三角函数中的范围与最值问题

三角函数中的范围与最值问题

副标题

1. 已知函数，若，，且在上恰有一个最大值点，那么的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

2. 已知函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到的函数在上恰有个不同的值，使其取到最值，则正实数的取值范围是 

A.  B.  C.  D.

3. 是三角形的内角，则函数的最值情况是   

A.

既没有最大值，又没有最小值     

B.

既有最大值，又有最小值

C.

只有最大值                                      

D.

只有最小值

4. 若函数 在区间内没有最值，则的取值范围是 

A.  B.
C.  D.

5. 已知是实常数，若，则的取值范围是          ．
6. 函数在上单调递减，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

7. 函数的最小值为，函数．

求结论写成分段函数的形式；

是否存在实数满足：任给，都存在使得？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．






 

8. 已知，求函数的最小值．
   
   
   
   
   
   
    
9. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是          ．
10. 已知函数若方程在上恰有个不同的实根，则的取值范围为 

A.  B.  C.  D.

11. 函数在内的值域为，则的取值范围是 

A.           B.          
C.              D. ．

12. 已知函数的最小值为，函数．
    求的值；
    已知时，恒成立，求实数的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
13. 已知函数．

求函数的单调递增区间和最小正周期；

若当时，关于的不等式______，求实数的取值范围．

请选择和中的一个条件，补全问题，并求解．
其中，有解；恒成立．






 

14. 已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

15. 若存在唯一的实数，使得曲线关于点对称，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角函数性质的应用，涉及了辅助角公式的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题
先利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，求出函数的周期，结合题意列出不等关系，即可求解．

【解答】

解：由题意，函数，

其中，，

可得函数的最小正周期为，

又由，且在上恰有一个最大值点，

所以，解得．

故选：．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
由题意利用正弦函数的图象和性质，可得，由此可得结果．

【解答】

解：函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，
得到的函数为
当时，，
在上恰有个不同的值，使其取到最值；
，
，
．
则正实数，
故选：．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

由的范围求得的范围，利用平方关系化正弦为余弦，然后换元，再由配方法求得函数的最值得答案．

本题考查三角函数的最值，配方法求二次函数的最值，属于中档题．

【解答】

解：是三角形的内角，，则，

则

．

令，

则．

当时，函数有最小值，无最大值．

故选：．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦函数的性质，函数零点的计算，属于中档题．
求出的零点，根据条件得出，从而得出的范围．

【解答】

解：函数的单调区间为，
由，
得．
函数 在区间内没有最值，
函数 在区间内单调，，

解得由，得．
当时，得，
当时，得，又，故，
综上得的取值范围是
故选A．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了含的二次函数的值域，分离参数的方法，集合的概念，属于中档题．

由题意可转化为有解，换元求函数的值域即可．

【解答】

解：由可得：

，

若，

则方程有解，

令，，

则，

所以只需，

故答案为：．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

由题意利用余弦函数的单调性，求得的取值范围．
本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题．

【解答】

解：函数在上单调递减，
则，且，求得，
故选：．

7.【答案】解：

．

若，即，则当时，有最小值，

；

若，即，则当时，有最小值，

；

若，即，则当时，有最小值，

，

．

函数的值域为，

由于，，

当时，

当时，

任给，都存在使得，

的值域应为值域的子集

当时，，不成立；

当时，，不成立；

当时，，不成立；

当时，，不成立

综上所述：题设的实数不存在．

【解析】本题主要考查有关三角函数的二次函数求最值以及双变量问题，还考查了运算求解的能力，属于拔高题．
将函数转化为，利用二次函数的性质分，，三种情况讨论求解．

函数的值域为，根据，，分和求得其最大值，再根据任给，都存在使得，则的值域应为值域的子集求解．

8.【答案】解：，令，
原函数化为，

当时，函数在处取得最小值；

当时，函数在处取得最小值；

当时，函数在处取得最小值．

【解析】令，函数化为，对对称轴与区间的关系分类讨论，即可求解．

本题考查含的二次函数的最值，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于基础题．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及参数的范围，属于中档题．

使用等价转化的思想，转化为在恒成立，然后利用分离参数的方法，结合辅助角公式，可得，简单计算和判断，可得结果．

【解答】

解：由题可知：函数在区间上单调递减，

等价于在恒成立，

即在恒成立，

则在恒成立，

所以．

由，所以，

故，则

所以，即．
则实数的取值范围是．

故答案为：．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查正弦函数的图象与性质，为拔高题．

画出，的图象，根据图象可得，求解即可．

【解答】

解：函数
可化为，

，则，

设画出，的图象，
 

要使在上恰有个不同的实根，即，

则，

则的的取值范围为．

故选D．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，考查了数形结合的思想，是中档题．
根据余弦函数的图象与性质，结合题意得出，从而求出的取值范围．

【解答】

解：函数，

当时，，

，且，
画出函数的图象如图所示；

则，

解得，

的取值范围是

故选．

12.【答案】解：令，则，
因为函数，的最小值为，
当，即时，，不合题意；
当，即时，，
解得或舍去，
当，即时，，解得舍去，
所以；
当时，恒成立，
又由中可得，，
即，
令，，
则，则，
所以，
即对任意的恒成立，
记，，
则，
因为在上单调递增，
所以，
又因为，
当且仅当时取等号，所以，
综上所述，的取值范围为．
 

【解析】本题考查了函数的综合应用，涉及了三角函数求最值、基本不等式求最值、利用函数的单调性求最值，解题的关键是将恒成立问题转化为求解函数的最值问题．
利用换元法将函数转化为二次函数，然后根据对称轴与的关系进行分类讨论，即可得到答案；
将不等式恒成立转化为恒成立，然后利用换元法构造对任意的恒成立，构造函数，，将问题转化为，利用函数的单调性和基本不等式求解即可．
 

13.【答案】解：因为
．
所以函数的最小正周期．
因为函数的的单调增区间为，
所以，
解得．
所以函数的单调增区间为
解：若选择
由题意可知，不等式有解，即．
因为，所以．
故当，即时，取得最大值，且最大值为．
所以．
若选择
由题意可知，不等式恒成立，即．
因为，所以．
故当，即时，取得最小值，且最小值为．
所以．
 

【解析】本题主要考查了二倍角公式和两角和的正弦公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
先结合二倍角公式及两角和的正弦公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的单调性及周期性可求；
若选择，由有解，即，结合正弦函数的性质可求；
若选择，由恒成立，即，结合正弦函数的性质可求．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象与性质，属于中档题．
化简可得函数，由，可得，解得，因此，即可得出答案．

【解答】

解：函数，
由，可得，则有，，
在区间内没有零点，
，且，
，
．
故选D．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查由余弦型函数的对称性求参数，属于中档题 
根据余弦函数的对称性可得．

【解答】

解：因为，所以，所以，解得．

故选：．