高考数学(文数)一轮复习课时练习：8.2《直线的交点与距离公式》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．已知直线(b＋2)x－ay＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0互相平行，则点(a，b)在(　　)

A．圆a2＋b2＝1上　　　 B．圆a2＋b2＝2上

C．圆a2＋b2＝4上  D．圆a2＋b2＝8上

解析：∵直线(b＋2)x－ay＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0互相平行，∴(b＋2)(b－2)＝－a2，即a2＋b2＝4.故选C.

答案：C

2．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与经过点(－2,1)、斜率为－的直线垂直，则实数a的值为(　　)

A．－  B．－

C.  D.

解析：由题意得，直线l的斜率为k＝＝－(a≠0)，所以－·＝－1，所以a＝－，故选A.

答案：A

3．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝(　　)

A．－  B．1

C．2  D.

解析：由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2.

答案：C

4．垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是(　　)

A．x＋y－＝0  B．x＋y＋1＝0

C．x＋y－1＝0  D．x＋y＋＝0

解析：由题意可设圆的切线方程为y＝－x＋m，因为与圆相切于第一象限，所以m>0且d＝＝1，故m＝，所以切线方程为x＋y－＝0，故选A.

答案：A

5．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(　　)

A．1　　　　　　　　 B．2

C.  D．2

解析：由圆的标准方程(x＋1)2＋y2＝2，知圆心为(－1,0)，故圆心到直线y＝x＋3即x－y＋3＝0的距离d＝＝.

答案：C

6．在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)

A．x＋2y－4＝0  B．x－2y＝0

C．2x－y－3＝0  D．2x－y＋3＝0

解析：因为点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称，所以直线l的斜率为2，且直线l过点(2,1)，故选C.

答案：C

7．直线2x－y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)

A．x＋2y－1＝0  B．2x＋y－1＝0

C．2x＋y－5＝0  D．x＋2y－5＝0

解析：由题意可知，直线2x－y＋1＝0与直线x＝1的交点为(1,3)，直线2x－y＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数．因为直线2x－y＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0.故选C.

答案：C

8．若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是(　　)

A．－6<k<－2  B．－5<k<－3

C．k<－6  D．k>－2

解析：解方程组得，

因为直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，所以k＋6>0且k＋2<0，所以－6<k<－2.故选A.

答案：A

9．已知直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　)

A．4  B.

C.  D.

解析：由直线3x＋2y－3＝0与6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以直线分别为3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋＝0.它们之间的距离是＝，故选B.

答案：B

10．已知A(－2,1)，B(1,2)，点C为直线y＝x上的动点，则|AC|＋|BC|的最小值为(　　)

A．2  B．2

C．2  D．2

解析：设B关于直线y＝x的对称点为B′(x0，y0)，则解得B′(2，－1)．

由平面几何知识得|AC|＋|BC|的最小值即是|B′A|＝＝2.故选C.

答案：C

11．圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线l：x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是(　　)

A．36  B．18

C．6  D．5

解析：将圆C的方程x2＋y2－4x－4y－10＝0变形为(x－2)2＋(y－2)2＝18，可知圆心C(2,2)，半径r＝3.

圆心C(2,2)到直线l：x＋y－14＝0的距离d＝＝5.

所以圆C上的点到直线l的最大距离与最小距离的差为(d＋r)－(d－r)＝2r＝6，故选C.

答案：C

12．若在平面直角坐标系内过点P(1，)且与原点的距离为d的直线有两条，则d的取值范围为________．

解析：|OP|＝2，当直线l过点P(1，)且与直线OP垂直时，有d＝2，且直线l有且只有一条；当直线l与直线OP重合时，有d＝0，且直线l有且只有一条；当0<d<2时，有两条．

答案：0<d<2

13．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．

解析：设所求直线的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y－3k＋4＝0，由已知及点到直线的距离公式可得＝，解得k＝2或k＝－，即所求直线的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.

答案：2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0

14．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．

解析：由题得A(2,0)，B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋.

由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值.

答案：

15．已知直线l1与直线l2：4x－3y＋1＝0垂直且与圆C：x2＋y2＝－2y＋3相切，则直线l1的方程是________．

解析：圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r＝2.由已知可设直线l1的方程为3x＋4y＋c＝0，则＝2，解得c＝14或c＝－6.

即直线l1的方程为3x＋4y＋14＝0或3x＋4y－6＝0.

答案：3x＋4y＋14＝0或3x＋4y－6＝0

B组　能力提升练

1．已知直线l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0，若l1∥l2，则a的值为(　　)

A．－  B．6

C．0  D．0或－

解析：由l1∥l2，得－3a－2a(3a－1)＝0，即6a2＋a＝0，所以a＝0或a＝－，经检验都成立．故选D.

