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2020年湖南省长沙市望城区中考数学模拟试卷（5月份）【含答案】
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这是一份2020年湖南省长沙市望城区中考数学模拟试卷（5月份）【含答案】，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年湖南省长沙市望城区中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（3分）某种感冒病毒的直径约为120nm，1nm＝10﹣9m，则这种感冒病毒的直径用科学记数法表示（ ）
A．120×10﹣9m B．1.2×10﹣6m C．1.2×10﹣7m D．1.2×10﹣8m
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（2a+1）（2a﹣1）＝4a﹣1
C．（﹣2a3）2＝4a6 D．x2﹣8x+16＝（x+4）2
4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．35°
5．（3分）在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a☆b＝，根据这个规则x☆（x+1）＝的解为（ ）
A．x＝ B．x＝1 C．x＝﹣或1 D．x＝或﹣1
6．（3分）如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：
组员
甲
乙
丙
丁
戊
平均成绩
众数
得分
81
77
■
80
82
80
■
则被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．80，80 B．81，80 C．80，2 D．81，2
8．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0的根的情况，下面判断正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个实数根 D．无实数根
9．（3分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：
组别（cm）
x＜160
160≤x＜170
170≤x＜180
x≥180
人数
5
38
42
15
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（ ）
A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15
10．（3分）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径长为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．3
11．（3分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E为边BC上的点，以DE为边向外作矩形DEFG，使FG过点A，若DG＝，那么DE＝（ ）
A．5 B．3 C． D．
12．（3分）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算：（﹣）﹣1﹣＝ ．
14．（3分）用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A、B两种型号的钢板共 块．
15．（3分）如图，△ABC中，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于E、F点，分别以点E、F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，做射线BG，交AC于点D，过点D作DH∥BC交AB于点H．已知HD＝3，BC＝7，则AH的长为 ．
16．（3分）不等式组的解集为 ．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E为射线CB上一动点（不与点C重合），将△CDE沿DE所在直线折叠，点C落在点C′处，连接AC′，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为 ．
18．（3分）在滑草过程中，小明发现滑道两边形如两条双曲线，如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3…反比例函数y＝（k＞1，x＞0）的图象上，A1B1∥A2B2…∥y轴，已知点A1，A2…的横坐标分别为1，2，…，令四边形A1B1B2A2、A2B2B3A3、…的面积分别为S1、S2、…．
（1）用含k的代数式表示S1＝ ．
（2）若S19＝39，则k＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23，24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）先化简 （﹣）÷，然后从2，1，﹣1 中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
20．（6分）计算：4sin60°﹣|﹣1|+（﹣1）0+
21．（8分）某区教育系统为了更好地宣传扫黑除恶专项斗争，印制了应知应会手册，该区教育局想了解教师对扫黑除恶专项斗争应知应会知识掌握程度，抽取了部分教师进行了测试，并将测试成绩绘制成下面两幅统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下面问题：
（1）计算样本中，成绩为98分的教师有 人，并补全两个统计图；
（2）样本中，测试成绩的众数是 ，中位数是 ；
（3）若该区共有教师6880名，根据此次成绩估计该区大约有多少名教师已全部掌握扫黑除恶专项斗争应知应会知识？
22．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点O在BC上，以线段OC的长为半径的⊙O与AB相切于点D，分别交BC、AC于点E、F，连接ED并延长，交CA的延长线于点G．
（1）求证：∠DOC＝2∠G．
（2）已知⊙O的半径为3．
①若BE＝2，则DA＝ ．
②当BE＝ 时，四边形DOCF为菱形．
23．（9分）武汉“新冠肺炎”发生以来，某医疗公司积极复工，加班加点生产医用防护服，为防控一线助力．以下是该公司以往的市场调查，发现该公司防护服的日销售量y（套）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，如下图所示，关于日销售利润w（元）和销售单价x（元）的几组对应值如下表：
销售单价x（元）
85
95
105
日销售利润w（元）
875
1875
1875
（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价一成本单价））
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）根据函数图象和表格所提供的信息，填空：
该公司生产的防护服的成本单价是 元，当销售单价x＝ 元时，日销售利润w最大，最大值是 元；
（3）该公司复工以后，在政府部门的帮助下，原材料采购成本比以往有了下降，平均起来，每生产一套防护服，成本比以前下降5元．该公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，如果在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？
24．（9分）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；
（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．
25．（10分）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行或重合，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形，点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形．例如，图①中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3，都是点A，B，C的外延矩形，矩形A3B3CD3是点A，B，C的最佳外延矩形．
（1）如图②，已知A（﹣1，0），B（3，2），点C在直线y＝x﹣1上，设点C的横坐标为t．
①若t＝，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为 ．
②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为9，求t的值．
（2）如图③，已知点M（4，0），n（0，），P（x，y）是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标x的取值范围；
（3）已知D（1，0）．若Q是抛物线y＝﹣x2﹣2mx﹣m2+2m+1的图象在﹣2≤x≤1之间的最高点，点E的坐标为（0，4m），设点D，E，Q的最佳外延矩形的面积为S，当4≤S≤6时，直接写出m的取值范围．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），
①求点M的坐标及⊙M的半径；
②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
2020年湖南省长沙市望城区中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据正数的绝对值是本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是其相反数．
【解答】解：∵﹣的绝对值等于其相反数，
∴﹣的绝对值是．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值，解决本题的关键是掌握绝对值的定义．
2．（3分）某种感冒病毒的直径约为120nm，1nm＝10﹣9m，则这种感冒病毒的直径用科学记数法表示（ ）
A．120×10﹣9m B．1.2×10﹣6m C．1.2×10﹣7m D．1.2×10﹣8m
