专题07 实数知识讲解基础巩固+技能提升 2022年七年级数学寒假辅导讲义

专题07 基础巩固 + 技能提升

【基础巩固】

1．（2021·山东青岛期末）下列各数中，是无理数的是（　　）

A． B． C． D．

2．下列说法正确的是（    ）

A．负数没有立方根 B．是无理数

C．无理数包括正无理数、负无理数和零 D．实数和数轴上的点是一一对应的

3．（2021·保定莲池区期末）下列四个判断：①有理数；②是分数；③3.2121121112…相邻两个2之间依次多一个1是有理数；④是无理数，其中正确的有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

4．（2020·浙江开化县期中）下列说法正确的是（    ）

A．绝对值等于它本身的数一定是正数 B．一个数的相反数一定比它本身小

C．负数没有立方根 D．实数与数轴上的点一一对应

5．（2020·四川成都月考）下列说法正确的有（    ）个．

①任何实数都可以开立方；

②0的相反数、倒数、平方都是0；

③数轴上的点和有理数——对应；

④有限小数和无限循环小数都是有理数；

⑤无理数都是无限小数

A．1 B．2 C．3 D．4

6．计算：=_________________．

7．（2020·黑龙江哈尔滨期末）比较大小：1.73_________．（填上“>”、“<”或“=”）

8．（2020·江苏盐城月考）计算：________．

9．（2019·渠县月考）用“”表示一种新运算：对于任意正实数a，b，都有，如，则____．

10．（2020·河南淮滨县期末）定义：对于任意实数，有，例如，则________．

11． 的相反数是________；绝对值等于的数是________

12．（2020·江苏徐州月考）若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值是______．

13．（2020·浙江模拟）“”定义新运算：对于任意的有理数a和b，都有．例如：．当m为有理数时，则等于________．

14．（2020·绍兴期中）对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下：，如：，那么_____．

15．（2020·江苏盐城期末）计算：；

16．（2021·河北邯郸期末）阅读材料：

图中是嘉淇同学的作业，老师看了后，问道：“嘉淇同学，你标在数轴上的两个点对应题中的两个无理数，是吗？”嘉淇点点头老师又说：“你这两个无理数对应的点找的非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”

请你帮嘉淇同学完成本次作业．

17．（2020·金华期中）设x，y是有理数，且x，y满足等式，求x-y的值．

18．（2020·四川成都期中）已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的平方根．

19．（2020·哈尔滨月考）阅读下面的文字，解答问题：

无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如、等，而常用“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；于是小刚用来表示的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？

事实上，小刚的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．

又例如：因为，即，

所以，的整数部分为2，小数部分为

也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间．

根据上述信息，请回答下列问题：

（1）的整数部分是______，小数部分是_______；

（2）也是夹在两个整数之间的，可以表示为，则_____；

（3）若，其中x是整数，且．求：的相反数．

20．（2020·江苏期中）定义☆运算：

观察下列运算：

（1）请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则：

两数进行☆运算时，同号    ，异号    ．

特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算,    ．

（2）计算：（﹣11）☆ [0☆（﹣12）]＝    ．

（3）若2×（﹣2☆a）﹣1＝8，求a的值．

21．（2020·江西南昌月考）芳芳同学手中有一块长方形纸板和一块正方形纸板，其中长方形纸板的长为3 dm，宽为2 dm，且两块纸板的面积相等．

(1)求正方形纸板的边长(结果保留根号)．

(2)芳芳能否在长方形纸板上截出两个完整的，且面积分别为2 dm2和3 dm2的正方形纸板？判断并说明理由．(提示：≈1.414，≈1.732)

【技能提升】

1．若规定符号“f”、“g”表示不同的两种运算．它对实数运算结果如下：

f（0）＝﹣1，f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，…

g（0）＝0，g（1）＝﹣1，g（2）＝﹣2，g（3）＝﹣3…

利用上述规律计算：+结果为      

2．（2020·浙江杭州期中）已知n是正整数，并且n-1＜＜n，则n的值为（　　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

3．（2019·石家庄期中）下列结论：（1）在数轴上没有点能表示；（2）存在最小的实数；（3）无理数是开方开不尽的数；（4）4的平方根是，用式子表示是；（5）某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0．则正确的有（    ）个

A．1 B．2 C．3 D．4

4．（2020·杭州建兰中学期中）如图，数轴上O、A、B、C四点，若数轴上有一点M，点M所表示的数为，且，则关于M点的位置，下列叙述正确的是（    ）

A．在A点左侧 B．在线段AC上 C．在线段OC上 D．在线段OB上

5．（2020·镇江丹徒区月考）定义一种关于整数n的“F”运算：

一、当n为奇数时，结果为3n＋5；

二、当n为偶数时,结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．

例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74……，若n＝449,求第2020次运算结果是（      ）