答案：D

2．直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为(　　)

A．－12  B．－14

C．10  D．8

解析：由直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，得2m－20＝0，m＝10，直线10x＋4y－2＝0过点(1，p)，有10＋4p－2＝0，解得p＝－2，点(1，－2)又在直线2x－5y＋n＝0上，则2＋10＋n＝0，解得n＝－12.故选A.

答案：A

3．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝(　　)

A．2  B．4

C．5  D．10

解析：如图，以C为原点，CB，CA所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系．设A(0，a)，B(b,0)，则D(，)，P(，)，由两点间的距离公式可得|PA|2＝＋，|PB|2＝＋，|PC|2＝＋.所以＝＝10.

答案：D

4．设直线l1，l2分别是函数f(x)＝图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是(　　)

A．(0,1)  B．(0,2)

C．(0，＋∞)  D．(1，＋∞)

解析：不妨设P1(x1，ln x1)，P2(x2，－ln x2)，由于l1⊥l2，所以×(－)＝－1，则x1＝.又切线l1：y－ln x1＝(x－x1)，l2：y＋ln x2＝－(x－x2)，于是A(0，ln x1－1)，B(0,1＋ln x1)，所以|AB|＝2.联立，解得xP＝.所以S△PAB＝×2×xP＝，因为x1>1，所以x1＋>2，所以S△PAB的取值范围是(0,1)，故选A.

答案：A

5．直线2x＋3y－6＝0分别交x轴和y轴于A，B两点，P是直线y＝－x上的一点，要使|PA|＋|PB|最小，则点P的坐标是(　　)

A．(－1,1)  B．(1，－1)

C．(0,0)  D.

解析：由已知可得B(0,2)，A(3,0)，A(3,0)关于直线y＝－x的对称点为A′(0，－3)，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|，由几何意义知，当B，P，A′共线时|PA′|＋|PB|最小，即|PA|＋|PB|最小，此时直线BA′与直线y＝－x的交点为(0,0)，即使|PA|＋|PB|取得最小值的点P的坐标为(0,0)．故选C.

答案：C

6．在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2的值为(　　)

A.  B.

C．5  D．10

解析：由题意可知，P(0,1)，Q(－3,0)，且l⊥m，∴M在以PQ为直径的圆上．

∵|PQ|＝＝，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10，故选D.

答案：D

7．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点(　　)

A．(0,4)  B．(0,2)

C．(－2,4)  D．(4，－2)

解析：由题知直线l1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l2所过定点为(0,2)，故选B.

答案：B

8．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点是(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)

A．4  B.

C.  D.

解析：根据中点坐标公式得解得所以点P的坐标为(4,1)，所以点P(x，y)到原点的距离d＝＝，故选D.

答案：D

9．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：因为l1∥l2，所以＝≠，所以，解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1与l2之间的距离d＝＝，故选B.

答案：B

10．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2与y轴在第二象限所围区域的面积为S，直线y＝2x＋b分圆C的内部为两部分，其中一部分的面积也为S，则b＝(　　)

A．－  B．±

C．－  D．±

解析：因为圆心C到y轴的距离为1，所以圆心C(1,2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是有＝1，解得b＝±，选D.

答案：D

11．平面上有相异两点A(cos θ，sin2θ)，B(0,1)，则直线AB的倾斜角的取值范围是________．

解析：k＝tan α＝＝－cos θ， 又因为A，B两点相异，则cos θ≠0，sin2θ≠1，所以k＝tan α＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，那么直线AB的倾斜角α的取值范围是∪.

答案： ∪

12．直线y＝k(x－1)与以A(3,2)，B(2,3)为端点的线段有公共点，则k的取值范围是________．

解析：直线y＝k(x－1)恒过点P(1,0)，且与以A(3,2)，B(2,3)为端点的线段有公共点，画出图形(如图所示)，则直线落在阴影区域内．∵kPA＝＝1，kPB＝＝3，∴k的取值范围是[1,3]．

答案：[1,3]

13．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．

解析：由已知得kAC＝＝2，kBD＝＝－1，

所以AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0，①

BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0，②

联立①②解得所以直线AC与直线BD的交点为P(2,4)，

此点即为所求点．因为|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AC|＋|BD|，

取异于P点的任一点P′.则|P′A|＋|P′B|＋|P′C|＋|P′D|

＝(|P′A|＋|P′C|)＋(|P′B|＋|P′D|)>|AC|＋|BD|＝|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|.

故P点就是到A、B、C、D的距离之和最小的点．

答案：(2,4)