高考数学(文数)一轮复习课时练习：2.2《函数的单调性与最值》(教师版)

这是一份高考数学(文数)一轮复习课时练习：2.2《函数的单调性与最值》(教师版)，共10页。试卷主要包含了设f＝x－sin x，则f等内容，欢迎下载使用。

课时规范练
A组　基础对点练
1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝3－x　　　　　 B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
解析：当x＞0时，f(x)＝3－x为减函数；
当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，
当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．故选C.
答案：C
2．下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)
A．y＝e－x B．y＝x3
C．y＝ln x D．y＝|x|
解析：因为对数函数y＝ln x的定义域不是R，故首先排除选项C；因为指数函数y＝e－x，即y＝x，在定义域内单调递减，故排除选项A；对于函数y＝|x|，当x∈(－∞，0)时，函数变为y＝－x，在其定义域内单调递减，因此排除选项D；而函数y＝x3在定义域R上为增函数．故选B.
答案：B
3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝ B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|
解析：A中y＝是奇函数，A不正确；B中y＝e－x＝x是非奇非偶函数，B不正确；C中y＝－x2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C正确；D中y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函数，D不正确．故选C.
答案：C
4．设f(x)＝x－sin x，则f(x)(　　)
A．既是奇函数又是减函数
B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数
D．是没有零点的奇函数
解析：∵f(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sin x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又f′(x)＝1－cos x≥0，
∴f(x)单调递增，选B.
答案：B
5．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
解析：因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；因为函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x＞0时，f(x)＞1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，故选D.
答案：D
6．若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，则f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝(x－1)2 B．f(x)＝ex
C．f(x)＝ D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：根据条件知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
对于A，f(x)＝(x－1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A；
对于B，f(x)＝ex在(0，＋∞)上单调递增，排除B；
对于C，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，C正确；
对于D，f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.
答案：C
7．设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若函数f(x)＝ax在R上为减函数，则有0＜a＜1；若函数g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数，则有2－a＞0，即a＜2，所以“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件，选A.
答案：A
8．函数f(x)＝，(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.
解析：∵，∴≤a<1.
答案：B
9．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
解析：A项，y＝为(－1，＋∞)上的增函数，故在(0，＋∞)上递增；B项，y＝(x－1)2在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增；C项，y＝2－x＝x为R上的减函数；D项，y＝log0.5(x＋1)为(－1，＋∞)上的减函数．故选A.
答案：A
10．已知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)单调递减，设a＝－21.2，b＝－0.8，c＝2log5 2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)
A．f(c) C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(a)>f(b)
解析：依题意，注意到21.2>20.8＝－0.8>20＝1＝log55>log54＝2log52>0，又函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f(21.2) 答案：C
11．已知函数f(x)＝x，则(　　)
A．∃x0∈R，f(x0)<0
B．∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥0
C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，<0
D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，f(x1)>f(x2)
解析：幂函数f(x)＝x的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A错误，B正确，C错误，D选项中当x1＝0时，结论不成立，选B.
答案：B
12．对于函数f(x)，在使f(x)≥M成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫作函数f(x)的下确界．现已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－3x2＋2，则f(x)的下确界为(　　)
A．2 B．1
C．0 D．－1
解析：函数f(x)在R上的部分图象如图所示，易得下确界为－1.故选D.

