高考数学(文数)一轮复习课时练习：6.3《基本不等式》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　)

A．a≥　　　　　　　　 B．a>

C．a<  D．a≤

解析：因为对任意x>0，≤a恒成立，

所以对x∈(0，＋∞)，a≥max，

而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，

当且仅当x＝时等号成立，∴a≥.

答案：A

2．设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　)

A．a<b<<　 B．a<<<b

C．a<<b<   D.<a<<b

解析：因为0<a<b，所以a－＝(－)<0，故a<；b－＝>0，

故b>；由基本不等式知>，综上所述，a<<<b，故选B.

答案：B

3．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

解析：由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·(＋)＝(4＋9＋＋)≥(4＋9＋2)＝5，当且仅当＝，即y＝2x时，“＝”成立，故4x＋3y的最小值为5.

答案：D

4．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)

A．a＋b≥2   B.＋>

C.＋≥2  D．a2＋b2>2ab

解析：因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当a＝b时取等号．

答案：C

5．下列不等式一定成立的是(　　)

A． lg>lg x(x>0)

B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)

C．x2＋1≥2|x|(x∈R)

D.>1(x∈R)

解析：对选项A，当x>0时，x2＋－x＝2≥0，∴lg≥lg x，故不成立；

对选项B，当sin x<0时显然不成立；对选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；

对选项D，∵x2＋1≥1，∴0<≤1，故不成立．

答案：C

6．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)

A.  B．2

C．2  D．4

解析：法一：由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，

∴ab＝b＋2a≥2，∴ab≥2.

法二：由题设易知a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，选C.

答案：C

7．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)

A．6＋2  B．7＋2

C．6＋4  D．7＋4

解析：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab

且即a>0，b>0，所以＋＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)·(＋)＝7＋＋≥7＋2 ＝7＋4，当且仅当＝时取等号，故选D.

答案：D

8．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2)  B．[－2，＋∞)

C．[－2,2]  D．[0，＋∞)

解析：当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，此时a∈R，当x≠0时，

则有a≥＝－(|x|＋)，设f(x)＝－(|x|＋)，则a≥f(x)max，

由基本不等式得|x|＋≥2(当且仅当|x|＝1时取等号)，则f(x)max＝－2，故a≥－2.故选B.

答案：B

9．当x>0时，函数f(x)＝有(　　)

A．最小值1  B．最大值1

C．最小值2  D．最大值2

解析：f(x)＝≤＝1.当且仅当x＝，x>0即x＝1时取等号．

所以f(x)有最大值1.

答案：B

10．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　　)

A．a＋b≥2  B．a2＋b2>2ab

C.＋≥2  D．|＋|≥2

解析：对于A，当a，b为负数时，a＋b≥2不成立；

对于B，当a＝b时，a2＋b2>2ab不成立；

对于C，当a，b异号时，＋≥2不成立；

对于D，因为，同号，所以|＋|＝||＋||≥2 ＝2(当且仅当|a|＝|b|时取等号)，

即|＋|≥2恒成立．

答案：D

11．设f(x)＝ln x,0<a<b，若p＝f()，q＝f()，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)

A．q＝r<p  B．p＝r<q

C．q＝r>p  D．p＝r>q

解析：∵0<a<b，∴>，又f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，故f()<f()，

即q>p，∴r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln＝f()＝p，∴p＝r<q.故选B.

答案：B

12．已知正实数a，b满足a＋b＝4，则＋的最小值为__________．

解析：∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，

∴＋＝[(a＋1)＋(b＋3)]＝≥(2＋2)＝，

当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号，∴＋的最小值为.

答案：

13．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝__________.

解析：f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2时取等号，

则由题意知a＝4×32＝36.

答案：36

14．已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝()y，则＋的最小值为________．

解析：2x－3＝()y＝2－y，∴x－3＝－y，∴x＋y＝3.又x，y∈(0，＋∞)，

所以＋＝(＋)(x＋y)＝(5＋＋)≥(5＋2 )＝3(当且仅当＝，

即y＝2x时取等号)．

答案：3

B组　能力提升练

1．若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为(　　)

A．16  B．9

C．6  D．1

解析：∵正数a，b满足＋＝1，∴a＋b＝ab，＝1－>0，＝1－>0，∴b>1，a>1，

则＋≥2＝2＝6

，∴＋的最小值为6，故选C.

