第09讲直线与平面平行 高考数学（理）培优提升训练含解析

这是一份第09讲直线与平面平行 高考数学（理）培优提升训练含解析，共15页。试卷主要包含了设，是两个不同的平面，是直线且，已知，是平面外的两条不同直线等内容，欢迎下载使用。
   第09讲 直线与平面平行A组一、   选择题 1．（2019全国Ⅱ理）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（    ）A．α内有无数条直线与β平行           B．α内有两条相交直线与β平行     C．α，β平行于同一条直线              D．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】对于A，内有无数条直线与平行，则与相交或，排除；对于B，内有两条相交直线与平行，则；对于C，，平行于同一条直线，则与相交或，排除；对于D，，垂直于同一平面，则与相交或，排除．故选B．2．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）A．                     B．                C．               D．【答案】C【解析】补成四棱柱 ,则所求角为 因此 ，故选C.3．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为 （     ）A．     B．   C．     D．【答案】C【解析】由题可知，在正方体中，,所以异面直线与所成的角与异面直线与所成的角相等，连接，BD,为所求角，设正方体的边长为1，在中，三条边长均为，故=.4．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（     ）A．充分而不必要条件      B．必要而不充分条件C．充分必要条件       D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件.5．下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（    ）A．①③        B．②③        C．①④        D．②④【答案】C6．已知互不重合的直线，互不重合的平面，给出下列四个命题，错误的命题是（    ）（A）若，，，则    (B)若，，，则(C)若，，，则       (D)若，，则//【答案】D【解析】A中，过直线作平面分别与交于，则由线面平行的性质知，所以，又由线面平行的性质知，所以，正确；B中，由，知垂直于两个平面的交线，则所成的角等于二面角过的大小，即为，所以，正确；C中，在内取一点A，过A分别作直线垂直于的交线，直线垂直于的交线，则由线面垂直的性质知，则，，由线面垂直的判定定理知，正确；D中，满足条件的也可能在内，故D错，故选D.二、填空题7．（2019年北京卷理）已知，是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①；②；③．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：　　．【答案】，，则．解析：由l，m是平面α外的两条不同直线，知： 
由线面平行的判定定理得： 若，则．由线面平行、垂直的性质定理得，则.8．如图，已知四边形是矩形，，，平面，且，   的中点，则异面直线与所成角的余弦值为           【答案】【解析】取的中点，连接、  、是中点，是的中位线∥   （或者其补角）为异面直线与所成角     在中， ；； ，，     由余弦定理可知       9．是两平面，是两条线段，已知，于，于，若增加一个条件，就能得出，现有下列条件：①；②与所成的角相等；③与在内的射影在同一条直线上；④.其中能成为增加条件的序号是          .【答案】①③.【解析】由题意得，，∴，，，四点共面，①：∵，，∴，又∵，，∴，∵，∴面，又∵面，∴，故①正确；②：由①可知，若成立，则有面，则有成立，而与，所成角相等是无法得到的，故②错误；③：由与在内的射影在同一条直线上可知面，由①可知③正确；④：仿照②的分析过程可知④错误，故填：①③．三、解答题10．如图，是平行四边形所在平面外一点，分别是上的点，且.求证：平面【解析】　连接并延长交于，连接，因为，所以，又因为，所以，所以.又平面，平面，所以平面11．如图，多面体中，底面是菱形，，四边形是正方形，且平面.（Ⅰ）求证：平面AED；   （Ⅱ）若，求多面体的体积V.【解析】试题解析：（Ⅰ）证明：∵是菱形，∴，又平面，平面，∴平面. 又是正方形，∴.∵平面，平面，∴平面. ∵平面，平面，，    ∴平面//平面.由于平面，知平面.   （Ⅱ）解：连接，记.∵是菱形，∴，且.由平面，平面，.∵平面，平面BDEF，，∴平面于O，即为四棱锥的高.  由是菱形，，则为等边三角形，由，则，，，，.12．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，.