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中0＜|a|≤1，n为整数．当原数为较大数时，n为整数位数减1；当原数为较小数（大于0小于1的小数）时，n为第一个非0数字前面所有0的个数的相反数．
【解答】解：∵1nm＝10﹣9m，
∴120nm＝120×10﹣9m＝1.2×10﹣7m．
故选：C．
【点评】用科学记数法表示一个数的方法是：
（1）确定a：a是只有一位整数的数；
（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
此题需要先换算单位把米换算成纳米，然后再根据科学记数法的方法表示．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（2a+1）（2a﹣1）＝4a﹣1
C．（﹣2a3）2＝4a6 D．x2﹣8x+16＝（x+4）2
【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、结果是a2﹣2ab+b2，故本选项错误；
B、结果是4a2﹣1，故本选项错误；
C、结果是4a6，故本选项正确；
D、结果是（x﹣4）2，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了乘法公式，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．35°
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB＝75°，由三角形外角的性质可得∠AED的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．
【解答】解：∵AB＝AC，且∠A＝30°，
∴∠ACB＝75°，
在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°，
∴∠AED＝145°﹣30°＝115°，
∵a∥b，
∴∠AED＝∠2+∠ACB，
∴∠2＝115°﹣75°＝40°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．
5．（3分）在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a☆b＝，根据这个规则x☆（x+1）＝的解为（ ）
A．x＝ B．x＝1 C．x＝﹣或1 D．x＝或﹣1
【分析】关键根据题中已知条件找出规则，代入要求的式子求解．
【解答】解：∵x☆（x+1）＝．
∴+＝．
．
即3x2﹣x﹣2＝0．
（x﹣1）（3x+2）＝0．
∴x﹣1＝0或3x+2＝0．
∴x＝1或x＝﹣（不合题意，舍去）．
故选：B．
【点评】本题属于分式方程，用因式分解求解较简单．
6．（3分）如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有一个正方形，如图所示：
．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
7．（3分）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：
组员
甲
乙
丙
丁
戊
平均成绩
众数
得分
81
77
■
80
82
80
■
则被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．80，80 B．81，80 C．80，2 D．81，2
【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
80×5﹣（81+77+80+82）＝80（分），
则丙的得分是80分；
众数是80，
故选：A．
【点评】考查了众数及平均数的定义，解题的关键是根据平均数求得丙的得分，难度不大．
8．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0的根的情况，下面判断正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个实数根 D．无实数根
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△＝（﹣k﹣3）2﹣4（2k+2）
＝k2﹣2k+1
＝（k﹣1）2≥0，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的的判别式，本题属于基础题型．
9．（3分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：
组别（cm）
x＜160
160≤x＜170
170≤x＜180
x≥180
人数
5
38
42
15
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（ ）
A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15
【分析】先计算出样本中身高不低于180cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【解答】解：样本中身高不低于180cm的频率＝＝0.15，
所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15．
故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
10．（3分）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径长为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．3
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB的度数，由圆周角定理可知∠AOB＝90°，故可得出∠ABO的度数，根据直角三角形的性质即可得出AB的长，进而得出结论．
【解答】解：∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO＝120°，
∴∠BAO＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB是⊙C的直径，
∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝90°﹣60°＝30°，
∵点A的坐标为（0，3），
∴OA＝3，
∴AB＝2OA＝6，
∴⊙C的半径长＝＝3．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．
11．（3分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E为边BC上的点，以DE为边向外作矩形DEFG，使FG过点A，若DG＝，那么DE＝（ ）
A．5 B．3 C． D．
【分析】先利用等角的余角证明∠ADG＝∠EDC，再根据相似三角形的判定方法证明△ADG∽△CDE，然后利用相似比计算DE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°，
∵四边形DEFG为矩形，
∴∠EDG＝∠G＝90°，
∵∠ADG+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADG＝∠EDC，
∴△ADG∽△CDE，
∴＝，即＝，
∴DE＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了相似三角形的判定与性质．
12．（3分）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由A、C关于BD对称，推出PA＝PC，推出PC+PE＝PA+PE，推出当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6，推出BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，分别求出PE+PC的最小值，PD的长即可解决问题．
【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，
∴易证AE⊥BC，
∵A、C关于BD对称，
∴PA＝PC，
∴PC+PE＝PA+PE，
∴当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，即AE的长．
观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6，
∴BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，
∴在Rt△AEB中，AE＝2，
∴PC+PE的最小值为2，
∴点H的纵坐标a＝2，
∵BC∥AD，
∴＝2，
∵BD＝4，
∴PD＝＝，
∴点H的横坐标b＝，
∴a+b＝2+＝；
故选：C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算：（﹣）﹣1﹣＝ 0 ．
【分析】原式利用负整数指数幂法则，立方根定义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣2﹣（﹣2）＝﹣2+2＝0，
故答案为：0
【点评】此题考查了实数的运算，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（3分）用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A、B两种型号的钢板共 11 块．
【分析】设需用A型钢板x块，B型钢板y块，根据“用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品”，可得出关于x，y的二元一次方程组，用（①+②）÷5可求出x+y的值，此题得解．
【解答】解：设需用A型钢板x块，B型钢板y块，
依题意，得：，
（①+②）÷5，得：x+y＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．（3分）如图，△ABC中，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于E、F点，分别以点E、F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，做射线BG，交AC于点D，过点D作DH∥BC交AB于点H．已知HD＝3，BC＝7，则AH的长为 ．
