专题03 点击数学思想方法（讲） 2022年七年级数学寒假辅导讲义（人教版）

专题03 点击数学思想方法

数学思想一：整体思想
整体代入
【例1－1】（2020·湖北武汉市月考）当时，多项式的值为6，则当时，的值为（ ）
A．－6 B． C． D．
【答案】C.
【解析】解：
由题意得：43a+4b+1=6，即64a+4b=5，
当x=－4时，
ax3+bx+1
=（－4）3a－4b+1
=－64a－4b+1
=－5+1=－4.
故答案为：C．
【例1－2】（2020·乐亭县期末）如果，那么代数式的值是（ ）
A．0 B．2 C．5 D．8
【答案】D.
【解析】解：
因为a－3b=－3，
所以5－a+3b
=5－(a－3b)
=5－(－3)=8，
故答案为：D．
【变式1－1】（2020·恩施月考）已知，则的值为（ ）
A．－5 B．－3 C．5 D．3
【答案】C.
【解析】解：
∵x2－x－1=0，
∴x2－x =1，
3x2－3x+2
=3（x2－x）+2
=5
故答案为：C ．
【变式1－2】（2020·郑州市期中）若，则_________．
【答案】－1.
【解析】解：∵a－3b=4，
∴原式=（a－3b）2－（a－3b）－13
=42－4－13
=－1．
故答案为－1．
数学思想二：分类讨论思想
【例2－1】（2020·武强县月考）已知数轴上a与b相差6个单位长度，若，则b的值为（ ）
A．4 B．－4或8
C．－8 D．4或－8
【答案】D.
【解析】解：
数轴上a与b相差6个单位长度，则|a－b|=6，
∵－a=2，∴a=－2
即|－2－b|=6
解得b=4或b=－8
故答案为：D．
【例2－2】（2020·西安市期中）已知非零有理数x，y满足+＝﹣2，则﹣为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】B.
【解析】解：∵+＝﹣2
∴x<0，y<0
∴xy＞0
∴﹣．
故答案为B．
【变式2－1】（2020·曲江期中）已知a，b为非零的实数，则的可能值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B.
【解析】解：①当a＞0，b＞0时，＝1＋1＋1＝3，
②当a＞0，b＜0时，＝1－1－1=－1，
③当a＜0，b＞0时=－1+1－1=－1，
④当a＜0，b＜0时，＝－1－1+1＝−1，
∴可能值的个数为2
故答案为：B．
【变式2－2】（2020·沛县月考）已知，m、n互为相反数，p、q互为倒数，且=2，则=_____
【答案】2011.
【解析】解：由题意得：m+n=0，pq=1, a=2或a=－2
∴a2=4
原式=0+2010+1=2011
故答案为：2011．
【例3－1】（2020·城固县月考）如图，，射线平分，以为一边作，则的度数为（ ）

A．15° B．45° C．15°或30° D．15°或45°
【答案】D.
【解析】解：①当射线OP位于射线OA和OC之间时，

∠BOP=∠BOC+∠COP
=30°+15°
=45°.
②当射线OP位于射线OB和OC之间时，

同理，∠BOP=∠BOC－∠COP=30°－15°=15°
故答案为：D.
【例3－2】（2020·张家口期末）已知，自顶点引射线，若，那么的度数是（ ）
A．10° B．40° C．70° D．10°或70°
【答案】D.
【解析】解：∵∠AOB=30°，∠AOC：∠AOB=4：3，
∴∠AOC=40°，
分为两种情况：①当OC和OB在OA的两侧时，
   
∠BOC=∠AOB+∠AOC=30°+40°=70°
②OC和OB在OA的同侧时，

∠BOC=∠AOC－∠AOB=40°－30°=10°
故答案为：D．
【变式3－1】（2020·射洪县月考）在同一平面内，若∠AOB＝90º，∠BOC＝40º，则∠AOB的平分线与∠BOC 的平分线的夹角等于( )．
A．65º B．25º C．65º或25º D．60º或20º
【答案】C.
【解析】解：
（1）当OC在∠AOB内部时，

∵∠AOB=90°，∠BOC=40°，OD，OE是∠AOB的与∠BOC的平分线，
∴∠AOD=∠DOB=∠AOB=×90°=45°，∠BOE=∠EOC=∠BOC=×40°=20°，
∴∠DOE=∠DOB－∠EOB=45°－20°=25°；
（2）当OC在∠AOB外时，

