2021届湖南省长郡、雅礼、一中、附中联合编审名校卷（全国卷）高三月考数学（文）试题（九）（含解析）

2021届湖南省长郡、雅礼、一中、附中联合编审名校卷（全国卷）高三月考数学（文）试题（九）

一、单选题

1．设集合，，则

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：集合，集合，所以,故选D.

【解析】1、一元二次不等式；2、集合的运算.

2．若，则

A．1 B．-1 C．i D．-i

【答案】C

【详解】试题分析：，故选C．

【解析】复数的运算、共轭复数．

【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．

3．设，，，则a，b，c的大小关系是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别判断a，b，c与0,1的大小关系得到答案.

【详解】

故答案选B

【点睛】本题考查了根据函数单调性判断数值大小，01分界是一个常用的方法.

4．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】利用排除法：

由函数的解析式可得：，函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误，

本题选择A选项.

点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

5．某人在同一群体中调查了人们对6杯饮品口感的看法，得到数据如表：

根据这些数据，可知这一群体意见分歧较大的两杯饮品是（    ）

A．第1杯与第3杯 B．第2杯与第4杯

C．第1杯与第5杯 D．第3杯与第5杯

【答案】B

【分析】分歧大，意味着好评率与差评率的差值小，以此为依据可得出答案.

【详解】第1杯饮品好评率与差评率的差值为，

第2杯饮品好评率与差评率的差值为，

第3杯饮品好评率与差评率的差值为，

第4杯饮品好评率与差评率的差值为，

第5杯饮品好评率与差评率的差值为，

第6杯饮品好评率与差评率的差值为，

其中较小的差值为第2杯与第4杯.

故选：B.

6．已知为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】根据几何概型得：取到的点到O的距离大于1的概率：，故选B.

7．《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为米，一只手臂长约为米，“弓”所在圆的半径约为米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】C

【分析】利用弧长公式可求圆心角的大小，再利用解直角三角形的方法可求弦长.

【详解】

掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”即如图中的及弦，

取的中点，连接.

由题设可得的弧长为，而，

故，故的长度为，

故选：C.

8．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展．下面是2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收情况，则下列说法错误的是（    ）

A．2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加

B．2021年我国数字出版业营收超过2017年我国数字出版业营收的2倍

C．2021年我国新闻出版业营收超过2017年我国新闻出版业营收的1.5倍

D．2021年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一

【答案】C

【分析】通过条形图中的数据信息，对四个选项进行逐一分析判断，即可得到答案.

【详解】对于A中，由条形图可以看出，条形的高一次在增高，所以2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收逐年增加，所以A正确；

对于B中，2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，2017年我国新闻出版业营收为1935.3亿元，因为，所以B正确；

对于C中，2021年我国新闻出版业营收为23595.8亿元，2017年我国新闻出版业营收为16635.5亿元，因为，所以C错误；

对于D中，因为，所以2021年我国数字出版业营收占新闻出版业营收为超过三分之一，所以D正确.

故选：C.

9．若，则下列结论不正确的是　　

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用作差法证明A、B正确，根据不等式证明C正确，D错误

【详解】由题意，对于A中，因为，，故A正确，

对于B中国，因为，，故B正确，

对于C中，因为，两边同除以ab，可得，故C正确，

对于D中，因为，故D错误，

故选D．

【点睛】本题考查了不等式的性质应用，以及作差法比较大小关系，其中解答中熟记不等关系与不等式，熟练应用作出比较法进行比较是解答的关键，属于基础题，着重考查推理与运算能力．

10．已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求导，由函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，转化为f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立问题求解．

【详解】函数在上为减函数,f’(x)＝，

则f'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，

即1﹣lna﹣lnx≤0在[1，+∞）上恒成立，

∴lnx≥1-lna=恒成立，

∴，即≤1，

∴a≥e

故选D．

【点睛】本题考查用导数研究函数单调性问题，基本思路是，当函数是增函数时，则f′（x）≥0在D上恒成立；当函数是减函数时，则f′（x）≤0在D上恒成立．

11．如图，是圆为圆心的一条弦，由下列一个条件能确定值的有（    ）

A．已知圆的半径长

B．已知弦长

C．已知大小

D．已知点到弦的距离

【答案】B

【分析】作出弦心距，利用数量积表示出，结合选项可得答案.

【详解】作于，则，设，则；

.

故选：B.

