高考数学(文数)一轮复习课时练习：3.3《三角函数的图象与性质》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(　　)

A．y＝cos　　 B．y＝sin

C．y＝sin 2x＋cos 2x  D．y＝sin x＋cos x

解析：y＝cos＝－sin 2x，最小正周期T＝＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确；y＝sin＝cos 2x，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y轴对称，故B不正确；C，D均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C，D不正确．

答案：A

2．已知函数y＝sin ωx(ω>0)在区间上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：由题意知即其中k∈Z，则ω＝，ω＝或ω＝1，

即ω的取值集合为.

答案：A

3．(2018·西安八校联考)若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　)

A．1  B．2

C．4  D．8

解析：＋＝kπ＋(k∈Z)，∴ω＝6k＋2(k∈Z)，∴ωmin＝2，故选B.

答案：B

4．函数f(x)＝(sin x＋cos x)2图象的一条对称轴方程是(　　)

A．x＝  B．x＝

C． x＝  D．x＝π

解析：f(x)＝(sin x＋cos x)2＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＝1＋sin 2x，

将各选项代入验证可知，当x＝时，f(x)取得最值，故选A.

答案：A

5．函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)

A.(k∈Z)      B.(k∈Z)

C.(k∈Z)      D(k∈Z)

解析：由kπ－<2x－<kπ＋(k∈Z)，得－<x<＋(k∈Z)，

所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．

答案：B

6．函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　)

A．4  B．5

C．6  D．7

解析：f(x)＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，因为sin x∈[－1,1]，

所以当sin x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝5.

答案：B

7．函数y＝2sin的单调递增区间为(　　)

A.，k∈Z       B.，k∈Z

C.，k∈Z          D.，k∈Z

解析：y＝2sin＝－2sin，令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

得kπ＋π≤x≤kπ＋π，k∈Z.

答案：B

8．函数y＝(sin x＋cos x)2－1是(　　)

A．最小正周期为2π的奇函数

B．最小正周期为2π的偶函数

C．最小正周期为π的奇函数

D．最小正周期为π的偶函数

解析：y＝sin2x＋2sin xcos x＋cos2x－1＝sin 2x，故选C.

答案：C

9．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)对任意x都有f＝f，则f等于(　　)

A．2或0  B．－2或2

C．0  D．－2或0

解析：因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，所以该函数图象关于直线x＝对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.

答案：B

10．已知命题p：函数f(x)＝sin xcos x的最小正周期为π；命题q：函数g(x)＝sin的图象关于原点对称．则下列命题中为真命题的是(　　)

A．p∧q  B．p∨q

C．￢p  D．(￢p)∨q

解析：函数f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，其最小正周期为T＝＝π，故命题p为真命题；

函数g(x)＝sin＝cos x，其图象关于y轴对称，故命题q为假命题，

所以p∨q为真命题．

答案：B

11.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在y轴上的截距为，给出下列四个结论：

①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的最大值为2；

③f＝1；④f为奇函数．

其中正确结论的个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：由图知，周期T＝2＝π，则ω＝2，由2×＋φ＝，得φ＝.

由f(0)＝，得Asin＝，即A＝2.所以f(x)＝2sin，

则f＝2sin＝2cos＝1，f＝2sin＝2sin 2x为奇函数．

所以四个结论都正确．

答案：D

12．已知x∈(0，π]，关于x的方程2sin＝a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为__________．

解析：令y1＝2sin，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的图象如图所示．若2sin＝a在(0，π]上有两个不同的实数解，则y1与y2应有两个不同的交点，所以<a<2.

答案：(，2)

13．若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)为偶函数，则φ＝__________.

解析：由题意可知f(x)＝sin

为偶函数，所以φ＋＝＋kπ(k∈Z)．又由|φ|<，得φ＝.

答案：

14．当函数y＝sin x－cos x(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝________.

解析：由已知条件可得y＝2sin，又由0≤x＜2π得－≤x－＜，

当x－＝时y取得最大值，此时x＝.

答案：

B组　能力提升练

1．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)

解析：y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|＝对比选项，可知选D.

答案：D

2．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f＝－2，则f(x)的一个单调递增区间可以是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：∵f＝－2，∴－2sin＝－2，即sin＝1.∴＋φ＝＋2kπ，

又∵|φ|<π，∴φ＝，∴f(x)＝－2sin.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.当k＝0时，得≤x≤.

即f(x)的一个单调递增区间可以是.

