高考数学(文数)一轮复习课时练习：11.2选修4－5《不等式选讲》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a>0)．

(1)证明：f(x)≥2；

(2)若f(3)<5，求a的取值范围．

解析：(1)证明：由a>0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2.所以f(x)≥2.

(2)f(3)＝＋|3－a|.当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5得3<a<.

当0<a≤3时，f(3)＝6－a＋，由f(3)<5，得<a≤3.

综上，a的取值范围是.

2．设不等式|x－2|<a(a∈N*)的解集为A，且∈A，∉A.

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值；

(3)解不等式f(x)≤5.

解析：(1)∵∈A，∉A，

∴a∈N* ，∴a＝1.

(2)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝

如图，由函数图象可知f(x)min＝3.

(3)由②可知，f(x)＝5时，有2x－1＝5，x＝3，－2x＋1＝5，x＝－2，

∴f(x)≤5的解集为[－2,3]．

3．设a，b是非负实数．求证：a2＋b2≥(a＋b)．

证明：因为(a2＋b2)－(a＋b)

＝(a2－a)＋(b2－b)

＝a(－)＋b(－)

＝(－)(a－b)

＝(a－b)(a－b)

因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，

都有a－b与a－b同号，所以(a－b)(a－b)≥0，

所以a2＋b2≥(a＋b)．

4．已知a>0，b>0，求证：＋≥＋.

解析：因为＋－(＋)

＝

＝

又因为a>0，b>0，所以＋>0，>0，(－)2≥0，所以＋－(＋)≥0，所以＋≥＋.

B组　能力提升练

1．已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．

(1)求a的值；

(2)若≤k恒成立，求k的取值范围．

解析：(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.

又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，

所以当a≤0时，不合题意．

当a>0时，有－≤x≤，得a＝2.

(2)记h(x)＝f(x)－2f，则

h(x)＝

所以|h(x)|≤1，因此k≥1.

2．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.

(1)求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若关于x的不等式f(x)≥a2－a在R上恒成立，求实数a的取值范围．

解析：(1)原不等式等价于

或或解得x≤－或x∈∅或x≥.

所以不等式的解集为.

(2)由题意得，关于x的不等式|x－1|＋|x＋1|≥a2－a在R上恒成立．

因为|x－1|＋|x＋1|≥|(x－1)－(x＋1)|＝2，

所以a2－a≤2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2.

所以实数a的取值范围是[－1,2]．

3．设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.

(1)证明：<；

(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小．

解析：(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|

＝

由－2<－2x－1<0解得－<x<，

即M＝，所以≤|a|＋|b|<×＋×＝.

(2)由(1)得a2<，b2<，

因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0，

故|1－4ab|2>4|a－b|2，即|1－4ab|>2|a－b|.

4．已知函数f(x)＝|3x＋2|.

(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；

(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．

解析：(1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4.

当x<－时，即－3x－2－x＋1<4，解得－<x<－；

当－≤x≤1时，即3x＋2－x＋1<4，

解得－≤x<；当x>1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．

综上所述，x∈.

(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，

令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝

∴x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，

只需g(x)max＝＋a≤4，即0<a≤.