12．已知函数，点，，是直线与函数的图象自左至右的某三个相邻交点，且.若对，以，，的值为边长可以构成一个三角形，那么实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据求出周期，得到，结合的范围求出，，的范围，最后利用构成三角形的条件求出实数的取值范围.

【详解】函数，由，解得，

∴，∴.∴，

当时，，

∴，∴，

由题意可得对任意的恒成立，

∴，

∵，，

∴，解得.

【点睛】求解三角函数值域的步骤：（1）先化简目标式为标准型;

（2）根据的范围求解的范围，结合简图可得的范围；

（3）根据的范围可得的值域.

二、填空题

13．设正项等比数列的前项和为，若，，则公比等于___________.

【答案】2

【分析】由，得可得的值.

【详解】因为，，，所以，即，

可得，因为数列是正项等比数列，所以.

故答案为：2.

14．若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为___________.

【答案】

【分析】先由抛物线的方程求出准线的方程，然后根据点到准线的距离可求，进而可得抛物线的标准方程.

【详解】抛物线的准线方程为，点到其准线的距离为，

由题意可得，解得，故抛物线的标准方程为.

故答案为：.

15．已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的取值范围是__________．

【答案】

【分析】设点P（x0，y0），由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，结合P的坐标满足双曲线的方程，可得P到两渐近线的距离之积为定值，由反比例的性质，可得所求范围．

【详解】设点，由题可设渐近线，渐近线，由点到直线的距离，点到直线的距离，有，又，即，则，则，由与成反比，且，所以

故答案为：.

三、双空题

16．如图，在平面四边形中，，，.将该平面图形沿线折成一个直二面角，三棱锥的体积为___________；三棱锥的外接球的体积为___________.

【答案】       

【分析】由平面平面，，得平面，由棱锥的体积公式可得的体积；由已知得平面，得，又，得平面，从而，可得是外接球的直径，求得球的体积.

【详解】因为平面平面，，则平面，

四面体的体积；

由平面可得，因为，且，

则平面，从而，

取的中点，则，所以是外接球的球心，是外接球的直径，在中，，则球半径，

所以外接球的体积，

故答案为：①；②.

【点睛】本题考查了球的内接问题，关键点是确定球心的位置，考查了学生的空间想象能力和计算能力.

四、解答题

17．设数列的前项和为，且，数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）令，由计算出的值，再令，由计算出，再验证是否满足的表达式，由此可得出数列的通项公式；

（2）由题意得出，然后在等式两边同时除以可得出，可知数列是以为公差的等差数列，由此求出数列的通项公式，可解出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出数列的前项和.

【详解】（1）当时，；

当时，.

也适合，因此，数列的通项公式为；

（2），在等式两边同时除以得，且.

所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，

.

，

得，

上式下式得，

因此，.

【点睛】本题考查由前项和求数列通项，同时也考查了构造法求数列的通项以及错位相减法求和，在利用前项和求数列通项时，一般利用公式来计算，但需对是否满足的表达式进行验证，考查运算求解能力，属于中等题.

18．如图，在底面是菱形的四棱柱中，，，点在上．

（1）求证：平面；

（2）当为线段的中点时，求点到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）由得，由得可得答案；

（2）当时得点为的中点时，可得平面，转化为求点到平面的距离，设的中点为，则，得平面，利用可求得，利用可得答案．

【详解】（1）证明：因为底面为菱形，，所以，由知

，由知，

又因为，所以平面．

（2）当时，平面．证明如下：

连结交于，当时，即点为的中点时，连结，

则，平面，平面，所以平面，

所以直线与平面之间的距离等于点到平面的距离，

因为点为的中点，可转化为到平面的距离，，

设的中点为，连结，则，

所以平面，且，可求得，

所以，

又，，，，

所以（表示点到平面的距离），，

所以直线与平面之间的距离为．

19．网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如图的频数直方图．将周平均网购次数不小于4次的民众称为网购迷．这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，且网购迷中有5名市民的年龄超过40岁．

（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提条件下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？

（2）现从网购迷中按分层抽样选5人代表进一步进行调查，若从5人代表中任意挑选2人，求挑选的2人中有年龄超过40岁的概率．

附：

【答案】（1）填表见解析；能；（2）．

【分析】（1）根据已知条件完成2×2列联表，并求得卡方值，与3.297进行比较，判断相关性；

（2）由频数分布直方图知，网购迷共有25人，现从网购迷中按分层抽样选5人代表，记其中年龄超过40岁的1名市民为A，其余4名年龄不超过40岁的市民为，现从5人中任取2人，列举出所有的情况，找到满足情况的种类数，从而求得概率.

