高考数学(文数)一轮复习课时练习：8.8《直线与圆锥曲线的位置关系》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　　)

A．1　　　　　　　　 B．2

C．1或2  D．0

解析：因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．

答案：A

2．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是(　　)

A．4  B．3

C．4  D．8

解析：∵y2＝4x，∴F(1,0)，l：x＝－1，过焦点F且斜率为的直线l1：y＝(x－1)，

与y2＝4x联立，解得x＝3或x＝(舍)，故A(3,2)，∴AK＝4，

∴S△AKF＝×4×2＝4.故选C.

答案：C

3．已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：＋＝1(a>b>0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有(　　)

①y＝2x－3；②y＝2x＋1；③y＝－2x－3；④y＝－2x＋3.

A．1条  B．2条

C．3条  D．4条

解析：直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.

答案：C

4．过点P(－，0)作直线l与圆O：x2＋y2＝1交于A、B两点，O为坐标原点，设∠AOB＝θ，且θ∈，当△AOB的面积为时，直线l的斜率为(　　)

A.  B．±

C.  D．±

解析：∵△AOB的面积为，∴×1×1×sin θ＝，∴sin θ＝.

∵θ∈，∴θ＝，∴圆心到直线l的距离为.

设直线l的方程为y＝k(x＋)，即kx－y＋k＝0，∴＝，∴k＝±.

答案：B

5．已知过定点(1,0)的直线与抛物线x2＝y相交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则(x1－1)(x2－1)＝________.

解析：设过定点(1,0)的直线的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程x2＝y得x2－kx＋k＝0，故x1＋x2＝k，x1x2＝k，因此(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1.

答案：1

6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为______________．

解析：抛物线x2＝2py的准线方程为y＝－，与双曲线的方程联立得x2＝a2(1＋)，

根据已知得a2(1＋)＝c2 ①.由|AF|＝c，得＋a2＝c2 ②.由①②可得a2＝b2，即a＝b，

所以所求双曲线的渐近线方程是y＝±x.

答案：y＝±x

7．过双曲线x2－＝1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若使得|AB|＝λ的直线l恰有3条，则λ＝________.

解析：∵使得|AB|＝λ的直线l恰有3条．∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直．

此时A，B的横坐标为，代入双曲线方程，可得y＝±2，故|AB|＝4.

∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，

∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，

综上可知|AB|＝4时，有三条直线满足题意．

∴λ＝4.

答案：4

8．设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.

(1)求E的离心率e；

(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．

解析：(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kO M＝，从而＝，

进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.

(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.

设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，

从而有解得b＝3.

所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.

9.已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P(2，)，且它的离心率e＝.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线l：y＝kx＋t交椭圆于M，N两点，若椭圆上一点C满足＋＝λ，求实数λ的取值范围．

解析：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

由已知得：解得

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)因为直线l：y＝kx＋t与圆(x－1)2＋y2＝1相切，

所以＝1⇒2k＝(t≠0)，

把y＝kx＋t代入＋＝1并整理得：(3＋4k2)x2＋8ktx＋(4t2－24)＝0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，

y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝，

因为λ＝(x1＋x2，y1＋y2)，所以C，

又因为点C在椭圆上，所以，

＋＝1⇒λ2＝＝，

因为t2>0，所以2＋＋1>1，

所以0<λ2<2，所以λ的取值范围为(－，0)∪(0，)．

B组　能力提升练

1．已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－，则的值为(　　)

A．－  B．－

C．－  D．－

解析：由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有ax＋by＝0①，ax＋by＝0②，由①－②得a(x－x)＝－b(y－y)，即a(x1＋x2)(x1－x2)＝－b(y1＋y2)(y1－y2)，由题意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0，∴·＝－，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝＝＝＝－，又知kAB＝－1，∴－×(－1)＝－，∴＝－，故选A.

答案：A

2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，虚轴的一个端点与抛物线x2＝2py(p>0)的焦点重合，直线y＝kx－1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p＝(　　)

A．4  B．3

C．2  D．1

解析：由抛物线x2＝2py(p>0)可知其焦点为，所以b＝，又a＝2，因此双曲线的方程为－＝1，渐近线方程为y＝±x.直线y＝kx－1与双曲线的一条渐近线平行，不妨设k＝，由可得x2＝2p＝x－2p，得x2－x＋2p＝0，则Δ＝2－8p＝0，解得p＝4.故选A.