【分析】根据题意可知射线BG是∠ABC的平分线，从而可得△HBD是等腰三角形，且HD＝HB，再根据相似三角形对应边成比例可求AH的长．
【解答】解：由题意可知射线BG是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD
而DH∥BC
∴∠HDB＝∠CBD
∴∠ABD＝∠HDB
∴HB＝HD＝3
又∵DH∥BC
∴△AHD∽△ABC
∴
即：
得AH＝
故答案为．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，利用相似三角形对应边成比例进行解题是关键．
16．（3分）不等式组的解集为 ﹣7≤x＜1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣2）＞4，得：x＜1，
解不等式≤，得：x≥﹣7，
则不等式组的解集为﹣7≤x＜1，
故答案为：﹣7≤x＜1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E为射线CB上一动点（不与点C重合），将△CDE沿DE所在直线折叠，点C落在点C′处，连接AC′，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为 4﹣或4+ ．
【分析】由矩形的性质得出∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，由折叠的性质得C'D＝CD＝3，C'E＝CE，证A、C'、E三点共线，设CE＝C'E＝x，①点E在线段CB上时，由勾股定理得出AC'＝，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②点E在线段CB的延长线上时，由勾股定理得出AC'＝，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，
由折叠的性质得：C'D＝CD＝3，C'E＝CE，∠DC'E＝∠C＝90°，
设CE＝C'E＝x，
当△AC′D为直角三角形时，则∠AC'D＝90°，
∴∠AC'D+∠DC'E＝180°，
∴A、C'、E三点共线，
分两种情况：
①点E在线段CB上时，如图1所示：
则∠DC'E＝∠C＝90°，
∴∠AC'D＝90°，
∴AC'＝＝＝，
在Rt△ABE中，BE＝4﹣x，AE＝x+，
由勾股定理得：（4﹣x）2+32＝（x+）2，
解得：x＝4﹣，
∴CE＝4﹣；
②点E在线段CB的延长线上时，如图2所示：
则∠DC'E＝∠C＝90°，
∴AC'＝＝＝，
在Rt△ABE中，BE＝x﹣4，AE＝x﹣，
由勾股定理得：（x﹣4）2+32＝（x﹣）2，
解得：x＝4+，
∴CE＝4+；
综上所述，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为4﹣或4﹣；
故答案为：4﹣或4+．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
18．（3分）在滑草过程中，小明发现滑道两边形如两条双曲线，如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3…反比例函数y＝（k＞1，x＞0）的图象上，A1B1∥A2B2…∥y轴，已知点A1，A2…的横坐标分别为1，2，…，令四边形A1B1B2A2、A2B2B3A3、…的面积分别为S1、S2、…．
（1）用含k的代数式表示S1＝ （k﹣1） ．
（2）若S19＝39，则k＝ 761 ．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的特征和平行于y轴的直线的性质计算A1B1、A2B2、…，最后根据梯形面积公式可得S1的面积；
（2）分别计算S2、S3、…Sn的值并找规律，根据已知S19＝39列方程可得k的值．
【解答】解：（1）∵A1B1∥A2B2…∥y轴，
∴A1和B1的横坐标相等，A2和B2的横坐标相等，…，An和Bn的横坐标相等，
∵点A1，A2…的横坐标分别为1，2，…，
∴点B1，B2…的横坐标分别为1，2，…，
∵点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3…反比例函数y＝（k＞1，x＞0）的图象上，
∴A1B1＝k﹣1，A2B2＝﹣，
∴S1＝×1×（﹣+k﹣1）＝（k﹣）＝，
故答案为：；
（2）由（1）同理得：A3B3＝﹣＝，A4B4＝，…，
∴S2＝[+（k﹣1）]＝（k﹣1），S3＝[]＝…，
∴Sn＝，
∵S19＝39，
∴×（k﹣1）＝39，
解得：k＝761，
故答案为：761．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，这里体现了数形结合的思想，确定A1B1，A2B2的长是关键，也是图形和数字类的规律问题，值得重视．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23，24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）先化简 （﹣）÷，然后从2，1，﹣1 中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
【分析】首先对括号内的分式的分母分解因式，把除法转化为乘法，再计算括号内的分式加法，继而计算乘法计算即可化简，然后代入使原式有意义的x的值计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝，
∵（x+1）（x﹣1）≠0且x≠0，
∴x≠±1且x≠0，
∴x＝2，
则原式＝2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
20．（6分）计算：4sin60°﹣|﹣1|+（﹣1）0+
【分析】将特殊锐角三角函数值代入、计算绝对值、零指数幂、化简二次根式，再进一步计算可得．
【解答】解：原式＝4×﹣1+1+4
＝2+4
＝6．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握特殊锐角三角函数值、绝对值性质、零指数幂、二次根式性质．
21．（8分）某区教育系统为了更好地宣传扫黑除恶专项斗争，印制了应知应会手册，该区教育局想了解教师对扫黑除恶专项斗争应知应会知识掌握程度，抽取了部分教师进行了测试，并将测试成绩绘制成下面两幅统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下面问题：
（1）计算样本中，成绩为98分的教师有 14 人，并补全两个统计图；
（2）样本中，测试成绩的众数是 98 ，中位数是 100 ；
（3）若该区共有教师6880名，根据此次成绩估计该区大约有多少名教师已全部掌握扫黑除恶专项斗争应知应会知识？
【分析】（1）先根据96分人数及其百分比求得总人数，再根据各组人数之和等于总数可得98分的人数；
（2）根据中位数和众数的定义可得；
（3）利用样本中100分人数所占比例乘以总人数可得．
【解答】解：（1）本次调查的人数共有10÷20%＝50人，
则成绩为98分的人数为50﹣（20+10+4+2）＝14（人），
补全统计图如下：
故答案为：14；
（2）本次测试成绩的中位数为＝98分，众数100分，
故答案为：98，100；
（3）∵6880×＝2752，
∴估计该区大约有2752名教师已全部掌握扫黑除恶专项斗争应知应会知识．
【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图的知识，解答本题的关键是利用差生的人数及所占的比例求出调查的总人数，要学会读图获取信息的能力．
22．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点O在BC上，以线段OC的长为半径的⊙O与AB相切于点D，分别交BC、AC于点E、F，连接ED并延长，交CA的延长线于点G．
（1）求证：∠DOC＝2∠G．
（2）已知⊙O的半径为3．
①若BE＝2，则DA＝ ．
②当BE＝ 3 时，四边形DOCF为菱形．
【分析】（1）由⊙O与AB相切于点D推出∠OBD为90°，证明OD∥GC，推出∠G＝∠ODE＝∠OED，由三角形外角的性质即可推出结论；
（2）①利用勾股定理求出BD的长，再利用△BOD与△BCA相似，即可求出AD的长；
②连接DF，OA，将四边形DOCF为菱形作为条件，求出DF的长，再利用三角函数求出AF的长，进一步得到AC的长，再利用△BOD与△BCA相似即可求出BE的长．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∴∠BAC＝∠ODB＝90°，
∴OD∥CG，
∴∠G＝∠ODE，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵∠DOC＝∠ODE+∠OED，
∴∠DOC＝2∠ODE＝2∠G；
（2）解：①在Rt△BOD中，
OD＝3，OB＝OE+BE＝5，
∴BD＝＝4，
由（1）知，OD∥CG，
∴△BOD∽△BCA，
∴＝，
即＝，
∴AD＝，
故答案为：；
（3）如下图，连接DF，OF，
当四边形DOCF为菱形时，
DF＝CF＝OC＝OD＝3，
∵OF＝3，
∴△ODF为等边三角形，
∴∠ODF＝60°，
∴∠ADF＝90°﹣∠ODF＝30°，
在Rt△DAF中，DF＝3，
∴AF＝3×＝，
∴AC＝CF+AF＝，
由（2）知，∴△BOD∽△BCA，
∴＝，
即＝，
∴BE＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质等，解题的关键是能够灵活运用相似三角形的性质与菱形的性质．
23．（9分）武汉“新冠肺炎”发生以来，某医疗公司积极复工，加班加点生产医用防护服，为防控一线助力．以下是该公司以往的市场调查，发现该公司防护服的日销售量y（套）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，如下图所示，关于日销售利润w（元）和销售单价x（元）的几组对应值如下表：
销售单价x（元）
85
95
105
日销售利润w（元）
875
1875
1875
（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价一成本单价））
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）根据函数图象和表格所提供的信息，填空：
该公司生产的防护服的成本单价是 80 元，当销售单价x＝ 100 元时，日销售利润w最大，最大值是 2000 元；
