2019年浙江省杭州市中考数学模拟试卷【含答案】

这是一份2019年浙江省杭州市中考数学模拟试卷【含答案】，共26页。试卷主要包含了仔细选一选，认真填一填等内容，欢迎下载使用。

2019年浙江省杭州市中考数学模拟试卷
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）5的相反数是（　　）
A． B．5 C．﹣ D．﹣5
2．（3分）我国首部国产科幻灾难大片《流浪地球》于2019年2月5日在我国内地上映，自上映以来票房累计突破46.7亿元，将46.7亿元用科学记数法表示为（　　）
A．0.467×1010 B．46.7×108 C．4.67×109 D．4.67×1010
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C．（﹣3xy3）2＝9x2y5 D．
4．（3分）若2x+5＜0．则（　　）
A．x+1＜0 B．1﹣x＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12
5．（3分）选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°．求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°．”时，应先假设（　　）
A．∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45°
C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45°
6．（3分）小张早晨去学校共用时15分，他跑了一段，走了一段，他跑步的平均速度是250米/分，步行的平均速度是80米/分，他家离学校的距离是2900米，设他跑步的时间为x分，根据题意，可列出的方程是（　　）
A．250x+80（15﹣x）＝2900 B．80x+250（15﹣x）＝2900
C．80x+250x＝2900 D．250x+80（15+x）＝2900
7．（3分）如表是某校合唱团成员的年龄分布，对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　）
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
15
x
10﹣x
A．平均数、中位数 B．众数、方差
C．平均数、方差 D．众数、中位数
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）已知二次函数y1＝ax2+ax﹣1，y2＝x2+bx+1，下列结论一定正确的是（　　）
A．若﹣2＜a＜0＜b，则y2＞y1 B．若﹣2＜a＜b＜0，则y2＞y1
C．若0＜a＜2＜b，则y2＞y1 D．若0＜a＜b＜2，则y2＞y1
10．（3分）已知正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，点E是弧AD上的一点，连接BE，CE，CE交AD于H点，作OG垂直BE于G点，且OG＝，则EH：CH＝（　　）

A． B． C． D．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解m3﹣16m＝　 　．
12．（4分）从，π，，0.5这四个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为　 　．
13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝46°，点P在线段OB上运动，设∠APC＝x°，则x的最小值为　 　，最大值为　 　．

14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E为AB边上一点，将△BEC沿着CE翻折，使点B落在点F处，连接AF，当△AEF为直角三角形时，BE＝　 　．

15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边AB边上的高CD的长为　 　
16．（4分）若二次函数的解析式y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函数过（p，t）点和（p+6，t）点，则t的取值范围是　 　．
三．解答题（共66分）
17．（6分）为了满足学生的个性化需求，新课程改革已经势在必行，某校积极开展拓展性课程建设，大体分为学科、文体、德育、其他等四个框架进行拓展课程设计．为了了解学生喜欢的拓展课程类型，学校随机抽取了部分学生进行调查，调查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图（未绘制完整）．

（1）求调查的学生总人数，并把条形图补充完整并填写扇形图中缺失的数据；
（2）小明同学说：“因为调查的同学中喜欢文体类拓展课程的同学占16%，而喜欢德育类拓展课程的同学仅占12%，所以全校2000名学生中，喜欢文体类拓展课程的同学人数一定比喜欢德育类拓展课程的同学人数多．”你觉得小明说得对吗？为什么？
18．（8分）等腰三角形ABC的周长是10，底边的长为y，腰AB的长为x．
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）求自变量x的取值范围；
（3）腰长AB＝3时，底边的长．
19．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，过点A作直线分别交CB，CD于点E，F，且CE＝CF．
（1）求证：△ACF∽△ABE；
（2）若∠ACD＝45°，AE＝4，求AF的长．

20．（10分）在同一平面直角坐标系中，设一次函数y1＝mx+n（m，n为常数，且m≠0，m≠﹣n）与反比例函数y2＝．
（1）若y1与y2的图象有交点（1，5），且n＝4m，当y1≥5时，y2的取值范围；
（2）若y1与y2的图象有且只有一个交点，求的值．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作∠ADE＝∠A，交AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BC＝15，tanA＝，求DE的长．

22．（12分）已知二次函数y1＝mx2﹣2mx﹣3（m＞0）与一次函数y2＝x+1，令W＝y1﹣y2．
（1）若y1、y2的函数图象交于x轴上的同一点．
①求m的值；
②当x为何值时，W的值最小，试求出该最小值；
（2）当﹣2＜x＜3时，W随x的增大而减小．
①求m的取值范围；
②求证：y1＜y2．
23．（12分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG＝6，EG＝2，求BE的长．