同理，∠DOE=∠DOB+∠EOB=45°+20°=65°；
故答案为：C.
【变式3－2】（2020·南通市月考）已知两个角分别为35°和125°，且这两个有一条公共边，则这两个角的平分线所成的角为__________．
【答案】80°或45°.
【解析】解：（1）当两个角有一个公共边，另一边在“公共边”的两侧时，
则这两个角的平分线所成的角为=80°
（2）当两个角有一个公共边，另一边在“公共边”的同侧时，
则这两个角的平分线所成的角为=45°
故答案为：80°或45°．
【例4－1】（2020·哈尔滨市月考）现在秋菜大量上市，一种大葱售价2元/千克，如果买10千克以上全部按九折销售，买10千克及以下不打折，坤叔买这种大葱花了19.8元，那么他买了______千克的这种大葱．
【答案】9.9或11.
【解析】解：
设他买了x千克的大葱，根据题意得，
若x≤10时，则2x=19.8，解得x=9.9；
若x>10，则2x×0.9=19.8，解得x=11；
故答案为：9.9或11．
【例4－2】（2020·保定市期中）2020年元旦，班主任老师组织同学一起去看电影，电影院规定：票价每张45元，20张以上（不含20张）全部打八折，他们一共花了900元，则他们买到的电影票的张数可能是__________ ．
【答案】20或25.
【解析】解：①当票数不超过20张（包括20张）时，设票数为x张，
由题意得：45x=900，解得x=20
②当票数超过20张时，设票数为x张，
由题意得：45×0.8x=900，解得x=25
故答案为20或25．
【变式4－1】（2020·北京月考）小林家附近有甲、乙两个大型超市同一种商品的质量、标价都一样，国庆期间，两家超市都进行了促销，相关信息如下：
甲超市：全场商品9折销售
乙超市：不超过200元的部分，不给予优惠；超过200元，不超过500元的部分，八五折销售；超过500元的部分，8折销售
（1）在甲、乙超市购买标价为600元的商品时，实际付款分别是多少元？
（2）促销期间，小林分别去甲、乙超市各购买了一些商品，标价合计为1200元，实际付款合计为1098元．小林爸爸笑着对他说：“宝贝，你可以用更少的钱购买到这1200的商品哟．”请完成下面问题：
①购买这1200元商品（可以全部在同一个超市购买，也可以在两个超市分别购买一些），最少只需要花_________元．
②请求出小林在乙超市实际购买的商品标价为多少元？
【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意可得：
在甲超市购买标价为600元的商品时，实际付款600×90%=540（元）
在乙超市购买标价为600元的商品时，实际付款（600－500）×80%＋（500－200）×85%＋200=535（元）.
（2）①最少只需要花（1200－500）×80%＋（500－200）×85%＋200=1015（元）
故答案为：1015；
②设小林在乙超市实际购买的商品标价为x元， 在甲超市实际购买的商品标价为（1200－x）元
当0＜x≤200时，由题意可得x＋90%（1200－x）=1098
解得：x=180，
当200＜x≤500时，由题意可得85%（x－200）＋200＋90%（1200－x）=1098
解得：x=240，
当x＞500时，由题意可得80%（x－500）＋85%（500－200）＋200＋90%（1200－x）=1098
解得：x=370，舍去．
答：小林在乙超市实际购买的商品标价为180元或240元．
【例5－1】（2020·四川广安市月考）如图，是直角，射线从出发，以每秒度的速度顺时针方向转动；射线 从出发，以每秒度的速度逆时针方向转动．当与成一直线时停止转动．
（1）__________秒时，与重合；
（2）当与的夹角是度时，求转动的时间是多少秒？

【答案】（1）9；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）设x秒时，OC与OD重合，则8x+2x=90，
解得：x=9，
故答案为9；
（2）设转动t秒时，OC与OD的夹角是30°
根据题意，得：8t+2t＝90－30或8t+2t＝90+30
解得t=6或t＝12.
【变式5－1】（2020·滨州市期末）已知一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，，
（1）图1中∠BOD=______°
（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕着点O按顺时针方向旋转一个角度α，在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方：
当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度α的值；
是否存在∠BOC=2∠AOD？若存在，求此时的α的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）75（2）见解析.
【解析】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，
∴∠BOD＝180°−∠AOB−∠COD＝75°，
故答案为75；
（2）①当OB平分∠AOD时，
∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝180°−∠AOE−∠COD＝120°−α，
∴∠AOB＝∠AOD＝60°−α＝45°，
∴α＝30°，
当OB平分∠AOC时，
∵∠AOC＝180°−α，
∴∠AOB=90°−α＝45°，
∴α＝90°；
当OB平分∠DOC时，
∵∠DOC＝60°，
∴∠BOC＝30°，
∴α＝180°−45°−30°＝105°，
综上所述，旋转角度α的值为30°，90°，105°；
②当OA在OD的左侧时，则∠AOD＝120°−α，∠BOC＝135°−α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°−α＝2（120°−α），
∴α＝105°；
当OA在OD的右侧时，则∠AOD＝α−120°，∠BOC＝135°−α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°−α＝2（α−120），
∴α＝125°，
综上所述，当α＝105°或125°时，存在∠BOC＝2∠AOD．

