北师大版必修5第三章不等式综合与测试精练

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这是一份北师大版必修5第三章不等式综合与测试精练，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.关于x的一元二次不等式5x+6 A.{x|x<-1或x>6}　　　　B.{x|-1 C.{x|x<-2或x>3}　　　　D.{x|-2 2.若x<0,M=5x2+x+2,N=4x(x+1),则M与N的大小关系为 (　　)
A.M>N　　　　B.M=N
C.M 3.若a,b∈R,-2≤a≤4,1≤b≤3,则a-2b的取值范围是 (　　)
A.[-4,2]　　　　B.[-3,1]
C.[-8,2]　　　　D.[-7,7]
4.不等式1x<12的解集是 (　　)
A.(-∞,2)　　　　B.(2,+∞)
C.(0,2)　　　　D.(-∞,0)∪(2,+∞)
5.不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是 (　　)
A.xx≤-1或x≥92
B.x-1≤x≤92
C.xx≤-92或x≥1
D.x-92≤x≤1
6.设点(x,y)满足不等式组x+y≤5,3x+2y≤12,0≤x≤3,0≤y≤4,则使得目标函数z=6x+5y的值最大的点(x,y)是 (　　)
A.(1,2)　　　　B.(1,3)
C.(2,3)　　　　D.(2,4)
7.若关于x的不等式2x2-8x-4-a≥0在1≤x≤4内有解,则实数a的取值范围是 (　　)
A.a≤-4　　　　B.a≥-4
C.a≥-12　　　　D.a≤-12
8.已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为 (　　)
A.-1　　　　B.3
C.7　　　　D.8
9.已知a,b为正实数,若函数f(x)=ax3+bx+ab-1是奇函数,则f(2)的最小值是 (　　)
A.2　　　　B.4
C.8　　　　D.16
10.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M、N两点,且M、N关于直线x-y=0对称,动点P(a,b)在不等式组kx-y+2≥0,kx-my≤0,y≥0表示的平面区域内部及边界上运动,则ω=b-2a-1的取值范围是 (　　)
A.[2,+∞)　　　　B.(-∞,-2]
C.[-2,2]　　　　D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
11.若正数a,b满足1a+1b=1,则1a-1+9b-1的最小值为 (　　)
A.16　　　　B.9
C.6　　　　D.1
12.已知函数f(x)=x2+4x2-3,g(x)=kx+2,若对任意的x1∈[-1,2],总存在x2∈[1,3],使得g(x1)>f(x2),则实数k的取值范围是 (深度解析)
A.12,1　　　　B.-13,23
C.-12,1　　　　D.以上都不对
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.不等式2x2+2x-4≤12的解集为　　　　.
14.若m2x-1mx+1<0(m≠0)对一切x≥4恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.
15.设实数x,y满足不等式组x+y≤2,y-x≤2,y≥1,则(x+3)2+y2的取值范围是　　　　.
16.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数).若不等式f(x)≥2ax+b的解集为R,则b2a2+c2的最大值为　　　　.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)若函数f(x)=lg(8+2x-x2)的定义域为M,函数g(x)=1-2x-1的定义域为N,求集合M、N、M∩N.

18.(本小题满分12分)某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产,已知该工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A,B,C的数量和一周内可用资源数量如下表所示:
原材料
甲(吨)
乙(吨)
资源数量(吨)
A
1
1
50
B
4
0
160
C
2
5
200
如果甲产品每吨的利润为300元,乙产品每吨的利润为200元,那么怎么安排生产工厂每周获得的利润最大?并求出最大利润.

19.(本小题满分12分)设函数y=ax2-(2a+1)x+2.
(1)若该函数有且只有一个零点,求a的值;
(2)求关于x的不等式ax2-(2a+1)x+2<0的解集.

20.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),若关于x的一元二次方程ax2-(a+2)x+1=0在(-2,-1)上只有一个实数根,求不等式f(x)>1的解集.

21.(本小题满分12分)新型冠状病毒感染的肺炎在治疗过程中,需要某医药公司生产的某种药品.此药品的年固定成本为250万元,每生产x千件需另投入成本为C(x)万元.当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x;当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10000x-1450.每件药品售价为0.05万元,假设在疫情期间该公司生产的药品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)该公司决定将此药品所获年利润的1%用来捐赠,当年产量为多少千件时,此药品的年利润最大?此时可捐赠多少万元的防疫物资款?

22.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足:①对任意实数x,都有f(x)≥x;②当x∈(1,3)时,有f(x)≤18(x+2)2成立.
(1)求证:f(2)=2;
(2)若f(-2)=0,求函数f(x)的解析式;
(3)在(2)的条件下,若存在x∈[0,+∞),使得f(x)-m2x<14成立,求实数m的取值范围.