2019年浙江省杭州市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）5的相反数是（　　）
A． B．5 C．﹣ D．﹣5
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：根据相反数的定义有：5的相反数是﹣5．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（3分）我国首部国产科幻灾难大片《流浪地球》于2019年2月5日在我国内地上映，自上映以来票房累计突破46.7亿元，将46.7亿元用科学记数法表示为（　　）
A．0.467×1010 B．46.7×108 C．4.67×109 D．4.67×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：46.7亿＝4.67×109，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C．（﹣3xy3）2＝9x2y5 D．
【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；利用积的乘方和幂的乘方对C进行判断；根据约分对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝2﹣，所以A选项错误；
B、原式＝＝3，所以B选项错误；
A、原式＝9x2y6，所以C选项错误；
A、原式＝＝，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．也考查了整式的运算．
4．（3分）若2x+5＜0．则（　　）
A．x+1＜0 B．1﹣x＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12
【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去5再除以2，不等号的方向不变，即可得到不等式的解集．
【解答】解：∵2x+5＜0
∴移项，得
2x＜﹣5，
系数化1，得
x＜﹣2.5，
∴x+1＜0；
故选：A．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
5．（3分）选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°．求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°．”时，应先假设（　　）
A．∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45°
C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45°
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【解答】解：用反证法证明命题“∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设∠A＞45°，∠B＞45°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反证法，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．
6．（3分）小张早晨去学校共用时15分，他跑了一段，走了一段，他跑步的平均速度是250米/分，步行的平均速度是80米/分，他家离学校的距离是2900米，设他跑步的时间为x分，根据题意，可列出的方程是（　　）
A．250x+80（15﹣x）＝2900 B．80x+250（15﹣x）＝2900
C．80x+250x＝2900 D．250x+80（15+x）＝2900
【分析】设他跑步的时间为x分，则步行的时间为（15﹣x）分钟，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设他跑步的时间为x分，则步行的时间为（15﹣x）分钟，
依题意，得：250x+80（15﹣x）＝2900．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（3分）如表是某校合唱团成员的年龄分布，对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　）
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
15
x
10﹣x
A．平均数、中位数 B．众数、方差
C．平均数、方差 D．众数、中位数
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．
【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x＝10，
则总人数为：5+15+10＝30，
故该组数据的众数为14岁，中位数为：＝14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：D．
【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，△DEF为等边三角形，则α、β、γ之间的关系为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠C，根据三角形的内角和定理求出∠2﹣∠1＝∠α﹣∠γ，根据等边三角形的性质和邻补角定义求出∠2﹣∠1＝∠β﹣∠α，代入上式即可求出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠2+∠γ＝∠1+∠α，
∴∠2﹣∠1＝∠α﹣∠γ，
∵等边△DEF，∴∠5＝∠3＝60°，
∴∠2+∠α＝∠1+∠β＝120°，
∴∠2﹣∠1＝∠β﹣∠α，
∴∠α﹣∠γ＝∠β﹣∠α，
∴2∠α＝∠β+∠γ，
∴α＝，
故选：B．

【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能推出∠2﹣∠1＝∠α﹣∠γ和∠2﹣∠1＝∠β﹣∠α是解此题的关键．
9．（3分）已知二次函数y1＝ax2+ax﹣1，y2＝x2+bx+1，下列结论一定正确的是（　　）
A．若﹣2＜a＜0＜b，则y2＞y1 B．若﹣2＜a＜b＜0，则y2＞y1
C．若0＜a＜2＜b，则y2＞y1 D．若0＜a＜b＜2，则y2＞y1
【分析】先利用y2减去y1，整理，然后由二次函数的二次项系数及二次函数图象与x轴的交点个数与对应的一元二次方程判别式的关系，可得1﹣a＞0，△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＜0，据此对各个选项计算分析即可．
【解答】解：y2﹣y1＝（1﹣a）x2+（b﹣a）x+2
由y2＞y1得y2﹣y1＞0
∴1﹣a＞0，△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＜0
选项A：若﹣2＜a＜0＜b，
则1﹣a＞0，△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a），无法判断△与0的大小关系，故A错误；
选项B：若﹣2＜a＜b＜0，
则1﹣a＞1＞0，
∵0＜b﹣a＜2，
∴△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＜0
故B正确；
选项C：若0＜a＜2＜b，则1﹣a无法确定正负，故C错误；
选项D：同选项C一样，无法确定1﹣a的正负，故D错误．
综上，只有B正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与不等式、二次函数图象与x轴的交点个数与对应的一元二次方程判别式之间的关系，明确上述关系是解题的关键．
10．（3分）已知正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，点E是弧AD上的一点，连接BE，CE，CE交AD于H点，作OG垂直BE于G点，且OG＝，则EH：CH＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接AC、BD、DE，根据垂径定理和三角形中位线定理得到DE＝2OG＝2，根据勾股定理求出BE，利用△CDH∽△BED和△ACH∽△EDH得到成比例线段，计算即可．
【解答】解：连接AC、BD、DE，
∵OG⊥BE，
∴BG＝GE，又BO＝OD，
∴OG＝DE，
则DE＝2OG＝2，
由勾股定理得，BE＝＝8，
∵∠EBD＝∠ECD，∠BED＝∠CDH＝90°，
∴△CDH∽△BED，
∴＝，
∴DH＝＝，
∴AH＝6﹣＝，
CH＝＝，
∵∠CAD＝∠DEC，∠ACE＝∠ADE，
∴△ACH∽△EDH，
∴＝，
则EH＝＝，
∴＝，
故选：B．

