2020年福建省百校联考中考数学模拟试卷（5月份）【含答案】

这是一份2020年福建省百校联考中考数学模拟试卷（5月份）【含答案】，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年福建省百校联考中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）下列各数中，其相反数最大的数是（　　）
A．1 B．0 C．2 D．π
2．（4分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（　　）

A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
3．（4分）下列式子中，可以表示为2﹣3的是（　　）
A．22÷25 B．25÷22
C．22×25 D．（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）
4．（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）若两个无理数的乘积是有理数，则称这两个数互为共轭数．下列各数中，与2﹣是共轭数的是（　　）
A．2﹣ B．2+ C．4+ D．4﹣
6．（4分）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，则∠1+∠2的度数为（　　）

A．90° B．45° C．22.5° D．不确定
7．（4分）如图，▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝12、BD＝10、AB＝m，那么m的取值范围是（　　）

A．1＜m＜11 B．2＜m＜22 C．10＜m＜12 D．5＜m＜6
8．（4分）如图，某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到扇形统计图，则下面结论中不正确的是（　　）

A．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，种植收入减少
9．（4分）如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（　　）

A． B．
C． D．
10．（4分）如图，O为坐标原点，△ABO的两个顶点A（6，0），B（6，6），点D在边AB上，AD＝5BD，点C为OA的中点，点P为边OB上的动点，则使四边形PCAD周长最小的点P的坐标为（　　）

A．（3，3） B．（ ，） C．（ ，） D．（5，5）
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分
11．（4分）计算：2﹣1+sin30°＝　 　．
12．（4分）若点A（1，0）在一次函数y＝﹣2x+3b﹣4的图象上，则常数b＝　 　．
13．（4分）说明命题“若x＜2，则＞”是假命题的一个反例，则实数x的取值可以是　 　．
14．（4分）如图，是根据某市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数是　 　．

15．（4分）如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是　 　．

16．（4分）如图所示，反比例函数y＝（＞0）与过点M（﹣2，0）的直线l：y＝kx+b的图象交于A，B两点，若△ABO的面积为，则直线l的解析式为　 　．

三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
18．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，PC∥BD，PD∥AC．求证：四边形ODPC是菱形．

19．（8分）解方程：+＝1．
20．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C都在格点上．
（1）用尺规作出△ABC外接圆的圆心O；
（2）用无刻度的直尺作▱ACDO，并证明CD为⊙O的切线．

21．（8分）如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A．甲从中山路上点B出发，a米/分的速度骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发沿北京路以b米/分的速度步行向东匀速直行．设出发x分钟时，甲、乙两人与点A的距离分别为y1、y2米．已知y1、y2，则y1、y2与x之间的函数关系如图②所示．

（1）分别写出y1、y2关于x的函数表达式（用含有a、b的式子表示）；
（2）求a、b的值．
22．（10分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量，得到频数分布表如下：
表1：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量x
0≤x＜0.1
0.1≤x＜0.2
0.2≤x＜0.3
0.3≤x＜0.4
0.4≤x＜0.5
0.5≤x＜0.6
0.6≤x≤0.7
频数
1
3
2
4
9
26
5
表2：使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量x
0≤x＜0.1
0.1≤x＜0.2
0.2≤x＜0.3
0.3≤x＜0.4
0.4≤x＜0.5
0.5≤x＜0.6
频数
1
5
13
10
16
5
（1）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.3m3的概率；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表．）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），以原点O为圆心、3为半径作圆．P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时t的值．

24．（12分）在正方形ABCD中，AB＝4，O为对角线AC、BD的交点．
（1）如图1，延长OC，使CE＝OC，作正方形OEFG，使点G落在OD的延长线上，连接DE、AG．求证：DE＝AG；
（2）如图2，将问题（1）中的正方形OEFG绕点O逆时针旋转α（0＜α＜180），得到正方形OE′F′G′，连接AE′、E′G′．
①当α＝30时，求点A到E′G′的距离；
②在旋转过程中，求△AE′G′面积的最小值，并求此时的旋转角α．

