2021年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(文科)-(解析版)

这是一份2021年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(文科)-(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知i为虚数单位，则|1+2i|＝（　　）
A． B． C．3 D．5
2．设全集为R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|0＜x＜2} C．∅ D．{x|1≤x＜2}
3．如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则＝（　　）

A． B． C． D．
4．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝﹣16，则数列{an}的前6项和为（　　）
A．21 B．﹣11 C．﹣21 D．11
5．某程序框图如图所示，若输入的a＝4，，则输出的n＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣1＞0；命题q：∃x∈R，2x＞3x，则下列命题中为真命题的是（　　）
A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）
7．将甲、乙等4名交警随机分配到两个不同路口疏导交通，每个路口两人，则甲和乙不在同一路口的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．设m、n是两条不同的直线，α是平面，m、n不在α内，下列结论中错误的是（　　）
A．m⊥α，n∥α，则m⊥n B．m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．m⊥α，m⊥n，则n∥α D．m⊥n，n∥α，则m⊥α
9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，P0在水平面上，盛水筒M从点P0处开始运动，OP0与水平面的所成角为30°，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系式是（　　）
A． B．
C． D．
10．若sinα+cosα＝，α∈（0，π），则＝（　　）
A．﹣3 B． C． D．3
11．已知椭圆E与双曲线有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个交点，且，过椭圆E的右焦点F2做倾斜角为的直线交椭圆E于A，B两点，且，则λ可以取（　　）
A．4 B．5 C．7 D．8
12．已知函数，若的零点个数为4，则实数a取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线l：x﹣y＝0与圆C：（x﹣1）2+y2＝1交于A、B两点，则|AB|＝　 　．
14．设实数x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为　 　．
15．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，侧棱PA⊥底面ABCD，且直线PB与CD所成角的余弦值为，则四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积为　 　．
16．在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为　 　．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
17．已知等差数列{an}的前三项依次为a，8，4a+1，前n项的和为Sn，Sk＝366．
（1）求a及k的值；
（2）设数列{bn}满足，且{bn}的前n项和为Tn，求Tn．
18．已知梯形BFEC如图1所示，其中BF∥EC，EC＝3，BF＝2，四边形ABCD是边长为1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体．
（1）求证：平面AEC⊥平面BDE；
（2）求六面体EFABCD的体积．

19．宁夏西海固地区，在1972年被联合国粮食开发署确定为最不适宜人类生存的地区之一．为改善这一地区人民生活的贫困状态，上世纪90年代，党中央和自治区政府决定开始吊庄移民，将西海固地区的人口成批地迁移到更加适合生活的地区．为了帮助移民人口尽快脱贫，党中央作出推进东西部对口协作的战略部署，其中确定福建对口帮扶宁夏，在福建人民的帮助下，原西海固人民实现了快速脱贫，如表是对2016年以来近5年某移民村庄100位移民的年人均收入的统计：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码
1
2
3
4
5
人均年收入 （千元）
1.3
2.8
5.7
8.9
13.8
（1）现要建立y关于x的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一：，模型二：，即使画出y关于x的散点图，也无法确定哪个模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一的方程为．请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程（计算结果保留到小数点后一位）；
（2）用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为．
附：参考数据：，其中．
参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．
20．已知平面内的两个定点F1，F2，，平面内的动点M满足|MF1|+|MF2|＝4．记M的轨迹为曲线E．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，求E的方程；
（2）过F2做直线l交曲线E于A，B两点，若点O是线段F1F2的中点，点C满足，求△ABC面积的最大值，并求出此时直线l的方程．
21．已知函数f（x）＝ex+sinx．
（1）求曲线f（x）在点（0，f （0））处的切线方程；
（2）令g（x）＝f（x）﹣ax﹣1，当a∈[1，2）时，证明：函数g（x）有2个零点．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ+3sinθ）＝8．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）设P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出此时点P的坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知f（x）＝|x+1|+|x﹣3|．
（1）求不等式f（x）≤x+3的解集；
（2）若f（x）的最小值为m，正实数a，b，c满足a+b+c＝m，求证：．


参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i为虚数单位，则|1+2i|＝（　　）
A． B． C．3 D．5
解：∵i为虚数单位，则|1+2i|＝＝，
故选：B．
2．设全集为R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|0＜x＜2} C．∅ D．{x|1≤x＜2}
解：∵A＝{y|0＜y＜2}，B＝{x|x2﹣1≥0}＝{x|x≤﹣1或x≥1}，
A∩B＝{x|1≤x＜2}．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则＝（　　）