【点评】本题考查的是圆周角定理、正方形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解m3﹣16m＝　m（m+4）（m﹣4）　．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝m（m2﹣16）
＝m（m+4）（m﹣4），
故答案为：m（m+4）（m﹣4）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（4分）从，π，，0.5这四个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为　　．
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【解答】解：∵，π，，0.5这四个数中，无理数有π，，
∴选出的这个数是无理数的概率，
故答案为．
【点评】本题考查了概率，正确运用概率公式计算是解题的关键．
13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝46°，点P在线段OB上运动，设∠APC＝x°，则x的最小值为　44°　，最大值为　88°　．

【分析】连接BC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，利用互余计算出∠ABC＝44°，结合图形：当点P在B点时，x取最小值；、当点P在O点时，x取最大值，利用三角形外角性质求最大值．
【解答】解：连接BC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣46°＝44°，
当点P在B点时，x取最小值44°；
当点P在O点时，x取最大值，最大值为2×44°＝88°．
故答案为44°，88°．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E为AB边上一点，将△BEC沿着CE翻折，使点B落在点F处，连接AF，当△AEF为直角三角形时，BE＝　3或6　．

【分析】分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可BE的长．
【解答】解：如图，若∠AEF＝90°，

∵∠B＝∠BCD＝90°＝∠AEF
∴四边形BCFE是矩形
∵将△BEC沿着CE翻折
∴CB＝CF
∴四边形BCFE是正方形
∴BE＝BC＝AD＝6，
如图，若∠AFE＝90°，

∵将△BEC沿着CE翻折
∴CB＝CF＝6，∠B＝∠EFC＝90°，BE＝EF
∵∠AFE+∠EFC＝180°
∴点A，点F，点C三点共线
∴AC＝＝10，
∴AF＝AC﹣CF＝4
∵AE2＝AF2+EF2，
∴（8﹣BE）2＝16+BE2，
∴BE＝3，
（3）若∠EAF＝90°，
∵CD＝8＞CF＝6
∴点F不可能落在直线AD上，
∴不存在∠EAF＝90°，
综上所述：BE＝3或6
【点评】本题主要考查的是翻折的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，依据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边AB边上的高CD的长为　　
【分析】作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中利用正弦的定义可计算出BC＝，再利用勾股定理计算出AC＝，然后利用面积法计算CD的长
【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，

在Rt△ACB中，∵sinA＝＝，
∴BC＝×4＝，
∴AC＝＝，
∵CD•AB＝AC•BC，
∴CD＝＝，
即斜边上的高为．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
16．（4分）若二次函数的解析式y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函数过（p，t）点和（p+6，t）点，则t的取值范围是　≤t≤9　．
【分析】设直线y＝t与抛物线的交点为（x1，0），（x2，0），由题意|x1﹣x2|＝6，由，消去y得到，x2﹣（m+1）x+m﹣t＝0，推出x1+x2＝m+1，x1x2＝m﹣t，由（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，可得（m+1）2﹣4（m﹣t）＝36，推出t＝，设y′＝m2﹣2m，求出y′的取值范围即可解决问题．
【解答】解：设直线y＝t与抛物线的交点为（x1，t），（x2，t），
由题意|x1﹣x2|＝6，
由，消去y得到，x2﹣（m+1）x+m﹣t＝0，
∴x1+x2＝m+1，x1x2＝m﹣t，
∵（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，
∴（m+1）2﹣4（m﹣t）＝36，
∴t＝，
设y′＝m2﹣2m，
∵y′＝（m﹣1）2﹣1，
当1≤m≤2时，﹣1≤y′≤0，
∴≤t≤9，
故答案为≤t≤9．
【点评】本题考查二次函数的性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
三．解答题（共66分）
17．（6分）为了满足学生的个性化需求，新课程改革已经势在必行，某校积极开展拓展性课程建设，大体分为学科、文体、德育、其他等四个框架进行拓展课程设计．为了了解学生喜欢的拓展课程类型，学校随机抽取了部分学生进行调查，调查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图（未绘制完整）．