（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）设，求四棱锥的体积.【解析】（Ⅰ）连接,设与相交于点,连接， ∵ 四边形是平行四边形,∴点为的中点．∵为的中点，∴为△的中位线,∴ ．∵平面,平面,∴平面．        （Ⅱ） ∵平面,平面,∴ 平面平面，且平面平面．作，垂足为，则平面， ∵，，在Rt△中，，，∴四棱锥的体积13．如图，梯形中，于,于,且，现将，分别沿与翻折，使点与点重合．（1）设面与面相交于直线，求证：；（2）试类比求解三角形的内切圆（与三角形各边都相切）半径的方法，求出四棱锥的内切球（与四棱锥各个面都相切）的半径．【解析】（1），面，面面面，平面平面（2）设内切球的半径，内切球的圆心与四棱锥的各个点连接，将四棱锥分成五个小的三棱锥，由于，，，面，，，，，，.   B组一、   选择题1、已知直线和平面，则下列四个命题正确的是（   ）A．若，，则     B．若，，则C．若，，则      D．若，，则【答案】C【解析】选项A， 若，，则或或与相交，A错；选项B， 若，，则或，B错；选项C， 若，，则，C正确；选项D， 若，，则或与相交，D错.故选C.2、已知异面直线，成角，为空间中一点，则过与，都成角的平面（  ）            A．有且只有一个      B．有且只有两个      C．有且只有三个     D．有且只有四个【答案】B.【解析】分析题意可知，若平面与，都成角，则，与该平面的垂线夹角也为，故原问题等价于求直线，使得与，都都成角，如下图所示，把异面直线，平移到相交，使交点为，此时，过点作直线平分，∴，将直线从旋转至与平面垂直的位置，根据对称性从而可知满足题意的直线有两条，故选B．3、点在正方形所在平面外，⊥平面，，则与所成的角是                                                                                                                                 A．                B．               C．            D．【答案】A【解析】作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为，所以与所成的角就是，由题意可知：，所以.4、直三棱柱ABC－A的底面为等腰直角三角形ABC，∠C＝90，且则与所成角为（     ）A.30      B.45     C.60            D.90【解析】过得中点F，分别作,的平行线因为..所以.故选D.二、填空题5、如图，在正方体中，为棱的中点，则与所在的直线所成角的余弦值等于　　．【答案】【解析】连结，，∥，就是与所在的直线所成角，设，则，，．∴与所在的直线所成角的余弦值等于．故答案为：． 6、在空间四边形中，分别是和上的点，若 ，则对角线AC与平面DEF的位置关系是             ．AC∥平面DEF 【解析】因为，所以EF∥AC．又因为AC平面DEF，EF平面DEF，所以AC∥平面DEF．三、解答题7、如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，，是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【解析】（1）在中，因为是的中点，是的中点，所以.                                     又平面，平面，所以平面.    （2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，又，即，而面，且，所以面.                                  而面，所以，又是正方形，所以，而面，且，所以面.                                  又面，所以面面.               8、在长方体中，，过三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．（Ⅰ）求棱的长；（Ⅱ）若的中点为，求异面直线与所成角的余弦值．[来源:学科网]【解析】（Ⅰ）设，由题意得：∴，解得，故的长度为3.（Ⅱ）∵在长方体中，∥∴为异面直线与所成的角（或其补角）在中，；∴，∴则∴异面直线与所成角的余弦值为． 9、如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，.面，且.为中点，在棱上，且.（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）求三棱锥的体积.【解析】（Ⅰ）证明：如图所示，取的中点，连接，连接交于，连接．由题可知，为的中点，为的中点，∴∥；又为的中点，为的中点，∴∥，又面；面，∴平面∥平面，又∵面，∴面．（Ⅱ）解：∵⊥平面，所以是三棱锥的高，又∴，同理，则 10、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，，，平面平面，四边形是矩形，，点在线段上．