数学思想三：数形结合思想
【例6－1】（2020·沛县月考）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为 1cm，若在数轴上随意画出一条长为100cm的线段，则线段AB覆盖的整点有 ________个
【答案】100或101.
【解析】解：依题意得：
①当线段AB起点在整点时覆盖101个数，
②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖100个数，
故答案为：100或101．
【例6－2】（2020·西宁市期中）在数轴上与﹣3的距离等于4的点表示的数是_____________．
【答案】－7或1.
【解析】解：在数轴上与﹣3的距离等于4的点表示的数有两个，
在数轴上分别位于﹣3的左右两侧，是－7或1，
故答案为：－7或1．
【例6－3】（2020·浙江模拟）一个三角板顶点B处刻度为“0”如图1，直角边落在数轴上，刻度“30”和“20”分别与数轴上表示数字和的点重合，现将该三角板绕着点B顺时针旋转90°，使得另一直角边落在数轴上，此时边上的刻度“15”与数轴上的点P重合，则点P表示的数是_______．

【答案】6.
【解析】解：∵刻度“30”和“20”分别与数轴上表示数字－3和－1的点重合，
∴三角板上的长度“10”对应数轴上的长度2，
∴三角板上的长度“15”等于数轴上的长度是3，
∵点B到表示－1的点的长度是“20”，
∴对应数轴上的长度是4，则点B表示的数是3，
∴点P表示的数是6．
故答案是：6．
【例6－4】（2020·宜兴月考）对于有理数a，b，n，d，若则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，则2和3关于1的“相对关系值”为3．
若a和2关于1的“相对关系值”为4，则a的值_____________
【答案】－2或4.
【解析】解：（1）由题意得：|a－1|+1=4，
解得：a=－2或a=4，
故答案为：－2或4.
【例6－5】（2019·长春市期末）定义：A，B，C为数轴上三点，当点C在线段上时，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们称点C是的美好点．例如：如图①，点A表示数－1，点B表示数2，点C表示数1，点D表示数0．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．

如图②，M，N为数轴上两点，点M表示数－7，点N表示数2．

（1）①求的美好点表示的数为__________．
②求的美好点表示的数为_____________．
（2）数轴上有一个动点P从点M出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动．设点P运动的时间为t秒，当点P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点时，求t的值．
【答案】（1）①－1；②－4；（2）t的值1.5，2.25，3，6.75，9，13.5.
【解析】解：（1）已知点M表示数－7，点N表示数2，由题意可设N到美好点的距离为x，则(M，N)的美好点为2x+x=2－(－7)，3x=9，x=3
∴①(M，N)的美好点为－7+2×3=－1；②(N，M)的美好点为－7+3=－4；
（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
①当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，
当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2－3=－1，
t=1.5秒；
②当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，
当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2－6=－4，
t=3秒；
③P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，
当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2－18=－16，
t=9秒；
④M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，
当MP=2MN时，NP=27，点P对应的数为2－27=－25，
t=13.5秒；
⑤M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，
当MN=2MP时，NP=13.5，点P对应的数为2－13.5=－11.5，
t=6.75秒；
⑥M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，
当MN=2MP时，NP=4.5，
t=2.25秒；
⑦N为【P，M】的美好点，点P在M左侧，
当PN=2MN时，NP=18，
t=9秒，
⑧N为【M，P】的美好点，点P在M右侧，
当MN=2PN时，NP=4.5，
t=2.25秒，
综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．
【变式6－1】（2020·河北衡水市期中）自主学习：
连接两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离．
[问题1]数轴上任意两点之间的距离与这两点对应的数的关系．观察数轴如图，填空：
①点与点的距离是2；
②点与点的距离是________；
③点与点的距离是________；
[发现1]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则、两点之间的距离是________（用含，的代数式表示）
如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点．
[问题2]以数轴上任意两点为端点的线段中点所表示的数与这两个点对应的数的关系．
①的中点表示的数是1；
②的中点表示的数是________；
③的中点表示的数是________；
[发现2]在数轴上如果点对应的数是，点对应的数是，则线段的中点对应的数是________（用含，的代数式表示）
[应用]在数轴上，点表示的数为－6，且、两点之间的距离是9，则线段的中点表示的数是________．

【答案】见解析.
【解析】解：[问题1]
②2；③4；
[发现1]

[问题2]
②AC的中点表示的数是=－2；
③BG的中点表示的数是；
[发现2]
．
[应用]
由题意得|－6－n|=9，
解得：n=3或n=－15，
线段MN中点P表示的数为或.
【变式6－2】（2020·合肥市期中）如图，、两点在数轴上，这两点在数轴对应的数分别为、．点、分别从，两点同时出发，在数轴上运动，它们的速度分别是个单位/秒、个单位/秒，它们运动的时间为秒，点对应的数是．（规定：数轴上两点，之间的距离记为）