（1）求调查的学生总人数，并把条形图补充完整并填写扇形图中缺失的数据；
（2）小明同学说：“因为调查的同学中喜欢文体类拓展课程的同学占16%，而喜欢德育类拓展课程的同学仅占12%，所以全校2000名学生中，喜欢文体类拓展课程的同学人数一定比喜欢德育类拓展课程的同学人数多．”你觉得小明说得对吗？为什么？
【分析】（1）由文体的人数及其百分比可得总人数，总人数乘以学科对应的百分比求得其人数，根据百分比之和等1求得其它对应的百分比，据此可补全图形；
（2）根据样本估计总体思想的应用求解可得．
【解答】解：（1）被调查的总人数为4÷16%＝25（人），
学科的人数为25×32%＝8（人），其它的百分比为1﹣（32%+16%+12%）＝40%，
补全图形如下：

（2）不对，样本容量不够大，无法用局部预测整体．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18．（8分）等腰三角形ABC的周长是10，底边的长为y，腰AB的长为x．
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）求自变量x的取值范围；
（3）腰长AB＝3时，底边的长．
【分析】（1）根据三边之和为周长列出函数关系式即可；
（2）利用三边关系确定自变量的取值范围即可；
（3）代入腰长AB＝3求得底边即可．
【解答】解：（1）由三角形的周长为10，得2x+y＝10，
∴y＝﹣2x+10；
（2）∵x，y是三角形的边长
∴x＞0，y＞0，2x＞y
解得：0＜x＜；
（3）当AB＝3，即x＝3时，y＝﹣2×3+10＝4．
所以腰长AB＝3时，底边的长为4．
【点评】考查了等腰三角形的性质及函数的知识，解题的关键是正确的求得y与x之间的函数关系，难度不大．
19．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，过点A作直线分别交CB，CD于点E，F，且CE＝CF．
（1）求证：△ACF∽△ABE；
（2）若∠ACD＝45°，AE＝4，求AF的长．

【分析】（1）由等腰三角形的性质，等角的补角性质得∠AEB＝∠AFC，垂直的定义，角的和差，同角的余角相等得∠ACF＝∠B，两个对应角相等证明△ACF∽△ABE；
（2）三角函数求得AC＝，两个对应角相等证明△AFD∽△AEC，其性质解得AF的长为．
【解答】解：如图所示：

（1）∵CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CFE，
又∵∠CEF+∠AEB＝180°，
∠CFE+∠AFC＝180°，
∴∠AEB＝∠AFC，
又∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
又∵∠ACB＝∠ACF+∠DCB＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
在△ACF和△ABE中，
，
∴△ACF∽△ABE；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°
∵∠ACD＝45°，
∴AC＝，
又∵△ACF∽△ABE，
∴∠CAF＝∠BAE，
又∵∠CFE＝∠AFD，∠CEF＝∠CFE，
∴∠AFD＝∠AEC，
在△AFD和△AEC中，
，
∴△AFD∽△AEC，
∴，
又∵AE＝4，
∴AF＝＝＝．
【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，对顶角的性质，等腰三角形的性质，垂直的定义，三角函数（或勾股定理），余角的性质和等量代换等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是根据相似三角形的性质求线段的长度．
20．（10分）在同一平面直角坐标系中，设一次函数y1＝mx+n（m，n为常数，且m≠0，m≠﹣n）与反比例函数y2＝．
（1）若y1与y2的图象有交点（1，5），且n＝4m，当y1≥5时，y2的取值范围；
（2）若y1与y2的图象有且只有一个交点，求的值．
【分析】（1）把（1，5）代入一次函数解析式和n＝4m，联立方程组求得反比例函数解析式，然后由反比例函数图象性质解答．
（2）利用反比例函数与一次函数交点的求法得到敢于x的一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0，根据根的判别式△＝0求得2m+n＝0，易得答案．
【解答】解：（1）把（1，5）代入y1＝mx+n，得 m+n＝5．
又∵n＝4m，
∴m＝1，n＝4．
∴y1＝x+4，y2＝．
∴当y1≥5时，x≥1．
此时，0＜y2≤5．