A． B． C． D．
解：＝＝＝．
故选：C．
4．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝﹣16，则数列{an}的前6项和为（　　）
A．21 B．﹣11 C．﹣21 D．11
解：根据题意，等比数列{an}中，其公比为q，
若a2＝2，a5＝﹣16，则q3＝＝﹣8，则q＝﹣2，
则a1＝＝﹣1，
则S6＝＝21，
故选：A．
5．某程序框图如图所示，若输入的a＝4，，则输出的n＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
解：第一次执行循环体后，a＝3，b＝1，满足退出循环的条件；
第二次执行循环体后，n＝2,a＝，b＝3，不满足退出循环的条件；
第三次执行循环体后，n＝3，a＝，b＝9，满足退出循环的条件．
故输出n值为3．
故选：B．
6．已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣1＞0；命题q：∃x∈R，2x＞3x，则下列命题中为真命题的是（　　）
A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）
解：∵判别式△＝1﹣4（﹣1）＝5＞0，∴∀x∈R，x2+x﹣1＞0不成立，即命题p是假命题，
当x＝﹣1时，2﹣1＞3﹣1，即命题q：∃x∈R，2x＞3x，是真命题，
则（￢p）∨q是真命题，其余为假命题，
故选：C．
7．将甲、乙等4名交警随机分配到两个不同路口疏导交通，每个路口两人，则甲和乙不在同一路口的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：将甲、乙等4名交警随机分配到两个不同路口疏导交通，每个路口两人，
基本事件总数n＝＝6,
甲和乙不在同一路口包含的基本事件个数m＝＝4,
则甲和乙不在同一路口的概率为P＝＝＝．
故选：C．
8．设m、n是两条不同的直线，α是平面，m、n不在α内，下列结论中错误的是（　　）
A．m⊥α，n∥α，则m⊥n B．m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．m⊥α，m⊥n，则n∥α D．m⊥n，n∥α，则m⊥α
解：对于A，若m⊥α，则m垂直α内的所有直线，又n∥α，则α内有直线与n平行，则m⊥n，故A正确；
对于B，若m⊥α，n⊥α，由直线与平面垂直的性质，可得m∥n，故B正确；
对于C，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊄α，∴n∥α，故C正确；
对于D，若m⊥n，n∥α，则m∥α或m与α相交或m⊂α，而m⊄α，则m∥α或m与α相交，故D错误．
故选：D．
9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，P0在水平面上，盛水筒M从点P0处开始运动，OP0与水平面的所成角为30°，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系式是（　　）
A． B．
C． D．
解：以O为原点，过点O的水平直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
∵∠xOP0＝30°＝，∴OM在 t（s） 内转过的角为，
∴以x轴为始边，以OM为终边的角为，
则点M的纵坐标为4sin()，
∴点M距水面的高度H（m）表示为时间 t（s） 的函数是H＝4sin()+2，
故选：A．

10．若sinα+cosα＝，α∈（0，π），则＝（　　）
A．﹣3 B． C． D．3
解：因为sinα+cosα＝，
所以sin2α+cos2α＝sin2α+（﹣sinα)2＝1，可得25sin2α﹣5sinα﹣12＝0，解得sinα＝，或﹣,
因为α∈（0，π），
解得sinα＝，cosα＝﹣＝﹣,
则＝＝＝＝＝﹣3．
故选：A．
11．已知椭圆E与双曲线有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个交点，且，过椭圆E的右焦点F2做倾斜角为的直线交椭圆E于A，B两点，且，则λ可以取（　　）
A．4 B．5 C．7 D．8
解：设椭圆E的方程为+＝1(a＞b＞0),
双曲线的焦点F1(﹣,0),F2(,0),
可得a2﹣b2＝3,
，即PF1⊥PF2,
设|PF1|＝m,|PF2|＝n,则m+n＝2a,|m﹣n|＝2,m2+n2＝12,
可得4a2＝12+4＝16,解得a＝2,b＝1,
则椭圆的方程为+y2＝1,
过椭圆E的右焦点F2做倾斜角为的直线方程为y＝x﹣1,
联立直线方程和椭圆方程，消去y可得7x2﹣8x＝0,
解得x1＝0,x2＝,
可得交点为(0,﹣1),(,),
可得|AB|＝＝,
|AF2|＝＝2或＝,
则λ＝＝或8,
故选：D．
12．已知函数，若的零点个数为4，则实数a取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
解：函数，
作出f（x）的图象，
令f（x）＝t，那么F（x）转化为g（t）＝t2﹣2at+
要使t2﹣2at+＝0零点个数为4，
结合f（x）的图象，可知0＜t1≤1，0＜t2＜1，
或t1＞2且t2＞2或0＜t1≤1且t2＞2．
令g（t）＝t2﹣2at+，
根据二次函数根的分布，
可得或或，
即或或，
解得：．
故选：D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线l：x﹣y＝0与圆C：（x﹣1）2+y2＝1交于A、B两点，则|AB|＝　　．
解：圆C的圆心坐标为C（1，0），半径r＝1，
圆心到直线x﹣y＝0的距离d＝，
∴|AB|＝2．
故答案为：．
14．设实数x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为　15　．
解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（3，3），
由z＝2x+3y，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为15，
故答案为：15．
15．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，侧棱PA⊥底面ABCD，且直线PB与CD所成角的余弦值为，则四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积为　6π　．
解：如图，

