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人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用课后练习题
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这是一份人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用课后练习题，共16页。
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.2 应用举例
第1课时 仰角、俯角
一、选择题
1.【2020·长沙】从一艘船上测得海岸上高为42 m的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是( )
A．42 m B．14 m C．21 m D．42 m
2.如图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α,大桥主架的顶端D的仰角为β.已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a,则此时大桥主架顶端离水面的高CD为( )
A.asinα+asinβ B.acosα+acosβ C.atanα+atanβ D.atanα+atanβ
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图,为安全起见,游乐园拟加长滑梯,将其倾斜角由45°降至30°.已知滑梯AB的长为3 m,点D,B,C在同一水平地面上,那么加长后的滑梯AD的长是( )
A.22 m B.23 m C.32 m D.33 m
4.如图,在热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°,45°,热气球C的高度CD为100米,点A,D,B在同一直线上,则A,B两点之间的距离是( )
A.200米 B.2003米 C.2203米 D.100(3+1)米
5.如图，一艘潜水艇在海面下300 m的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960 m到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是( )
A．(480＋300) m B．(960＋300) m C．780 m D．1 260 m
第5题图 第6题图 第7题图
6.【2021·长春】如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A，B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度(BC的长)为( )
A．30sinα米 B．米 C．30cosα米 D．米
7.如图,小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度,他作了如下操作:(1)在点C处放置测角仪,测得旗杆顶的仰角∠ACE=α;(2)量得测角仪的高度CD=a;(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b,利用锐角三角函数解直角三角形的知识,旗杆的高度可表示为( )
A.a+btan α B.a+bsin α C.a+btanα D.a+bsinα
8.如图,一棵珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了,出于对它的保护,需要测量它的高度.现采取以下措施:在地面选取一点C,测得∠BCA=45°,AC=20米,∠BAC=60°,则这棵乌稔树的高AB约为(参考数据:2≈1.4,3≈1.7)( )
A.7米 B.14米 C.20米 D.40米
第8题图 第9题图 第10题图
9.【2020·温州】如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为( )
A．(1.5＋150tan α)米 B.米 C．(1.5＋150sin α)米 D.米
10.【中考·长春】如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为( )
A．800sin α米 B．800tan α米 C．米 D．米
11.【2021·重庆A卷】如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i=1：1.25．若ND=58DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为( )(参考数据：≈1.41，≈1.73)
A.9.0m B.12.8m C.13.1m D.22.7m
第11题图 第12题图
12.【2021·重庆B卷】如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度(或坡比)为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米(点A，B，C，D，E在同一平面内)，在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为( )
(参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19)
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
二、填空题
13.如图,甲、乙是两个高度相等且底面直径之比为1∶2的圆柱形水杯,甲杯装满液体,乙杯是空杯.若把甲杯中的液体全部倒入乙杯,则乙杯中的液面与图中点P的距离是 cm.
第13题图 第14题图 第15题图
14.【2021·天门】如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3 m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10 s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是________m(≈1.732，结果保留整数)．
15.【2021·赤峰】某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度CD为238米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB的长度约为________米(结果保留整数，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)．
16.【2021·广西北部湾经济区】如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为___________米(结果保留根号)．
第16题图 第17题图 第18题图
17.【2021·黄冈】如图，建筑物BC上有一高为8 m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物BC的高约为________m(结果保留小数点后一位；参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)．
18.如图,某城市的电视塔AB坐落在湖边,数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度,在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°,沿射线MB方向前进200 米到达湖边点N处,测得塔尖点A在湖中的倒影点A'的俯角∠A'NB为45°,则电视塔AB的高度为 米.(结果保留根号)
三、解答题
19.高淳固城湖大桥采用H型塔形斜拉桥结构(如图1),图2是从图1抽象出的平面图.测得拉索AB与水平桥面的夹角是45°,拉索CD与水平桥面的夹角是65°,两拉索顶端的距离AC为2米,两拉索底端的距离BD为10米,请求出立柱AH的长.(结果精确到0.1米,参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14)
20.为了测量山坡上的信号塔PQ的高度,某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下,他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°,信号塔底端Q的仰角为30°.沿水平地面向前走100米到达B处,测得信号塔顶端P的仰角是60°,求信号塔PQ的高度.