（3）该公司复工以后，在政府部门的帮助下，原材料采购成本比以往有了下降，平均起来，每生产一套防护服，成本比以前下降5元．该公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，如果在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？
【分析】（1）设y与x之间的函数解析式为：y＝kx+b，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）根据题意得到合适解析式，然后根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）设产品的成本单价为b元，根据题意列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为：y＝kx+b，
由题意得，，
解得：，
∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣5x+600（80≤x≤120）；
（2）设成本单价是a元，
由题意得，（﹣5×85+600）×（85﹣a）＝875，
解得：a＝80，
∴该公司生产的防护服的成本单价是80元；
∵w＝（﹣5x+600）（x﹣a）＝﹣5x2+（600+5a）x﹣600a＝﹣5（x﹣100）2+2000，
∴当x＝100时，W最大＝2000，
即每件销售单价为100元时，每天的销售利润最大，最大利润是2000；
故答案为：80，100，2000；
（3）设产品的成本单价为b元，
当x＝90时，（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，
解得：b≤65，
答：产品的成本单价应不超过65元．
【点评】此题主要考查了二次函数和一次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
24．（9分）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；
（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．
【分析】（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．只要证明△AMH≌△FME，推出MH＝ME，AH＝EF＝EC，推出DH＝DE，因为∠EDH＝90°，可得DM⊥EM，DM＝ME；
（2）结论不变，证明方法类似；
（3）分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；
【解答】解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．
理由：如图1中，延长EM交AD于H．
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，
∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME．
（2）如图2中，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM．
理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，
∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME．
（3）如图3中，连接DE．延长EM到H，使得MH＝ME，连接AH，延长FE交AD的延长线于K．作MR⊥DE于R．
易证△AMH≌△FME（SAS），
∴AH＝EF＝EC，∠MAH＝∠MFE，
∴AH∥DF，
∴∠DAH+∠ADE＝180°，
∴∠DAH+∠CDE＝90°，
∵∠DCE+∠EDC＝90°
∴∠DAH＝∠DCE，
∵DA＝DC，
∴△DAH≌△DCE（SAS），
∴DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，
∴∠HDE＝∠ADC＝90°，
∵ME＝MH，
∴DM⊥EH，DM＝MH＝EM，
在Rt△CDE中，DE＝＝12，
∵DM＝ME，DM⊥ME，
∴MR⊥DE，MR＝DE＝6，DR＝RE＝6，
在Rt△FMR中，FM＝＝＝
如图4中，作MR⊥DE于R．
在Rt△MRF中，FM＝＝，
故满足条件的MF的值为或．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．
25．（10分）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行或重合，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形，点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形．例如，图①中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3，都是点A，B，C的外延矩形，矩形A3B3CD3是点A，B，C的最佳外延矩形．
（1）如图②，已知A（﹣1，0），B（3，2），点C在直线y＝x﹣1上，设点C的横坐标为t．
①若t＝，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为 8 ．
②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为9，求t的值．
（2）如图③，已知点M（4，0），n（0，），P（x，y）是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标x的取值范围；
（3）已知D（1，0）．若Q是抛物线y＝﹣x2﹣2mx﹣m2+2m+1的图象在﹣2≤x≤1之间的最高点，点E的坐标为（0，4m），设点D，E，Q的最佳外延矩形的面积为S，当4≤S≤6时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①以AB为对角线的矩形面积即为所求．
②分两种情况讨论：C在x轴下方；C在B点右上方．分别列方程求解即可．
（2）分别令y等于M、N的纵坐标，解出方程并结合图形即可得出答案．
（3）先求出抛物线的顶点坐标，然后讨论抛物线对称轴与所给的x的范围的关系，对于每一种情况，分别表示出S，再根据S的范围解不等式组即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）①如图②，作矩形ANBM，
∵t＝，
∴C（，），
∵A（﹣1，0），B（3，2），
∴C在矩形ANBM内部，
此时，矩形ANBM是点A，B，C的最佳外延矩形．
S矩形ANBM＝AM•BM＝（3+1）（2﹣0）＝8．
故答案为8．
②若C在x轴下方，则：
4[2﹣（t﹣1）]＝9，解得t＝．
若C在B点右上方，则：
（t+1）（t﹣1）＝9，解得t1＝﹣（舍），t2＝．
综上所述，t的值为或．
（2）令y＝﹣x2+2x+3＝，解得x1＝1+，x2＝1﹣，
令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值为4×＝14，
此时P点横坐标x的取值范围为：
0≤x≤1﹣或1+≤x≤3．
（3）∵y＝﹣x2﹣2mx﹣m2+2m+1＝﹣（x+m）2+2m+1，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣m，2m+1）．
当1≤﹣m即m≤﹣1时，Q点坐标为（1，﹣m2）
若﹣m2＜4m，则m＞0（舍）或m＜﹣4，
此时S＝m2，
∵4≤S≤6，
∴﹣≤m≤﹣2（舍）．
若﹣m2≥4m，则﹣4≤m≤0，
此时S＝﹣4m，
∴4≤﹣4m≤6，解得：﹣≤m≤﹣1，
当﹣2＜﹣m＜1即﹣1＜m＜2时，Q点的坐标就是抛物线顶点，
S＝4m（m+1），
∴4≤4m（m+1）≤6，解得≤m≤，
当﹣m≤﹣2即m≥2时，4m≥8，不合题意，舍去．
综上所述，m的取值范围为：≤m≤或﹣≤m≤﹣1．
【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了矩形的性质、一次函数与二次函数图象上点的坐标特点、一元二次方程与不等式等重要知识点．正确理解“最佳外延矩形”的含义并会分类讨论是解答本题的关键．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），
①求点M的坐标及⊙M的半径；
②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣4b﹣2，解得：b＝﹣，即可求解；
（2）S△ABD＝＝，则BN＝，sin∠BDH＝＝，即可求解；
（3）①∠ADB＝45°，则∠AMB＝2∠ADB＝90°，MA＝MB，MH⊥AB，AH＝BH＝HM＝，点M的坐标为（，）⊙M的半径为；
②PH＝HB＝5，则＝，＝，故△HMQ∽△QMP，则＝，即可求解．
【解答】解：（1）c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣4b﹣2，解得：b＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）当x＝5时，y＝x2﹣x﹣2＝3，故D的坐标为（5，3），
令y＝0，则x＝4（舍去）或﹣1，故点A（﹣1，0），
如图①，连结BD，作BN⊥AD于N，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
∴AD＝3，BD＝，
∵S△ABD＝＝，
∴BN＝，
∴sin∠BDH＝＝，
∴∠BDH＝45°；
（3）①如图②，连接MA，MB，
∵∠ADB＝45°，
∴∠AMB＝2∠ADB＝90°，
∵MA＝MB，MH⊥AB，
∴AH＝BH＝HM＝，
∴点M的坐标为（，）⊙M的半径为；
②如图③，连接MQ，MB，
∵过点B作⊙M的切线交1于点P，
∴∠MBP＝90°，
∵∠MBO＝45°，
∴∠PBH＝45°，
∴PH＝HB＝5，
∵＝，＝，
∵∠HMQ＝∠QMP，
∴△HMQ∽△QMP，
∴＝，
∴在点Q运动过程中的值不变，其值为．
【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质．圆的基本性质．解决（3）问的关键是构造相似三角形实现比的转换．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/6/19 15:57:26；用户：西安万向思维数学；邮箱：xianwanxiang005@xyh.com；学号：24602080