∵侧棱PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB，
∵AB∥CD，∴∠PBA为直线PB与CD所成角，则cos∠PBA＝，
在Rt△PAB中，由AB＝2，cos∠PBA＝，
得PB＝，则PA＝＝，
则外接球的半径为R＝OA＝＝＝．
∴四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积为．
故答案为：．
16．在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为　　．
解：根据题意，在△ABC中，
＝＝，
又由a2+c2≥2ac，当且仅当a＝c时等号成立，
则＝≤＝，
设t＝，变形可得4tcosB+sinB＝12t，
则有sin（B+θ）＝1，tanθ＝4t，
又由sin（B+θ）≤1，则≥1，
解可得t≤，当其仅当cosB＝时等号成立．
则有≤＝≤，即的最大值为，
故答案为：．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
17．已知等差数列{an}的前三项依次为a，8，4a+1，前n项的和为Sn，Sk＝366．
（1）求a及k的值；
（2）设数列{bn}满足，且{bn}的前n项和为Tn，求Tn．
解：（1）等差数列{an}的前三项依次为a，8，4a+1，
故：a+4a+1＝16，
解得a＝3，
公差d＝8﹣3＝5，
所以an＝3+5×（n﹣1）＝5n﹣2，
由于Sk＝366，
整理得，
故5k2+k﹣732＝0，
即（5k+61）（k﹣12）＝0，
解得k＝12，（负值舍去）．
（2）数列{bn}满足＝，
所以＝．
18．已知梯形BFEC如图1所示，其中BF∥EC，EC＝3，BF＝2，四边形ABCD是边长为1的正方形，沿AD将四边形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体．
（1）求证：平面AEC⊥平面BDE；
（2）求六面体EFABCD的体积．