答案全解全析
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一、选择题
1.A　不等式5x+60,即(x+1)(x-6)>0,解得x<-1或x>6,
故不等式的解集为{x|x<-1或x>6},故选A.
2.A　因为M-N=5x2+x+2-4x(x+1)=x2-3x+2=x-322-14,且x<0,所以M-N>0,所以M>N.
3.C　∵1≤b≤3,∴-6≤-2b≤-2,
∵-2≤a≤4,
∴-8≤a-2b≤2,故选C.
4.D　由1x<12,得1x-12=2-x2x<0,即x(x-2)>0,解得x<0或x>2,故选D.
5.D　解法一:取x=1检验,满足,排除A;取x=4检验,不满足,排除B、C,故选D.
解法二:原不等式可化为2x2+7x-9≤0,
即(x-1)(2x+9)≤0,解得-92≤x≤1,
故选D.
6.C　约束条件表示的可行域如图,

因为目标函数z=6x+5y对应直线l的斜率为-65,所以当直线l过点A时,z取得最大值.
由x+y=5,3x+2y=12,解得x=2,y=3,即A(2,3).
7.A　由题知不等式2x2-8x-4-a≥0在1≤x≤4内有解,则只需在1≤x≤4内a≤(2x2-8x-4)max即可,设y=2x2-8x-4,因为y=2x2-8x-4(1≤x≤4)在x=4时,取最大值-4,所以当a≤-4时,2x2-8x-4≥a在-1≤x≤4内有解.故选A.
8.C　依题意得kAB=5-12-4=-2,所以线段lAB:y-1=-2(x-4),x∈[2,4],即y=-2x+9,x∈[2,4],故2x-y=2x-(-2x+9)=4x-9,x∈[2,4].设h(x)=4x-9,易知h(x)=4x-9在[2,4]上单调递增,
故当x=4时,h(x)max=4×4-9=7.故选C.
9.C　因为函数f(x)是奇函数,所以f(0)=0,所以ab=1.又因为a,b为正实数,所以f(2)=8a+2b+ab-1=2(4a+b)≥2×24ab=8,当且仅当a=12,b=2时取等号,故选C.
10.D　由题意知直线y=kx+1与直线x-y=0垂直,所以k=-1,即直线为y=-x+1.又圆心C-k2,-m2在直线x-y=0上,所以可求得m=-1.
所以不等式组为-x-y+2≥0,-x+y≤0,y≥0,其表示的平面区域如图所示,ω=b-2a-1的几何意义是点Q(1,2)与平面区域内点P(a,b)连线的斜率.由图知,kOQ=2,kAQ=-2,
故ω的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).

11.C　∵1a+1b=1,∴a+b=ab,
∴ab-a-b=0,∴ab-a-b+1=1,
∴a(b-1)-(b-1)=1,
∴(a-1)(b-1)=1.
∵a>0,b>0,1a+1b=1,
∴a>1,b>1,∴a-1>0,b-1>0,
∴1a-1+9b-1≥21a-1·9b-1=6,
当且仅当1a-1=9b-1时,等号成立,
由1a+1b=1,1a-1=9b-1,解得a=43,b=4,
∴当a=43,b=4时,1a-1+9b-1取得最小值6.
12.C　∵对任意的x1∈[-1,2],总存在x2∈[1,3],使得g(x1)>f(x2),∴g(x)min>f(x)min,∵f(x)=x2+4x2-3≥2x2·4x2-3=1(当且仅当x2=2时取等号),
∴f(x)min=1.
当k>0时,若x∈[-1,2],则g(x)∈[-k+2,2k+2],∴只需满足1<-k+2,解得0 当k=0时,g(x)=2,满足题意.
当k<0时,若x∈[-1,2],则g(x)∈[2k+2,-k+2],∴只需满足1<2k+2,解得-12 综上,实数k的取值范围是-12,1.
方法总结
已知函数y=f(x),x∈[a,b],y=g(x),x∈[c,d],且f(x),g(x)均存在最值,则有:
(1)若对任意x1∈[a,b],x2∈[c,d],总有f(x1) (2)若任意x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],有f(x1) (3)若存在x1∈[a,b],x2∈[c,d],有f(x1) (4)若任意x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],有f(x1)=g(x2),则f(x)的值域是g(x)值域的子集 .

二、填空题
13.答案　[-3,1]
解析　∵不等式2x2+2x-4≤12可化为2x2+2x-4≤2-1,∴x2+2x-4≤-1,∴x2+2x-3≤0,
∴-3≤x≤1,∴原不等式的解集为[-3,1].
14.答案　-∞,-12
解析　依题意,对任意的x∈[4,+∞),有f(x)=(mx+1)(m2x-1)<0恒成立,结合图像(图略)分析可知m<0,-1m<4,1m2<4,
解得m<-12,即实数m的取值范围是-∞,-12.
15.答案　[5,17]
解析　如图,不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分,(x+3)2+y2表示该区域上的点(x,y)到点(-3,0)的距离的平方.从图中可以看出,点A(-1,1)到点(-3,0)的距离的平方最小,最小值为5;点B(1,1)到点(-3,0)的距离的平方最大,最大值为17.因此(x+3)2+y2的取值范围是[5,17].