【详解】（1）根据已知条件完成2×2列联表，如下：

计算

因为3．，所以据此列联表判断，能在犯错误的概率不超过的前提下，认为网购迷与年龄不超过40岁有关．

（2）由频数分布直方图知，网购迷共有25人，现从网购迷中按分层抽样选5人代表，记其中年龄超过40岁的1名市民为A，其余4名年龄不超过40岁的市民为，现从5人中任取2人，基本事件是、Ae、Af、cd、ce、cf、de、df，ef共有10种，其中有市民年龄超过40岁的基本事件是共4种，

故所求的概率为．

20．已知函数.

（1）曲线在点处的切线方程为，求，的值；

（2）若，时，，都有，求的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【分析】(1)对f(x)求导，由给定的切点、切线方程列出关于a，b的方程而得解；

(2)将给定不等式等价转化，构建新函数，利用函数单调性即可求得.

【详解】（1）由题意，，切线斜率为-1，切点，

即，得，又，，即，；

（2）当，，时，，在上单调递减，

不妨令，则，原不等式即为，

即，即，

令，则在上为单调增函数，

∴有在上恒成立，

即，，令，，，

令，，∴在上单调递减，，则，在上为单调增函数，

∴，即，综上，.

【点睛】含双变量且具有斜率意义的函数不等式恒成立问题，分离变量，构建函数是关键，再研究函数单调性是方法.

21．已知椭圆：，连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦，过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径.若椭圆的两直径的斜率之积为，则称这两直径为椭圆的共轭直径.特别地，若一条直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径.现已知椭圆：.

（1）已知点，为椭圆上两定点，求的共轭直径的端点坐标.

（2）过点作直线与椭圆交于､两点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.当的面积最大时，直径与直径是否共轭，请说明理由.

（3）设和为椭圆的一对共轭直径，且线段的中点为.已知点满足：，若点在椭圆的外部，求的取值范围.

【答案】（1）和；（2）直径与直径共轭，理由见解析；（3）或.

【分析】（1）设所求直线方程为：依题意可得，即可得到直线方程，再联立直线与椭圆方程求出交点坐标即可；

（2）设：，､，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，则，再利用基本不等式求出面积最大值，即可求出参数的值，即可判断；

（3）设点，，设：，则：，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，从而得到点坐标，再由在椭圆内部，即可得到不等式，解得即可；

【详解】解：（1）由题设知，设所求直线方程为：，则，则.

故共轭直径所在直线方程为：.

联立椭圆与，即可得：，.

故端点坐标为和.

（2）由题设知，不与轴重合，故设：，､

联立方程：，

则，，，

.

当且仅当，即时取等号，

此时，故直径与直径共轭.

（3）设点，，

当不与坐标轴重合时，设：，则：.

联立.

同理可得：，.

由椭圆的对称性，不妨设在第一象限，则必在第二象限或第四象限，

则，，

若在第二象限，则，，

从而，

则.

又在椭圆外，则，

化简可得：，即，或.

若在第四象限，同理可得，即，或.

当与轴垂直或重合时，由椭圆的对称性，不妨取，，则.

又在椭圆外，则，即，或，

综上：或.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

22．在以原点O为极点；x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为

（1）求曲线C2的直角坐标方程；

（2）过原点O且倾斜角为 的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点（A，B异于原点），求・的取值范围

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）等式两边同时乘以，由即可得到直角方程；

（2）写出直线l的极坐标方程，与曲线C1，C2联立，可得与，利用正切函数图像的性质即可得到取值范围.

【详解】（1）由曲线的极坐标方程为，

两边同乘以，得，

故曲线的直角坐标方程为．

（2）射线的极坐标方程为，

把射线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程得，

把射线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程得．

，

，

的取值范围是．

【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，考查极坐标方程的应用，以及利用同角三角函数关系式和正切函数图像的性质求范围问题，属于基础题.

23．选修4－5：不等式选讲

已知定义在R上的函数的最小值为a．

（1）求a的值；

（2）若p，q是正实数，且满足，求证：

【答案】(1) (2)见证明

【分析】（1）利用绝对值三角不等式即可得到函数的最小值；（2）由（1）得，则，展开利用基本不等式即可得到证明.

【详解】（1）因为，

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值等于3，即．

（2）证明：由（1）知，

又因为是正实数，

所以，

当且仅当时，等号成立．

【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求函数的最值，考查利用基本不等式证明不等式，属于基础题.