A．1 B．2 C．7 D．8

6．（2019·湖北武汉期中）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，依此类推，则第⑦个图形中五角星的个数是(   )

A．98 B．94 C．90 D．86

7．（2020·山东济南期末）规定：logab(a＞0，a≠1,b＞0）表示a，b之间的一种运算,现有如下的运算法则：logaan＝n, logNM＝（a＞0,a≠1,N＞0,N≠1，M＞0).例如：log223＝3，log25＝,则log1001000＝（     ）

A． B． C．2 D．3

8．有一个数值转换器，原理如下：当输入的是时，输出的是____．

9．（2021·全国七年级）定义：如果10b＝n，那么称b为n的劳格数，记为b＝d（n）．

（1）根据劳格数的定义，可知：d（10）＝1，d（102）＝2，那么：d（103）＝__．

（2）劳格数有如下运算性质：

若m，n为正数，则d（mn）＝d（m）＋d（n）；d（）＝d（m）﹣d（n）．根据运算性质填空：

①＝__，

②若d（3）＝0.48，则d（9）＝__，d（0.3）＝__．

10．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，则表示的点与数______表示的点重合．

11．（2020·湖南株洲市期末）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n+(n+1)+(n+2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．那么，小于100的自然数中，“纯数”的个数为___________个．

12．（2020·赤峰松山区月考）用“、”定义新运算：任意实数，，都有和．如，，则（20062005）（20042003）=_____．

13．（2020·兴山县月考）记|a，b|的值为a，b两数中最大的数，如=5，若m满足=3－2m那么m=_____．

14．（2019·台州市路桥区月考）对于任意大于0的实数，，均满足（其中且）．若，则=_________

15．（2019·河南洛阳期中）实数在数轴上的点如图所示，化简__________．

16．（2020·四川成都月考）实数在数轴上的对应点如图所示，化简．

17．任意无理数都是由整数部分和小数部分构成的．

已知一个无理数a，它的整数部分是b，则它的小数部分可以表示为．例如：，即，显然的整数部分是2，小数部分是．

根据上面的材料，解决下列问题：

（1）若的整数部分是m，的整数部分是n，求的值．

（2）若的整数部分是，小数部分是y，求的值．

18．（2020·浙江模拟）操作与推理：我们知道，任何一个有理数都可以用数轴上一个点来表示，根据下列题意解决问题：

（1）已知x=2，请画出数轴表示出x的点；

（2）在数轴上，我们把表示数2的点定为基准点，记作点O，对于两个不同的点A和B，若点A、 B到点O的距离相等，则称点A与点B互为基准等距变换点．例如图2，点A表示数-1，点B表示数5，它们与基准点O的距离都是3个单位长度，我们称点A与点B互为基准等距变换点．

①记已知点M表示数m，点N表示数n，点M与点N互为基准等距变换点．

I．若m=3，则n=    ；II．用含m的代数式表示n=    ；

②对点M进行如下操作：先把点M表示的数乘以23，再把所得数表示的点沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N，若点M与点N互为基准等距变换点，求点M表示的数；

19．（2020·四川成都期中）若一个两位数的十位和个位上的数字分别为和，我们可将这个两位数记为．同理，一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为，和，则这个三位数可记为．

（1）若，则________；若，则_________．

（2）一定能被________整除；一定能被________整除．（请从大于3的整数中选择合适的数填空）

（3）任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同且不为零，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．

“卡普雷卡尔黑洞数”是__________．

20．（阅读材料）

∵＜＜，即2＜＜3，

∴1＜＜2．

∴﹣1的整数部分为1．

∴﹣1的小数部分为﹣2

（解决问题）的小数部分是多少；

我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．

阅读理解：求的近似值．

解：设=10+x，其中0＜x＜1，则107=（10+x）2，即107=100+20x+x2．

因为0＜x＜1，所以0＜x2＜1，所以107≈100+20x，解之得x≈0.35，即的近似值为10.35．

理解应用：利用上面的方法求的近似值（结果精确到0.01）．

21．计算机系统对文件的管理通常采用树形目录结构，方式如图，在一个根目录下建立若干子目录(这里称第一层目录)，每个子目录又可作为父目录，向下继续建立其子目录(这里称第二层目录)，依次进行，可创建多层目录．现在一根目录下建立了四层目录，并且每一个父目录下的子目录的个数都相同，都等于根目录下目录的个数．已知第三层目录共有343个，求这一根目录下的所有目录的个数．