专题06 平方根、立方根知识讲解 2022年七年级数学寒假辅导讲义

专题06 平方根、立方根知识讲解

知识点一：算术平方根、平方根、立方根概念
【例1－1】（2020·广东东莞月考）在下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】解：∵＝3，
∴选项A错误；
∵±＝±2，
∴选项B错误；
∵＝4，
∴选项C错误；
∵＝3，
∴选项D正确．
故答案为：D．
【例1－2】（2021·河北邯郸期末）可以表示（ ）
A．0.2的平方根 B．的算术平方根 C．0.2的负的平方根 D．的平方根
【答案】C.
【解析】解：由平方根的定义可得0.2的平方根为： ，
其中 为0.2的负的平方根
故答案为：C．
【例1－3】（2020·四川通江县月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．9的平方根是3
B．的平方根是
C．任何一个非负数的平方根都是非负数
D．一个正数的平方根有2个，它们互为相反数
【答案】D.
【解析】解：A、9的平方根是±3，错误；
B、−25的没有平方根，错误；
C、任何一个非负数的算术平方根都是非负数，错误；
D、一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，正确．
故答案为：D．
【例1－4】（2020·鹿邑县期末）若且的算术平方根为，则__________．
【答案】5.
【解析】解：∵b的算术平方根为4，
∴b=16，
∴16=a3-109
∴a =5．
故答案为：5．
【变式1－1】（2020·福建永春月考）下列说法中，不正确的是（ ）
A．非负数才有平方根 B．非负数的算术平方根是非负数
C．任何数都有两个平方根 D．负数没有平方根
【答案】C.
【解析】解：A. 非负数才有平方根，正确；
B. 非负数的算术平方根是非负数，正确；
C. 0只有1个平方根，错误；
D. 负数没有平方根，正确．
故答案为：C．
【变式1－2】（2020·山东济南期中）若，则的立方根是______．
【答案】－1.
【解析】解：∵，
∴3+a=0， 2-b=0，
∴a=-3，b=2
∴a+b=-1
∴a+b的立方根-1．
故答案为：-1．
【变式1－3】（2019·河北邢台期末）有一个正方体的集装箱，原体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加__________．
【答案】1.
【解析】解：设正方体集装箱的棱长为a，
∵体积为64m3，
∴a==4m；
设体积达到125m3的棱长为b，则b= =5m，
∴b-a=5-4=1（m）．
故答案为：1．
【变式1－4】对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成是b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”．
（1）试举一个例子来判断上述结论的猜测是否成立？
（2）若与的值互为相反数，求的值．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）答案不唯一.
如：， 8与﹣8互为相反数；
（2）由已知，得（3﹣2x）+（x+5）＝0，
解得x＝8，
∴1=1=1﹣4＝﹣3．
【变式1－5】（2020·海伦市期中）的算术平方根是________，的相反数是________．
【答案】3；．
【解析】解：∵=9，9的算术平方根为3
∴的算术平方根是3.
的相反数是，
故答案为：3；．
【变式1－6】（2019·海南海口月考）已知是大于小于的整数，的平方根是，
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【答案】（1）a=5；b=2；（2）±3.
【解析】解：∵，且a是大于小于的整数，
∴a=5
∵3a+b-1的平方根是±4，
∴3a+b-1=16
∴b=2
（2）当a=5，b=2时，a+2b=9
∴a+2b的平方根为：±3．
知识点二：算术平方根、平方根、立方根性质
