高考数学(文数)一轮复习课时练习：4.2《平面向量的数量积及应用举例》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为(　　)

A．12　　　　　　　　　　 B．8

C．－8  D．2

解析：∵|a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝3×4＝12.

答案：A

2．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)

A．－8  B．－6

C．6  D．8

解析：由向量的坐标运算得a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b，(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8，故选D.

答案：D

3．已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为(　　)

A．－2  B．2

C．4  D．6

解析：因为a＝(－2，m)，b＝(1，)，所以a－b＝(－2，m)－(1，)＝(－3，m－)．

由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，即(－3，m－)·(1，)＝－3＋m－3＝m－6＝0，

解得m＝2，故选B.

答案：B

4．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)

A．－1  B．0

C．1  D．2

解析：a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.

答案：C

5．已知非零向量a，b的夹角为，且|b|＝1，|b－2a|＝1，则|a|＝(　　)

A.  B．1

C.  D．2

解析：依题意得(b－2a)2＝1，即b2＋4a2－4a·b＝1，1＋4|a|2－2|a|＝1,4|a|2－2|a|＝0(|a|≠0)，因此|a|＝，选A.

答案：A

6．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)·b，则|c|＝__________.

解析：由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)·b＝a＋6b

＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝＝8.

答案：8

7．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝t a＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝_______.

解析：由题意，将b·c＝[t a＋(1－t)b]·b整理得ta·b＋(1－t)＝0，又a·b＝，所以t＝2.

答案：2

8.如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则·等于__________．

解析：因为＝＋＝＋，＝＋，

所以·＝·(＋)＝||2＋||2＋·＝1＋－·

＝－||·||·cos 60°＝－×1×2×＝1.

答案：1

9．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.

(1)若m⊥n，求tan x的值；

(2)若m与n的夹角为，求x的值．

解析：(1)若m⊥n，则m·n＝0.

由向量数量积的坐标公式得sin x－·cos x＝0，∴tan x＝1.

(2)∵m与n的夹角为，∴m·n＝|m||n|cos＝1×1×＝，

即sin x－cos x＝，∴sin＝.

又∵x∈，∴x－∈，∴x－＝，即x＝.

10．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.

(1)求角C的大小；

(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长．

解析：(1)m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin(A＋B)，

对于△ABC，A＋B＝π－C,0<C<π，

∴sin(A＋B)＝sin C，

∴m·n＝sin C，

又m·n＝sin 2C，∴sin 2C＝sin C，cos C＝，C＝.

(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C＝sin A＋sin B，

由正弦定理得2c＝a＋b.

∵·(－)＝18，∴·＝18，即abcos C＝18，ab＝36.

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，

∴c2＝4c2－3×36，c2＝36，∴c＝6.

B组　能力提升练

1．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)

A．4  B．－4

C.  D．－

解析：由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，

所以t＝－＝－＝－＝－3×＝－3×＝－4.故选B.

答案：B

2．在△ABC中，∠C＝90°，且||＝||＝3，点M满足：＝2，则·＝(　　)

A．6  B．4

C．3  D．2

解析：由题意可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，

∴·＝·＝·＋＝0＋×9＝3，故选C.

答案：C

3．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　)

A．5  B．4

C．3  D．2

解析：由四边形ABCD是平行四边形，知＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，

故·＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.

答案：A

4．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)

A．－  B.

C.  D.

解析：如图所示，＝＋.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，所以＝＋.又＝－，则·＝·(－)＝·－2＋2－·＝2－2－·.又||＝||＝1，∠BAC＝60°，故·＝－－×1×1×＝.故选B.

答案：B

5．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.

解析：依题意，可知|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4－4|a|·|b|cos 45°＋|b|2＝4－2|b|＋|b|2＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，则|b|＝＝3(负值舍去)．

答案：3

6．在△ABC中，点M是边BC的中点，||＝4，||＝3，则·＝________.

解析：·＝(＋)·(－)＝(||2－||2)＝×(9－16)＝－.

答案：－

7．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．

(1)若a∥b，求x的值；

(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．

解析：(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cos x＝3sin x.

若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cos x≠0.

于是tan x＝－.又x∈[0，π]，所以x＝.

(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos.

因为x∈[0，π]，所以x＋∈，从而－1≤cos≤.

于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；

当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.

8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行．

(1)求A；

(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．

解析：(1)因为m∥n，

所以asin B－bcos A＝0，

由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，

又sin B≠0，从而tan A＝，

由于0<A<π，所以A＝.

(2)法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，及a＝，b＝2，A＝，

得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，

因为c>0，所以c＝3.

故△ABC的面积为bcsin A＝.

法二：由正弦定理，得＝，从而sin B＝，

又由a>b，知A>B，所以cos B＝.

故sin C＝sin(A＋B)＝sin＝sin Bcos ＋cos Bsin＝.

所以△ABC的面积为absin C＝.