2020年湖南省长沙市望城区中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（3分）某种感冒病毒的直径约为120nm，1nm＝10﹣9m，则这种感冒病毒的直径用科学记数法表示（ ）
A．120×10﹣9m B．1.2×10﹣6m C．1.2×10﹣7m D．1.2×10﹣8m
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（2a+1）（2a﹣1）＝4a﹣1
C．（﹣2a3）2＝4a6 D．x2﹣8x+16＝（x+4）2
4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．35°
5．（3分）在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a☆b＝，根据这个规则x☆（x+1）＝的解为（ ）
A．x＝ B．x＝1 C．x＝﹣或1 D．x＝或﹣1
6．（3分）如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：
组员
甲
乙
丙
丁
戊
平均成绩
众数
得分
81
77
■
80
82
80
■
则被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．80，80 B．81，80 C．80，2 D．81，2
8．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0的根的情况，下面判断正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个实数根 D．无实数根
9．（3分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：
组别（cm）
x＜160
160≤x＜170
170≤x＜180
x≥180
人数
5
38
42
15
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（ ）
A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15
10．（3分）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径长为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．3
11．（3分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E为边BC上的点，以DE为边向外作矩形DEFG，使FG过点A，若DG＝，那么DE＝（ ）
A．5 B．3 C． D．
12．（3分）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算：（﹣）﹣1﹣＝ ．
14．（3分）用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A、B两种型号的钢板共 块．
15．（3分）如图，△ABC中，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于E、F点，分别以点E、F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，做射线BG，交AC于点D，过点D作DH∥BC交AB于点H．已知HD＝3，BC＝7，则AH的长为 ．
16．（3分）不等式组的解集为 ．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E为射线CB上一动点（不与点C重合），将△CDE沿DE所在直线折叠，点C落在点C′处，连接AC′，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为 ．
18．（3分）在滑草过程中，小明发现滑道两边形如两条双曲线，如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3…反比例函数y＝（k＞1，x＞0）的图象上，A1B1∥A2B2…∥y轴，已知点A1，A2…的横坐标分别为1，2，…，令四边形A1B1B2A2、A2B2B3A3、…的面积分别为S1、S2、…．
（1）用含k的代数式表示S1＝ ．
（2）若S19＝39，则k＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23，24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）先化简 （﹣）÷，然后从2，1，﹣1 中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
20．（6分）计算：4sin60°﹣|﹣1|+（﹣1）0+
21．（8分）某区教育系统为了更好地宣传扫黑除恶专项斗争，印制了应知应会手册，该区教育局想了解教师对扫黑除恶专项斗争应知应会知识掌握程度，抽取了部分教师进行了测试，并将测试成绩绘制成下面两幅统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下面问题：
（1）计算样本中，成绩为98分的教师有 人，并补全两个统计图；
（2）样本中，测试成绩的众数是 ，中位数是 ；
（3）若该区共有教师6880名，根据此次成绩估计该区大约有多少名教师已全部掌握扫黑除恶专项斗争应知应会知识？
22．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点O在BC上，以线段OC的长为半径的⊙O与AB相切于点D，分别交BC、AC于点E、F，连接ED并延长，交CA的延长线于点G．
（1）求证：∠DOC＝2∠G．
（2）已知⊙O的半径为3．
①若BE＝2，则DA＝ ．
②当BE＝ 时，四边形DOCF为菱形．
23．（9分）武汉“新冠肺炎”发生以来，某医疗公司积极复工，加班加点生产医用防护服，为防控一线助力．以下是该公司以往的市场调查，发现该公司防护服的日销售量y（套）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，如下图所示，关于日销售利润w（元）和销售单价x（元）的几组对应值如下表：
销售单价x（元）
85
95
105
日销售利润w（元）
875
1875
1875
（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价一成本单价））
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）根据函数图象和表格所提供的信息，填空：
该公司生产的防护服的成本单价是 元，当销售单价x＝ 元时，日销售利润w最大，最大值是 元；
（3）该公司复工以后，在政府部门的帮助下，原材料采购成本比以往有了下降，平均起来，每生产一套防护服，成本比以前下降5元．该公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，如果在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？
24．（9分）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；
（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．
25．（10分）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行或重合，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形，点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形．例如，图①中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3，都是点A，B，C的外延矩形，矩形A3B3CD3是点A，B，C的最佳外延矩形．
（1）如图②，已知A（﹣1，0），B（3，2），点C在直线y＝x﹣1上，设点C的横坐标为t．
①若t＝，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为 ．
②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为9，求t的值．
（2）如图③，已知点M（4，0），n（0，），P（x，y）是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标x的取值范围；
（3）已知D（1，0）．若Q是抛物线y＝﹣x2﹣2mx﹣m2+2m+1的图象在﹣2≤x≤1之间的最高点，点E的坐标为（0，4m），设点D，E，Q的最佳外延矩形的面积为S，当4≤S≤6时，直接写出m的取值范围．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），
①求点M的坐标及⊙M的半径；
②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
2020年湖南省长沙市望城区中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据正数的绝对值是本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是其相反数．
【解答】解：∵﹣的绝对值等于其相反数，
∴﹣的绝对值是．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值，解决本题的关键是掌握绝对值的定义．
2．（3分）某种感冒病毒的直径约为120nm，1nm＝10﹣9m，则这种感冒病毒的直径用科学记数法表示（ ）
A．120×10﹣9m B．1.2×10﹣6m C．1.2×10﹣7m D．1.2×10﹣8m
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中0＜|a|≤1，n为整数．当原数为较大数时，n为整数位数减1；当原数为较小数（大于0小于1的小数）时，n为第一个非0数字前面所有0的个数的相反数．
【解答】解：∵1nm＝10﹣9m，
∴120nm＝120×10﹣9m＝1.2×10﹣7m．
故选：C．
【点评】用科学记数法表示一个数的方法是：
（1）确定a：a是只有一位整数的数；