16.答案　22-2
解析　由题设可得ax2+(b-2a)x+c-b≥0对一切实数恒成立,取x=1可得c-a≥0且(b-2a)2-4a(c-b)≤0,a>0对一切实数恒成立,即b2+4a2≤4ac,a>0,c-a≥0对一切实数恒成立,所以b2a2+c2≤4a(c-a)a2+c2,
令c-a=t≥0,则c=a+t,代入得b2a2+c2≤4a(c-a)a2+c2=4ata2+a2+2at+t2=42at+ta+2≤422+2=22-2(当且仅当c=(2+1)a时取等号).
故b2a2+c2的最大值为22-2.
三、解答题
17.解析　由题得8+2x-x2>0,即x2-2x-8<0,
∴(x-4)(x+2)<0, (2分)
∴-2 ∴M={x|-2 由1-2x-1≥0,得x-3x-1≥0,
∴x<1或x≥3, (6分)
∴N={x|x<1或x≥3}. (8分)
∴M∩N={x|-2 18.解析　设该工厂一周内安排生产甲产品x吨,乙产品y吨,工厂每周获得的利润为z元.依据题意,得目标函数为z=300x+200y,(3分)
约束条件为x+y≤50,4x≤160,2x+5y≤200,y≥0,x≥0. (5分)
画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示. (6分)
求得有关点A(40,0)、B(40,10)、C503,1003、D(0,40), (7分)
由图知将直线300x+200y=0向右上平移,当经过可行域内的点B时,函数z=300x+200y的值最大,且最大值为14000. (10分)
故当工厂每周生产甲产品40吨,乙产品10吨时,工厂每周获得的利润最大,且最大利润为14000元. (12分)

19.解析　(1)当a=0时,y=-x+2,只有一个零点2,符合题意. (2分)
当a≠0时,Δ=[-(2a+1)]2-8a=0,解得a=12.
故函数有且只有一个零点时,a=0或a=12.(4分)
(2)当a=0时,不等式化为-x+2<0,解得x>2. (5分)
当a≠0时,不等式ax2-(2a+1)x+2<0化为ax-1a(x-2)<0.
当a<0时,不等式化为x-1a(x-2)>0,解得x>2或x<1a. (7分)
当a>0时,不等式化为x-1a(x-2)<0,
当1a=2,即a=12时,不等式化为(x-2)2<0,解得x∈⌀; (9分)
当1a>2,即0 当1a<2,即a>12时,解得1a 综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x>2};
当a=12时,不等式的解集为⌀;
当0 当a>12时,不等式的解集为x|1a 当a<0时,不等式的解集为x|x>2或x<1a. (12分)
20.解析　∵函数f(x)是二次函数,∴a≠0,
∵Δ=[-(a+2)]2-4a=a2+4>0,且关于x的一元二次方程ax2-(a+2)x+1=0在(-2,-1)上只有一个实数根,
∴f(-2)·f(-1)<0, (4分)
而f(-2)=6a+5,f(-1)=2a+3,
∴(6a+5)·(2a+3)<0, (6分)
∴-32 又a∈Z,∴a=-1,
∴不等式f(x)>1可化为-x2-x+1>1,
解得-1 ∴原不等式的解集为{x|-1 21.信息提取
①C(x)=13x2+10x,0 数学建模　本题以社会热点问题——疫情防控为背景,构建函数模型,利用函数知识及基本不等式求解.(1)根据题意得x千件药品销售额为0.05×1000x万元,进而得L(x)=
-13x2+40x-250,0 解析　(1)因为每件药品售价为0.05万元,所以x千件药品销售额为0.05×1000x万元.
当0 当x≥80时,L(x)=(0.05×1000x)-51x+10000x-1450-250=1200-x+10000x. (4分)
所以L(x)=
-13x2+40x-250,0 (2)当0 当x≥80时,L(x)=1200-x+10000x≤1200-2x·10000x=1200-200=1000,
当且仅当x=10000x,即x=100时,等号成立,此时L(x)取得最大值1000. (10分)
因为950<1000,所以当年产量为100千件时,此药品的年利润最大,此时可捐赠1000×1%=10万元防疫物资款. (12分)
22.解析　(1)证明:由题意得f(2)=4a+2b+c≥2恒成立,
f(2)=4a+2b+c≤18×(2+2)2=2恒成立,
故f(2)=2. (3分)
(2)因为f(2)=4a+2b+c=2,f(-2)=4a-2b+c=0,
所以4b=2,解得b=12,所以4a+c=1, (5分)
由f(x)≥x恒成立,得ax2-12x+1-4a≥0在R上恒成立,
故a>0,-122-4a(1-4a)≤0,
故4a-122≤0,
所以a=18,则b=c=12,
所以f(x)=18x2+12x+12. (7分)
(3)由存在x∈[0,+∞),使得f(x)-m2x<14成立可得,mx2>18x2+12x+14在x∈[0,+∞)上有解. (8分)
①x=0时,不满足题意; (9分)
②x>0时,原式化为m>14x+12x+1在x∈(0,+∞)上有解,
即m>14x+12x+1min, (10分)
因为14x+12x+1≥214x·12x+1=1+22,当且仅当x=2(负值舍去)时取等号,
故此时m>1+22.
综上,可知实数m的取值范围为1+22,+∞. (12分)