25．（14分）如图，已知：P（﹣1，0），Q（0，﹣2）．
（1）求直线PQ的函数解析式；
（2）如果M（0，m）是线段OQ上一动点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点M和点P．
①求抛物线y＝ax2+bx+c与x轴另一交点N的坐标（用含a，m的代数式表示）；
②若PN＝时，抛物线y＝ax2+bx+c有最大值m+1，求此时a的值；
③若抛物线y＝ax2+bx+c与直线PQ始终都有两个公共点，求a的取值范围．


2020年福建省百校联考中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）下列各数中，其相反数最大的数是（　　）
A．1 B．0 C．2 D．π
【分析】先求出每个数的相反数，再根据实数的大小比较法则比较即可．
【解答】解：∵1的相反数是﹣1，0的相反数是0，2的相反数是﹣2，π的相反数是﹣π，
又∵﹣π＜﹣2＜﹣1＜0，
∴相反数最大的数是0，
故选：B．
【点评】本题考查了实数的大小比较法则和相反数，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2．（4分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（　　）

A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看是一个田字，
“田”字是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称图形．
3．（4分）下列式子中，可以表示为2﹣3的是（　　）
A．22÷25 B．25÷22
C．22×25 D．（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）
【分析】根据整数指数幂的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝22﹣5＝2﹣3；
（B）原式＝25﹣2＝23；
（C）原式＝22+5＝27；
（D）原式＝（﹣2）3＝﹣23；
故选：A．
【点评】本题考查指数幂的运算，解题的关键是熟练运用指数幂的运算法则，本题属于基础题型．
4．（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可．
【解答】解：由题意得x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
5．（4分）若两个无理数的乘积是有理数，则称这两个数互为共轭数．下列各数中，与2﹣是共轭数的是（　　）
A．2﹣ B．2+ C．4+ D．4﹣
【分析】根据平方差公式计算可得答案．
【解答】解：∵（2﹣）（2+）＝22﹣（）2＝4﹣3＝1，
∴与2﹣是共轭数的是2+，
故选：B．
【点评】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数混合运算顺序和运算法则及平方差公式．
6．（4分）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，则∠1+∠2的度数为（　　）

A．90° B．45° C．22.5° D．不确定
【分析】先过点B作BD∥l，由直线l∥m，可得BD∥l∥m，由两直线平行，内错角相等，可得出∠2＝∠3，∠1＝∠4，故∠1+∠2＝∠3+∠4，由此即可得出结论．
【解答】解：如图，过点B作BD∥l，
∵直线l∥m，
∴BD∥l∥m，
∴∠4＝∠1，∠2＝∠3，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝∠ABC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠1+∠2＝45°．
故选：B．

【点评】此题考查了平行线的性质．解题时注意辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．
7．（4分）如图，▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝12、BD＝10、AB＝m，那么m的取值范围是（　　）

A．1＜m＜11 B．2＜m＜22 C．10＜m＜12 D．5＜m＜6
【分析】在平行四边形中，对角线互相平分，在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而即可求解．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，则可得OA＝AC，OB＝BD，
在△AOB中，由三角形三边关系可得OA﹣OB＜AB＜OA+OB，
即6﹣5＜m＜6+5，1＜m＜11．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质及三角形的三边关系，关键是根据在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
8．（4分）如图，某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到扇形统计图，则下面结论中不正确的是（　　）

A．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，种植收入减少
【分析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果．
【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．
A、建设后，养殖收入与第三产业收入总和为（30%+28%）×2a＝58%×2a，
经济收入为2a，
故（58%×2a）÷2a＝58%＞50%，故A项正确．
B、建设后，其他收入为5%×2a＝10%a，
建设前，其他收入为4%a，
故10%a÷4%a＝2.5＞2，故B项正确．
C、建设后，养殖收入为30%×2a＝60%a，
建设前，养殖收入为30%a，
故60%a÷30%a＝2，故C项正确．
D、种植收入37%×2a﹣60%a＝14%a＞0，
故建设后，种植收入增加，故D项错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查扇形统计图的应用，命题的真假的判断，考查发现问题解决问题的能力．
9．（4分）如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线为10≈14，由此即可判定A不正确．
【解答】解：选项A不正确．理由正方形的边长为10，所以对角线＝10≈14，
因为15＞14，所以这个图形不可能存在．
故选：A．
【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理求出正方形的对角线的长．
10．（4分）如图，O为坐标原点，△ABO的两个顶点A（6，0），B（6，6），点D在边AB上，AD＝5BD，点C为OA的中点，点P为边OB上的动点，则使四边形PCAD周长最小的点P的坐标为（　　）

