广东省茂名市2022届高三模拟数学试题

这是一份广东省茂名市2022届高三模拟数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，单空题，多空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 广东省茂名市2022届高三模拟数学试题题号一二三四五总分得分      一、单选题（本大题共8小题，共40分）已知集合，，，则应满足的条件是A.  B.  C. 或 D. 已知复数，，满足，且复数在复平面内位于第一象限，则A.  B.  C.  D. 已知平面平面，直线，直线，下列结论中不正确的是A.  B.  C.  D. 与不相交已知角的顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上的一点，且，则的值为A.  B.  C.  D. 设等比数列的前项和为，，，则A.  B.  C.  D. 下列根式与分数指数幂的互化正确的是A.  B.
C.  D. 若圆：关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是A.  B.  C.  D. 已知函数，若命题，使是真命题，则实数的取值范围为A.  B. ，
C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20分）以下四个命题中真命题是A. 为了了解名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为
B. 线性回归直线恒过样本点的中心
C. 随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内的概率为
D. 概率值为零的事件是不可能事件正方体中，棱的中点，为棱上的动点，则异面直线与所成角的余弦值可以是A.  B.  C.  D. 已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点点在第一象限、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是                A.  B. 为中点 C.  D. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创辞汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：在此定义下以下结论正确的是A. 已知点，满足的点轨迹围成的图形面积为
B. 已知点，，满足的点轨迹的形状为六边形
C. 已知点，，不存在动点满足方程：
D. 已知点在圆：上，点在直线：上，则、的最小值为三、单空题（本大题共3小题，共15分）已知双曲线：的右顶点为，与轴平行的直线交于，两点，记，若的离心率为，则的取值的集合是______ ．若，则函数的单调递减区间为______ ．已知定义在上的偶函数满足：，且当时，单调递减，给出以下四个命题：；是函数图像的一条对称轴；函数在区间上单调递增；若方程在区间上有两根为，则。以上命题正确的是     。填序号 四、多空题（本大题共1小题，共5分）若数列满足，，则      ；前项的和      用数字作答 五、解答题（本大题共6小题，共70分）如图，在等腰梯形中，，，，，，分别为，，的中点，以为折痕将折起，使点到达点位置平面．
若为直线上任意一点，证明：平面；
若直线与所成角为，求二面角的余弦值．





 如图，棱锥的底面是矩形，平面，．
求证：平面；
求二面角余弦值的大小．


   在北方某城市随机选取一年内天的空气污染指数的监测数据，统计结果如下：   天数   Ⅰ已知污染指数大于为重度污染，若本次抽取样本数据有天是在供暖季，其中有天为重度污染，完成下面的列联表，问有多大把握认为该城市空气重度污染与供暖有关？  非重度污染重度污染合计供暖季   非供暖季   合计  Ⅱ在样本中，从污染指数大于的天中任取天，求至少有天大于的概率．
附注：，


 本题满分分
已知有穷数列共有项整数，首项，设该数列的前项和为，且其中常数求的通项公式；若，数列满足
求证：；
若中数列满足不等式：，求的最大值．

 已知椭圆：离心率为，且经过点．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ设直线与椭圆在轴上方的交点为，为坐标原点，若平行于的直线与椭圆恰有一个公共点，求此公共点的坐标．






 已知函数，其中．
当时，若在区间上的最小值为，求的取值范围；
若对于任意，恒成立，求的取值范围．







答案和解析 1.【答案】【解析】解：集合
当，即：，时，
当时，、不可能相等，故B中的方程要么两个解都是，或两个解都是
由前者得，后者满足条件的不存在
故的取值范围是：．
故选：．
首先化简集合，然后分和两种情况进行讨论，即可得出正确答案．
本题主要考查了一元二次方程的解和集合之间的关系，注意分类讨论．
 2.【答案】
 【解析】解：设，根据得，，
解得：或或．
由且复数在复平面内位于第一象限，可知，
，，

．
故选：．
设，根据，可求得，然后可求得，最后可求得
本题考查复数模及运算，考查数学运算能力，属于中档题．
 3.【答案】
 【解析】解：

A.由平面平面，直线，则，故A正确
B.由平面平面，直线，则，故B正确
C.由平面平面，直线，直线，知：，平行或异面，故C错误，
D.由平面平面，直线，直线，知：，平行或异面，一定不相交．故D正确