21.【2021·恩施州】乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B处的俯角是30°，观测乙居民楼楼顶C处的仰角为15°，已知甲居民楼的高为10 m，求乙居民楼的高(参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1 m)．
22.【2021·广元】如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°.已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为15米．
(1)求此时无人机的高度；
(2)在(1)的条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行，问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线(假定点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据：tan 75°＝2＋，tan 15°＝2－，计算结果保留根号)?
23.【2021·宿迁】如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732)．
24.【2021·河北】如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机(看成点P)始终以3 km/min的速度在离地面5 km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机(看成点Q)一直保持在1号机P的正下方.2号机从原点O处沿45°仰角爬升，到4 km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1 min到达B处开始沿直线BC降落，要求
1 min后到达C(10，3)处．
(1)求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
(2)求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
(3)通过计算说明两机距离PQ不超过3 km的时长是多少．
[注：(1)及(2)中不必写s的取值范围]
参考答案
一、选择题
1.【2020·长沙】从一艘船上测得海岸上高为42 m的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是( A )
A．42 m B．14 m C．21 m D．42 m
2.如图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α,大桥主架的顶端D的仰角为β.已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a,则此时大桥主架顶端离水面的高CD为( C )
A.asinα+asinβ B.acosα+acosβ C.atanα+atanβ D.atanα+atanβ
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图,为安全起见,游乐园拟加长滑梯,将其倾斜角由45°降至30°.已知滑梯AB的长为3 m,点D,B,C在同一水平地面上,那么加长后的滑梯AD的长是( C )
A.22 m B.23 m C.32 m D.33 m
4.如图,在热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°,45°,热气球C的高度CD为100米,点A,D,B在同一直线上,则A,B两点之间的距离是( D )
A.200米 B.2003米 C.2203米 D.100(3+1)米
5.如图，一艘潜水艇在海面下300 m的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960 m到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是( A )
A．(480＋300) m B．(960＋300) m C．780 m D．1 260 m
第5题图 第6题图 第7题图
6.【2021·长春】如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A，B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度(BC的长)为( A )
A．30sinα米 B．米 C．30cosα米 D．米
7.如图,小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度,他作了如下操作:(1)在点C处放置测角仪,测得旗杆顶的仰角∠ACE=α;(2)量得测角仪的高度CD=a;(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b,利用锐角三角函数解直角三角形的知识,旗杆的高度可表示为( )
A.a+btan α B.a+bsin α C.a+btanα D.a+bsinα
【答案】A
【解析】 如图,过点C作CF⊥AB于点F,则四边形CDBF是矩形,∠ACF=α,∴BF=CD=a,CF=BD=b.在Rt△ACF中,AF=CF×tanα=btanα,∴AB=BF+AF=a+btanα.
8.如图,一棵珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了,出于对它的保护,需要测量它的高度.现采取以下措施:在地面选取一点C,测得∠BCA=45°,AC=20米,∠BAC=60°,则这棵乌稔树的高AB约为(参考数据:2≈1.4,3≈1.7)( )
A.7米 B.14米 C.20米 D.40米
【答案】B
【解析】 如图,过点B作BH⊥AC于点H.∵∠BCH=45°,∠BHC=90°,∴∠HBC=∠BCH=45°,∴HC=HB.设HC=HB=x 米,∵∠A=60°,∴AH=33x 米.∵AC=20米,∴x+33x=20,∴x=10(3-3),∴AH=33×10(3-3)=10(3-1)(米),∴AB=2AH=20(3-1)≈14(米).
第8题图 第9题图 第10题图
9.【2020·温州】如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为( A )
A．(1.5＋150tan α)米 B.米 C．(1.5＋150sin α)米 D.米
10.【中考·长春】如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为( )
A．800sin α米 B．800tan α米 C．米 D．米
【点拨】由题意可知∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，
∴tan α＝，
∴AB＝＝米．
【答案】D
11.【2021·重庆A卷】如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i=1：1.25．若ND=58DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为( C )(参考数据：≈1.41，≈1.73)
A.9.0m B.12.8m C.13.1m D.22.7m
【解析】解：∵，DF的坡度i=1：1.25，
∴，解得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴顶端M与顶端N的高度差为，
【答案】C
第11题图 第12题图
12.【2021·重庆B卷】如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度(或坡比)为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米(点A，B，C，D，E在同一平面内)，在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为( )
(参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19)
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
【解答】解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，
∴DE：CE＝5：12，
∵DE＝50米，
∴CE＝120米，
∵BC＝150米，
∴BE＝150－120＝30米，
∴AB＝tan50°×30+50
＝85.7米．
【答案】D
二、填空题
13.如图,甲、乙是两个高度相等且底面直径之比为1∶2的圆柱形水杯,甲杯装满液体,乙杯是空杯.若把甲杯中的液体全部倒入乙杯,则乙杯中的液面与图中点P的距离是 6 cm.