A．（3，3） B．（ ，） C．（ ，） D．（5，5）
【分析】根据已知条件得到AB＝OA＝6，∠AOB＝45°，求得AD＝5，OC＝AC＝3，得到C（3，0），D（6，5），作C关于直线OB的对称点E，连接ED交OB于P′，连接CP′，则此时四边形P′DAC周长最小，E（0，2），求得直线ED的解析式为y＝x+2，解方程组即可得到结论．
【解答】解：∵A（6，0），B（6，6），
∴AB＝OA＝6，∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝45°，
∵AD＝5BD，点C为OA的中点，
∴AD＝5，OC＝AC＝3，
∴C（3，0），D（6，5），
作C关于直线OB的对称点E，连接ED交OB于P′，连接CP′，

则此时，四边形P′DAC周长最小，E（0，3），
∵直线OB 的解析式为y＝x，
设直线ED的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线ED的解析式为y＝x+3，
解得，，
∴C（，），
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分
11．（4分）计算：2﹣1+sin30°＝　1　．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝+＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12．（4分）若点A（1，0）在一次函数y＝﹣2x+3b﹣4的图象上，则常数b＝　2　．
【分析】直接把点P（1，0）代入一次函数y＝﹣2x+3b﹣4，求出k的值即可．
【解答】解：∵点P（1，0）在一次函数y＝﹣2x+3b﹣4的图象上，
∴﹣2+3b﹣4＝0，
解得：b＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13．（4分）说明命题“若x＜2，则＞”是假命题的一个反例，则实数x的取值可以是　x＝﹣1，（答案不唯一）　．
【分析】当x＝﹣1时，满足x＜2，但不能得到＞，于是x＝﹣1可作为说明命题“若x＜2，则＞”是假命题的一个反例．
【解答】解：当x＝﹣1时，满足x＜2，，但不能得到＞，
故答案为：x＝﹣1，（答案不唯一）．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
14．（4分）如图，是根据某市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数是　26　．

【分析】把数据从小到大排列，再根据中位数定义可得答案．
【解答】解：把数据从小到大排列：22，22，23，26，28，30，31，
中位数是26，
故答案为：26．
【点评】此题主要考查了中位数和折线图，关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
15．（4分）如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是　（8，12）　．

【分析】过点F作直线FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA于点H，先由平行线的性质及互余关系证明∠FEA＝∠HFG＝∠FGO；再解Rt△AEF，求得AE及AF，然后判定四边形OGHA为矩形，则可求得FH；解Rt△FGH，求得FG及HG，则点F的坐标可得．
【解答】解：过点F作直线FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA于点H，则∠FAE＝90°，

∵FA∥OG，
∴∠FGO＝∠HFG．
∵∠EFG＝90°，
∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，
∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，
∵cos∠FGO＝，
∴cos∠FEA＝，
在Rt△AEF中，EF＝10，
∴AE＝EFcos∠FEA＝10×＝6，
∴根据勾股定理得，AF＝8，
∵∠FAE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°
∴四边形OGHA为矩形，
∴AH＝OG，
∵OG＝17，
∴AH＝17，
∴FH＝17﹣8＝9，
∵在Rt△FGH中，＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝，
∴FG＝9÷＝15，
∴由勾股定理得：HG＝＝12，
∴F（8，12）．
故答案为：（8，12）．
【点评】本题考查了解直角三角形、矩形的判定与性质及勾股定理的应用，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．
16．（4分）如图所示，反比例函数y＝（＞0）与过点M（﹣2，0）的直线l：y＝kx+b的图象交于A，B两点，若△ABO的面积为，则直线l的解析式为　y＝x+　．