答案：D
13．函数f(x)＝的值域为________．
解析：当x≥1时，logx≤0，当x＜1时，0＜2x＜2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
14．函数f(x)＝x＋的值域为________．
解析：由2x－1≥0可得x≥，∴函数的定义域为，
又函数f(x)＝x＋在上单调递增，
∴当x＝时，函数取最小值f＝，∴函数f(x)的值域为.
答案：
15．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.
解析：由f(x)＝，可得函数f(x)的单调递增区间为，故3＝－，解得a＝－6.
答案：－6
16．已知函数f(x)＝x＋(x≠0，a∈R)，若函数f(x)在(－∞，－2]上单调递增，则实数a的取值范围是__________．
解析：设x1 ＝(x1－x2)＝.
因为x1－x2<0，x1x2>0，所以要使Δy＝<0恒成立，只需使x1x2－a>0恒成立，即a 因为x14，所以a≤4，故函数f(x)在(－∞，－2]上单调递增时，实数a的取值范围是(－∞，4]．
答案：(－∞，4]
B组　能力提升练
1．已知f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)>0，那么实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C．(1,3) D.
解析：∵f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－1 ∵f(m－2)＋f(2m－3)>0可转化为f(m－2)>－f(2m－3)，∴f(m－2)>f(－2m＋3)，
∵f(x)是减函数，∴m－2<－2m＋3，
∵∴1 故选A.
答案：A
2．已知函数f(x)＝若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2)
D．(－2,1)
解析：∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)＞f(x)等价于2－x2＞x，即x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1.故选D.
答案：D
3．若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则f(x－1)＜e－的解集为(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，1)
C．(2，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：因为f(x)＝ex－ae－x为奇函数，所以f(0)＝1－a＝0，即a＝1，则f(x)＝ex－e－x在R上单调递增，且f(1)＝e－.则由f(x－1)＜e－，得f(x－1)＜f(1)，即x－1＜1，解得x＜2，所以不等式f(x－1)＜e－的解集为(－∞，2)．故选A.
答案：A
4．若函数f(x)＝x2－ln x＋1在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B.
C．[1,2) D.
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以k－1≥0，即k≥1.令f′(x)＝＝0，解得x＝.因为函数f(x)在区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，所以k－1＜＜k＋1，得－＜k＜.综上得1≤k＜.
答案：B
5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　)
A．[1,2] B.
C. D．(0,2]
解析：由已知条件得f(－x)＝f(x)，则f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)⇒f(log2a)＋f(－log2a)≤2f(1)⇒f(log2a)≤f(1)，又f(log2a)＝f(|log2a|)且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴|log2a|≤1⇒－1≤log2a≤1，解得≤a≤2，选C.
答案：C
6．设函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，则(　　)
A．m＝1，且f(x)在(0,1)上是增函数
B．m＝1，且f(x)在(0,1)上是减函数
C．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是增函数
D．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是减函数
解析：因为函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，所以f＝f，则(m－1)ln 3＝0，即m＝1，则f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)＝ln(1－x2)，在(0,1)上，当x增大时，1－x2减小，ln(1－x2)减小，即f(x)在(0,1)上是减函数，故选B.
答案：B
7．已知函数f(x)＝lg(ax－bx)＋x中，常数a，b满足a＞1＞b＞0，且a＝b＋1，那么f(x)＞1的解集为(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1,10) D．(10，＋∞)
解析：由ax－bx＞0，即x＞1，解得x＞0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为a＞1＞b＞0，所以y＝ax单调递增，y＝－bx单调递增，所以t＝ax－bx单调递增．又y＝lg t单调递增，所以f(x)＝lg(ax－bx)＋x为增函数．而f(1)＝lg(a－b)＋1＝lg 1＋1＝1，所以x＞1时f(x)＞1，故f(x)＞1的解集为(1，＋∞)．故选B.
答案：B
8．已知函数f(x)是定义在R上的单调递增函数，且满足对任意的实数x都有f(f(x)－3x)＝4，则f(x)＋f(－x)的最小值等于(　　)
A．2 B．4
C．8 D．12
解析：由f(x)的单调性知存在唯一实数K使f(K)＝4，即f(x)＝3x＋K，令x＝K得f(K)＝3K＋K＝4，所以K＝1，从而f(x)＝3x＋1，即f(x)＋f(－x)＝3x＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝0时取等号．故选B.
答案：B
9．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：充分性：当a<0时，f(x)＝|(ax－1)·x|＝－ax2＋x为图象开口向上的二次函数，且图象的对称轴为直线x＝，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数；当a＝0时，f(x)＝x，为增函数．
必要性：f(0)＝0，当a≠0时，f＝0，
若f(x)在(0，＋∞)上为增函数，则<0，即a<0.
f(x)＝x时，f(x)为增函数，此时a＝0.综上，a≤0为f(x)在(0，＋∞)上为增函数的充分必要条件．
答案：C
10．已知函数f(x)＝.若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,2] B．(－∞，2]
C．(0,2] D．[2，＋∞)
解析：依题意，当x≥1时，f(x)＝1＋log2x单调递增，f(x)＝1＋log2x在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f(x)的值域是R，则需函数f(x)在(－∞，1)上的值域M⊇(－∞，1)．①当a－1<0，即a<1时，函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，函数f(x)在(－∞，1)上的值域M＝(－a＋3，＋∞)，显然此时不能满足M⊇(－∞，1)，因此a<1不满足题意；②当a－1＝0，即a＝1时，f(x)在(－∞，1)上的值域M＝{2}，此时不能满足M⊇(－∞，1)，因此a＝1不满足题意；③当a－1>0，即a>1时，函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，函数f(x)在(－∞，1)上的值域M＝(－∞，－a＋3)，由M⊇(－∞，1)得，解得1 答案：A
11．若函数f(x)在[a，b]上的值域为，则称函数f(x)为“和谐函数”．给出下列4个函数：①g(x)＝＋；②p(x)＝；③q(x)＝ln x；④h(x)＝x2.其中“和谐函数”的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意知，若f(x)在区间[a，b]上单调递增，需满足f(a)＝，f(b)＝，若f(x)在区间[a，b]上单调递减，需满足f(b)＝，f(a)＝.
①g(x)＝＋在[1，＋∞)上为增函数，则g(a)＝，g(b)＝，即a，b是函数g(x)＝的两个根，即＋＝，则＝－＋，作出函数y＝和y＝－＋的图象如图：