解：（1）证明：∵平面EDAF⊥平面ABCD，DE⊂平面EDAF，平面EDAF∩平面ABCD＝AD，DE⊥AD，
∴DE⊥平面ABCD，
∵AC⊂平面ABCD，
∴DE⊥AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵DE、BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，
∴AC⊥平面BDE，
∵AC⊂平面ACE，
∴平面AEC⊥平面BDE；
（2）由（1）可得ED⊥平面ACD,AB⊥平面EDAF,
则六面体EFABCD的体积为VE﹣BCD+VB﹣EDAF＝•ED•S△BCD+•AB•S四边形EDAF
＝×2××1×1+×1××(1+2)×1＝．
19．宁夏西海固地区，在1972年被联合国粮食开发署确定为最不适宜人类生存的地区之一．为改善这一地区人民生活的贫困状态，上世纪90年代，党中央和自治区政府决定开始吊庄移民，将西海固地区的人口成批地迁移到更加适合生活的地区．为了帮助移民人口尽快脱贫，党中央作出推进东西部对口协作的战略部署，其中确定福建对口帮扶宁夏，在福建人民的帮助下，原西海固人民实现了快速脱贫，如表是对2016年以来近5年某移民村庄100位移民的年人均收入的统计：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码
1
2
3
4
5
人均年收入 （千元）
1.3
2.8
5.7
8.9
13.8
（1）现要建立y关于x的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一：，模型二：，即使画出y关于x的散点图，也无法确定哪个模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一的方程为．请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程（计算结果保留到小数点后一位）；
（2）用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为．
附：参考数据：，其中．
参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．
解：（1）令ti＝，则，
∴＝＝(12+22+32+42+52)＝11,＝(1.3+2.8+5.7+8.9+13.8)＝6.5，
＝≈0.5，＝＝6.5﹣0.52×11＝0.78≈0.8，
∴．
（2）当x＝1时，＝0.5×12+0.8＝1.3，
当x＝2时，＝0.5×22+0.8＝2.8，
当x＝3时，＝0.5×32+0.8＝5.3，
当x＝4时，＝0.5×42+0.8＝8.8，
当x＝5时，＝0.5×52+0.8＝13.3，
模型二的残差平方和为＝（1.3﹣1.3）2+（2.8﹣2.8）2+（5.7﹣5.3）2+（8.9﹣8.8）2+（13.8﹣13.3）2＝0.42，
∵0.42＜3.7，∴模型二的拟合效果更好．
20．已知平面内的两个定点F1，F2，，平面内的动点M满足|MF1|+|MF2|＝4．记M的轨迹为曲线E．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，求E的方程；
（2）过F2做直线l交曲线E于A，B两点，若点O是线段F1F2的中点，点C满足，求△ABC面积的最大值，并求出此时直线l的方程．
【解答】（1）M满足|MF1|+|MF2|＝4＞|F1F2|,
根据椭圆的定义可知动点M的轨迹为椭圆，
以F1F2的中点为原点，直线F1F2为x轴，以过F1F2的中点且垂直F1F2的直线为y轴建立平面直角坐标系，
因为，所以2c＝，
因为|MF1|+|MF2|＝4，所以2a＝4，
,所以b2＝a2﹣c2＝1,
故E的方程为．
（2），设直线，A（x1，y1），B（x2，y2），
，直线l代入得：
由于△＝16（m2+1）＞0恒成立，
则有，，
，
点O到直线l的距离．
则，
当且仅当：，即时取等号，
又由于，知，
此时．
21．已知函数f（x）＝ex+sinx．
（1）求曲线f（x）在点（0，f （0））处的切线方程；
（2）令g（x）＝f（x）﹣ax﹣1，当a∈[1，2）时，证明：函数g（x）有2个零点．
解：（1）f（x）＝ex+sinx，则f′（x）＝ex+cosx，
则f（0）＝1，f′（0）＝2，故切线方程是：y﹣1＝2x即y＝2x+1；
（2）当x＝0时，g（0）＝e0﹣0﹣1+sin0＝0，
∴x＝0是g（x）的一个零点，
由g'（x）＝ex﹣a+cosx，可得g''（x）＝ex﹣sinx，因为1≤a＜2，
①当x∈（0，+∞）时，ex＞1，∴g''（x）＞1﹣sinx≥0，
∴g'（x）在（0，+∞）单调递增，∴g'（x）＞g'（0）＝2﹣a＞0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，∴g（x）＞g（0）＝0，
此时g（x）在（0，+∞）无零点；
②当x∈（﹣∞，﹣π]时，﹣ax≥π，
有g（x）＝ex﹣ax+sinx﹣1≥ex+π+sinx﹣1＞0，
此时g（x）在（﹣∞，﹣π]无零点；
③当x∈（﹣π，0）时，sinx＜0，g''（x）＝ex﹣sinx＞0，
∴g'（x）在（﹣π，0）单调递增，
又g'（0）＝2﹣a＞0，g'（﹣π）＝e﹣π﹣1﹣a＜0，
由零点存在性定理知，存在唯一x0∈（﹣π，0），使得g'（x0）＝0，
当x∈（﹣π，x0）时，g'（x）＜0，g（x）在（﹣π，x0）单调递减，
当x∈（x0，0）时，g'（x）＞0，g（x）在（x0，0）单调递增，
又g（﹣π）＝e﹣π+aπ﹣1＞0，g（x0）＜g（0）＝0，
所以g（x）在（﹣π，0）上有1个零点，
综上，当1≤a＜2时，g（x）有2个零点．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ+3sinθ）＝8．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）设P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出此时点P的坐标．
【解答】（1）设曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为普通方程为．
直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ+3sinθ）＝8，根据，直线l 直角坐标方程为2x+3y﹣8＝0．
（2）由参数方程设点 P（2cosθ，sin θ ），
则点 P 到直线l 的距离为d＝，其中
所以，此时，
所以点 P 的坐标为 P．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知f（x）＝|x+1|+|x﹣3|．
（1）求不等式f（x）≤x+3的解集；
（2）若f（x）的最小值为m，正实数a，b，c满足a+b+c＝m，求证：．
解：（1）∵f（x）＝|x+1|+|x﹣3|，f（x）≤x+3，
∴当 x≤﹣1时，2﹣2x≤x+3⇒x≥，∴无解；
当﹣1＜x≤3时，x≥1，∴1≤x≤3；
当 x＞3 时，2x﹣2≤x+3⇒x≤5，∴无解；
综上，不等式的解集为{x|1≤x≤3}．
（2）证明：∵f（x）＝|x+1|+|x﹣3|≥|x+1﹣x+3|＝4，∴m＝4，
∴a+b+c＝m＝4，
＝
＝
≥＝，
当且仅当时取等号，
∴．