【原创】2022届高三二轮专题卷 数学（一）平面向量【学生版+教师版】

1．与平面向量有关的简单计算

1．已知平面向量，，若，则_________．

【答案】

【解析】因为，则，可得，故，

因此，

故答案为．

2．已知平面向量，，若，则实数的值为（    ）

A．10 B．8 C．5 D．3

【答案】A

【解析】因为，，所以．

因为，所以，解得，

故选A．

3．如图，A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，且平面ABC中的小方格均为单位正方形，，，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【解析】因为，

所以

，

故选B．

4．已知为平面上的动点，，为平面上两个定点，且，则动点的轨迹方程为_______．

【答案】

【解析】设，则，，

因为，所以，化简得，

所以动点的轨迹方程为，

故答案为．

5．已知，，，则向量与向量的夹角为______．

【答案】

【解析】设向量与向量的夹角为，

∵，∴，

又∵，∴，

∵，∴，∴，∴，

∵，∴．

故答案为．

6．已知向量和的夹角为150°，且，，则在上的投影为___________．

【答案】或

【解析】由，得，

因为向量和的夹角为150°，且，

所以，得，

，所以或，

当时，在上的投影为，

当时，在上的投影为，

综上，在上的投影为或，

故答案为或．

7．如图，在中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，．

（1）用向量，表示；

（2）设向量，，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵为中线上一点，且，

∴．

（2）∵，，，

∴，

又，，三点共线，∴，解得，

故的值为．

2．向量的线性运算

1．已知四边形的对角线交于点O，E为的中点，若，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】由已知得，，

故，

又B，O，D共线，故，所以，故选A．

2．如图，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题可得

，

故选B．

3．如图，在中，，，若，

则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

，

所以，，故选D．

4．（多选）已知，，，点M满足且，则（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】AC

【解析】，三点共线且为中点，

，，

，

三点共线且为上靠近A的三等分点，

，，

，

，

，，A正确，B错误；

，

C正确；

，D不正确，

故选AC．

3．与向量有关的范围、最值问题

1．已知平面向量，的夹角为120°，且，，则的值为______，的最小值为______．

【答案】，

【解析】因为平面向量，的夹角为120°，且，，

所以，

，

所以当时，的最小值为，

故答案为，．

2．如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则___________，的最小值为___________．

【答案】2，

【解析】因为在中，，

所以，

即．

因为点在线段上移动（不含端点），所以设．

所以，对比可得．

代入，得；

代入可得，

根据二次函数性质知当时，，

故答案为．

3．（多选）已知两个向量和满足，，和的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数可能的取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】因为，，和的夹角为，

所以，

因为向量与向量的夹角为钝角，

所以，且不能共线，

所以，解得，

当向量与向量共线时，有，即，解得，

所以实数的取值范围，

所以实数可能的取值为A，D，故选AD．

4．点M在边长为2的正三角形内（包括边界），满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为点M是正三角形内的一点（包括边界），所以，

由

，

故选B．

5．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于与M，N（三角形顶点不重合）两点，且，，则2x+y的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为是△ABC的重心，所以，

又，，所以，

因为三点共线，所以，即，

显然，，

所以，

当且仅当，即，时，等号成立，

所以的最小值是，故选A．

6．已知、、是平面向量，是单位向量． 若，，则的最大值为_______．

【答案】

【解析】因为，则，即，

因为，即，

作，，，，则，

，则，

固定点，则为的中点，则点在以线段为直径的圆上，

点在以点为圆心，为半径的圆上，如下图所示：

，

设，则，

因为，，

故

，

当时，等号成立，即的最大值为，

故答案为．

7．已知圆O的方程为，P是圆上一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则的取值范围为____________．

【答案】

【解析】如图，

设PA与PB的夹角为2α，则，

∴．

P是圆上一点，

，

，

，

令，则在上递减，

所以当时，，此时P的坐标为，

当时，，此时P的坐标为，

∴的范围为，故答案为．

8．已知圆的半径为3，，为该圆的两条切线，为切点，则的最小值为___________．

【答案】

【解析】如图所示，

设（），，

则，，，

，

当且仅当，即时等号成立，

∴的最小值是，故答案为．

4．与其他知识综合

1．已知数列的首项为1，又，其中点O在直线l外，其余三点A，B，C均在l上，那么数列的通项公式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以，

又因为点O在直线l外，三点A，B，C均在l上，

故，即，所以，

即数列是以为首项，以2为公比的等比数列，

故，则，故选C．

2．四边形为梯形，且，，，点是四边形内及其边界上的点．若，则点的轨迹的长度是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

，

即．

设向量与的夹角为，则，

因为，所以，

由向量投影定义得，向量在向量上的投影为2，

即动点在过点且垂直于的直线上．

在中，，，，

由余弦定理得，所以；

则，所以．

因为是四边形内及其边界上的点，所以点的轨迹为线段，

所以点的轨迹的长度为，故选B．