【例2－1】（2020·海伦市期中）某数x的两个不同的平方根是与，则x的值是（ ）
A．11 B．121 C．4 D．
【答案】B.
【解析】解：由题意得：2a+3+a-15=0
解得：a=4
当a=4时，2a+3=11
则x=112=121.
故答案为：B．
【变式2－1】已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．
（1）求m的值；
（2）|a﹣3|（c﹣n）2＝0，a+b+c的立方根是多少？
【答案】（1）121；（2）2.
【解析】解：（1）由正数m的平方根互为相反数，得：
2n+1+4﹣3n＝0，
∴n＝5，
∴2n+1＝11，
∴m＝112＝121；
（2）∵|a﹣3|（c﹣n）2＝0，
∴a＝3，b＝0，c＝n＝5，
∴a+b+c＝3+0+5＝8，
∴a+b+c的立方根是2．
【变式2－2】（2021·河北唐山期末）如果一个正数的两个不同平方根分别是和，则______．
【答案】36.
【解析】解：由题意得：
2x-2+6-3x=0，
解得x=4，
2x-2=6，
a=62=36
故答案为：36.
【例2－2】（2020·江苏南通月考）若x，y为实数，且，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B.
【解析】解：由题意得：
x+2=0，y-2=0
∴x=-2，y=2
∴ =-1
故答案为：B.
【例2－3】（陕西西安月考）已知﹣2x﹣1＝0，则x＝_____．
【答案】0或﹣1或﹣.
【解析】解：∵﹣2x﹣1＝0，
∴＝2x+1，
∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0，
解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣．
故答案为：0或﹣1或﹣．
知识点三：综合题型
【例3－1】（渠县月考）求下列各式中的x的值
（1）；（2）
【答案】（1）x=3或x=5；（2）x=-1．
【解析】解：（1）两边乘以2得，（x+1）2=16，
x+1=4或x+1=-4
x=3或x=-5
（2）（2x-1）3=-27
2x-1=-3
x=-1
【变式3－1】（2020·江苏苏州月考）求下列各式中的x．
(1)
(2)
【答案】见解析.
【解析】解：(1)4x2=12
x2=3
x=或x=-
(2)（x-2）2=
x-2=或x-2=-
x=或x=-
【变式3－2】（2020·剑阁县月考）（1）已知：m3=8，n2=9，且mn＜0，求m2-2mn+n2的值．
（2）已知=5，b2=9，（c-1）2=4，且ab＞0，bc＜0，求式子ab-bc-ca的值．
【答案】（1）25；（2）23或39.
【解析】解：（1）由m3=8，得m=2，
由n2=9，得n=±3，
由mn＜0，得：m=2，n=-3
当m=2，n=-3时，
m2-2mn+n2=4+12+9=25
（2）由题意知a=±5，
由b2=9得：b=±3，
由（c-1）2=4，得：c=3或-1
∵ab＞0，bc＜0
∴a、b同号，b、c异号
当a=5，b=3，c=-1时，原式=15+3+5=23
当a=-5，b=-3，c=3时，原式=15+9+15=39．
【例4－1】（2020·浙江杭州期中）解答下列各题．
（1）已知2x+3与x-18是某数的平方根，求x的值及这个数．
（2）已知，求d+c的平方根．
【答案】（1）x=5，169或x=-21，1521；（2）±3.
【解析】解：（1）解：①由题意得：2x+3+x-18=0，
解得：x=5
这个数是（2×5+3）2=169.
②2x+3=x-18，解得x=-21
这个数是（-21-18）2=1521；
（2）由题意得：2c-d=0，d2-36=0，
解得：d=±6，c=±3．
当d=-6，c=-3时，d+c=-9（没有平方根），
当d=6，c=3时，d+c=9，平方根为±3．
【例4－2】（2020·河南周口期中）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．
下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：

