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2022版高考数学小题标准练（十一）

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这是一份2022版高考数学小题标准练（十一），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

高考小题标准练(十一)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x∈Z|x2－2x－3<0}，则A∩B＝( )
A．[1，2] B．(－1，3)
C．{1} D．{1，2}
【解析】选D.因为B＝{x∈Z|x2－2x－3<0}＝{x∈Z|－12．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax，x≤1,lgax，x>1)) (a>0且a≠1)，若f(1)＝2，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))))) ＝( )
A．－1 B．－ eq \f(1,2)
C． eq \f(1,2) D． eq \r(2)
【解析】选C.函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax，x≤1,lgax，x>1)) (a>0且a≠1)，f(1)＝a＝2，
则f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x，x≤1,lg2x，x>1)) ，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) ＝2 eq \s\up6(\f(1,2)) >1，
则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\s\up6(\f(1,2)))) ＝lg22 eq \s\up6(\f(1,2)) ＝ eq \f(1,2) .
3．设向量a，b满足|a＋2b|＝5，|a|＝2，|b|＝3，则a，b夹角的余弦值为( )
A． eq \f(5,8) B．－ eq \f(5,8) C． eq \f(3,5) D．－ eq \f(1,3)
【解析】选B.由|a＋2b|＝5两边平方得a2＋4|a|·|b|cs ＋4b2＝25，
所以cs ＝－ eq \f(5,8) .
4．已知双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋2y－1＝0垂直，则双曲线的离心率等于( )
A． eq \r(3) B． eq \r(5) C．3 D． eq \f(\r(5),2)
【解析】选B.双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝± eq \f(b,a) x，由一条渐近线与直线x＋2y－1＝0垂直，可得－ eq \f(1,2) × eq \f(b,a) ＝－1，即有b＝2a，c＝ eq \r(a2＋b2) ＝ eq \r(5) a，可得e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \r(5) .
5．在一个底面半径为6 cm，高为7 cm的圆柱形烧杯内注入一些水，水面高度为4 cm，将3个完全相同的铁球放入烧杯内，水面恰好与烧杯上口平齐，则小球的半径为( )
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．7 cm
【解析】选A.设小球的半径为R，因为3个小球的体积恰好等于水面上升的高度对应的圆柱体积，所以3× eq \f(4πR3,3) ＝π×62×3，所以R3＝27，R＝3.
6．在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,x))) eq \s\up12(6) 的展开式中，各项系数之和为A，x2的系数为B，则A＋B等于( )
A．4 096 B．4 231
C．2 019 D．2 288
【解析】选B.把x＝1代入表达式，得A＝46＝4 096，x2的系数为B＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) 32＝135，
所以A＋B＝4 231.
7．如果椭圆 eq \f(x2,36) ＋ eq \f(y2,9) ＝1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A．x－2y＝0 B．x＋2y－4＝0
C．2x＋3y－12＝0 D．x＋2y－8＝0
【解析】选D.设这条弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k＝ eq \f(y1－y2,x1－x2) ，
则 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,36) ＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,9) ＝1， eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,36) ＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,9) ＝1，
两式相减得： eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,36) ＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,9) ＝0，
所以 eq \f(（x1－x2）（x1＋x2）,36) ＋ eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,9) ＝0，
变形得： eq \f(x1＋x2,36) ＋ eq \f(y1＋y2,9) k＝0，又弦中点为(4，2)，故k＝－ eq \f(1,2) .
故这条弦所在的直线方程为y－2＝－ eq \f(1,2) (x－4)即x＋2y－8＝0.
