(通用版)中考数学一轮复习5.2《矩形菱形正方形 优选训练题 (含答案)

这是一份(通用版)中考数学一轮复习5.2《矩形菱形正方形 优选训练题 (含答案)，共7页。试卷主要包含了菱形不具备的性质是，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟
1．菱形不具备的性质是( )
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
2．如图，已知点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．平行四边形
3．下列命题正确的是( )
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C
C．AC＝BD D．AB⊥BC
5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )
A．20 B．24 C．40 D．48
6．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J，则图中阴影部分的面积等于( )
A．1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
7．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是___________．
8．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为________．
9．对于▱ABCD，从以下五个关系式中任取一个作为条件：
①AB＝BC；②∠BAD＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤∠DAB＝∠ABC.
能判定▱ABCD是矩形的序号是_________．
10．如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF.求证：四边形BFDE是菱形．
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E.求证：四边形OCED是矩形．
12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是( )
A.eq \r(3) B．2 C．2eq \r(3) D．4
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3.若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为( )
A.eq \f(3\r(10),2) B.eq \f(3\r(10),5) C.eq \f(\r(10),5) D.eq \f(3\r(5),5)
14．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则eq \f(AG,GF)的值是( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,4) C.eq \f(6,5) D.eq \f(7,6)
15．如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，HE，EC，GA，GF.已知AG⊥GF，AC＝eq \r(6)，则AB的长为______．
16．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
(1)求证：△BGF≌△FHC；
(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
17．如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.
(1)求证：BE＝CE；
(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N(如图2)．
①求证：△BEM≌△CEN；
②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；
③当旋转停止时，点B恰好在FG上(如图3)，求sin∠EBG的值．
18．已知：对于任意实数a，b，总有a2＋b2≥2ab，且当a＝b时，代数式a2＋b2取得最小值为2ab.
若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由．
参考答案
【基础训练】
1．B 2.B 3.C 4.B 5.A 6.B
7．(－5，4) 8.eq \f(5,2) 9.②③⑤
10．证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO＝DO，∠EDO＝∠FBO.
在△EOD和△FOB中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EDO＝∠FBO，,OD＝OB，,∠EOD＝∠FOB，))
∴△EOD≌△FOB(ASA)，∴OE＝OF.
又∵OB＝OD，∴四边形BFDE是平行四边形．
∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．
11．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°.
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形．
又∵∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
【拔高训练】
12．A 13.B 14.C
15．2
16．(1)证明：∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，
∴BF＝CF，BG＝GE，FH∥BE，FH＝eq \f(1,2)BE，
∴FH＝BG，∠CFH＝∠CBG，
∴△BGF≌△FHC.
(2)解：当四边形EGFH是正方形时，可得EF⊥GH且EF＝GH.
∵在△BEC中，点G，H分别是BE，CE的中点，
∴GH＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)a，且GH∥BC，
∴EF⊥BC.
∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB＝EF＝GH＝eq \f(1,2)a，
∴矩形ABCD的面积＝eq \f(1,2)a·a＝eq \f(1,2)a2.
17．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE，
∴△BAE≌△CDE，∴BE＝CE.
(2)①证明：由(1)可知，△EBC是等腰直角三角形，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°.
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠EBM＝∠ECN＝45°.
∵∠MEN＝∠BEC＝90°，
∴∠BEM＝∠CEN.
∵EB＝EC，∴△BEM≌△CEN.
②解：∵△BEM≌△CEN，∴BM＝CN.
∵AB＝2，∴BC＝4.
设BM＝CN＝x，则BN＝4－x，
∴S△BMN＝eq \f(1,2)x(4－x)＝－eq \f(1,2)(x－2)2＋2.
∴x＝2时，△BMN的面积最大，最大值为2.
③解：如图，作EH⊥BG于H.
设NG＝m，则BG＝2m，BN＝EN＝eq \r(3)m，EB＝eq \r(6)m，
∴EG＝m＋eq \r(3)m＝(1＋eq \r(3))m.
∵S△BEG＝eq \f(1,2)EG·BN＝eq \f(1,2)BG·EH，
∴EH＝eq \f(\r(3)m·（1＋\r(3)）m,2m)＝eq \f(3＋\r(3),2)m.
在Rt△EBH中，sin∠EBH＝eq \f(EH,EB)＝eq \f(\f(3＋\r(3),2)m,\r(6)m)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
【培优训练】
18．解：设矩形的长为a，宽为b(a≥b＞0)，
周长C＝2(a＋b)≥4eq \r(ab)＝4eq \r(n)，且当a＝b时，代数式2(a＋b)取得最小值为4eq \r(n)，
此时a＝b＝eq \r(n).
故若一个矩形的面积固定为n，它的周长有最小值，周长的最小值为4eq \r(n)，此时矩形的长和宽均为eq \r(n).