2022版高考数学小题标准练（十三）

这是一份2022版高考数学小题标准练（十三），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

高考小题标准练(十三)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )
A．(－1，1) B．(0，1)
C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)
【解析】选C.集合A表示函数y＝2x的值域，
故A＝(0，＋∞).由x2－1<0，得－1所以A∪B＝(－1，＋∞).
2．复数z满足|z|＝1，则|z－1＋i|的最大值为( )
A． eq \r(2) －1 B．2－ eq \r(2)
C． eq \r(2) ＋1 D．2＋ eq \r(2)
【解析】选C.如图所示，复数满足|z|＝1时轨迹为复平面内的单位圆，
而|z－1＋i|＝|z－(1－i)|表示z与复数1－i所对应的点在复平面内的距离，
结合圆的性质可知，|z－1＋i|的最大值为 eq \r(12＋（－1）2) ＋1＝ eq \r(2) ＋1.
3．函数f(x)＝ eq \f(x cs x＋sin x,x2＋1) 的部分图象大致为( )
【解析】选A.因为f(x)＝ eq \f(x cs x＋sin x,x2＋1) ，
所以f(－x)＝ eq \f(－x cs （－x）＋sin （－x）,（－x）2＋1)
＝－ eq \f(x cs x＋sin x,x2＋1) ＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，排除选项C，D；
又当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) 时，f(x)>0，所以排除B.
4．已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn，S5＝a1＋4，a7＝－6，
则“Sn最大”是“n＝4”的( )
A．充分不必要条件
B．充分必要条件
C．必要不充分条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选C.设等差数列{an} 的首项为a1，公差为d.
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5a1＋\f(5×4,2)d＝a1＋4，,a1＋6d＝－6，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝6，,d＝－2.))
所以Sn＝na1＋ eq \f(n（n－1）,2) d＝6n＋ eq \f(n（n－1）,2) ×(－2)＝－n2＋7n
因为n∈N*，所以当n＝3或n＝4时，Sn有最大值为12.因为n＝4能推出Sn最大，但Sn最大不能推出n＝4.所以“Sn最大”是“n＝4”的必要不充分条件．
5．如图，已知双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ＝60°，且 eq \(OQ,\s\up6(→)) ＝3 eq \(OP,\s\up6(→)) ，则双曲线的离心率为( )
A． eq \f(\r(7),2) B． eq \f(\r(5),2) C． eq \r(7) D． eq \r(5)
【解析】选A.因为∠PAQ＝60°，AP＝AQ，所以△PAQ为正三角形，设AP＝m，则AB＝ eq \f(\r(3),2) m，OB＝m，其中B为PQ的中点，所以kPQ＝ eq \f(\f(\r(3),2)m,m) ＝ eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(b,a) ⇒c＝ eq \f(\r(7),2) a⇒e＝ eq \f(\r(7),2) .
6．已知点M(2，－2)在抛物线x2＝2py(p>0)的准线上，过点M的直线与抛物线相切于A，B两点，则直线AB的方程为( )
A．x－2y＋4＝0 B．x－y＋4＝0
C．2x＋y＋4＝0 D．x＋2y＋4＝0
【解析】选A.点M(2，－2)在抛物线x2＝2py(p>0)的准线上，
所以－ eq \f(p,2) ＝－2，p＝4，抛物线为x2＝8y.
由题意可得，过点M的切线存在斜率，设为k，则切线方程为y＋2＝k(x－2)，代入抛物线的方程x2＝8y消去y，整理得x2－8kx＋16k＋16＝0，所以Δ＝(8k)2－4(16k＋16)＝0，即k2－k－1＝0，此时x＝4k，设两个实数根为k1，k2，
则k1＋k2＝1，k1k2＝－1，所以切点A(4k1，2k12)，B(4k2，2k22)，所以kAB＝ eq \f(2k22－2k12,4k2－4k1) ＝ eq \f(k1＋k2,2) ＝ eq \f(1,2) ，所以直线AB的方程为y－2k12＝ eq \f(1,2) (x－4k1)，即x－2y＋4k12－4k1＝0，因为k1是k2－k－1＝0的根，所以4k12－4k1＝4，
所以直线AB的方程为x－2y＋4＝0.
7．函数f(x)＝a(x＋4)ex－x，若恰好存在两个整数x使得f(x)<0，则a的取值范围是( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,7e3)，\f(1,3e2))) B．[ eq \f(1,6e2) ， eq \f(1,5e) )
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6e2)，\f(1,5e))) D．[ eq \f(3,7e3) ， eq \f(1,3e2) )
【解析】选D.由题意可知，a(x＋4)< eq \f(x,ex) .
令φ(x)＝ eq \f(x,ex) ，则 φ′(x)＝ eq \f(1－x,ex) .当x∈(－∞，1)时， φ′(x)>0，φ(x)在(－∞，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时， φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减；
所以φ(x)在x＝1处取极大值，即最大值．作出g(x)＝a(x＋4)和φ(x)＝ eq \f(x,ex) 两个函数的图象，如图，易知a>0.