则这两个函数的图象有两个交点，满足条件．
②p(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则p(b)＝，p(a)＝，即，即ab＝2，当a＝，b＝4时，满足条件．
③q(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，则q(a)＝，q(b)＝，即a，b是函数q(x)＝的两个根，即ln x＝，作出y＝ln x和y＝的图象如图：

则这两个函数的图象没有交点，不满足条件．
④当x≥0时，h(x)＝x2为增函数，则h(a)＝，h(b)＝，即a，b是函数h(x)＝的两个根，作出y＝x2和y＝的图象如图：

则这两个函数的图象有两个交点，满足条件．故选C.
答案：C
12．函数f(x)＝的值域为__________．
解析：当x>0时，f(x)＝＝x＋－2，
由基本不等式可得x＋≥2＝4(当且仅当x＝，即x＝2时等号成立)，
所以f(x)＝x＋－2≥4－2＝2，即函数f(x)的取值范围为[2，＋∞)；
当x≤0时，f(x)＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，因为当x＝－1时，f(x)取得最大值1，
所以函数f(x)的取值范围为(－∞，1]．
综上，函数f(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)
13．已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝__________，f(x)的最小值是__________．
解析：因为f(－2)＝4，f(4)＝－，所以f(f(－2))＝－；x≤1时，f(x)min＝0，x＞1时，f(x)min＝2－6，又2－6＜0，所以f(x)min＝2－6.
答案：－　2－6
14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________．
解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．又f(2|a－1|)＞f(－)，f(－)＝f()，故－＜2|a－1|＜，则|a－1|＜，所以＜a＜.
答案：
15．已知函数f(x)＝，关于f(x)的性质，有下列四个结论：
①f(x)的定义域是(－∞，＋∞)；
②f(x)的值域是；
③f(x)是奇函数；
④f(x)是区间(0,2)上的增函数．
其中正确结论的个数是________．
解析：对于①，∵函数f(x)＝，∴f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，故①正确；
对于②，当x≠0时，f(x)＝，若x＞0，则0＜f(x)≤，若x＜0，则－≤f(x)＜0；当x＝0时，f(x)＝0，故f(x)的值域是，故②正确；
对于③，f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，故③正确；
对于④，f′(x)＝，令f′(x)＞0，解得－1＜x＜1，令f′(x)＜0，解得x＞1或x＜－1，
∴f(x)在区间(0,2)上先增后减，故④错误．
综上可知，正确结论的个数是3.
答案：3