【分析】解方程组 ，即可得出B（﹣3，﹣k），A（1，3k），再根据△ABO的面积为 ，即可得到k＝，进而得出直线l的解析式为y＝x+．
【解答】解：把M（﹣2，0）代入y＝kx+b，可得b＝2k，
∴y＝kx+2k，
由 消去y得到x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或1，
∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k），
∵△ABO的面积为 ，
∴•2•3k+•2•k＝，
解得k＝，
∴直线l的解析式为y＝x+．
故答案为：y＝x+．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点、待定系数法、二元一次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
【分析】本题考查整式的加法运算，找出同类项，然后只要合并同类项就可以了．
【解答】解：情况一：x2+2x﹣1+x2+4x+1＝x2+6x＝x（x+6）．

情况二：x2+2x﹣1+x2﹣2x＝x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．

情况三：x2+4x+1+x2﹣2x＝x2+2x+1＝（x+1）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．
熟记公式结构是分解因式的关键．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
18．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，PC∥BD，PD∥AC．求证：四边形ODPC是菱形．

【分析】根据DP∥AC，CP∥BD，即可证出四边形ODPC是平行四边形，又知四边形ODPC是平行四边形，故可得OD＝BD＝AC＝OC，即可证出四边形ODPC是菱形．
【解答】证明：∵DP∥AC，CP∥BD
∴四边形ODPC是平行四边形，
∴OD＝BD＝AC＝OC，
∴四边形ODPC是菱形．
【点评】本题主要考查矩形性质和菱形的判定的知识点，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，此题比较简单．
19．（8分）解方程：+＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：1+x2﹣x＝x2﹣1，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C都在格点上．
（1）用尺规作出△ABC外接圆的圆心O；
（2）用无刻度的直尺作▱ACDO，并证明CD为⊙O的切线．

【分析】（1）分别作出线段AB，BC的垂直平分线交于点O，点O即为所求．
（2）取格点D，连接CD，OD即可．证明OC⊥CD即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，点O即为所求．


（2）如图2中，平行四边形ACDO即为所求．

连接OC．∵△OCD是等腰直角三角形，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，平行四边形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（8分）如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A．甲从中山路上点B出发，a米/分的速度骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发沿北京路以b米/分的速度步行向东匀速直行．设出发x分钟时，甲、乙两人与点A的距离分别为y1、y2米．已知y1、y2，则y1、y2与x之间的函数关系如图②所示．

（1）分别写出y1、y2关于x的函数表达式（用含有a、b的式子表示）；
（2）求a、b的值．
【分析】（1）根据题意可以写出y1、y2关于x的函数表达式；
（2）根据题意可以得到关于a、b的方程组，从而可以求得a、b的值．
【解答】解：（1）由题意可得，
y1＝1200﹣ax，
y2＝bx；
（2）由图②可知，
当x＝3.75或x＝7.5时，两人与点A的距离相等，
，
得，
即a的值为240，b的值为80．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
22．（10分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量，得到频数分布表如下：
表1：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量x
0≤x＜0.1
0.1≤x＜0.2
0.2≤x＜0.3
0.3≤x＜0.4
0.4≤x＜0.5
0.5≤x＜0.6
0.6≤x≤0.7
频数
1
3
2
4
9
26
5
表2：使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量x
0≤x＜0.1
0.1≤x＜0.2
0.2≤x＜0.3
0.3≤x＜0.4
0.4≤x＜0.5
0.5≤x＜0.6
频数
1
5
13
10
16
5
（1）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.3m3的概率；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表．）
【分析】（1）求得日用水量少于0.3的频数，然后算得频率，利用频率估计概率即可；
（2）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为0.48，使用节水龙头50天的日均用水量为0.35，能此能估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水．
【解答】解：（1）由表2可知，使用后，50天日用水量少于0.3的频数＝1+5+13＝19，
50天日用水量少于0.3的频概率＝，从而以此频率估计该家庭情况．
（2）该家庭未使用节水龙头50天日用水量平均数：×（0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5）＝0.48
该家庭使用节水龙头50天日用水量平均数：×（0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5）＝0.35
∴估计使用节水龙头后，一年可节水：（0.48﹣0.35）×365＝47.45 （m3）
【点评】考查概率的求法，考查平均数的求法及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），以原点O为圆心、3为半径作圆．P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时t的值．