第13题图 第14题图 第15题图
14.【2021·天门】如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3 m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10 s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是________m(≈1.732，结果保留整数)．
【答案】20
【点拨】过点A作AH⊥BC于H，过点B作BD垂直于过点C的水平线，垂足为D，如图．
根据题意得∠ACD＝75°，∠BCD＝30°，
AB＝3×10＝30(m)，
∵AB∥CD，∴∠ABH＝∠BCD＝30°.
在Rt△ABH中，AH＝AB＝15 m，
∵tan∠ABH＝，∴BH＝＝＝15(m)．
∵∠ACH＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°，
∴CH＝AH＝15 m，∴BC＝BH＋CH＝(15＋15)m.
在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝≈20(m)．
15.【2021·赤峰】某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度CD为238米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB的长度约为________米(结果保留整数，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)．
【答案】438
【点拨】
由题意得∠CAD＝50°，∠CBD＝45°.
在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝238米．
在Rt△CAD中，tan∠CAD＝，∴AD＝≈200米．
∴AB＝AD＋BD≈200＋238＝438(米)．
16.【2021·广西北部湾经济区】如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为___________米(结果保留根号)．
【点拨】
由题意可得，∠ADB＝60°，∠ACB＝45°，AB＝30米．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝30米．
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝60°，
∴BD＝AB＝10米．
∴CD＝BC－BD＝(30－10)米．
【答案】30－10
第16题图 第17题图 第18题图
17.【2021·黄冈】如图，建筑物BC上有一高为8 m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物BC的高约为________m(结果保留小数点后一位；参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)．
【点拨】在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，则BC＝CD.
设BC＝CD＝x m，则AC＝(x＋8)m.
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝＝，
则x＋8＝x·tan53°，
解得x≈24.2.
故建筑物BC的高约为24.2 m.
【答案】24.2
18.如图,某城市的电视塔AB坐落在湖边,数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度,在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°,沿射线MB方向前进200 米到达湖边点N处,测得塔尖点A在湖中的倒影点A'的俯角∠A'NB为45°,则电视塔AB的高度为 米.(结果保留根号)
【答案】1002
【解析】 连接AN,易证△ABN≌△A'BN,∴A'N=AN,∠ANB=∠A'NB=45°.∵∠AMB=22.5°,
∴∠MAN=22.5°,∴AN=MN=200 米,∴AB=AN·sin∠ANB=200×sin 45°=200×22=1002(米).
三、解答题
19.高淳固城湖大桥采用H型塔形斜拉桥结构(如图1),图2是从图1抽象出的平面图.测得拉索AB与水平桥面的夹角是45°,拉索CD与水平桥面的夹角是65°,两拉索顶端的距离AC为2米,两拉索底端的距离BD为10米,请求出立柱AH的长.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14)
解:设AH的长为x米,则CH的长为(x－2)米.
在Rt△ABH中,AH＝BH·tan 45°,∴BH＝x,
∴DH＝BH－BD＝x－10.
在Rt△CDH中,CH＝DH·tan 65°,
∴x－2≈2.14(x－10),解得x≈17.0.
答:立柱AH的长约为17.0米.
20.为了测量山坡上的信号塔PQ的高度,某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下,他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°,信号塔底端Q的仰角为30°.沿水平地面向前走100米到达B处,测得信号塔顶端P的仰角是60°,求信号塔PQ的高度.
解:延长PQ交直线AB于点M,连接AQ,
∴∠PMA＝90°.
设PM的长为x米,在Rt△PAM中,∠PAM＝45°,
∴AM＝PM＝x米,∴BM＝(x－100)米.
在Rt△PBM中,∵tan ∠PBM＝PMBM,
∴tan 60°＝xx－100＝3,解得x＝50(3+3).
在Rt△QAM中,∵tan ∠QAM＝QMAM,∴QM＝AM·tan ∠QAM＝50(3+3)×tan 30°＝50(3+1)米,
∴PQ＝PM－QM＝100米.
答:信号塔PQ的高度为100米.