故选C．
由平面平面，直线，直线，知，平行或异面．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 4.【答案】
 【解析】解：由任意角的三角函数的定义可得，
解得．
故选：．
由任意角的三角函数的定义，通过，由此解得的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．
 5.【答案】
 【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为，
若，，则，则，
又由，则，
故；
故选：．
根据题意，设等比数列的公比为，由求出公比，进而求出，由等比数列前项和公式计算可得答案．
本题考查等比数列的求和，关键求出和公比，属于基础题．
 6.【答案】
 【解析】解：对于：，故A不成立；
对于：，故B成立；
对于：，故C不成立；
对于：，，故D不成立．
故选：．
根据指数幂的运算法则化简判断即可．
本题考查了指数幂的运算，属于基础题．
 7.【答案】
 【解析】解：圆：化为，圆的圆心坐标为半径为．
圆：关于直线对称，所以在直线上，可得，
即．
点与圆心的距离，
所以点向圆所作切线长：
，当且仅当时弦长最小，最小值为．
故选：．
由题意可知直线经过圆的圆心，推出，的关系，利用与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值．
本题考查直线与圆的位置关系，对称问题，圆的切线方程的应用，考查计算能力．
 8.【答案】
 【解析】【分析】本题考查了不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由于函数是偶函数，因此只考虑函数，若命题，使是真命题，可得，解即可．【解答】解：由于函数是偶函数，因此只考虑函数，若命题，使是真命题，即可得出．
，
，
解得，
故选C．  9.【答案】
 【解析】【分析】本题主要考查系统抽样，线性回归直线，正态分布以及概率的知识，属于中档题．
根据系统抽样的定义进行判断，根据回归直线的性质进行判断，根据正态分布的概率关系进行判断，根据概率和不可能事件的关系进行判断．【解答】解：为了了解名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为，故A错误，
线性回归直线恒过样本点的中心，故B正确，
随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为，
根据对称性可知，在内的概率也为，故C正确，
不可能事件的概率为，但概率值为零的事件是不可能事件不一定正确，故D错误，
故选：．  10.【答案】
 【解析】解：因为正方体中，
所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设边长为，，，，，
则，，
所以，
又因，而，所以，
所以．
故选：．
建立空间直角坐标系，然后写出所需点的坐标，然后利用空间向量的方法求出异面直线与所成角的余弦值，从而可判定选项．
本题主要考查了利用空间向量的方法解决立体几何问题，以及异面直线所成角的求解，同时考查了二次函数的最值，属于中档题．
 11.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查直线和抛物线综合问题，中档题
如图所示：作准线于，轴于，准线于，计算得到，为中点，，，得到答案． 【解答】如图所示：作准线于，轴于，准线于，
 直线的斜率为，
故，，，
故，，，代入抛物线得到；，
故，

故AF，即为中点；又易得，
故；即，
所以，
故；故选：．  12.【答案】
 【解析】解：对于，设，因为，所以，
当时，
当时，；当时，；作出图象如下图所示，

易知这是一个边长为的正方形，所以面积为，故 A 正确
对于，设，因为，所以，
当且时，
，
当时，；当时，；当时，；
作出图象如下图所示，

所以点轨迹是一个六边形，故 B 正确．
对于，设，因为，
所以，解得，所以点的轨迹为两条直线，故 C 错误；
对于，如下图所示，为圆上一点，为直线上一点，过点作轴的平行线交直线与点，过点作轴的垂线交于点，

当点固定时，显然当在，点上方时最小，则
，
又因为，所以，
由几何关系易得当时此时取得最小值，如下图所示

由点到直线的距离公式得，所以
所以，故 D 正确．
故选：．
，直线去绝对值作图；解绝对值方程；先通过固定圆的点来何时最小值，进而让圆上的点动起来再求出的最小值．
本题考查新定义问题，考查分类讨论思想，考查绝对值方程的解法，考查点到直线的距离公式，综合性比较强，属于难题．
 13.【答案】
 【解析】解：的离心率为，
，双曲线：化为，
设，，，
，
．
故答案为：．
利用的离心率为，可得，双曲线：化为，利用向量的数量积公式，即可得出结论．
本题考查双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
 14.【答案】
 【解析】解：


令：
解得：
由于：，
所以：当时，函数的单调递减区间为：
故答案为：
直接对三角函数关系是进行恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用整体思想求函数的单调区间，属于基础题型．
 15.【答案】．
 【解析】试题分析：是定义在上的偶函数，，可得，在，中令得，函数是周期为的周期函数，又当时，单调递减，结合函数的奇偶性画出函数的简图，如图所示．从图中可以得出：为函数图象的一条对称轴；函数在单调递增；若方程在上的两根为，则故均正确．