【分析】分三种情况，先求得OQ，进而根据三角形面积公式求得AP，然后根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：当AQ与⊙O相切时，如图1，
设AQ切⊙O于点D，连接OQ，交AP于M，连接OD，
∵AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AQ，OD＝3，
∵OA＝5，
∴AD＝4，
∵A（5，0），
OA＝AQ＝5，
∴QD＝1，
∴OQ＝＝，
∵将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．
∴OQ⊥AP，OM＝MQ＝，
∵OP＝t，OA＝5，
∴AP•OM＝OA•OP，即AP•＝•5•t，
∴AP＝t，
在Rt△AOP中，AP2＝OP2+OA2，解10t2＝t2+25，
解得t＝；
当AP与⊙O相切时，如图2，
设AP切⊙O于点E，连接OQ，
∵将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．
∴OQ⊥AP，
∴OQ经过点E，
∴OE⊥AP，
∵AP•OE＝OA•OP，即3AP＝5t，
∴AP＝t，
在Rt△AOP中，AP2＝OP2+OA2，解（t）2＝t2+25，
解得t＝，
当PQ与⊙O相切时，如图3，
设PQ切⊙O于点E，连接OE，
∴OE⊥PQ，
∵AQ⊥PQ，
∴OE∥AQ，
∴△ODE∽△ADQ，
∴＝，即＝，
∴OD＝，
∴AD＝，
∴DQ＝＝，
∴PD＝DQ﹣PQ＝﹣t，
∵OD•OP＝PD•OE，
∴t＝（﹣t）×3，
解得t＝，
当QA的反向延长线与⊙O相切时，如图4，
设PQ切⊙O于点D，连接OD，QA交y轴于E，
∴OD⊥AQ，
∴OA2＝OD2+AD2，
∴AD＝4，
∵OA2＝AD•AE，
∴AE＝，
∵AE•OD＝OA•OE，
∴OE＝＝，
∴PE＝t+，
∵PQ⊥AQ，
∴PE2＝PQ2+QE2，即（t+）2＝t2+（5+）2，
解得t＝15，
综上，△APQ有一边所在直线与⊙O相切时t的值为或或或15．




【点评】本题考查了切线的性质，轴对称的性质，三角形的面积以及勾股定理的应用等，熟练掌握切线的性质和轴对称的性质是解本题的关键．
24．（12分）在正方形ABCD中，AB＝4，O为对角线AC、BD的交点．
（1）如图1，延长OC，使CE＝OC，作正方形OEFG，使点G落在OD的延长线上，连接DE、AG．求证：DE＝AG；
（2）如图2，将问题（1）中的正方形OEFG绕点O逆时针旋转α（0＜α＜180），得到正方形OE′F′G′，连接AE′、E′G′．
①当α＝30时，求点A到E′G′的距离；
②在旋转过程中，求△AE′G′面积的最小值，并求此时的旋转角α．

【分析】（1）证明△AOG≌△DOE（SAS），得出AG＝DE即可；
（2）①过点E'作E'M⊥AC交AC的延长线于点M，过点A作AN⊥G'E'于点N，则∠E'MO＝90°，求出OG'＝OE'＝4，可得出G'E'＝8，则可得出答案；
②可知G'，E'在以O为圆心，OG'为半径的⊙O上，当OA⊥G'E'时，△AE′G′的面积最小，此时OA的延长线与G'E'相交于点H，求出AH，可得出答案．
【解答】解：（1）∵O为对角线AC、BD的交点，
∴OA＝OD，OA⊥OD，
∴∠AOG＝∠DOE＝90°，
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG＝OE，
∴△AOG≌△DOE（SAS），
∴AG＝DE；
（2）①过点E'作E'M⊥AC交AC的延长线于点M，
过点A作AN⊥G'E'于点N，
则∠E'MO＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝OC＝，
∵正方形OEFG绕点O逆时针旋转α（0＜α＜180）得到正方形OE′F′G′，
∠MOE'＝α＝30°，∠G'OE'＝90°
∴∠OE'M＝90°﹣∠MOE'＝60°，
又∠AOG'＝∠AOD﹣α＝60°，
∴∠AOG'＝∠OE'M，OE'＝OE＝2OC＝4，
∴OG'＝OE'＝4，
∴G'E'＝＝＝8，
∴ME'＝OE'＝2＝OA，
∴△AOG'≌△ME'O（SAS），
∴∠OAG'＝∠E'MO＝90°，
∴AG'＝OA•tan∠AOG'＝OA•tan60°＝2＝2，
∴AM＝OA+OM＝2+2，
∵E'G'•AN，
∴AN＝＝＝3+；
②∵G'E'为定长，
∴G'，E'在以O为圆心，OG'为半径的⊙O上，
∴当OA⊥G'E'时，△AE′G′的面积最小，
此时OA的延长线与G'E'相交于点H，