（1）列式，并计算：
①﹣3经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？
②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？
（2）探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是55，a是多少？
【答案】（1）①7；②206；（2）-1或-11．
【解析】解：（1）①
=(-6+5)2+6
=1+7
=7
②，
=(5+5)2×2+6
=100×2+6
=206
（2）由题意得：2（a+6）2-（-5）=55，
整理得：（a+6）2=25，
a+6=5或a+6=-5
∴a=-1或a=-11.
【变式4－1】已知2x+1的算术平方根是0，4，z是﹣27的立方根，求2x+y+z的值．
【答案】12.
【解析】解：∵2x+1的算术平方根是0，
∴2x+1＝0，
∴2x＝﹣1，
∵4，
∴y＝16，
∵z是﹣27的立方根，
∴z＝﹣3，
∴2x+y+z＝﹣1+16﹣3＝12.
【变式4－2】（2020·乐清市月考）有一个数值转换器，流程如下：

当输入的x值为64时，输出的y值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B.
【解析】解：=8，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2的算术平方根是．
故答案为：B．
【例5－1】（2020·浙江期中）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（　　　）
A．287.2 B．28.72 C．13.33 D．133.3
【答案】C.
【解析】解：．
故答案为：C．
【例5－2】（2020·哈尔滨月考）若，，则______．
【答案】0.07746.
【解析】解：
故答案为：0.07746．
【例5－3】（2020·余干县月考）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①，又，
，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是_______位数．
②它的立方根的个位数是_______．
③它的立方根的十位数是__________．
④195112的立方根是________．
（2）请直接填写结果：
①________．
②________．
【答案】（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．
【解析】解：（1）①∵，1000＜195112＜1000000
∴10<<100，
∴能确定195112的立方根是一个两位数，
故答案为：两；
②∵195112的个位数字是2，83=512，
∴能确定195112的个位数字是8，
故答案为：8；
③如果划去195112后面三位112得到数195，
而，
∴，
可得，
由此能确定195112的立方根的十位数是5，
故答案为：5；
④根据②③可得：195112的立方根是58，
故答案为：58；
（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，
∴13824的立方根是24，
故答案为：24；
②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，
∴175616的立方根是56，
故答案为：56.
【变式5－1】（2020·浙江期中）已知，则的值是______________________．
【答案】11.47
【解析】解：∵=1.147，
∴
故答案为: 11.47．
【变式5－2】（2019·浙江金华期末）有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（ ）
A．10 B．10（-1） C．100 D．-1
【答案】B.
【解析】解：由题意，需要先将显示结果的首位去掉，再减去1之后，扩大10倍即可实现，
故答案为：B.
【变式5－3】（2020·山西大同月考）观察下表，回答问题：












（1）表格中_________________，_________________；
（2）用一句话描述你发现的规律：_________________；
（3）根据你发现的规律填空：
已知：，
_________________；
若，则_________________．
【答案】（1）0.1，10；（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；（3）①0.2714；②200000.
【解析】解：（1）根据题意，立方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍；
∴x=0.1，y=10；
故答案为：0.1；10．
（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；
（3）①；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴a=200000；
故答案为：①0.2714；②200000．
【例6－1】（2020·成都双流月考）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]．例如[3.6]＝3，[﹣]＝﹣2，按此规定，[1﹣2]＝_____．
【答案】-4．
【解析】解：∵＜2＝＜，
∴4＜2＜5，
∴﹣4＞﹣2＞﹣5，
∴﹣3＞1﹣2＞﹣4，
故，[1﹣2]＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【例6－2】（2020·河南南阳期中）满足﹣＜x＜的所有整数x的和是_____．
【答案】2.
【解析】解：∵﹣2＜﹣＜﹣1，2＜ ＜3，
∴满足﹣＜x＜的所有整数有﹣1，0，1，2，
∴﹣1+0+1+2＝2，
故答案为：2．
【例6－3】（2020·太原市月考）比较大小 ： ______0.5 ．（填 “>”， “<”或 “= ”）
【答案】＞.
【解析】解：∵>2
∴－1>1
∴>0.5
故答案为：＞．
【例6－4】对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，现对85进行如下操作：，这样对85只需3次操作后就变为1．类似地，按照以上操作只需进行3次操作后变为1的所有整数中，最大的正整数是________．
【答案】255.
【解析】解：设，x为正整数，则，
∴1≤y<4，即最大正整数是3；
设，y为正整数，则，
∴9≤y<16，即最大正整数是15；
设，z为正整数，则，
∴225≤z<256，即最大正整数是255．
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．
故答案为：255．
【例7－1】（2020·舟山普陀区期中）我们规定，对数轴上的任意点P进行如下操作：先将点P表示的数乘以1，再把所得数对应的点向右平移2个单位，得到点P的对应点P′，现对数轴上的点A，B进行以上操作，分别得到点A′，B′．
（1）若点A对应的数是，则点A′对应的数x=_________，
若点B′对应的数是4，则点B对应的数y=_________；
（2）在（1）的条件下，求代数式x4y算术平方根．
【答案】（1）x=1，y=-2；（2）3.
【解析】解：(1) 设P点表示的数为x，P′表示的数为-x+2，点A对应的数是1，则点A′对应的数x=-1+2=1，点B′对应的数是4，则点B对应的数y=4×(-1)+2=-4+2=-2，
故答案为：x=1；y=-2，
(2)由(1)求出，x=1,y=-2，代数式x－4y的值为=1-4×（-2）=9，
代数式x－4y算术平方根为3．
【例7－2】（2019·河北保定期中）先观察下列等式，再回答下列问题：
①；
②
③
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n的等式表示（n为正整数）．
【答案】(1) (2)（n为正整数）.
【解析】解：(1)=1+−=，
验证：====
(2)=1+−=1+ (n为正整数).
【变式7－1】（2019·北京昌平期中）如图，是一个无理数筛选器的工作流程图．
(1)当x为16时，y值为_____；
(2)是否存在输入有意义的x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由；
(3)如果输入x值后，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请你分析输入的x值可能是什么情况；
(4)当输出的y值是时，判断输入的x值是否唯一，如果不唯一，请写出其中的两个．