（1）求证：平面；（2）当为何值时，∥平面？写出结论，并加以证明．【解析】（1）在梯形中，，四边形是等腰梯形，且又平面平面，交线为，平面 （2）当时，平面，在梯形中，设，连接，则，而， ，四边形是平行四边形， 又平面，平面平面 C组一、选择题1、若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件C．充分必要条件        D．既不充分也不必要条件【解析】若m⊥α，l⊥m，则l⊂α或l∥α；若m⊥α，l∥α，则l⊥m．故选B． 2、设线段AB，CD是夹在两平行平面α，β间的两异面线段，点．若分别为AB，CD的中点，则有（   ）A．        B．        C．        D．≤【解析】如图，连接AC，BD，AD，取AD的中点P，连接MN，NP，PM，则．又两线段异面，所以M，N，P不可能共线．在△MNP中，即．3、已知l是过正方体的顶点的平面与下底面的交线，则下列结论错误的是（   ）A．∥                      B．∥平面        C．∥平面                D．∥【解析】因为∥，由直线和平面平行的判定定理，知B正确；∥平面，又平面平面，由线面平行的性质定理知，∥，∥平面，所以C，D正确．故选A．4、长方体中，已知二面角的大小为，若空间有一条直线与直线所成角为，则直线与平面所成角的取值范围是（     ）（A）    （B）     （C）     （D）【答案】A【解析】试题分析：如图所示，过点作，连接，则，则为二面角，所以，因为，取角的角平分线，此时即为直线，过点做，即平面，此时直线与平面所成角的最大角是，另外一种情况是，，此时直线为直线，则直线与平面平面所成最小角为，所以直线平面所成角的范围是，故选A．二、填空题5、已知正方体，下列结论中正确的是         ．（只填序号）①∥；   ②平面∥平面；③∥；     ④∥平面．①②④  解析：连接、，因为∥且=，所以四边形是平行四边形，故∥，从而①正确；易证∥，∥，又，，所以平面∥平面，从而②正确；由图易知与异面，故③错误；由∥，平面，平面，所以∥平面，故④正确．6、如图11所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．给出下列四个结论：①存在点，使得//平面；②存在点，使得平面；③对于任意的点，平面平面；④对于任意的点，四棱锥的体积均不变.其中，所有正确结论的序号是___________．【答案】①③④【解析】当点为的中点时，由对称性可知也是的中点，此时//,因为，，所以//，故①正确；假设，因为，所以。所以四边形为菱形或正方形，即。因为为正方体所以。所以假设不成立。故②不正确。因为为正方形，所以，因为，，所以，因为，所以。因为，所以。同理可证，因为，所以，因为，所以。故③正确。设正方体边长为，则。故④正确。综上可得正确的是①③④。 三、解答题7、如图所示，矩形中，平面，
，为上的点，且平面
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求证：平面；
(Ⅲ) 求三棱锥的体积.
【解析】 (Ⅰ)证明：∵平面，，∴平面，则  又平面，则平面 (Ⅱ)由题意可得是的中点，连接平面，则，而，是中点,在中，，平面(Ⅲ) 平面，，而平面，平面是中点，是中点，且， 平面，，中，， 8、如图，在直三棱柱中，是正三角形，点分别是棱，，的中点.（1）求证：；（2）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论.【解析】（1）证明:因为直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，因为就正三角形，为棱的中点，所以又因为，所以平面，因为平面，所以        (2)直线平面，证明如下:如图，连接交于点，连.因为四边形为矩形，所以为的中点，又为的中点，所以.因为点分别为的中点，所以，所以.因为平面，平面，所以直线平面9、如图，四边形为菱形，平面，，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面. 【解析】(1)设与的交点为，连接，因为，所以，因为，所以，故四边形为平行四边形，所以，又平行，平行，所以平面； （Ⅱ）连结，因为，所以，因为，所以，故四边形为平行四边形.所以.因为平面，所以平面，又平行，所以，因为四边形为菱形，所以，又平行，平行，所以平面，又，所以平行，因为平面，所以平面平面. 10、在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点.（1）求证：面；（2）求二面角的大小的正弦值；（3）求点到面的距离. 【解析】（1）如图所示，取中点，连结，，∵，分别为，的中点，∴可证得，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴ 面；（2）作于点，作于点，连结，易证平面，∴，又∵，，∴平面，∴，∴即为二面角的平面角，在中，；（3）∵，∴.