21.【2021·恩施州】乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B处的俯角是30°，观测乙居民楼楼顶C处的仰角为15°，已知甲居民楼的高为10 m，求乙居民楼的高(参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1 m)．
解： 如图，作DE⊥BC于点E，CF⊥BD于点F.
在Rt△BED中，BE＝AD＝10 m，∠EDB＝30°，
∴∠EBD＝60°，BD＝2BE＝20 m.
在Rt△CBF中，∠CBF＝60°，∴BF＝BC，CF＝BC.
在Rt△CDF中，∠CDF＝45°，∴DF＝CF＝BC.
∵BD＝BF＋DF，∴BC＋BC＝20. ∴BC＝≈14.6(m)．
答 ：乙居民楼的高约为14.6 m.
22.【2021·广元】如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°.已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为15米．
(1)求此时无人机的高度；
解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示．
则四边形BCFE是矩形．
由题意得AB＝45米，∠DAE＝75°，∠DCF＝45°.
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，tan∠DAE＝，
∴AE＝＝.
∵四边形BCFE是矩形，∴EF＝BC＝15米，FC＝BE.
在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°.
∴CF＝DF＝DE－15.
∴AB＝AE＋BE＝＋DE－15＝45.
∴DE＝15(2＋)米．
答：此时无人机的高度为15(2＋)米．
(2)在(1)的条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行，问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线(假定点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据：tan 75°＝2＋，tan 15°＝2－，计算结果保留根号)?
解：∵DE＝15(2＋)米，
∴AE＝＝＝15(米)．
如图，连接AC，过D点作DG∥AB，交AC的延长线于G，作GH⊥AB于H.
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝45米，BC＝15米，
∴tan ∠BAC＝＝＝.
在Rt△AGH中，GH＝DE＝15(2＋)米，
∴AH＝＝＝15(3＋2)(米)，
∴DG＝EH＝AH－AE＝15(3＋2)－15＝30＋30(米)，
(30＋30)÷5＝6＋6(秒)．
答：经过6＋6秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．
23.【2021·宿迁】如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732)．
解：过点A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于点C，如图所示．
设AC＝x米．
由题意得PQ＝5米，∠APC＝30°，∠BQC＝45°.
在Rt△APC中，tan ∠APC＝＝tan 30°＝，
∴PC＝AC＝x米．
在Rt△BCQ中，∠BQC＝45°，
∴QC＝BC＝AC＋AB＝(x＋3)米．
∵PC－QC＝PQ，∴x－(x＋3)＝5，解得x＝4(＋1)．
∴BC＝4(＋1)＋3≈14(米)．
答：无人机飞行的高度约为14米．
24.【2021·河北】如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机(看成点P)始终以3 km/min的速度在离地面5 km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机(看成点Q)一直保持在1号机P的正下方.2号机从原点O处沿45°仰角爬升，到4 km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1 min到达B处开始沿直线BC降落，要求
1 min后到达C(10，3)处．
(1)求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
【思路点拨】由爬升角度为45°，可知OA上的点的横、纵坐标相同，由此得到点A的坐标，用待定系数法可求OA的解析式；利用2号机一直保持在1号机的正下方，可知它们飞行的时间和飞行的水平距离相同，由此可求爬升速度．
解：∵2号机爬升角度为45°，
∴OA上的点的横、纵坐标相同．∴A(4，4)．
设OA的解析式为h＝ks，∴4k＝4.
∴k＝1.
∴OA的解析式为h＝s.
2号机的爬升速度为3km/min.
(2)求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
【思路点拨】设BC的解析式为h＝ms＋n，将点B，C的坐标分别代入即可求得；令h＝0，求得s，即可得到结果．
解：设BC的解析式为h＝ms＋n，由题意得B(7，4)，
∴解得
∴BC的解析式为h＝－s＋.
令h＝0，则s＝19.
∴预计2号机着陆点的坐标为(19，0)．
(3)通过计算说明两机距离PQ不超过3 km的时长是多少．
[注：(1)及(2)中不必写s的取值范围]
【思路点拨】由PQ不超过3 km，可得5－h≤3，利用(1)(2)中的解析式得出关于s的不等式组，确定s的取值范围，可得两机距离PQ不超过3 km的飞行的水平距离，再除以1号机的飞行速度，即可得结果．
解：∵PQ不超过3 km，∴5－h≤3.
∴
解得2≤s≤13.