（2）令＝mx+n，得mx2+nx﹣（m+n）＝0．
由题意得，△＝n2+4m（m+n）＝（2m+n）2＝0，即2m+n＝0．
∴＝﹣．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确利用数形结合分析是解题关键．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作∠ADE＝∠A，交AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BC＝15，tanA＝，求DE的长．

【分析】（1）连接OD，如图，利用∠B＝∠ODB，∠ADE＝∠A得到∠ADE+∠ODB＝90°，则∠ODE＝90°，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）先在Rt△ABC中利用正切的定义计算出AC＝20，再根据切线长定理得到ED＝DC，而DE＝AE，所以AE＝CE＝DE＝AC＝10．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
而∠ADE＝∠A，
∴∠ADE+∠ODB＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，tanA＝＝，
∴AC＝×15＝20，
∵ED和EC为⊙O的切线，
∴ED＝DC，
而∠ADE＝∠A，
∴DE＝AE，
∴AE＝CE＝DE＝AC＝10，
即DE的长为10．

【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
22．（12分）已知二次函数y1＝mx2﹣2mx﹣3（m＞0）与一次函数y2＝x+1，令W＝y1﹣y2．
（1）若y1、y2的函数图象交于x轴上的同一点．
①求m的值；
②当x为何值时，W的值最小，试求出该最小值；
（2）当﹣2＜x＜3时，W随x的增大而减小．
①求m的取值范围；
②求证：y1＜y2．
【分析】（1）①直接得出一次函数y2＝x+1过（﹣1，0），进而代入二次函数解析式得出答案；
②直接利用m的值得出W与x的函数关系式，进而得出最值；
（2）①首先表示出二次函数的对称轴，进而二次函数增减性得出m的取值范围；
②首先得出当x＝﹣2时，W的值，进而得出W＜W0≤0，即y1﹣y2＜0，即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵y1、y2的函数图象交于x轴上的同一点，一次函数y2＝x+1过（﹣1，0），
∴二次函数y1＝mx2﹣2mx﹣3（m＞0）过（﹣1，0），
∴0＝m+2m﹣3，
解得：m＝1；

②W＝x2﹣2x﹣3﹣x﹣1＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣）2﹣，
当x＝时，W的值最小，最小值为：﹣；

（2）①解：W＝mx2﹣2mx﹣3﹣x﹣1＝mx2﹣（2m+1）x﹣4，
对称轴为：x＝﹣＝，
因为m＞0，﹣2＜x＜3时，且W随x的增大而减小，
所以，≥3，
所以m≤，
所以0＜m≤，

②证明：当x＝﹣2时，W0＝y1﹣y2＝8m﹣2，
因为﹣2＜x＜3时，W随x的增大而减小．
所以，W＜W0＝8m﹣2，
因为0＜m≤，所以8m﹣2≤0，即W0≤0，
所以W＜W0≤0，即y1﹣y2＜0，
所以y1＜y2．
【点评】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的性质等知识，正确利用二次函数的性质分析是解题关键．
23．（12分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG＝6，EG＝2，求BE的长．

【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF＝∠DFG，从而得到GD＝DF，接下来依据翻折的性质可证明DG＝GE＝DF＝EF；
（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG＝OF＝GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2＝FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；
（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG＝4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE＝AD﹣GH求解即可．
【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF＝∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，
∴∠DGF＝∠DFG．
∴GD＝DF．
∴DG＝GE＝DF＝EF．
∴四边形EFDG为菱形．
（2）EG2＝GF•AF．
理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．

∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF．
∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴，即DF2＝FO•AF．
∵FO＝GF，DF＝EG，
∴EG2＝GF•AF．
（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．

∵EG2＝GF•AF，AG＝6，EG＝2，
∴20＝FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40＝0．
解得：FG＝4，FG＝﹣10（舍去）．
∵DF＝GE＝2，AF＝10，
∴AD＝＝4．
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴，即＝．
∴GH＝．
∴BE＝AD﹣GH＝4﹣＝．
【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2＝FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．
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日期：2020/6/19 16:03:51；用户：西安万向思维数学；邮箱：xianwanxiang005@xyh.com；学号：24602080