∴OH＝G'E'＝4，
∴AH＝OH﹣AO＝4﹣2，
∴S△E'G'A＝E'G'•AH＝＝16﹣8，
此时的旋转角α＝∠HOG'+∠AOD＝45°+90°＝135°．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质等知识；熟练掌握旋转的性质及证明三角形全等是解决问题的关键．
25．（14分）如图，已知：P（﹣1，0），Q（0，﹣2）．
（1）求直线PQ的函数解析式；
（2）如果M（0，m）是线段OQ上一动点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点M和点P．
①求抛物线y＝ax2+bx+c与x轴另一交点N的坐标（用含a，m的代数式表示）；
②若PN＝时，抛物线y＝ax2+bx+c有最大值m+1，求此时a的值；
③若抛物线y＝ax2+bx+c与直线PQ始终都有两个公共点，求a的取值范围．

【分析】（1）设直线PQ的解析式为：y＝kx+b，解方程组求得直线PQ的函数解析式为y＝﹣2x﹣2；
（2）①y＝ax2+bx+c 过M（0，m）和P（﹣1，0），求得b＝a+m，于是得到N（﹣，0）；
②根据已知条件得到﹣2≤m≤0，抛物线y＝ax2+bx+c有最大值m+1，求得y＝ax2+（a+m）x+m的顶点坐标为（﹣，），当PN＝时，分两种情况，（I）﹣+1＝，（II）﹣1+＝，解方程即可得到a＝﹣或﹣；
③根据一元二次方程根的判别式即可得到结论．
【解答】解：（1）设直线PQ的解析式为：y＝kx+b，
∵P（﹣1，0），Q（0，﹣2），
∴，
∴，
∴直线PQ的函数解析式为y＝﹣2x﹣2；
（2）①y＝ax2+bx+c 过M（0，m）和P（﹣1，0），
∴0＝a﹣b+m，
∴b＝a+m，
∴y＝ax2+（a+m）x+m，
即y＝（x+1）（ax+m），
∴N（﹣，0）；
②∵M（0，m），﹣2≤m≤0，抛物线y＝ax2+bx+c有最大值m+1，
∵y＝ax2+（a+m）x+m的顶点坐标为（﹣，），
∴＝m+1，
当PN＝时，分两种情况，
（I）﹣+1＝，
解得：m＝，
把m＝代入＝m+1得，＝+1，
解得：a＝﹣，m＝﹣，经检验，a＝﹣，m＝﹣，均成立；
（II）﹣1+＝，
∴m＝a，
把m＝a代入＝m+1，得a+1
解得：a＝﹣，m＝﹣，经验证，均成立；
∴a＝﹣或﹣；
③解方程组得ax2+（a+m+2）x+m+2＝0，
∵△＝（a+m+2）2﹣4a（m+2）＝a2+（m+2）2﹣2a（m+2）＝（a﹣m﹣2）2，
∵﹣2≤m≤0，
∴﹣2≤﹣m﹣2≤0，
∴当a＜0或a＞2时，△始终为正，
即抛物线y＝ax2+bx+c与直线PQ始终都有两个公共点．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，正确的理解题意是解题的关键．
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日期：2020/6/19 15:56:37；用户：西安万向思维数学；邮箱：xianwanxiang005@xyh.com；学号：24602080