∴两机距离PQ不超过3 km的时长为(13－2)÷3＝(min)．
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.2 应用举例
第1课时 仰角、俯角
一、选择题
1.【2020·长沙】从一艘船上测得海岸上高为42 m的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是( )
A．42 m B．14 m C．21 m D．42 m
2.如图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α,大桥主架的顶端D的仰角为β.已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a,则此时大桥主架顶端离水面的高CD为( )
A.asinα+asinβ B.acosα+acosβ C.atanα+atanβ D.atanα+atanβ
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图,为安全起见,游乐园拟加长滑梯,将其倾斜角由45°降至30°.已知滑梯AB的长为3 m,点D,B,C在同一水平地面上,那么加长后的滑梯AD的长是( )
A.22 m B.23 m C.32 m D.33 m
4.如图,在热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°,45°,热气球C的高度CD为100米,点A,D,B在同一直线上,则A,B两点之间的距离是( )
A.200米 B.2003米 C.2203米 D.100(3+1)米
5.如图，一艘潜水艇在海面下300 m的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960 m到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是( )
A．(480＋300) m B．(960＋300) m C．780 m D．1 260 m
第5题图 第6题图 第7题图
6.【2021·长春】如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A，B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度(BC的长)为( )
A．30sinα米 B．米 C．30cosα米 D．米
7.如图,小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度,他作了如下操作:(1)在点C处放置测角仪,测得旗杆顶的仰角∠ACE=α;(2)量得测角仪的高度CD=a;(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b,利用锐角三角函数解直角三角形的知识,旗杆的高度可表示为( )
A.a+btan α B.a+bsin α C.a+btanα D.a+bsinα
8.如图,一棵珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了,出于对它的保护,需要测量它的高度.现采取以下措施:在地面选取一点C,测得∠BCA=45°,AC=20米,∠BAC=60°,则这棵乌稔树的高AB约为(参考数据:2≈1.4,3≈1.7)( )
A.7米 B.14米 C.20米 D.40米
第8题图 第9题图 第10题图
9.【2020·温州】如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为( )
A．(1.5＋150tan α)米 B.米 C．(1.5＋150sin α)米 D.米
10.【中考·长春】如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为( )
A．800sin α米 B．800tan α米 C．米 D．米
11.【2021·重庆A卷】如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i=1：1.25．若ND=58DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为( )(参考数据：≈1.41，≈1.73)
A.9.0m B.12.8m C.13.1m D.22.7m
第11题图 第12题图
12.【2021·重庆B卷】如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度(或坡比)为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米(点A，B，C，D，E在同一平面内)，在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为( )
(参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19)
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
二、填空题
13.如图,甲、乙是两个高度相等且底面直径之比为1∶2的圆柱形水杯,甲杯装满液体,乙杯是空杯.若把甲杯中的液体全部倒入乙杯,则乙杯中的液面与图中点P的距离是 cm.
第13题图 第14题图 第15题图
14.【2021·天门】如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3 m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10 s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是________m(≈1.732，结果保留整数)．
15.【2021·赤峰】某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度CD为238米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB的长度约为________米(结果保留整数，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)．
16.【2021·广西北部湾经济区】如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为___________米(结果保留根号)．
第16题图 第17题图 第18题图
17.【2021·黄冈】如图，建筑物BC上有一高为8 m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物BC的高约为________m(结果保留小数点后一位；参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)．
18.如图,某城市的电视塔AB坐落在湖边,数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度,在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°,沿射线MB方向前进200 米到达湖边点N处,测得塔尖点A在湖中的倒影点A'的俯角∠A'NB为45°,则电视塔AB的高度为 米.(结果保留根号)
三、解答题
19.高淳固城湖大桥采用H型塔形斜拉桥结构(如图1),图2是从图1抽象出的平面图.测得拉索AB与水平桥面的夹角是45°,拉索CD与水平桥面的夹角是65°,两拉索顶端的距离AC为2米,两拉索底端的距离BD为10米,请求出立柱AH的长.(结果精确到0.1米,参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14)
20.为了测量山坡上的信号塔PQ的高度,某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下,他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°,信号塔底端Q的仰角为30°.沿水平地面向前走100米到达B处,测得信号塔顶端P的仰角是60°,求信号塔PQ的高度.