（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
此题需要先换算单位把米换算成纳米，然后再根据科学记数法的方法表示．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（2a+1）（2a﹣1）＝4a﹣1
C．（﹣2a3）2＝4a6 D．x2﹣8x+16＝（x+4）2
【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、结果是a2﹣2ab+b2，故本选项错误；
B、结果是4a2﹣1，故本选项错误；
C、结果是4a6，故本选项正确；
D、结果是（x﹣4）2，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了乘法公式，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．35°
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB＝75°，由三角形外角的性质可得∠AED的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．
【解答】解：∵AB＝AC，且∠A＝30°，
∴∠ACB＝75°，
在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°，
∴∠AED＝145°﹣30°＝115°，
∵a∥b，
∴∠AED＝∠2+∠ACB，
∴∠2＝115°﹣75°＝40°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．
5．（3分）在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a☆b＝，根据这个规则x☆（x+1）＝的解为（ ）
A．x＝ B．x＝1 C．x＝﹣或1 D．x＝或﹣1
【分析】关键根据题中已知条件找出规则，代入要求的式子求解．
【解答】解：∵x☆（x+1）＝．
∴+＝．
．
即3x2﹣x﹣2＝0．
（x﹣1）（3x+2）＝0．
∴x﹣1＝0或3x+2＝0．
∴x＝1或x＝﹣（不合题意，舍去）．
故选：B．
【点评】本题属于分式方程，用因式分解求解较简单．
6．（3分）如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有一个正方形，如图所示：
．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
7．（3分）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：
组员
甲
乙
丙
丁
戊
平均成绩
众数
得分
81
77
■
80
82
80
■
则被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．80，80 B．81，80 C．80，2 D．81，2
【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
80×5﹣（81+77+80+82）＝80（分），
则丙的得分是80分；
众数是80，
故选：A．
【点评】考查了众数及平均数的定义，解题的关键是根据平均数求得丙的得分，难度不大．
8．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0的根的情况，下面判断正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个实数根 D．无实数根
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△＝（﹣k﹣3）2﹣4（2k+2）
＝k2﹣2k+1
＝（k﹣1）2≥0，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的的判别式，本题属于基础题型．
9．（3分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：
组别（cm）
x＜160
160≤x＜170
170≤x＜180
x≥180
人数
5
38
42
15
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（ ）
A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15
【分析】先计算出样本中身高不低于180cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【解答】解：样本中身高不低于180cm的频率＝＝0.15，
所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15．
故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
10．（3分）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径长为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．3
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB的度数，由圆周角定理可知∠AOB＝90°，故可得出∠ABO的度数，根据直角三角形的性质即可得出AB的长，进而得出结论．
【解答】解：∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO＝120°，
∴∠BAO＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB是⊙C的直径，
∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝90°﹣60°＝30°，
∵点A的坐标为（0，3），
∴OA＝3，
∴AB＝2OA＝6，
∴⊙C的半径长＝＝3．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．
11．（3分）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E为边BC上的点，以DE为边向外作矩形DEFG，使FG过点A，若DG＝，那么DE＝（ ）
A．5 B．3 C． D．
【分析】先利用等角的余角证明∠ADG＝∠EDC，再根据相似三角形的判定方法证明△ADG∽△CDE，然后利用相似比计算DE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°，
∵四边形DEFG为矩形，
∴∠EDG＝∠G＝90°，
∵∠ADG+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADG＝∠EDC，
∴△ADG∽△CDE，
∴＝，即＝，
∴DE＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了相似三角形的判定与性质．
12．（3分）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由A、C关于BD对称，推出PA＝PC，推出PC+PE＝PA+PE，推出当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6，推出BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，分别求出PE+PC的最小值，PD的长即可解决问题．
【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，
∴易证AE⊥BC，
∵A、C关于BD对称，
∴PA＝PC，
∴PC+PE＝PA+PE，
∴当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，即AE的长．
观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6，
∴BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，
∴在Rt△AEB中，AE＝2，
∴PC+PE的最小值为2，
∴点H的纵坐标a＝2，
∵BC∥AD，
∴＝2，
∵BD＝4，
∴PD＝＝，
∴点H的横坐标b＝，
∴a+b＝2+＝；
故选：C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算：（﹣）﹣1﹣＝ 0 ．
【分析】原式利用负整数指数幂法则，立方根定义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣2﹣（﹣2）＝﹣2+2＝0，
故答案为：0
【点评】此题考查了实数的运算，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（3分）用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A、B两种型号的钢板共 11 块．
【分析】设需用A型钢板x块，B型钢板y块，根据“用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品”，可得出关于x，y的二元一次方程组，用（①+②）÷5可求出x+y的值，此题得解．
【解答】解：设需用A型钢板x块，B型钢板y块，
依题意，得：，
（①+②）÷5，得：x+y＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．（3分）如图，△ABC中，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于E、F点，分别以点E、F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，做射线BG，交AC于点D，过点D作DH∥BC交AB于点H．已知HD＝3，BC＝7，则AH的长为 ．
【分析】根据题意可知射线BG是∠ABC的平分线，从而可得△HBD是等腰三角形，且HD＝HB，再根据相似三角形对应边成比例可求AH的长．
【解答】解：由题意可知射线BG是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD
而DH∥BC
∴∠HDB＝∠CBD
∴∠ABD＝∠HDB
∴HB＝HD＝3