答案：C

2．若存在x0>1，使不等式(x0＋1)ln x0<a(x0－1)成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2)  B．(2，＋∞)

C．(1，＋∞)  D．(4，＋∞)

解析：存在x0>1，使不等式(x0＋1)ln x0<a(x0－1)成立，

即存在x0>1，使不等式ln x0－<0成立．

令g(x)＝ln x－(x>1)，则g(1)＝0，g′(x)＝－＝.

当a≤2时，x2＋2(1－a)x＋1≥0(x>1)，从而g′(x)≥0，得g(x)在(1，＋∞)上为增函数，

故g(x)>g(1)＝0，不合题意；

当a>2时，令g′(x)＝0，得x1＝a－1－，x2＝a－1＋，

由x2>1和x1x2＝1得0<x1<1，易知当x∈(1，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)上单调递减，

此时g(x)<g(1)＝0，即ln x－<0，满足存在x0>1，使不等式(x0＋1)ln x<a(x0－2)成立．

综上，a的取值范围是(2，＋∞)．

答案：B

3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝，a＋b＝λ，若△ABC面积的最大值为9，则λ的值为(　　)

A．8  B．12

C．16  D．21

解析：S△ABC＝absin C＝ab≤·()2＝λ2＝9，当且仅当a＝b时取“＝”，

解得λ＝12.

答案：B

4．已知x，y都是正数，且x＋y＝1，则＋的最小值为(　　)

A.  B．2

C.  D．3

解析：由题意知，x＋2>0，y＋1>0，(x＋2)＋(y＋1)＝4，

则＋＝≥＝，当且仅当x＝，

y＝时，＋取最小值.

答案：C

5.(－6≤a≤3)的最大值为(　　)

A．9  B.

C．3   D.

解析：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，

≤＝，当且仅当a＝－时等号成立．

答案：B

6．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)

A．[0,2]  B．[－2,0]

C．[－2，＋∞)  D．(－∞，－2]

解析：∵2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时等号成立)，

∴≤，∴2x＋y≤，x＋y≤－2，故选D.

答案：D

7．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－1,4)  B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)

C．(－4,1)  D．(－∞，0)∪(3，＋∞)

解析：∵不等式x＋<m2－3m有解，∴min<m2－3m，∵x>0，y>0，且＋＝1，

∴x＋＝＝＋＋2≥2＋2＝4，

当且仅当＝，即x＝2，y＝8时取等号，

∴min＝4，∴m2－3m>4，即(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4，故实数m的取值范围是 (－∞，－1)∪(4，＋∞)．

答案：B

8．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)

A．0  B．1

C.  D．3

解析：＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，

此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，

当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.

答案：B

9．设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是(　　)

A.   B.

C．2＋  D．2－

解析：an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，

∴＝＝≥＝，当且仅当n＝4时取等号．

∴的最小值是，故选A.

答案：A

10．)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m>0，n>0，则＋的最小值为(　　)

A．2  B．4

C.   D.

解析：由函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的解析式知，当x＝－2时，y＝－1，

所以点A的坐标为(－2，－1)，又点A在直线mx＋ny＋2＝0上，所以－2m－n＋2＝0，

即2m＋n＝2，所以＋＝＋＝2＋＋＋≥＋2＝，

当且仅当m＝n＝时等号成立．所以＋的最小值为，故选D.

答案：D

11．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．

解析：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，

则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)，

∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，

∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为万元，

∵5x＋≥2＝20，当且仅当5x＝，

即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．

答案：2　20

12．已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为__________．

解析：因为log2x＋log2y＝log22xy－1≤log22－1＝2－1＝1，当且仅当x＝2y＝2，

即x＝2，y＝1时等号成立，所以log2x＋log2y的最大值为1.

答案：1

13．设a>0，b>0.若是3a与32b的等比中项，则＋的最小值为__________．

解析：因是3a与32b的等比中项，则有3a×32b＝()2，即3a＋2b＝3，

得a＋2b＝1，则＋＝(a＋2b)＝4＋≥4＋2＝8

，即＋的最小值为8.

答案：8

14．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．

解析：以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，

则B(2,0)，C(，)，D(，)．又＝λ，＝，则E(2－λ， λ)，F(＋，)，λ>0，所以·＝(2－λ)·(＋)＋λ＝＋＋λ≥＋2＝，λ>0，当且仅当＝λ，即λ＝时取等号，故·的最小值为.

答案：