考点：
函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性；函数的零点与方程的根．
 16.【答案】
 【解析】解：由数列满足，，
数列是等比数列，公比为．
；
前项的和．
故答案分别为：；．
利用等比数列的通项公式及其前项和公式即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式及其前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 17.【答案】证明：连接，，，分别为，，的中点，
，
又平面，平面，
平面，
同理，平面，
平面，平面，且，
平面平面，
平面，
平面；
解：连接，在与中，
由余弦定理可得，，
由与互补，，，
解得，于是，则，．
，直线与所成角为，．
又，，即，
又，、平面，
则平面，
又平面，
平面平面，
为的中点，，且平面平面，
平面．
如图，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．

则，，，
，．
设平面的一个法向量为，
由，取，得．
又平面的一个法向量为，
．
由图可知二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为．
 【解析】本题考查直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．
连接，由三角形中位线定理可得，再由直线与平面平行的判定可得平面，同理，平面，再由平面与平面平行的判定得到平面平面，进一步得到平面；
求解三角形证明，，两两互相垂直，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．
 18.【答案】解：方法一：证：在中，，为正方形，因此．
平面，平面，又平面分
解：由面，知为在平面的射影，又，，知为二面角的平面角．
又，分
方法二：证：建立如图所示的直角坐标系，
则、、
在中，，，
、，
，即，，
又，平面分
解：由得．
设平面的法向量为，则，
即，故平面的法向量可取为
平面，
为平面的法向量．
设二面角的大小为，依题意可得分
 【解析】方法一：证明：然后证明平面．
说明为二面角的平面角．通过求解三角形推出结果即可．
方法二：建立如空间直角坐标系，求出相关点的坐标，通过，然后证明平面．
求出平面的法向量为，平面的法向量，设二面角的大小为，利用空间向量的数量积求解即可．
本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
 19.【答案】解：根据以上数据得到如表：  非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计的观测值，
所以有的把握认为空气重度污染与供暖有关；
污染指数在有天，污染指数大于有天，天中任取天，共有种，至少有天大于，共有天，
所以在样本中，从污染指数大于的天中任取天，至少有天大于的概率为．
 【解析】根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论；
污染指数在有天，污染指数大于有天，天中任取天，共有种，至少有天大于，共有天，即可求出概率．
本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，考查学生的计算能力，比较基础．
 20.【答案】 整数的最大值为。
 【解析】试题分析：   
两式相减得  
当时则，数列的通项公式为
把数列的通项公式代入数列的通项公式，可得

  
数列单调递增，且
则原不等式左边即为

由  可得因此整数的最大值为。
考点：本题主要考查数列的的基础知识，简单不等式的解法。
点评：中档题，本解答从研究的关系入手，确定得到通项公式，从而进一步明确证明了。“分组求和法”、“裂项相消法”、“错位相消法”是高考常常考到数列求和方法。
 21.【答案】解：Ⅰ由已知，分
又，分
解得，分
所以椭圆的方程为分
Ⅱ将代入椭圆方程，
解得，或，
所以，直线的斜率为分
设与直线平行的直线，分
由题意得分
因为与椭圆恰有一个公共点，
所以关于的方程有两个相等的实数根，
所以，分
解得，或，分
当时，，与椭圆公共点的坐标为，
当时，，与椭圆公共点的坐标为分
 【解析】Ⅰ求出，结合离心率，求解，得到椭圆的方程．
Ⅱ求出，设与直线平行的直线，联立直线与椭圆的方程，利用判别式求解，然后推出与椭圆公共点的坐标即可．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 22.【答案】解：函数的定义域为；
当时，，；
令，解得或；
当，即时，在上单调递增；
在上的最小值是，符合题意；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
在上的最小值是，不合题意；
当，即时，在上单调递减，
在上的最小值是，不合题意；
综上所述，的取值范围是；
令，则；
故只需求出使得在上单调递增的的范围即可，
，
当时，，此时在上单调递增；
当时，只需在上恒成立，
，
只需在上恒成立即可，
，
对于函数，过定点，对称轴为，
故只需，解得，
综上所述，的取值范围是．
 【解析】本题考查了利用导数研究函数的最值和单调性，以及导数中的恒成立问题，涉及分类讨论，属较难题．
对求导，并令导函数为，得到或，分类讨论与区间的关系，得到的取值范围；
令，则只需在上单调递增即可；对求导，分类讨论当时与当时的情况，即可得到的取值范围．