21.【2021·恩施州】乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B处的俯角是30°，观测乙居民楼楼顶C处的仰角为15°，已知甲居民楼的高为10 m，求乙居民楼的高(参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1 m)．
22.【2021·广元】如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°.已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为15米．
(1)求此时无人机的高度；
(2)在(1)的条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行，问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线(假定点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据：tan 75°＝2＋，tan 15°＝2－，计算结果保留根号)?
23.【2021·宿迁】如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732)．
24.【2021·河北】如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机(看成点P)始终以3 km/min的速度在离地面5 km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机(看成点Q)一直保持在1号机P的正下方.2号机从原点O处沿45°仰角爬升，到4 km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1 min到达B处开始沿直线BC降落，要求
1 min后到达C(10，3)处．
(1)求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
(2)求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
(3)通过计算说明两机距离PQ不超过3 km的时长是多少．
[注：(1)及(2)中不必写s的取值范围]
参考答案
一、选择题
1.【2020·长沙】从一艘船上测得海岸上高为42 m的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是( A )
A．42 m B．14 m C．21 m D．42 m
2.如图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α,大桥主架的顶端D的仰角为β.已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a,则此时大桥主架顶端离水面的高CD为( C )
A.asinα+asinβ B.acosα+acosβ C.atanα+atanβ D.atanα+atanβ
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图,为安全起见,游乐园拟加长滑梯,将其倾斜角由45°降至30°.已知滑梯AB的长为3 m,点D,B,C在同一水平地面上,那么加长后的滑梯AD的长是( C )
A.22 m B.23 m C.32 m D.33 m
4.如图,在热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°,45°,热气球C的高度CD为100米,点A,D,B在同一直线上,则A,B两点之间的距离是( D )
A.200米 B.2003米 C.2203米 D.100(3+1)米
5.如图，一艘潜水艇在海面下300 m的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960 m到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是( A )
A．(480＋300) m B．(960＋300) m C．780 m D．1 260 m
第5题图 第6题图 第7题图
6.【2021·长春】如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A，B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度(BC的长)为( A )
A．30sinα米 B．米 C．30cosα米 D．米
7.如图,小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度,他作了如下操作:(1)在点C处放置测角仪,测得旗杆顶的仰角∠ACE=α;(2)量得测角仪的高度CD=a;(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b,利用锐角三角函数解直角三角形的知识,旗杆的高度可表示为( )
A.a+btan α B.a+bsin α C.a+btanα D.a+bsinα
【答案】A
【解析】 如图,过点C作CF⊥AB于点F,则四边形CDBF是矩形,∠ACF=α,∴BF=CD=a,CF=BD=b.在Rt△ACF中,AF=CF×tanα=btanα,∴AB=BF+AF=a+btanα.
8.如图,一棵珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了,出于对它的保护,需要测量它的高度.现采取以下措施:在地面选取一点C,测得∠BCA=45°,AC=20米,∠BAC=60°,则这棵乌稔树的高AB约为(参考数据:2≈1.4,3≈1.7)( )
A.7米 B.14米 C.20米 D.40米
【答案】B
【解析】 如图,过点B作BH⊥AC于点H.∵∠BCH=45°,∠BHC=90°,∴∠HBC=∠BCH=45°,∴HC=HB.设HC=HB=x 米,∵∠A=60°,∴AH=33x 米.∵AC=20米,∴x+33x=20,∴x=10(3-3),∴AH=33×10(3-3)=10(3-1)(米),∴AB=2AH=20(3-1)≈14(米).
第8题图 第9题图 第10题图
9.【2020·温州】如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为( A )
A．(1.5＋150tan α)米 B.米 C．(1.5＋150sin α)米 D.米
10.【中考·长春】如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为( )
A．800sin α米 B．800tan α米 C．米 D．米
【点拨】由题意可知∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，
∴tan α＝，
∴AB＝＝米．
【答案】D
11.【2021·重庆A卷】如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i=1：1.25．若ND=58DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为( C )(参考数据：≈1.41，≈1.73)
A.9.0m B.12.8m C.13.1m D.22.7m
【解析】解：∵，DF的坡度i=1：1.25，
∴，解得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴顶端M与顶端N的高度差为，
【答案】C
第11题图 第12题图
12.【2021·重庆B卷】如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度(或坡比)为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米(点A，B，C，D，E在同一平面内)，在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为( )
(参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19)
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
【解答】解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，
∴DE：CE＝5：12，
∵DE＝50米，
∴CE＝120米，
∵BC＝150米，
∴BE＝150－120＝30米，
∴AB＝tan50°×30+50
＝85.7米．
【答案】D
二、填空题
13.如图,甲、乙是两个高度相等且底面直径之比为1∶2的圆柱形水杯,甲杯装满液体,乙杯是空杯.若把甲杯中的液体全部倒入乙杯,则乙杯中的液面与图中点P的距离是 6 cm.
