高考数学(文数)一轮复习课时练习：8.7《抛物线》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是(　　)

A．(0，a)　　　　　　 B．(a,0)

C.  D.

解析：将y＝4ax2(a≠0)化为标准方程得x2＝y(a≠0)，所以焦点坐标为，所以选C.

答案：C

2．已知AB是抛物线y 2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是(　　)

A．2  B.

C.  D.

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是＝.

答案：C

3．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：依题意，设点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又焦点F，x1＋x2＋x3＝3×＝，则||＋||＋||＝(x1＋)＋(x2＋)＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.选C.

答案：C

4．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.

解析：设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝，设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝，从而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝.

答案：

5．已知抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，⊙M的方程为x2＋y2＋8x＋12＝0，如果抛物线C的准线与⊙M相切，那么p的值为__________．

解析：将⊙M的方程化为标准方程：(x＋4)2＋y2＝4，圆心坐标为(－4,0)，半径r＝2，又抛物线的准线方程为x＝－，∴|4－|＝2，解得p＝12或4.

答案：12或4

6.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是__________．

解析：分别过点A、B作准线的垂线AE、BD，分别交准线于点E、D(图略)，则|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°，又|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6，即点F是AC的中点，根据题意得p＝，∴抛物线的方程是y2＝3x.

答案：y2＝3x

7．已知抛物线y2＝4px(p＞0)的焦点为F，圆W：(x＋p)2＋y2＝p2的圆心到过点F的直线l的距离为p.

(1)求直线l的斜率；

(2)若直线l与抛物线交于A、B两点，△WAB的面积为8，求抛物线的方程．

解析：(1)易知抛物线y2＝4px(p＞0)的焦点为F(p,0)，依题意直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x＝my＋p，因为W(－p,0)，

所以点W到直线l的距离为＝p，解得m＝±，所以直线l的斜率为±.

(2)由 (1)知直线l的方程为x＝±y＋p，由于两条直线关于x轴对称，不妨取x＝y＋p，

联立消去x得y2－4py－4p2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4p，y1y2＝－4p2，

所以|AB|＝·＝16p，

因为△WAB的面积为8，所以p×16p＝8，得p＝1，

所以抛物线的方程为y2＝4x.

8．已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)，O是坐标原点，点A，B为抛物线C1上异于O点的两点，以OA为直径的圆C2过点B.

(1)若A(－2,1)，求p的值以及圆C2的方程；

(2)求圆C2的面积S的最小值(用p表示)．

解析：(1)∵A(－2,1)在抛物线C1上，∴4＝2p，p＝2.

又圆C2的圆心为，半径为＝，

∴圆C2的方程为(x＋1)2＋2＝.

(2)记A(x1，)，B(x2，)．则＝(x2，)，＝(x2－x1，)．

由·＝0知，x2(x2－x1)＋＝0.

∵x2≠0，且x1≠x2，∴x＋x1·x2＝－4p2，∴x1＝－.

∴x＝x＋＋8p2≥2＋8p2＝16p2，当且仅当x＝，即x＝4p2时取等号．

又|OA|2＝x ＋＝(x＋4p2·x)，注意到x≥16p2，

∴|OA|2≥(162·p4＋4p2·16p2)＝80p2.而S＝π·，∴S≥20πp2，

即S的最小值为20πp2，当且仅当x＝4p2时取得．

B组　能力提升练

1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A、B两点，坐标原点为O，·＝12.

(1)求抛物线的方程；

(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．

解析：(1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px，

得y2－2pmy＋4p＝0.(*)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x2＝＝4.

因为·＝12，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，

得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.

(2)(1)中(*)式可化为y2－4my＋8＝0，

y1＋y2＝4m， y1y2＝8.

设AB的中点为M，

则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①

又|AB|＝|y1－y2|＝，②

由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，

解得m2＝3，m＝±.

所以，直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.

2.如图，由部分抛物线：y2＝mx＋1(m＞0，x≥0)和半圆x2＋y2＝r2(x≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和.

(1)求“黄金抛物线C”的方程；

(2)设P(0,1)和Q(0，－1)，过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

解析：(1)∵“黄金抛物线C”过点(3,2)和，

∴r2＝2＋2＝1,4＝3m＋1，∴m＝1.

∴“黄金抛物线C”的方程为y2＝x＋1(x≥0)和x2＋y2＝1(x≤0)．

(2)假设存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB，显然直线l的斜率存在且不为0，

设直线l：y＝kx＋1，联立，消去y，得k2x2＋(2k－1)x＝0，∴xB＝，

yB＝，即B，∴kBQ＝，

联立，消去y，得(k2＋1)x2＋2kx＝0，

∴xA＝－，yB＝，即A，∴kAQ＝－，

∵QP平分∠AQB，∴kAQ＋kBQ＝0，∴－＝0，解得k＝－1±，

由图形可得k＝－1－应舍去，∴k＝－1，∴存在直线l：y＝(－1)x＋1，

使得QP平分∠AQB.