初中数学人教版七年级下册第六章 实数6.1 平方根导学案

这是一份初中数学人教版七年级下册第六章 实数6.1 平方根导学案，共23页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
6.1 平方根（知识讲解）
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
【要点梳理】
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
知识点三、平方根的性质


知识点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.

【典型例题】
类型一、求一个数的平方根
1．计算：．
【答案】2．
【分析】根据负整数指数幂、0指数幂的运算法则及算术平方根的定义计算即可得答案．
解：

．
【点拨】本题考查实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、0指数幂的运算法则及算术平方根的定义是解题关键．
【变式1】计算：．
【答案】解：-1
【分析】按照绝对值、乘方、算术平方根法则进行计算即可．
解：原式

．
【点拨】本题考查了绝对值、乘方、算术平方根的运算，解题关键是熟练掌握相关法则并准确进行计算．
【变式2】计算：（）﹣2﹣23×0.125+30+|1﹣2|；
【答案】3+2
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
解：（）﹣2﹣23×0.125+30+|1﹣2|
＝4﹣8×0.125+1+2﹣1
＝4﹣1+1+2﹣1
＝3+2．
【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
类型二、利用算术平方根非负性求解
2．已知a，b，c满足，请回答下列问题：
（1）直接写出a，b，c的值．_______，_______，_______．并在数轴上表示．
（2）a，b，c所对应的点分别为A，B，C，若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3个单位长度向左运动；
①运动1.5秒后，A，C两点相距几个单位长度．
②几秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．
【答案】（1）-3，1，5，数轴见解析；（2）①2；②1秒或3秒
【分析】（1）根据非负数的性质可得a，b，c，再在数轴上表示；
（2）①分别求出1.5秒后点A和点C所表示的数，再计算距离；
②分点A在点C左侧，点A在点C右侧两种情况，列方程求解．
解：（1）∵，
∴a+3=0，b-1=0，c-5=0，
∴a=-3，b=1，c=5，
数轴表示如下：

（2）①由题意可得：1.5秒后，
点A表示的数为：-3+1.5×1=-1.5，
点C表示的数为：5-3×1.5=0.5，
0.5-（-1.5）=2，
∴A，C两点相距2个单位长度；
②设t秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度，
若点A在点C左侧，
则-3+t+4=5-3t，
解得：t=1；
若点A在点C右侧，
则-3+t=5-3t+4，
解得：t=3，
综上：1秒或3秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．
【点拨】本题考查了数轴，一元一次方程，非负数的性质，解题的关键是理解运动过程，掌握数轴上两点间距离的表示方法．
举一反三：
【变式1】 解答下列各题．
（1）已知，ab＜0，求（b﹣a）a的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）依据非负数的性质，即可得到a，b的值，进而得出 的值．
（2）依据二次根式有意义的条件，即可得到x和y的值，进而得到的值．
解：（1）∵，
∴，
解得 ，
又∵ab＜0，
∴ ，
∴＝[3﹣(﹣2)]-2＝5-2＝．
（2）∵，
∴，
解得x＝5，
∴y＝1，
∴==5．
【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及非负数的性质，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
【变式2】先化简，再求值：，其中与互为相反数．
【答案】ab；-6．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用相反数及非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
解：原式=2a2-2ab-（2a2-3ab）
=2a2-2ab-2a2+3ab
= ab，
∵与互为相反数，
∴|a+2|+=0，
∴a+2=0，，
解得：a=-2，，
当a=-2，b=3时，
原式=-6．
【点拨】此题考查了整式的加减-化简求值，以及算术平方根的非负性，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
类型三、求算术平方根的整数部分和分数部分
3．已知a为的整数部分，b－1是400的算术平方根，求的值．
【答案】6
分析：首先得出的范围进而得出a的值，进而利用算术平方根的定义得出b的值，即可得出答案．
试题解析：
解：∵a为的整数部分，＜＜，
∴a＝15，
∵b－1是400的算术平方根，
∴b－1＝20，
解得：b＝21，
∴＝＝6．
【点拨】：此题主要考查了估计无理数大小以及算术平方根，得出a的值是解题关键．
举一反三：
【变式1】 设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．
【答案】．
试题分析：先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．
解：因为4＜6＜9，所以2＜＜3，
即的整数部分是2，
所以2+的整数部分是4，小数部分是2+-4=-2，
即x=4，y=-2，所以=．
考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根．
【变式2】已知＝3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+3c的平方根．
【答案】a =5、 b =2、c =6；a+b+3c的平方根是±5
分析：根据求出a的值，根据3a+b-1的平方根是±4求出b的值，根据c是的整数部分求出c的值，把求得的值代入a+b+3c，然后求出入a+b+3c的平方根即可.
解：∵，
∴，
a=5；
∵3a+b-1的平方根是±4，
∴3a+b-1=16，
b=2;
∵c是的整数部分,6