8．定义函数g(x)为不大于x的最大整数，对于函数f(x)＝x－g(x)，有以下四个命题：
①f(202 1.67)＝0.67，②在每一个区间[k，k＋1)，k∈Z上f(x)都是增函数，
③f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5))) A．③④ B．①③④
C．②④ D．①②④
【解析】选D.画出f(x)＝x－g(x)的图象如图，
可知f(x)是最小正周期为1的函数，当x∈[0，1)时，f(x)＝x，所以f(202 1.67)＝f(0.67)＝0.67，所以①②④都是正确的，因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5))) >f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) ，所以③是错误的．
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知复数z1＝ eq \f(2,－1＋i) (i为虚数单位)，下列说法正确的是( )
A．z1对应的点在第三象限
B．z1的虚部为－1
C．z eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(1)) ＝4
D．满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上
【解析】选AB.由题意，复数z1＝ eq \f(2,－1＋i) ＝ eq \f(2（－1－i）,（－1＋i）（－1－i）) ＝－1－i，所以复数z1在复平面内对应的点(－1，－1)位于第三象限，所以A正确；由z1＝－1－i，可得复数的虚部为－1，所以B正确；由z eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(1)) ＝(－1－i)4＝[(－1－i)2]2＝(2i)2＝－4，所以C不正确；由|z1|＝ eq \r(（－1）2＋（－1）2) ＝ eq \r(2) ，所以满足|z|＝|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，半径为 eq \r(2) 的圆上，所以D不正确．
10．已知函数f(x)＝2sin x－sin 2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的周期为2π
B．y＝f(x)的图象关于x＝ eq \f(π,2) 对称
C．f(x)的最大值为 eq \f(3\r(3),2)
D．f(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(4π,3))) 上单调递减
【解析】选ACD.由于f(x＋2π)＝2sin (x＋2π)－sin 2(x＋2π)＝2sin x－sin 2x＝f(x)，故A正确；由于f(π－x)＝2sin (π－x)－sin 2(π－x)＝2sin x＋sin 2x≠f(x)，
即y＝f(x)的图象不关于x＝ eq \f(π,2) 对称，故B错误；
f′(x)＝2cs x－2cs 2x＝2cs x－2(2cs2x－1)＝－4cs2x＋2csx＋2
＝－4(cs x－1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x＋\f(1,2))) .
当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)π＋2kπ，\f(2,3)π＋2kπ)) ，k∈Z时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；当x∈[－π＋2kπ，－ eq \f(2,3) π＋2kπ]或x∈[ eq \f(2π,3) ＋2kπ，π＋2kπ]，k∈Z时，f′(x)≤0，函数f(x)单调递减；所以fmax(x)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3))) ＝2sin eq \f(2π,3) －sin 2× eq \f(2π,3) ＝ eq \f(3\r(3),2) ，故C正确；由C项分析可知，f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(4π,3))) 上单调递减，故D正确．
11．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，C1D1的中点，G为线段BC上的动点(不含端点)，则下列结论中正确的是( )
A.AC∥平面EFG
B．存在点G使得EF⊥FG
C．存在点G使得异面直线AB与EG所成的角为60°
D．三棱锥GEFD1的体积为定值
【解析】选ABD.如图，连接AC，易证EF∥AC，AC⊄平面EFG，则有AC∥平面EFG，故A正确；
设CD中点为M，若G为BC中点，则有AC⊥MG，AC⊥MF，MG∩MF＝M，
则AC⊥平面MFG，则AC⊥FG，因为EF∥AC，所以EF⊥FG，故B正确；设正方体棱长为2，取B1C1中点为N，连接EN，因为EN∥AB，所以异面直线AB与EG所成的角即为∠NEG＝α，在直角三角形NEG中，tan α＝ eq \f(NG,EN) < eq \f(NB,EN) ＝ eq \f(\r(5),2) < eq \r(3) ，即α<60°，故C错误；易知点G到平面EFD1的距离为定值，则三棱锥GEFD1的体积为定值，故D正确．
12．1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线．如图，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的 eq \f(1,3) 为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的 eq \f(1,3) 擦掉，得到第2个图形，重复上面的步骤，得到第3个图形．这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线．云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”．下列说法正确的是( )
A．第4个图形的边长为 eq \f(1,81)
B．记第n个图形的边数为an，则an＋1＝4an
C．记第n个图形的周长为bn，则bn＝3· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3))) eq \s\up12(n－1)
D．记第n个图形的面积为Sn，则对任意的n∈N＋，存在正实数M，使得Sn【解析】选BCD.由题意，各个图形的边长成首项为1，且q1＝ eq \f(1,3) 的等比数列，则第n个图形的边长为cn＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(n－1) ，则c4＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(3) ＝ eq \f(1,27) ，所以A错误；
由各个图形的边数也成等比数列且q2＝4，所以an＝3·4n－1，所以B正确；
由第n个图形的周长为bn，可得周长bn＝ancn＝3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3))) eq \s\up12(n－1) ，所以C正确；
当n→＋∞时，图形无限接近于圆，可得Sn三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，sin A(sin A－sin C)＝sin2B－sin2C.则B的大小为________．
【解析】由正弦定理 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) 和已知条件得a(a－c)＝b2－c2，得a2＋c2－b2＝ac，所以cs B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ＝ eq \f(1,2) ，
又B∈(0，π)，得B＝ eq \f(π,3) .