第13题图 第14题图 第15题图
14.【2021·天门】如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3 m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10 s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是________m(≈1.732，结果保留整数)．
【答案】20
【点拨】过点A作AH⊥BC于H，过点B作BD垂直于过点C的水平线，垂足为D，如图．
根据题意得∠ACD＝75°，∠BCD＝30°，
AB＝3×10＝30(m)，
∵AB∥CD，∴∠ABH＝∠BCD＝30°.
在Rt△ABH中，AH＝AB＝15 m，
∵tan∠ABH＝，∴BH＝＝＝15(m)．
∵∠ACH＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°，
∴CH＝AH＝15 m，∴BC＝BH＋CH＝(15＋15)m.
在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝≈20(m)．
15.【2021·赤峰】某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度CD为238米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB的长度约为________米(结果保留整数，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)．
【答案】438
【点拨】
由题意得∠CAD＝50°，∠CBD＝45°.
在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝238米．
在Rt△CAD中，tan∠CAD＝，∴AD＝≈200米．
∴AB＝AD＋BD≈200＋238＝438(米)．
16.【2021·广西北部湾经济区】如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为___________米(结果保留根号)．
【点拨】
由题意可得，∠ADB＝60°，∠ACB＝45°，AB＝30米．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝30米．
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝60°，
∴BD＝AB＝10米．
∴CD＝BC－BD＝(30－10)米．
【答案】30－10
第16题图 第17题图 第18题图
17.【2021·黄冈】如图，建筑物BC上有一高为8 m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物BC的高约为________m(结果保留小数点后一位；参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)．
【点拨】在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，则BC＝CD.
设BC＝CD＝x m，则AC＝(x＋8)m.
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝＝，
则x＋8＝x·tan53°，
解得x≈24.2.
故建筑物BC的高约为24.2 m.
【答案】24.2
18.如图,某城市的电视塔AB坐落在湖边,数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度,在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°,沿射线MB方向前进200 米到达湖边点N处,测得塔尖点A在湖中的倒影点A'的俯角∠A'NB为45°,则电视塔AB的高度为 米.(结果保留根号)
【答案】1002
【解析】 连接AN,易证△ABN≌△A'BN,∴A'N=AN,∠ANB=∠A'NB=45°.∵∠AMB=22.5°,
∴∠MAN=22.5°,∴AN=MN=200 米,∴AB=AN·sin∠ANB=200×sin 45°=200×22=1002(米).
三、解答题
19.高淳固城湖大桥采用H型塔形斜拉桥结构(如图1),图2是从图1抽象出的平面图.测得拉索AB与水平桥面的夹角是45°,拉索CD与水平桥面的夹角是65°,两拉索顶端的距离AC为2米,两拉索底端的距离BD为10米,请求出立柱AH的长.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14)
解:设AH的长为x米,则CH的长为(x－2)米.
在Rt△ABH中,AH＝BH·tan 45°,∴BH＝x,
∴DH＝BH－BD＝x－10.
在Rt△CDH中,CH＝DH·tan 65°,
∴x－2≈2.14(x－10),解得x≈17.0.
答:立柱AH的长约为17.0米.
20.为了测量山坡上的信号塔PQ的高度,某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下,他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°,信号塔底端Q的仰角为30°.沿水平地面向前走100米到达B处,测得信号塔顶端P的仰角是60°,求信号塔PQ的高度.
解:延长PQ交直线AB于点M,连接AQ,
∴∠PMA＝90°.
设PM的长为x米,在Rt△PAM中,∠PAM＝45°,
∴AM＝PM＝x米,∴BM＝(x－100)米.
在Rt△PBM中,∵tan ∠PBM＝PMBM,
∴tan 60°＝xx－100＝3,解得x＝50(3+3).
在Rt△QAM中,∵tan ∠QAM＝QMAM,∴QM＝AM·tan ∠QAM＝50(3+3)×tan 30°＝50(3+1)米,
∴PQ＝PM－QM＝100米.
答:信号塔PQ的高度为100米.