又∵DH∥BC
∴△AHD∽△ABC
∴
即：
得AH＝
故答案为．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，利用相似三角形对应边成比例进行解题是关键．
16．（3分）不等式组的解集为 ﹣7≤x＜1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣2）＞4，得：x＜1，
解不等式≤，得：x≥﹣7，
则不等式组的解集为﹣7≤x＜1，
故答案为：﹣7≤x＜1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E为射线CB上一动点（不与点C重合），将△CDE沿DE所在直线折叠，点C落在点C′处，连接AC′，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为 4﹣或4+ ．
【分析】由矩形的性质得出∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，由折叠的性质得C'D＝CD＝3，C'E＝CE，证A、C'、E三点共线，设CE＝C'E＝x，①点E在线段CB上时，由勾股定理得出AC'＝，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②点E在线段CB的延长线上时，由勾股定理得出AC'＝，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，
由折叠的性质得：C'D＝CD＝3，C'E＝CE，∠DC'E＝∠C＝90°，
设CE＝C'E＝x，
当△AC′D为直角三角形时，则∠AC'D＝90°，
∴∠AC'D+∠DC'E＝180°，
∴A、C'、E三点共线，
分两种情况：
①点E在线段CB上时，如图1所示：
则∠DC'E＝∠C＝90°，
∴∠AC'D＝90°，
∴AC'＝＝＝，
在Rt△ABE中，BE＝4﹣x，AE＝x+，
由勾股定理得：（4﹣x）2+32＝（x+）2，
解得：x＝4﹣，
∴CE＝4﹣；
②点E在线段CB的延长线上时，如图2所示：
则∠DC'E＝∠C＝90°，
∴AC'＝＝＝，
在Rt△ABE中，BE＝x﹣4，AE＝x﹣，
由勾股定理得：（x﹣4）2+32＝（x﹣）2，
解得：x＝4+，
∴CE＝4+；
综上所述，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为4﹣或4﹣；
故答案为：4﹣或4+．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
18．（3分）在滑草过程中，小明发现滑道两边形如两条双曲线，如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3…反比例函数y＝（k＞1，x＞0）的图象上，A1B1∥A2B2…∥y轴，已知点A1，A2…的横坐标分别为1，2，…，令四边形A1B1B2A2、A2B2B3A3、…的面积分别为S1、S2、…．
（1）用含k的代数式表示S1＝ （k﹣1） ．
（2）若S19＝39，则k＝ 761 ．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的特征和平行于y轴的直线的性质计算A1B1、A2B2、…，最后根据梯形面积公式可得S1的面积；
（2）分别计算S2、S3、…Sn的值并找规律，根据已知S19＝39列方程可得k的值．
【解答】解：（1）∵A1B1∥A2B2…∥y轴，
∴A1和B1的横坐标相等，A2和B2的横坐标相等，…，An和Bn的横坐标相等，
∵点A1，A2…的横坐标分别为1，2，…，
∴点B1，B2…的横坐标分别为1，2，…，
∵点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3…反比例函数y＝（k＞1，x＞0）的图象上，
∴A1B1＝k﹣1，A2B2＝﹣，
∴S1＝×1×（﹣+k﹣1）＝（k﹣）＝，
故答案为：；
（2）由（1）同理得：A3B3＝﹣＝，A4B4＝，…，
∴S2＝[+（k﹣1）]＝（k﹣1），S3＝[]＝…，
∴Sn＝，
∵S19＝39，
∴×（k﹣1）＝39，
解得：k＝761，
故答案为：761．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，这里体现了数形结合的思想，确定A1B1，A2B2的长是关键，也是图形和数字类的规律问题，值得重视．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23，24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）先化简 （﹣）÷，然后从2，1，﹣1 中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
【分析】首先对括号内的分式的分母分解因式，把除法转化为乘法，再计算括号内的分式加法，继而计算乘法计算即可化简，然后代入使原式有意义的x的值计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝，
∵（x+1）（x﹣1）≠0且x≠0，
∴x≠±1且x≠0，
∴x＝2，
则原式＝2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
20．（6分）计算：4sin60°﹣|﹣1|+（﹣1）0+
【分析】将特殊锐角三角函数值代入、计算绝对值、零指数幂、化简二次根式，再进一步计算可得．
【解答】解：原式＝4×﹣1+1+4
＝2+4
＝6．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握特殊锐角三角函数值、绝对值性质、零指数幂、二次根式性质．
21．（8分）某区教育系统为了更好地宣传扫黑除恶专项斗争，印制了应知应会手册，该区教育局想了解教师对扫黑除恶专项斗争应知应会知识掌握程度，抽取了部分教师进行了测试，并将测试成绩绘制成下面两幅统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下面问题：
（1）计算样本中，成绩为98分的教师有 14 人，并补全两个统计图；
（2）样本中，测试成绩的众数是 98 ，中位数是 100 ；
（3）若该区共有教师6880名，根据此次成绩估计该区大约有多少名教师已全部掌握扫黑除恶专项斗争应知应会知识？
【分析】（1）先根据96分人数及其百分比求得总人数，再根据各组人数之和等于总数可得98分的人数；
（2）根据中位数和众数的定义可得；
（3）利用样本中100分人数所占比例乘以总人数可得．
【解答】解：（1）本次调查的人数共有10÷20%＝50人，
则成绩为98分的人数为50﹣（20+10+4+2）＝14（人），
补全统计图如下：
故答案为：14；
（2）本次测试成绩的中位数为＝98分，众数100分，
故答案为：98，100；
（3）∵6880×＝2752，
∴估计该区大约有2752名教师已全部掌握扫黑除恶专项斗争应知应会知识．
【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图的知识，解答本题的关键是利用差生的人数及所占的比例求出调查的总人数，要学会读图获取信息的能力．
22．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点O在BC上，以线段OC的长为半径的⊙O与AB相切于点D，分别交BC、AC于点E、F，连接ED并延长，交CA的延长线于点G．
（1）求证：∠DOC＝2∠G．
（2）已知⊙O的半径为3．
①若BE＝2，则DA＝ ．
②当BE＝ 3 时，四边形DOCF为菱形．
【分析】（1）由⊙O与AB相切于点D推出∠OBD为90°，证明OD∥GC，推出∠G＝∠ODE＝∠OED，由三角形外角的性质即可推出结论；
（2）①利用勾股定理求出BD的长，再利用△BOD与△BCA相似，即可求出AD的长；
②连接DF，OA，将四边形DOCF为菱形作为条件，求出DF的长，再利用三角函数求出AF的长，进一步得到AC的长，再利用△BOD与△BCA相似即可求出BE的长．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∴∠BAC＝∠ODB＝90°，
∴OD∥CG，
∴∠G＝∠ODE，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵∠DOC＝∠ODE+∠OED，
∴∠DOC＝2∠ODE＝2∠G；
（2）解：①在Rt△BOD中，
OD＝3，OB＝OE+BE＝5，
∴BD＝＝4，
由（1）知，OD∥CG，
∴△BOD∽△BCA，
∴＝，
即＝，
∴AD＝，
故答案为：；
（3）如下图，连接DF，OF，
当四边形DOCF为菱形时，
DF＝CF＝OC＝OD＝3，
∵OF＝3，
∴△ODF为等边三角形，
∴∠ODF＝60°，
∴∠ADF＝90°﹣∠ODF＝30°，
在Rt△DAF中，DF＝3，
∴AF＝3×＝，
∴AC＝CF+AF＝，
由（2）知，∴△BOD∽△BCA，
∴＝，
即＝，
∴BE＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质等，解题的关键是能够灵活运用相似三角形的性质与菱形的性质．
23．（9分）武汉“新冠肺炎”发生以来，某医疗公司积极复工，加班加点生产医用防护服，为防控一线助力．以下是该公司以往的市场调查，发现该公司防护服的日销售量y（套）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，如下图所示，关于日销售利润w（元）和销售单价x（元）的几组对应值如下表：
销售单价x（元）
85
95
105
日销售利润w（元）
875
1875
1875
（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价一成本单价））
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）根据函数图象和表格所提供的信息，填空：
该公司生产的防护服的成本单价是 80 元，当销售单价x＝ 100 元时，日销售利润w最大，最大值是 2000 元；
（3）该公司复工以后，在政府部门的帮助下，原材料采购成本比以往有了下降，平均起来，每生产一套防护服，成本比以前下降5元．该公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，如果在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？