（1）如果点、在、之间相向运动，当它们相遇时，_____，此时点所走的路程为______，点所走的路程为______，则点对应的数是_______；
（2）如果点、都向左运动，当点追上点时，求点对应的数；
（3）如果点、在点、之间相向运动，当时，求点对应的数；
【答案】（1）、、、；（2）（3）见解析．
【解析】解：（1）设经过t秒时，点P与点Q相遇，由题意得：
2t+4t=16－（－12）
∴6t=28
∴t=
∴此时点P所走的路程为，
点Q所走的路程为
点P对应的数为：－12+2×=－
故答案为：、、、
（2）因为AB=28个单位，
所以Q追上P的时间t=14秒，所以点P对应的数为－40
（3）当PQ=8时，分两种情况：
①P、Q相遇前相距8个单位，t=
此时点P对应的数为－12+2×=．
②P、Q相遇后相距8个单位，t=6，此时点P对应的数为0
综上所述，点P对应的数为或0．
【变式6－3】（2020·台州市期中）“收获是努力得来的”，在数轴上，若点C到点A的距离刚好是3，则点C叫做点A的“收获点”，若点C到A、B两点的距离之和为6，则点C叫做A、B的“收获中心”．
（1）如图1，点A表示的数为﹣1，则A的收获点C所表示的数应该是　　　　；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2，点C就是M、N的收获中心，则C所表示的数可以是　　　　（填一个即可）；
（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为﹣1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过t秒时，电子蚂蚁是A和B的收获中心，求t的值．

【答案】（1）－4或2；（2）－2或－1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）1.75秒或4.75秒.
【解析】解：（1）A的收获点C所表示的数应该是－1－3=－4或－1+3=2；
（2）∵4－（－2）=6，
∴M，N之间的所有数都是M，N的收获中心．
故C所表示的数可以是－2或－1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；
（3）设经过x秒时，电子蚂蚁是A和B的收获中心，依题意有
①8－2x－4+（8－2x+1）=6，
解得x=1.75；
②4－（8－2x）+[－1－（8－2x）]=6，
解得x=4.75．
故当经过1.75秒或4.75秒时，电子蚂蚁是A和B的收获中心．
数学思想四：方程思想
【例7－1】（2020·成都市月考）如图，在数轴上所对应的数为．
（1）点与点相距4个单位长度，则点所对应的数为______．
（2）在（1）的条件下，如图，点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离．

（3）如图，若点对应的数是10，现有点从点出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点从点出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒．在运动过程中，到的距离、到的距离以及到的距离中，是否会有某两段距离相等的时候？若有，请求出此时的值；若没有，请说明理由．

【答案】见解析.
【解析】解：
（1）点B在点A左侧时，B为：－6，点B在点A右侧时，B为：2.
（2）①当B对应的数为－6时，AB=4
②当B对应的数为2时，AB=12
综上所述，A，B两点之间的距离为4或12．
（3）由题可知：P点表示的数为－2+4t，
Q点表示的数为10+t，
∴AP=4t，BQ=t，PQ=|12－3t|，PB=|12－4t|，
分三种情况：
①当PB=BQ时，
B为PQ中点或P与Q重合，
则12－4t=t或4t－12=t
解得t=2.4或t=4.
②当PB=PQ时，
P为BQ中点或B，Q重合，
则t=2(4t－12)或t=0（舍）
解得t=
③当BQ=PQ时，
则4t－2t=12或4t=12
解得t=6或t=3．
【变式7－1】（2020·江苏盐城市月考）七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为t秒（t＞0），请你试着解决他们提出的下列问题：
　　　　
（1）OA顺时针转动，OB逆时针转动，当t＝ 秒时，OA与OB第一次重合；
（2）OA顺时针转动，OB逆时针转动，当t＝3秒时，∠AOB＝　　 °；
（3）若他们同时顺时针转动，t为何值时，OA与OB的夹角为20°？
（4）若他们同时顺时针转动，t为何值时，ON平分OA与OB的夹角？OA平分OB与ON的夹角?
【答案】（1） 9；（2）120；（3）16或20；（4）9，14.4．
【解析】解：（1）设t秒后，OA与OB第一次重合，
根据题意可得：15t+5t=180，
解得t=9，
故答案为：9；
（2）当t=3时，∠AOM=45°，∠BON=15°
∴∠AOB=120°
故答案为：120；
（3）设t秒后，OA与OB的夹角为20°，
①当OA与OB重合之前，
由题意可得：180+5t－15t=20，
解得t=16
②当OA与OB重合之后，
由题意可得：15t－5t=180+20，
解得t=20，
∴t=16秒或t=20秒时，OA与OB的夹角为20°；
（4）由题意知∠BON=5t，∠AON=|180－15t|
∴5t=|180－15t|，
解得t=9或t=14.4.