答案： eq \f(π,3)
14．数列{an}中，a1＝ eq \f(1,2) ， eq \f(n,an＋1) ＝n(n＋1)＋ eq \f(n＋1,an) (n∈N*)，设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝________.
【解析】因为 eq \f(n,an＋1) ＝n(n＋1)＋ eq \f(n＋1,an) ，所以在两边同除以n(n＋1)，得 eq \f(1,（n＋1）an＋1) － eq \f(1,nan) ＝1，又因为a1＝ eq \f(1,2) ，所以 eq \f(1,1×\f(1,2)) ＝2，
所以数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,nan))) 是以1为公差，首项为2的等差数列，
所以 eq \f(1,nan) ＝n＋1，
所以an＝ eq \f(1,n（n＋1）) ＝ eq \f(1,n) － eq \f(1,n＋1) ，
所以Sn＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1)－\f(1,2))) ＋( eq \f(1,2) － eq \f(1,3) )＋( eq \f(1,3) － eq \f(1,4) )＋…＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))) ＝1－ eq \f(1,n＋1) ＝ eq \f(n,n＋1) .
答案： eq \f(n,n＋1)
15．为培养中学生对航空航天的兴趣爱好，某学校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作，前五天的报名情况为：第1天3人，第2天6人，第3天10人，第4天13人，第5天18人，通过数据分析已知，报名人数与报名时间具有线性相关关系．已知第x天的报名人数为y，则y关于x的线性回归方程为______________，该社团为了解中学生对航空航天的兴趣爱好和性别是否有关系，随机调查了100名学生，并得到如下2×2列联表：
请根据上面的列联表，在概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别________(填“有”或“无”)关系．
参考公式及数据：回归方程＝＋x中斜率的最小二乘估计公式为：
＝ eq \f(\i\su(i＝1,n, )\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xi－\x\t(x)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(yi－\x\t(y))),\i\su(i＝1,n,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xi－\x\t(x)))2) ＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\t(x)·\x\t(y),\i\su(i＝1,n,x) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －n\x\t(x)2) ，＝ eq \x\t(y) － eq \x\t(x) ；
K2＝ eq \f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ad－bc))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋d))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋c))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋d))) ，其中n＝a＋b＋c＋d.
【解析】由题意，计算 eq \x\t(x) ＝ eq \f(1,5) ×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
eq \x\t(y) ＝ eq \f(1,5) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋6＋10＋13＋18)) ＝10，
所以＝＝ eq \f(187－5×3×10,55－5×9) ＝ eq \f(37,10) ＝3.7，＝ eq \x\t(y) － eq \x\t(x) ＝10－3.7×3＝－1.1，所以y关于x的线性回归方程为＝3.7x－1.1，由列联表数据可得K2＝ eq \f(100\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(45×20－5×30))2,75×25×50×50) ＝12，
因为12>10.828，
所以，在犯错误的概率不超过0.001的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”．
答案：＝3.7x－1.1 有
16．已知函数f(x)＝ex－e－x－2x，当x>0时，f(2x)－4tf(x)>0，则实数t的取值范围是________.
【解析】因为f(x)＝ex－e－x－2x，
所以f(0)＝0，f′(x)＝ex＋e－x－2≥2 eq \r(ex·e－x) －2＝0，
所以f(x)在R上是增函数，
所以当x>0时f(x)>0，
所以由f(2x)－4tf(x)>0，
构造函数g(x)＝f(2x)－4tf(x)
＝e2x－e－2x－4x－4t(ex－e－x－2x)，x>0，
所以g′(x)＝2e2x＋2e－2x－4－4t(ex＋e－x－2)＝2(ex＋e－x－2)(ex＋e－x－2t＋2)
因为ex＋e－x>2，所以只需要讨论ex＋e－x－2t＋2的符号，从而确定g′(x)的符号．
下面对t分类讨论：当t≤2时，g′(x)≥0，g(x)在R上是增函数，所以当x>0时，g(x)>0恒成立．
当t>2时，令g′(x)＝0，即ex＋e－x－2t＋2＝0，
解得x＝ln (t－1＋ eq \r(t2－2t) )，
所以当0又g(0)＝0，所以当0综上所述，满足条件的实数t的取值范围为t≤2.
答案：(－∞，2]
有兴趣
无兴趣
合计
男生
45
5
50
女生
30
20
50
合计
75
25
100
P(K2
≥k)
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828