【分析】（1）设y与x之间的函数解析式为：y＝kx+b，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）根据题意得到合适解析式，然后根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）设产品的成本单价为b元，根据题意列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为：y＝kx+b，
由题意得，，
解得：，
∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣5x+600（80≤x≤120）；
（2）设成本单价是a元，
由题意得，（﹣5×85+600）×（85﹣a）＝875，
解得：a＝80，
∴该公司生产的防护服的成本单价是80元；
∵w＝（﹣5x+600）（x﹣a）＝﹣5x2+（600+5a）x﹣600a＝﹣5（x﹣100）2+2000，
∴当x＝100时，W最大＝2000，
即每件销售单价为100元时，每天的销售利润最大，最大利润是2000；
故答案为：80，100，2000；
（3）设产品的成本单价为b元，
当x＝90时，（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，
解得：b≤65，
答：产品的成本单价应不超过65元．
【点评】此题主要考查了二次函数和一次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
24．（9分）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；
（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．
【分析】（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．只要证明△AMH≌△FME，推出MH＝ME，AH＝EF＝EC，推出DH＝DE，因为∠EDH＝90°，可得DM⊥EM，DM＝ME；
（2）结论不变，证明方法类似；
（3）分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；
【解答】解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．
理由：如图1中，延长EM交AD于H．
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，
∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME．
（2）如图2中，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM．
理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，
∴AD∥EF，
∴∠MAH＝∠MFE，
∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，
∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，
∴DH＝DE，
∵∠EDH＝90°，
∴DM⊥EM，DM＝ME．
（3）如图3中，连接DE．延长EM到H，使得MH＝ME，连接AH，延长FE交AD的延长线于K．作MR⊥DE于R．
易证△AMH≌△FME（SAS），
∴AH＝EF＝EC，∠MAH＝∠MFE，
∴AH∥DF，
∴∠DAH+∠ADE＝180°，
∴∠DAH+∠CDE＝90°，
∵∠DCE+∠EDC＝90°
∴∠DAH＝∠DCE，
∵DA＝DC，
∴△DAH≌△DCE（SAS），
∴DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，
∴∠HDE＝∠ADC＝90°，
∵ME＝MH，
∴DM⊥EH，DM＝MH＝EM，
在Rt△CDE中，DE＝＝12，
∵DM＝ME，DM⊥ME，
∴MR⊥DE，MR＝DE＝6，DR＝RE＝6，
在Rt△FMR中，FM＝＝＝
如图4中，作MR⊥DE于R．
在Rt△MRF中，FM＝＝，
故满足条件的MF的值为或．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．
25．（10分）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行或重合，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形，点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形．例如，图①中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3，都是点A，B，C的外延矩形，矩形A3B3CD3是点A，B，C的最佳外延矩形．
（1）如图②，已知A（﹣1，0），B（3，2），点C在直线y＝x﹣1上，设点C的横坐标为t．
①若t＝，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为 8 ．
②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为9，求t的值．
（2）如图③，已知点M（4，0），n（0，），P（x，y）是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标x的取值范围；
（3）已知D（1，0）．若Q是抛物线y＝﹣x2﹣2mx﹣m2+2m+1的图象在﹣2≤x≤1之间的最高点，点E的坐标为（0，4m），设点D，E，Q的最佳外延矩形的面积为S，当4≤S≤6时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①以AB为对角线的矩形面积即为所求．
②分两种情况讨论：C在x轴下方；C在B点右上方．分别列方程求解即可．
（2）分别令y等于M、N的纵坐标，解出方程并结合图形即可得出答案．
（3）先求出抛物线的顶点坐标，然后讨论抛物线对称轴与所给的x的范围的关系，对于每一种情况，分别表示出S，再根据S的范围解不等式组即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）①如图②，作矩形ANBM，
∵t＝，
∴C（，），
∵A（﹣1，0），B（3，2），
∴C在矩形ANBM内部，
此时，矩形ANBM是点A，B，C的最佳外延矩形．
S矩形ANBM＝AM•BM＝（3+1）（2﹣0）＝8．
故答案为8．
②若C在x轴下方，则：
4[2﹣（t﹣1）]＝9，解得t＝．
若C在B点右上方，则：
（t+1）（t﹣1）＝9，解得t1＝﹣（舍），t2＝．
综上所述，t的值为或．
（2）令y＝﹣x2+2x+3＝，解得x1＝1+，x2＝1﹣，
令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值为4×＝14，
此时P点横坐标x的取值范围为：
0≤x≤1﹣或1+≤x≤3．
（3）∵y＝﹣x2﹣2mx﹣m2+2m+1＝﹣（x+m）2+2m+1，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣m，2m+1）．
当1≤﹣m即m≤﹣1时，Q点坐标为（1，﹣m2）
若﹣m2＜4m，则m＞0（舍）或m＜﹣4，
此时S＝m2，
∵4≤S≤6，
∴﹣≤m≤﹣2（舍）．
若﹣m2≥4m，则﹣4≤m≤0，
此时S＝﹣4m，
∴4≤﹣4m≤6，解得：﹣≤m≤﹣1，
当﹣2＜﹣m＜1即﹣1＜m＜2时，Q点的坐标就是抛物线顶点，
S＝4m（m+1），
∴4≤4m（m+1）≤6，解得≤m≤，
当﹣m≤﹣2即m≥2时，4m≥8，不合题意，舍去．
综上所述，m的取值范围为：≤m≤或﹣≤m≤﹣1．
【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了矩形的性质、一次函数与二次函数图象上点的坐标特点、一元二次方程与不等式等重要知识点．正确理解“最佳外延矩形”的含义并会分类讨论是解答本题的关键．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），
①求点M的坐标及⊙M的半径；
②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣4b﹣2，解得：b＝﹣，即可求解；
（2）S△ABD＝＝，则BN＝，sin∠BDH＝＝，即可求解；
（3）①∠ADB＝45°，则∠AMB＝2∠ADB＝90°，MA＝MB，MH⊥AB，AH＝BH＝HM＝，点M的坐标为（，）⊙M的半径为；
②PH＝HB＝5，则＝，＝，故△HMQ∽△QMP，则＝，即可求解．
【解答】解：（1）c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣4b﹣2，解得：b＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）当x＝5时，y＝x2﹣x﹣2＝3，故D的坐标为（5，3），
令y＝0，则x＝4（舍去）或﹣1，故点A（﹣1，0），
如图①，连结BD，作BN⊥AD于N，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
∴AD＝3，BD＝，
∵S△ABD＝＝，
∴BN＝，
∴sin∠BDH＝＝，
∴∠BDH＝45°；
（3）①如图②，连接MA，MB，
∵∠ADB＝45°，
∴∠AMB＝2∠ADB＝90°，
∵MA＝MB，MH⊥AB，
∴AH＝BH＝HM＝，
∴点M的坐标为（，）⊙M的半径为；
②如图③，连接MQ，MB，
∵过点B作⊙M的切线交1于点P，
∴∠MBP＝90°，
∵∠MBO＝45°，
∴∠PBH＝45°，
∴PH＝HB＝5，
∵＝，＝，
∵∠HMQ＝∠QMP，
∴△HMQ∽△QMP，
∴＝，
∴在点Q运动过程中的值不变，其值为．
【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质．圆的基本性质．解决（3）问的关键是构造相似三角形实现比的转换．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/6/19 15:57:26；用户：西安万向思维数学；邮箱：xianwanxiang005@xyh.com；学号：24602080
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