【答案】（1）y=；（2）存在，当x=0，1时，始终输不出y值；（3）x＜0；（4）x的值不唯一．x=3或x=9．
【解析】解：（1）当x=16时，=4，=2，则y=；
（2）当x=0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；
（3）当x＜0时，导致开平方运算无法进行；
（4）x的值不唯一．x=3或x=9．
【例8－1】（2020·湖北黄冈期末）如图，一根细线上端固定，下端系一个小球，让这个小球来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间（单位：）与细线的长度（单位：）之间满足关系，当细线的长度为时，小球来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位）

【答案】1.3.
【解析】解：把l=0.4m代入关系式得，
∴≈1.3（秒）．
【变式8－1】（2020·陕西宝鸡月考）自由下落的物体的高度h(m)与下落时间t(s)的关系为h=4.9t2.有一学生不慎让一个足球从19.6m高的楼上自由落下，刚好另有一学生站在与下落的足球在同一直线的地面上，在足球下落的同时，楼上的学生惊叫一声，若楼下的学生听到惊叫后开始躲．问：这时楼下的学生听到惊叫后能躲开下落的足球吗？(声音的速度为340m/s)
【答案】能躲开．
【解析】解：足球下落的时间：t==2s，
学生的声音传播到楼下的时间：t==0.06s
由2>0.06
所以楼下的学生能躲开．
【变式8－2】（汉中南郑区期中）如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．
（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；
（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；
（3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．

【答案】（1）13，；（2）1，2，3；（3）.
【解析】解：（1）阴影部分面积为：，
∵阴影部分是一个正方形，
∴边长为：，
故答案为：13，．
（2）不大于的所有正整数为：1，2，3．
（3）∵，
∴，
∵
∴b=3
∴a+b=．
【例9－1】（2020·四川月考）实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为（ ）

A． B． C．0 D．
【答案】A.
【解析】解：由图可知：a<0 原式=-a-b+（-a）+b
=-2a
故答案为：A．
【变式9－1】（2020·江苏徐州月考）如图，数轴上点A，B，C 所对应的实数分别为a，b，c，试化简．

【答案】2a-c.
【解析】解：由数轴得a ∴a-c<0，a+b<0，
原式=-b-（c-a）+(a+b)
=-b-c+a+a+b
=2a-c.