高考数学(文数)一轮复习课时练习：4.1《平面向量的概念及线性运算》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．在△ABC中，已知M是BC中点，设＝a，＝b，则＝(　　)

A.a－b　　　　　　　　 B.a＋b

C．a－b  D．a＋b

解析：＝＋＝－＋＝－b＋a，故选A.

答案：A

2．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)

A．(－7，－4)  B．(7,4)

C．(－1,4)  D．(1,4)

解析：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，

所以从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.

答案：A

3．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝(　　)

A．a  B．b

C．c  D．0

解析：依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，

即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.

答案：D

4．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)

＝·2＝.

答案：C

5．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2 ＋＝0，则向量等于(　　)

A.－  B．－＋

C．2 －  D．－＋2

解析：因为＝－，＝－，所以2 ＋＝2(－)＋(－)

＝－2 ＋＝0，所以＝2 －.

答案：C

6．已知点G是△ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x ，＝y ，则的值为(　　)

A．3  B.

C．2  D.

解析：由已知得M，G，N三点共线，所以＝λ ＋(1－λ)＝λx ＋(1－λ)y .

∵点G是△ABC的重心，∴＝×(＋)＝(＋)，

∴即得＋＝1，即＋＝3，通分得＝3，

∴＝.

答案：B

7．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝(　　)

A．(5,7)  B．(5,9)

C．(3,7)  D．(3,9)

解析：由a＝(2,4)知2a＝(4,8)，所以2a－b＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)．故选A.

答案：A

8．设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝(　　)

A．2  B．3

C．4  D．6

解析：由向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，可得4x＝2×6，解得x＝3.

答案：B

9．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋等于(　　)

A.  B．2

C．3  D．4

解析：因为M是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，所以＋＝2，

＋＝2，所以＋＋＋＝4，故选D.

答案：D

10．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)

A.＝－＋  B.＝－

C.＝＋  D.＝－

解析：由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋，故选A.

答案：A

11．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝(　　)

A．－4e1－2e2  B．－2e1－4e2

C．e1－3e2  D．3e1－e2

解析：结合图形，易得a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.

答案：C

12．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则等于(　　)

A．－2  B．2

C．－  D.

解析：由题意得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，

∵(ma＋nb)∥(a－2b)，∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0.∴＝－.

答案：C

13．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m 成立，则m＝__________.

解析：由＋＋＝0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，

则＝＝×(＋)＝(＋)，所以＋＝3 ，故m＝3.

答案：3

14．已知向量a＝(m,4)，b＝(3,4)，且a∥b，则m＝________.

解析：由题意得，4m－12＝0，所以m＝3.

答案：3

15．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.

解析：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2得a⊥b，则m＋2＝0，所以m＝－2.

答案：－2

16．已知A(1,0)，B(4,0)，C(3，4)，O为坐标原点，且＝(＋－)，则||等于__________．

解析：由＝(＋－)＝(＋)，知点D是线段AC的中点，故D(2,2)，

所以＝(－2,2)，故||＝＝2.

答案：2

B组　能力提升练

1．已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则等于(　　)

A．－  B.

C．－2  D．2

解析：∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则，故＝－2.

答案：C

2．在△ABC中，＝，若P是直线BN上的一点，且满足＝m ＋，则实数m的值为(　　)

A．－4  B．－1

C．1  D．4

解析：根据题意设＝n (n∈R)，则＝＋＝＋n ＝＋n(－)

＝＋n＝(1－n)＋，又＝m ＋，

∴解得故选B.

答案：B

3．在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||<，则||的取值范围是(　　)

A．(0，]  B．(，]

C．(，]  D．(，]

解析：由题意得点B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心、半径为的圆内，又⊥，＝＋，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当点P与点O重合时，||最大，为，当点P在半径为的圆周上时，||最小，为，故选D.

答案：D

4．在△ABC中，＝3 ，若＝λ1 ＋λ2 ，则λ1λ2的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：由题意得，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，

∴λ1＝，λ2＝，∴λ1λ2＝.

答案：B

5．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5 ＝＋3 ，则△ABM与△ABC的面积的比值为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：设AB的中点为D，如图，连接MD，MC，由5 ＝＋3 ，得5 ＝2 ＋3 　①，即＝＋，即＋＝1，故C，M，D三点共线，又＝＋ ②，①②联立，得5 ＝3 ，即在△ABM与△ABC中，边AB上的高的比值为，所以△ABM与△ABC的面积的比值为.

答案：C

6．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，(，0)，(0，－2)，O为坐标原点，动点P满足||＝1，则|＋＋|的最小值是(　　)

A.－1  B.－1

C.＋1  D.＋1

解析：设P(cos θ，－2＋sin θ)，则|＋＋|＝

＝＝≥＝－1.

答案：A

7．(2018·河南中原名校4月联考)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ ＋μ (λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝(　　)

A.  B.

C．1  D.

解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－，

所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝，故选A.

答案：A

8．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是(　　)

A．24  B．8

C.  D.

解析：∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0，

化简得2x＋3y＝3，又∵x，y均为正数，

∴＋＝×(2x＋3y)＝≥×＝8，

当且仅当＝时，等号成立．∴＋的最小值是8.故选B.

答案：B

9．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2 ，＝2 ，＝2 ，则＋＋与(　　)

A．反向平行  B．同向平行

C．互相垂直  D．既不平行也不垂直

解析：由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋

＝＋，因此＋＋＝＋(＋－)＝＋＝－，

故＋＋与反向平行．

答案：A

10．如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3 ，F为AE的中点，则＝(　　)

A.－  B.－

C．－＋  D．－＋

解析：如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，

所以＝＝－＝－，∴＝＋＝＋＝＋

＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋，故选C.

答案：C

11．已知AC⊥BC，AC＝BC，D满足＝t＋(1－t)，若∠ACD＝60°，则t的值为(　　)

A.  B.－

C.－1  D.

解析：由题意知D在直线AB上．令CA＝CB＝1，建立平面直角坐标系，如图，则B点坐标为(1,0)，A点坐标为(0,1)．

令D点的坐标为(x，y)，因为∠DCB＝30°，则直线CD的方程为y＝x，

易知直线AB的方程为x＋y＝1，由得y＝，即t＝.故选A.

答案：A

12．已知O为坐标原点，B、D分别是以O为圆心的单位圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点，点P为单位圆劣弧上一点，若＋＝x＋y，∠BOP＝， 则x＋y＝(　　)

A．1  B.

C．2  D．4－3

解析：如图，＝－，∴＋＝x(－)＋y，

∴y＝(1－x)＋ (1＋x)，①

∵∠BOP＝，∴＝＋，∴y＝＋y，②

由①②得解得x＝2－，y＝2－2，∴x＋y＝，故选B.

答案：B

13．已知向量e1、e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________.

解析：因为a与b共线，所以a＝xb，，故λ＝－.

答案：－

14．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)∥(m－n)，则λ＝________.

解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又(m＋n)∥(m－n)，

所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0.

答案：0

15.如图，△ABC中，＋＋＝0，＝a，＝b.若＝ma，＝nb，CG∩PQ＝H，＝2，则＋＝________.

解析：由＋＋＝0，知G为△ABC的重心，取AB的中点D(图略)，

则＝＝＝(＋)＝＋，由P，H，Q三点共线，

得＋＝1，则＋＝6.

答案：6

16.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．

解析：由＝，可知＝，

又∵＝m＋＝m＋，且B、P、N共线，∴m＋＝1，∴m＝.

答案：