【原创】2022届高三二轮专题卷 数学（十三）直线的方程【学生版+教师版】

1．直线的斜率与倾斜角

1．已知动直线的倾斜角的取值范围是，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（    ）

A．或 B．或 C． D．

3．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则_______．

4．将直线绕着点按逆时针方向旋转，得到直线．

则的倾斜角为________，的方程是________________．

5．已知四边形OABC各顶点的坐标分别为，，，，点D为边OA的中点，点E在线段OC上，且是以角B为顶角的等腰三角形，记直线EB，DB的倾斜角分别为，，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知直线经过点，，且与直线平行，

则（    ）

A． B．2 C． D．1

7．已知直线与直线平行，则实数m的值为______．

8．“直线和直线垂直”的充要条件是_________．

2．直线方程

1．直线经过第一、二、四象限，则（    ）

A．，  B．，

C．，  D．，

2．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ）

A．  B．

C．  D．

3．已知直线经过直线与的交点，且直线的斜率为，则直线的方程是（    ）

A．  B．

C．  D．

4．直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程是（    ）

A．  B．

C．或 D．或

5．已知直线，下面四个命题：

①直线的倾斜角为；

②若直线，则；

③点到直线的距离为2；

④过点，并且与直线平行的直线方程为，

其中所有正确命题的序号是（    ）

A．①② B．②③ C．③④ D．③

3．与直线有关的距离问题

1．设，直线恒过定点A，则点A到直线的距离的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．

2．若直线被圆截得的弦长为2，则实数的值为___________．

3．对任意的实数，求点到直线的距离的取值范围为______．

4．已知点，和直线，若在坐标平面内存在一点P，使，且点P到直线l的距离为2，则点P的坐标为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

5．函数的最大值是（    ）

A． B． C． D．

6．若倾斜角为的直线被直线与所截得的线段长为，则________．

4．与直线有关的对称问题

1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（    ）

A． B． C． D．

2．如图所示，已知，，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是（    ）

A． B． C．6 D．

3．已知圆的方程为，直线恒过定点A．若一条光线从点A射出，经直线上一点M反射后到达圆C上的一点N，则的最小值为（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

4．已知直线，点．求：

（1）点关于直线的对称点的坐标；

（2）直线关于直线对称的直线的方程；

（3）直线关于点对称的直线的方程．

1．直线的斜率与倾斜角

1．【答案】B

【解析】由题设知：直线斜率范围为，即，可得，

故选B．

2．【答案】B

【解析】如图所示：

因为，，

所以当直线过点且与线段相交时，的斜率的取值范围是或，

故选B．

3．【答案】或

【解析】由条件可知双曲线的其中一条渐近线方程是，，

因为两条渐近线的夹角是，所以直线的倾斜角是或，

即或，

故答案为或．

4．【答案】或，

【解析】直线的倾斜角为45°，所以直线的倾斜角为，斜率为，

所以直线方程为，即，

故答案为，．

5．【答案】B

【解析】∵，，，，

∴，，

∴，，∴四边形为正方形，

又∵为边的中点，是以角为顶角的等腰三角形，

∴必为边的中点，则，，

∴，，∴，，

直线与轴垂直，则，

∴，故选B．

6．【答案】C

【解析】直线的斜率，直线的斜率，

所以，解得，故选C．

7．【答案】

【解析】由题设，，解得，经检验满足题设，

故答案为．

8．【答案】或

【解析】因为直线和直线垂直，

所以，解得或，

故答案为或．

2．直线方程

1．【答案】C

【解析】因为直线经过第一、二、四象限，则该直线的斜率，可得，

该直线在轴上的截距，可得，故选C．

2．【答案】A

【解析】直线的斜率为，则直线的斜率为，

故直线的方程为，即，故选A．

3．【答案】C

【解析】解方程组，得，

所以两直线的交点为．

因为直线的斜率为，所以直线的方程为，

即，故选C．

4．【答案】C

【解析】若直线过原点，可设直线的方程为，则有，此时直线的方程为；

当直线不过原点时，可设直线的方程为，

即，

则有，可得，此时直线的方程为．

综上所述，直线的方程为或，故选C．

5．【答案】C

【解析】直线的斜率为，倾斜角为，∴①不正确；

直线的斜率为，倾斜角为，与直线不垂直，∴②不正确；

点到直线的距离为，∴③正确；

过点，与直线平行的直线方程为，

即，∴④正确，

故选C．

3．与直线有关的距离问题

1．【答案】D

【解析】恒过的点为，直线变形为，恒过点，

所以点到直线的距离最大值即为的长，其中，

故选D．

2．【答案】

【解析】∵圆的圆心坐标为，半径为2，

∴，解得则，

故答案为．

3．【答案】

【解析】由题意，直线，即，

所以，解得，

所以直线过定点，

当垂直直线时，取得最大值，

当直线过点时，取得最小值，

∴的取值范围，

故答案为．

4．【答案】C

【解析】设点的坐标为，线段的中点的坐标为，

，

∴的垂直平分线方程为，即，

∵点在直线上，∴，

又点到直线的距离为，

∴，即，

联立可得、或、，

∴所求点的坐标为或，故选C．

5．【答案】B

【解析】函数

的几何意义为点到直线的距离，

由直线，

即为，

由，可得，

则直线恒过定点，

由题意可得原点到定点的距离即为所求最大值，

可得，故选B．

6．【答案】或

【解析】设直线与直线，分别相交于A，B两点，

由题意知，平行直线与直线之间的距离，

所以直线与直线，垂直，所以直线的斜率为1，倾斜角，

故答案为．

4．与直线有关的对称问题

1．【答案】D

【解析】如图，设关于直线对称的点为，

则有，可得，可得，

依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，此时，

故选D．

2．【答案】D

【解析】点P关于y轴的对称点的坐标是，

设点P关于直线的对称点为，则，解得，

故光线所经过的路程，故选D．

3．【答案】A

【解析】圆的圆心，半径，

直线可化为，

令，解得，所以定点A的坐标为．

设点关于直线的对称点为，

由，解得，所以点B坐标为．

由线段垂直平分线的性质可知，，

所以，

（当且仅当B，M，N，C四点共线时等号成立），

所以的最小值为6，故选A．

4．【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）解：因为点，设点关于直线的对称点的坐标为，

直线，

，解得，所以．

（2）解：设直线与直线的交点为，

联立直线与直线，，解得，所以；

在直线上取一点，如，

则关于直线的对称点必在直线上，

设对称点，则，解得，

所以，

经过点，所以，

所以直线的方程为，整理得．

（3）解：设直线关于点对称的直线的点的坐标为，

关于点对称点为，

在直线上，

代入直线方程得，所以直线的方程为．