答案：A

3．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(　　)

A．(1,3)  B．(1,4)

C．(2,3)  D．(2,4)

解析：当直线l的斜率不存在时，这样的直线l恰有2条，即x＝5±r，所以0<r<5；所以当直线l的斜率存在时，这样的直线l有2条即可．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则.又，两式相减得(y1＋y2)(y1－y 2)＝4(x1－x2)，kAB＝＝＝.设圆心为C(5,0)，则kCM＝.因为直线l与圆相切，所以·＝－1，解得x0＝3，于是y＝r2－4，r>2，又y<4x0，即r2－4<12，所以0<r<4，又0<r<5，r>2，所以2<r<4，选D.

答案：D

4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则·的最小值为________．

解析：点P为椭圆＋＝1上的任意一点，设P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，依题意得左焦点F(－1,0)，∴＝(x，y)，＝(x＋1，y)，

∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋＝·2＋.

∵－3≤x≤3，∴≤x＋≤，∴≤2≤，

∴≤2≤，∴6≤·2＋≤12，即6≤·≤12.故最小值为6.

答案：6

5．在抛物线y＝x2上关于直线y＝x＋3对称的两点M，N的坐标分别为________．

解析：设直线MN的方程为y＝－x＋b，代入y＝x2中，

整理得x2＋x－b＝0，令Δ＝1＋4b>0，∴b>－.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，

＝－＋b＝＋b，

由在直线y＝x＋3上，即＋b＝－＋3，解得b＝2，

联立得解得

答案：(－2,4)，(1,1)

6．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.

解析：抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，焦点为F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由抛物线的定义可知|AF|＝x1＋1＝3，所以x1＝2，所以y1＝±2，由抛物线关于x轴对称，假设A(2,2)，由A，F，B三点共线可知直线AB的方程为y－0＝2(x－1)，代入抛物线方程消去y得2x2－5x＋2＝0，求得x＝2或，所以x2＝，故|BF|＝.

答案：

7．定义：在平面内，点P到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P到曲线Γ的距离．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：(x－)2＋y2＝12及点A(－，0)，动点P到圆M的距离与到点A的距离相等，记P点的轨迹为曲线W.

(1)求曲线W的方程；

(2)过原点的直线l(l不与坐标轴重合)与曲线W交于不同的两点C，D，点E在曲线W上，且CE⊥CD，直线DE与x轴交于点F，设直线DE、CF的斜率分别为k1、k2，求.

解析：(1)由题意知：点P在圆内且不为圆心，易知|PA|＋|PM|＝2>2＝|AM|，

所以P点的轨迹为以A、M为焦点的椭圆，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，

则⇒

所以b2＝1，故曲线W的方程为＋y2＝1.

(2)设C(x1，y1)(x1y1≠0)，E(x2，y2)，则D(－x1，－y1)，则直线CD的斜率为kCD＝，

又CE⊥CD，所以直线CE的斜率是kCE＝－，记－＝k，

设直线CE的方程为y＝kx＋m，由题意知k≠0，m≠0，

由得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0，

∴x1＋x2＝－，∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，

由题意知x1≠x2，∴k1＝kDE＝＝－＝，

∴直线DE的方程为y＋y1＝(x＋x1)，

令y＝0，得x＝2x1，即F(2x1,0)．

可得k2＝－.∴＝－.

8．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝4x上相异两点，且满足x1＋x2＝2.

(1)若AB的中垂线经过点P(0,2)，求直线AB的方程；

(2)若AB的中垂线交x轴于点M，求△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．

解析：(1)当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，

所以可设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入方程y2＝4x，得：k2x2＋(2kb－4)x＋b2＝0，

∴x1＋x2＝＝2，得b＝－k，

∴直线AB的方程为y＝k(x－1)＋，

∵AB中点的横坐标为1，∴AB中点的坐标为，

∴AB的中垂线方程为y＝－(x－1)＋＝－x＋.

∵AB的中垂线经过点P(0,2)，故＝2，得k＝，

∴直线AB的方程为y＝x－.

 (2)由(1)可知AB的中垂线方程为y＝－x＋，

∴点M的坐标为(3,0)，

∵直线AB的方程为k2x－ky＋2－k2＝0，

∴M到直线AB的距离d＝＝，

由得y2－ky＋2－k2＝0，

y1＋y2＝，y1·y2＝，|AB|＝|y1－y2|＝.

∴S△MAB＝4 ，

设 ＝t，则0<t<1，S＝4t(2－t2)＝－4t3＋8t，S′＝－12t2＋8，

由S′＝0，得t＝，即k＝±时，Smax＝，

此时直线AB的方程为3x±y－1＝0.