高考数学(文数)一轮复习课时练习：8.5《椭圆》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　　)

A．2　　　　　　　　 B．3

C．4  D．9

解析：由4＝(m>0)⇒m＝3，故选B.

答案：B

2．方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)

A．k>4　　　　　　　 B．k＝4

C．k<4  D．0<k<4

解析：方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，即方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，可得0<k<4，故选D.

答案：D

3．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为(　　)

A.＋＝1  B.＋＝1

C.＋y2＝1  D.＋y2＝1

解析：依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1，故选A.

答案：A

4．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为(　　)

A.  B.

C.  D.－2

解析：由题意可得2|F1F2|＝|AF1|＋|F1B|，即4c＝a－c＋a＋c＝2a，故e＝＝.

答案：A

5．如图，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，若tan∠ADP＋2tan∠BCP＝10，则点P在平面α内的轨迹是(　　)

A．圆的一部分  B．椭圆的一部分

C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分

解析：由题意可得＋2＝10，则|PA|＋|PB|＝40>|AB|＝6，又因为P，A，B三点不共线，故点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆的一部分．

答案：B

6．若x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．

解析：将椭圆的方程化为标准形式得＋＝1，因为x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，所以>2，解得0<k<1.

答案：(0,1)

7．若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.

解析：由题可知c＝2.①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4.②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.故实数a＝4或8.

答案：4或8

8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率等于，其焦点分别为A，B.C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，的值等于________．

解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以＝＝＝3.

答案：3

9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点，满足|AF2|＝c.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)M，N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，直线MP，NP分别和x轴相交于R，Q两点，O为坐标原点．若||·||＝4，求椭圆C的方程．

解析：(1)∵点A的横坐标为c，

代入椭圆，得＋＝1.解得|y|＝＝|AF2|，即＝c，

∴a2－c2＝ac.

∴e2＋e－1＝0，解得e＝.

(2)设M(0，b)，N(0，－b)，P(x0，y0)，则直线MP的方程为y＝x＋b.

令y＝0，得点R的横坐标为.直线NP的方程为y＝x－b.

令y＝0，得点Q的横坐标为.

∴||·||＝＝＝a2＝4，∴c2＝3，b2＝1，

∴椭圆C的方程为＋y2＝1.

10．椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其中e＝，焦距为2，过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在A，M之间．又线段AB的中点的横坐标为，且＝λ.

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)求实数λ的值．

解析：(1)由条件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2－c2＝3，椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)由题意可知A，B，M三点共线，

设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．

若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝4，不合题意．

则AB所在直线l的斜率存在，设为k，

则直线l的方程为y＝k(x－4)．

由

消去y得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0.①

由①的判别式Δ＝322k4－4(4k2＋3)·(64k2－12)＝144(1－4k2)>0，

解得k2<，且由＝＝，可得k2＝，

将k2＝代入方程①，得7x2－8x－8＝0.则x1＝，x2＝.

又因为＝(4－x1，－y1)，＝(x2－4，y2)，

＝λ，所以λ＝，所以λ＝.

B组　能力提升练

1．若对任意k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是(　　)

A．(1,2]  B．[1,2)

C．[1,2)∪(2，＋∞)  D．[1，＋∞)

解析：联立直线与椭圆的方程，消去y得(2k2＋m)x2＋4kx＋2－2m＝0，因为直线与椭圆恒有公共点，所以Δ＝16k2－4(2k2＋m)(2－2m)≥0，即2k2＋m－1≥0恒成立，因为k∈R，所以k2≥0，则m－1≥0，所以m≥1，又m≠2，所以实数m的取值范围是[1,2)∪(2，＋∞)．

答案：C

2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b<2，

所以e＝＝ ＝ .因为1≤b<2，所以0<e≤.

答案：A

3．已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________．

解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，

则＋＝1，①      ＋＝1，②

①－②得＋＝0，

∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＋y1－y2＝0，∴k＝＝－.

∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.

答案：x＋2y－3＝0

4．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.

解析：根据已知条件画出图形，如图．设MN的中点为P，F1、F2为椭圆C的焦点，连接PF1、PF2.显然PF1是△MAN的中位线，PF2是△MBN的中位线，

∴|AN|＋|BN|＝2|PF1|＋2|PF2|＝2(|PF1|＋|PF2|)＝2×6＝12.

答案：12

5．已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

(1)求E的方程．

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△POQ的面积最大时，求l的方程．

解析：(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.

又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.

(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.

当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1,2＝.

从而|PQ|＝|x1－x2|＝.

又点O到直线PQ的距离d＝，

所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.

设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.

因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.

所以，当△OPQ的面积最大时，

l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.

6．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，a＋b＝3.

(1)求椭圆C的方程．

(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值．

解析：(1)因为e＝＝，

所以a＝c，b＝c.代入a＋b＝3得，c＝，a＝2，b＝1.

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)，①

把①代入＋y2＝1，解得P.直线AD的方程为y＝x＋1.②

①与②联立解得M.由D(0,1)，P，

N(x,0)三点共线知＝，得N.

所以MN的斜率为m＝＝＝，

则2m－k＝－k＝(定值)．