若f(x)<0，恰好存在两个整数解，只需a(x＋4)<φ(x)恰好存在两个整数解．
因为φ(0)＝0，φ(2)＝ eq \f(2,e2) ，φ(3)＝ eq \f(3,e3) ，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(g（2）<φ（2），,g（3）≥φ（3），)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6a<\f(2,e2)，,7a≥\f(3,e3)，))
解得 eq \f(3,7e3) ≤a< eq \f(1,3e2) .
8．在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且 eq \f(an＋2,an) ＝2＋(－1)n(n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和，则S100＝( )
A． eq \f(350－1,2) ＋50 B． eq \f(3（1－350）,2) ＋50
C． eq \f(3（350－1）,2) ＋50 D． eq \f(3（3100－1）,2) ＋50
【解析】选C.由题意知， eq \f(an＋2,an) ＝2＋(－1)n(n∈N*)，当n为偶数时，
可得 eq \f(an＋2,an) ＝3；
当n为奇数时，可得 eq \f(an＋2,an) ＝1，又因为a1＝1，a2＝3，所以数列的偶数项成公比为3的等比数列，奇数项都为1.由求和公式可得
S100＝ eq \f(3（350－1）,3－1) ＋50＝ eq \f(3（350－1）,2) ＋50.
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．请根据以下资料判断下列说法正确的有( )
2012－2020年我国海洋
主题公园年末数量(单位：家)
2012－2020年全年游客规模(单位：万人次)
A．2020年我国平均每家海洋主题公园全年游客规模比2012年大
B．已知2013年初—2020年末我国所有开业的海洋主题公园都持续营业，则该期间我国平均约两个半月开一家海洋主题公园
C．2015—2019年间累计游客规模超过3亿人次
D．2013—2020年间，年末公园数量同比增量和游客规模同比增量最大的年份是同一个
【解析】选ABD.对于选项A，2020年的平均游客规模约为 eq \f(8 109,72) ，2012年的平均游客规模约为 eq \f(3 100,34) ，而 eq \f(8 109,72) > eq \f(3 100,34) ，故选项A正确；
对于选项B，2013年初至2020年末8年共96个月，期间新开海洋主题公园约72－34＝38家，所以平均 eq \f(96,38) ≈2.5个月开一家海洋主题公园，故选项B正确；
对于选项C，2015－2019年间游客数量4 355＋5 288＋5 804＋6 277＋6 845＝28 569万<3亿，故选项C错误；
对于选项D，年末公园数量同比增量和游客规模同比增量最大的都是2020年，故选项D正确．
10．已知函数f(x)＝2 eq \r(3) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(x,2))) sin ( eq \f(π,4) － eq \f(x,2) )－sin (π＋x)，则有( )
A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6))) ≥f(x)
B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x)) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0)) 是函数f(x)图象的对称中心
D．方程f(x)＝lg2πx有三个实根
【解析】选ABC.因为函数f(x)＝2 eq \r(3) sin ( eq \f(π,4) ＋ eq \f(x,2) )sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(x,2))) －sin (π＋x)＝2 eq \r(3) sin ( eq \f(π,4) ＋ eq \f(x,2) )cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(x,2))) ＋sin x＝ eq \r(3) sin ( eq \f(π,2) ＋x)＋sin x＝ eq \r(3) cs x＋sin x＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) ，A. 因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6))) ＝2sin ( eq \f(π,6) ＋ eq \f(π,3) )＝2，故正确；B. 因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x)) ＝2sin ( eq \f(π,6) ＋x＋ eq \f(π,3) )＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x)) ＝2cs x，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x)) ＝2sin ( eq \f(π,2) －x)＝2cs x，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x)) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x)) ，故正确；C.因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3))) ＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋\f(π,3))) ＝0，所以( eq \f(2π,3) ，0)是函数f(x)图象的对称中心，故正确； D．在同一坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝lg2πx的图象：
由图象可知：方程f(x)＝lg2πx的实根超过3个，故错误．
11．已知函数f(x)＝ex－f(0)x＋ eq \f(1,2) x2，则( )
A．f(0)＝1
B．函数f(x)的极小值点为0
C．函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)
D．∀x∈R，不等式f(x)≥e恒成立
【解析】选AB.在f(x)＝ex－f(0)x＋ eq \f(1,2) x2中，取x＝0，可得f(0)＝e0＝1.故A正确；
则f(x)＝ex－x＋ eq \f(1,2) x2，f′(x)＝ex＋x－1，f″(x)＝ex＋1＞0.
所以f′(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，
因为f′(0)＝e0－1＝0，所以当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为f(0)＝e0＝1，故B正确；C，D错误.