答案：D

3．若函数y＝tan ωx(ω∈N*)的图象的一个对称中心是，则ω的最小值是(　　)

A．2  B．3

C．6  D．9

解析：因为正切函数f(x)＝tan x图象的对称中心为(k∈Z)，

且函数y＝tan ωx(ω∈N*)的一个对称中心是，所以＝(k∈Z)，

因此ω＝3k(k∈Z)．因为ω∈N*，所以当k＝1时，ω取得最小值3，故选B.

答案：B

4．已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象与直线y＝b(0<b<A)相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2,8，则f(x)的单调递减区间为(　　)

A．[6kπ，6kπ＋3]，k∈Z  B．[6k－3,6k]，k∈Z

C．[6k,6k＋3]，k∈Z  D．[6kπ－3,6kπ]，k∈Z

解析：根据题设中提供的数据信息可知周期T＝6，结合f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象可知f(x)在区间[6k－3,6k]，k∈Z上是单调递减的，故选B.

答案：B

5．若函数f(x)＝sin(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈，则x0＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：由题意得＝，T＝π，则ω＝2.由2x0＋＝kπ(k∈Z)，得x0＝－(k∈Z)，

又x0∈，所以x0＝.

答案：A

6．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的是(　　)

A．y＝2sin  B．y＝2sin

C．y＝2sin  D．y＝2sin

解析：由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x＝对称知，

该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A，因为sin＝sin π＝0，

所以选项A不正确．对于B，sin＝sin＝1，所以选项B正确，故选B.

答案：B

7．设函数f(x)＝(x∈R)，则f(x)(　　)

A．在区间上是减函数

B．在区间上是增函数

C．在区间上是增函数

D．在区间上是减函数

解析：由f(x)＝可知，f(x)的最小正周期为π.由kπ≤x＋≤＋kπ(k∈Z)，

得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即f(x)在(k∈Z)上单调递增；

由＋kπ≤x＋≤π＋kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，

即f(x)在(k∈Z)上单调递减．将各选项逐项代入验证，可知B正确．

答案：B

8．若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数；②对任意实数x，都有f＝f.则f(x)的解析式可以是(　　)

A．f(x)＝cos x  B．f(x)＝cos

C．f(x)＝sin  D．f(x)＝cos 6x

解析：由题意可得，函数f(x)是偶函数，且它的图象关于直线x＝对称．

因为f(x)＝cos x是偶函数，f＝，不是最值，故不满足图象关于直线x＝对称，

故排除A.因为函数f(x)＝cos＝－sin 2x是奇函数，不满足条件①，故排除B.

因为函数f(x)＝sin＝cos 4x是偶函数，且f＝－1，是最小值，

故满足图象关于直线x＝对称，故C满足条件．因为函数f(x)＝cos 6x是偶函数，

f＝0，不是最值，故不满足图象关于直线x＝对称，故排除D.

答案：C

9．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)图象相邻对称轴间的距离为，f(0)＝，则g(x)＝2cos(ωx＋φ)在区间上的最小值为(　　)

A．－  B．－2

C．－1  D．1

解析：由题意得函数f(x)的最小正周期为π，则ω＝2，由f(0)＝，可得φ＝，

所以g(x)＝2cos(ωx＋φ)即为g(x)＝2cos.因为x∈，所以2x＋∈，

得－1≤cos≤，则g(x)在区间上的最小值为－2.

答案：B

10．函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)

A．y＝2sin        B．y＝2sin

C．y＝2sin         D．y＝2sin

解析：由题图可知A＝2，＝－＝，则T＝π，所以ω＝2，则y＝2sin(2x＋φ)，

因为题图经过点，所以2sin＝2，所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，

即φ＝2kπ－，k∈Z，当k＝0时，φ＝－，所以y＝2sin，故选A.

答案：A

11．函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是__________．

解析：由2x＋＝kπ(k∈Z)得，x＝－(k∈Z)．∴函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是，k∈Z.

答案：，k∈Z

12．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为__________．

解析：由f(x)在区间上具有单调性，且f＝－f知，f(x)有对称中心，由f＝f知f(x)有对称轴x＝＝π.记f(x)的最小正周期为T，则T≥－，

即T≥π.故π－＝＝，解得T＝π.

答案：π

13．函数y＝cos2x＋sin x的值域为________．

解析：函数变为y＝1－sin2x＋sin x.设t＝sin x，，∴t∈.

函数变为f(t)＝－t2＋t＋1＝－2＋，∴当t＝，即sin x＝，x＝时，ymax＝；

当t＝－，即x＝－时，ymin＝.

答案：

14．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是__________．

解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin，当x∈时，－≤2x－≤，所以－≤sin≤1，故f(x)∈.

答案：