高考数学(文数)一轮复习课时练习：3.6《简单的三角恒等变换》(教师版)

这是一份高考数学(文数)一轮复习课时练习：3.6《简单的三角恒等变换》(教师版)，共7页。
课时规范练A组　基础对点练1．函数f(x)＝(sin x＋cos x)( cos x－sin x)的最小正周期是(　　)A.　　　　　　　　 B．πC.  D．2π解析：由题意得f(x)＝2sin(x＋)×2cos(x＋)＝2sin(2x＋)．故该函数的最小正周期T＝＝π.故选B.答案：B2．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝，c＝ ，则(　　)A．c<b<a  B．a<b<cC．a<c<b  D．b<c<a解析：∵a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b＝tan 26°，c＝sin 25°，∴a<c<b.答案：C3．为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象(　　)A．向右平移个单位  B．向右平移个单位C．向左平移个单位  D．向左平移个单位解析：∵y＝sin 3x＋cos 3x＝cos＝cos，∴将y＝cos 3x的图象向右平移个单位即可得到y＝cos的图象，故选A.答案：A4．若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是(　　)A.  B.C.  D.解析：由f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin知f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，因此在y轴左侧且离y轴最近的对称轴方程为x＝－.依题意结合图象知，φ的最小正值为，故选C.答案：C5．函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为(　　)A.  B．1C.  D．2解析：y＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x＝－22＋，因为－1≤sin x≤1，所以当sin x＝时，函数取最大值，故ymax＝.答案：C6．已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝_______，b＝_______.解析：由于2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝sin(2x＋)＋1，所以A＝，b＝1.答案：　17．函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是__________．解析：因为y＝sin，则由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.当x∈时，单调递增区间为.答案：8．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小值是__________．解析：f(x)＝sin2x＋sin x·cos x＝＋sin 2x＝sin＋，当sin＝－1时，f(x)min＝.答案：9．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f()＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值；(2)若f()＝－，α∈(，π)，求sin(α＋)的值． 解析：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝，所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)，由f()＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.(2)由(1)得f(x)＝－sin 4x，因为f()＝－sin α＝－，即sin α＝，又α∈(，π)，从而cos α＝－，所以sin(α＋)＝sin αcos ＋cos αsin ＝.10．已知a＝(sin x，－cos x)，b＝(cos x，cos x)，函数f(x)＝a·b＋.(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．解析：(1)因为f(x)＝sin xcos x－cos2x＋＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋＝sin 2x－cos 2x＝sin，所以f(x)的最小正周期为π，令sin＝0，得2x－＝kπ，∴x＝π＋，k∈Z，故所求对称中心的坐标为(k∈Z)．(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin≤1，故f(x)的值域为.      B组　能力提升练1．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为(　　)A.  B.C．π  D．2π解析：由题意得函数f(x)＝2sin(ωx＋)(ω>0)，又曲线y＝f(x)与直线y＝1相邻交点距离的最小值是，由正弦函数的图象知，ωx＋＝和ωx＋＝对应的x的值相差，即＝，解得ω＝2，所以f(x)的最小正周期是T＝＝π.答案：C2．函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)是(　　)A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数解析： f(x)＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos 4x)，f(－x)＝(1－cos 4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为的偶函数，选D.答案：D3．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为(　　)A．[－，1]  B．[－1，]C．[－1,1]  D．[1，]解析：∵sin αcos β－cos αsin β＝1⇒sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，∴α－β＝，∴⇒≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝sin α＋cos α＝sin.∵≤α≤π，∴≤α＋≤π，∴－1≤sin≤1，即取值范围是[－1,1]，故选C.答案：C4．已知＝k,0<θ<，则sin的值为(　　)A．随着k的增大而增大B．有时随着k的增大而增大，有时随着k的增大而减小C．随着k的增大而减小D．是与k无关的常数解析：＝＝2sin θcos θ＝sin 2θ，∵0<θ<，∴0<sin θ<<cos θ<1,0<2θ<，∴k＝sin 2θ∈(0,1)，(sin θ－cos θ)2＝1－sin 2θ，sin θ－cos θ＝－＝－，故sin＝(sin θ－cos θ)＝－，其值随着k的增大而增大，故选A.答案：A5．函数f(x)＝4cos x·sin－1(x∈R)的最大值为__________．解析：∵f(x)＝4cos xsin－1＝4cos x－1＝2sin xcos x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，∴f(x)max＝2.答案：26．已知函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1的最大值为3，f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝__________.解析：f(x)＝cos(2ωx＋2φ)＋＋1.由相邻两条对称轴间的距离为2，知＝2，得T＝4＝，∴ω＝，由f(x)的最大值为3，得A＝2.又f(x)的图象过点(0,2)，∴cos 2φ＝0，∴2φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝＋(k∈Z)，又0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝cos＋2＝－sin＋2.∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝(－1＋2)＋(0＋2)＋(1＋2)＋(0＋2)＋(－1＋2)＋…＋(0＋2)＝2×2 016＝4 032.答案：4 0327．已知函数f(x)＝sin(3x＋)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f()＝cos(α＋)cos 2α，求cosα－sin α的值．解析：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋，＋]，k∈Z.(2)由已知，有sin(α＋)＝cos(α＋)(cos2α－sin2α)，所以sin αcos ＋cos αsin ＝(cos αcos －sin αsin )·(cos2α－sin2α)，即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.此时，cos α－sin α＝－.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝.由α是第二象限角，知cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－.综上所述，cos α－sinα＝－或－.8．已知函数f(x)＝sin ωx－sin(ω>0)． (1)若f(x)在[0，π]上的值域为，求ω的取值范围；(2)若f(x)在上单调，且f(0)＋f＝0，求ω的值．解析：f(x)＝sin ωx－sin＝sin.(1)由x∈[0，π]⇒ωx－∈，又f(x)在[0，π]上的值域为，即最小值为，最大值为1，则由正弦函数的图象可知≤ωπ－≤，得≤ω≤.∴ω的取值范围是.(2)因为f(x)在上单调，所以≥－0，则≥，即ω≤3，又ω>0，所以0<ω≤3，由f(0)＋f＝0且f(x)在上单调，得是f(x)图象的对称中心，∴－＝kπ，k∈Z⇒ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω≤3，所以ω＝2.