21.【2021·恩施州】乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B处的俯角是30°，观测乙居民楼楼顶C处的仰角为15°，已知甲居民楼的高为10 m，求乙居民楼的高(参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1 m)．
解： 如图，作DE⊥BC于点E，CF⊥BD于点F.
在Rt△BED中，BE＝AD＝10 m，∠EDB＝30°，
∴∠EBD＝60°，BD＝2BE＝20 m.
在Rt△CBF中，∠CBF＝60°，∴BF＝BC，CF＝BC.
在Rt△CDF中，∠CDF＝45°，∴DF＝CF＝BC.
∵BD＝BF＋DF，∴BC＋BC＝20. ∴BC＝≈14.6(m)．
答 ：乙居民楼的高约为14.6 m.
22.【2021·广元】如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°.已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为15米．
(1)求此时无人机的高度；
解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示．
则四边形BCFE是矩形．
由题意得AB＝45米，∠DAE＝75°，∠DCF＝45°.
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，tan∠DAE＝，
∴AE＝＝.
∵四边形BCFE是矩形，∴EF＝BC＝15米，FC＝BE.
在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°.
∴CF＝DF＝DE－15.
∴AB＝AE＋BE＝＋DE－15＝45.
∴DE＝15(2＋)米．
答：此时无人机的高度为15(2＋)米．
(2)在(1)的条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行，问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线(假定点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据：tan 75°＝2＋，tan 15°＝2－，计算结果保留根号)?
解：∵DE＝15(2＋)米，
∴AE＝＝＝15(米)．
如图，连接AC，过D点作DG∥AB，交AC的延长线于G，作GH⊥AB于H.
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝45米，BC＝15米，
∴tan ∠BAC＝＝＝.
在Rt△AGH中，GH＝DE＝15(2＋)米，
∴AH＝＝＝15(3＋2)(米)，
∴DG＝EH＝AH－AE＝15(3＋2)－15＝30＋30(米)，
(30＋30)÷5＝6＋6(秒)．
答：经过6＋6秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．
23.【2021·宿迁】如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732)．
解：过点A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于点C，如图所示．
设AC＝x米．
由题意得PQ＝5米，∠APC＝30°，∠BQC＝45°.
在Rt△APC中，tan ∠APC＝＝tan 30°＝，
∴PC＝AC＝x米．
在Rt△BCQ中，∠BQC＝45°，
∴QC＝BC＝AC＋AB＝(x＋3)米．
∵PC－QC＝PQ，∴x－(x＋3)＝5，解得x＝4(＋1)．
∴BC＝4(＋1)＋3≈14(米)．
答：无人机飞行的高度约为14米．
24.【2021·河北】如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机(看成点P)始终以3 km/min的速度在离地面5 km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机(看成点Q)一直保持在1号机P的正下方.2号机从原点O处沿45°仰角爬升，到4 km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1 min到达B处开始沿直线BC降落，要求
1 min后到达C(10，3)处．
(1)求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
【思路点拨】由爬升角度为45°，可知OA上的点的横、纵坐标相同，由此得到点A的坐标，用待定系数法可求OA的解析式；利用2号机一直保持在1号机的正下方，可知它们飞行的时间和飞行的水平距离相同，由此可求爬升速度．
解：∵2号机爬升角度为45°，
∴OA上的点的横、纵坐标相同．∴A(4，4)．
设OA的解析式为h＝ks，∴4k＝4.
∴k＝1.
∴OA的解析式为h＝s.
2号机的爬升速度为3km/min.
(2)求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
【思路点拨】设BC的解析式为h＝ms＋n，将点B，C的坐标分别代入即可求得；令h＝0，求得s，即可得到结果．
解：设BC的解析式为h＝ms＋n，由题意得B(7，4)，
∴解得
∴BC的解析式为h＝－s＋.
令h＝0，则s＝19.
∴预计2号机着陆点的坐标为(19，0)．
(3)通过计算说明两机距离PQ不超过3 km的时长是多少．
[注：(1)及(2)中不必写s的取值范围]
【思路点拨】由PQ不超过3 km，可得5－h≤3，利用(1)(2)中的解析式得出关于s的不等式组，确定s的取值范围，可得两机距离PQ不超过3 km的飞行的水平距离，再除以1号机的飞行速度，即可得结果．
解：∵PQ不超过3 km，∴5－h≤3.
∴
解得2≤s≤13.
∴两机距离PQ不超过3 km的时长为(13－2)÷3＝(min)．
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