又f(a)=aln2a+2a(1-ln a)=a(ln 2a+2-2ln a)=a[(ln a-1)2+1]>a>,∴y=f(x)与y=的图象至多有1个交点,所以舍去;②当a>1时,f(x)在(1,a)上单调递增,在(0,1),(a,+∞)上单调递减.∴f(x)的极小值为f(1)=2,极大值为f(a)=aln2a+2a(1-ln a),∴只有当2<<a(ln 2a+2-2ln a)成立,y=f(x)与y=的图象才有三个交点,当2<时,a>e,下面只需要求解不等式<a(ln 2a+2-2ln a),即<ln 2a+2-2ln a的解集,令ln a=t,则<ln 2a+2-2ln a等价于2et-2<t2+2-2t,设h(t)=t2+2-2t-2et-2,则h′(t)=2t-2-2et-2,令u(t)=2t-2-2et-2,则u′(t)=2-2et-2,令u′(t)=0,则t=2,且当t<2时,u′(t)>0,函数u(t)单调递增,当t>2时,u′(t)<0,函数u(t)单调递减,又u(2)=0,∴u(t)≤0,即h(t)单调递减,又h(2)=0,∴当t<2时,h(t)>0,即ln a=t<2,得到0<a<e2,综上,e<a<e2.
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