12．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的离心率为 eq \f(\r(2),2) ，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B为椭圆上两个动点．
直线l的方程为bx＋ay－a2－b2＝0.下列说法正确的是( )
A．C的蒙日圆的方程为x2＋y2＝3b2
B．对直线l上任意点P， eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(PB,\s\up6(→)) >0
C．记点A到直线l的距离为d，则d－|AF2|的最小值为 eq \f(4\r(3),3) b
D．若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2
【解析】选AD.对于A，过Q(a，b)可作椭圆的两条互相垂直的切线：x＝a，y＝b，
所以Q(a，b)在蒙日圆上，所以蒙日圆方程为：x2＋y2＝a2＋b2；
由e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \r(1－\f(b2,a2)) ＝ eq \f(\r(2),2) 得：a2＝2b2，
所以C的蒙日圆方程为：x2＋y2＝3b2，A正确；
对于B，由l方程知：l过P(b，a)，又P满足蒙日圆方程，所以P(b，a)在圆x2＋y2＝3b2上，过P(b，a)，当A，B恰为过P作椭圆两条互相垂直切线的切点时， eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(PB,\s\up6(→)) ＝0，B错误；
对于C，因为A在椭圆上，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，
所以d－|AF2|＝d－(2a－|AF1|)＝d＋|AF1|－2a；
当F1A⊥l时，d＋|AF1|取得最小值，最小值为F1到直线l的距离，
又F1到直线l的距离d′＝ eq \f(|－bc－a2－b2|,\r(a2＋b2)) ＝ eq \f(|－b2－2b2－b2|,\r(3)b) ＝ eq \f(4\r(3),3) b，
所以(d－|AF2|)min＝ eq \f(4\r(3),3) b－2a，C错误；
对于D，当矩形MNGH的四条边均与C相切时，蒙日圆为矩形MNGH的外接圆，
所以矩形MNGH的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH的长和宽分别为x，y，则x2＋y2＝12b2，所以矩形MNGH的面积S＝xy≤ eq \f(x2＋y2,2) ＝6b2(当且仅当x＝y＝ eq \r(6) b时取等号)，即矩形MNGH面积的最大值为6b2，D正确．
三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知平面向量a＝(1， eq \r(3) )，b＝(－2，m)，若a，b的夹角为 eq \f(π,3) ，则m＝________．
【解析】因为a·b＝|a||b|cs ，所以－2＋ eq \r(3) m＝2 eq \r(m2＋4) × eq \f(1,2) ，平方整理得m2－2 eq \r(3) m＝0，所以m＝0或m＝2 eq \r(3) ，因为－2＋ eq \r(3) m>0，所以m＝2 eq \r(3) .
答案：2 eq \r(3)
14．从2，3，4，5，6，7，8，9中选取两个不同的数字分别作为对数表达式lgab的底数和真数，则得到的对数表达式的值为正整数的概率为________.
【解析】从2，3，4，5，6，7，8，9中选取一个数字作底数，余下的7个数字中选取一个作真数，可以得到8×7＝56个不同的对数表达式，其中只有lg24＝2，lg28＝3，lg39＝2，这三个对数值为正整数，所以所求的概率为 eq \f(3,56) .
答案： eq \f(3,56)
15．已知函数f(x)＝2f′(0)ex－x2＋x，点M是函数f(x)的图象在x＝0处的切线上一点，点N是函数y＝x2上一点，则|MN|的最小值为________.
【解析】由f(x)＝2f′(0)ex－x2＋x得，f′(x)＝2f′(0)ex－2x＋1，所以f′(0)＝2f′(0)e0＋1，解得f′(0)＝－1.所以f(x)＝－2ex－x2＋x，f(0)＝－2，k＝f′(0)＝－1，函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程为x＋y＋2＝0，设N(x0，y0)，y′＝2x.当过N(x0，y0)的切线与y＝－x－2平行时|MN|最小．所以2x0＝－1，可得x0＝－ eq \f(1,2) ，此时y0＝ eq \f(1,4) .所以|MN|的最小值为 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(1,4)＋2)),\r(2)) ＝ eq \f(7\r(2),8) .
答案： eq \f(7\r(2),8)
16．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP＝60°，则∠AOP的余弦值为________．
【解析】由球的性质知CD⊥平面AOB，如图，
在平面α内作OE⊥CD交半球面于E，
则OE在平面AOB内，∠BOE＝45°，
由AO⊥α知AO⊥EO，所以∠AOB＝45°，
在半圆面CBD内作PQ∥CD交OB于Q，连接QA，则PQ⊥平面AOB，所以PQ⊥AQ，
又∠POB＝60°，所以PQ＝R sin 60°＝ eq \f(\r(3),2) R，OQ＝R cs 60°＝ eq \f(1,2) R，
在△OAQ中，
AQ2＝OQ2＋OA2－2OA·OQ cs ∠AOQ
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)R)) eq \s\up12(2) ＋R2－2·R· eq \f(1,2) R cs 45°
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)－\f(\r(2),2))) R2，
所以AP2＝PQ2＋AQ2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)R)) eq \s\up12(2) ＋( eq \f(5,4) － eq \f(\r(2),2) )R2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(\r(2),2))) R2，
在△AOP中，cs ∠AOP＝ eq \f(OP2＋OA2－AP2,2OP·OA)
＝ eq \f(R2＋R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(\r(2),2)))R2,2R2) ＝ eq \f(\r(2),4) .
答案： eq \f(\r(2),4)