(通用版)中考数学一轮复习重点题型 优选训练题大题加练01 (含答案)

这是一份(通用版)中考数学一轮复习重点题型 优选训练题大题加练01 (含答案)，共6页。试卷主要包含了数学课上，张老师出示了问题等内容，欢迎下载使用。
1．数学课上，张老师出示了问题：
如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：
如图2，延长CB到E，使BE＝CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC＝CE，所以AC＝BC＋CD.
小亮展示了另一种正确的思路：
如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC＝CF，所以AC＝BC＋CD.
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
(1)小颖提出：如图4，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改为∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝45°”，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明；
(2)小华提出：如图5，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改为“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝30°”，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，并给出证明．
2．【问题情境】 在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α(0°＜α＜180°)，点P为直线BC上一动点(不与点B，C重合)，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ，旋转角为α)，连接CQ.
【特例分析】 (1)当α＝90°，点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图1，易得图中与△APF全等的一个三角形是________，∠ACQ＝________°；
【拓展探究】 (2)当点P在BC延长线上，AB∶AC＝m∶n时，如图2，试求线段BP与CQ的比值；
【问题解决】 (3)当点P在直线BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4时，请直接写出线段CQ的长．
参考答案
1．解：(1)BC＋CD＝eq \r(2)AC.
证明如下：如图，延长CD至E，使DE＝BC，连接AE.
∵∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AB＝AD，∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝90°.
∵∠ACB＝∠ACD＝45°，∴∠ACB＋∠ACD＝90°，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.
∵∠ADC＋∠ADE＝180°，∴∠ABC＝∠ADE.
在△ABC和△ADE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AD，,∠ABC＝∠ADE，,BC＝DE，))
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠ACB＝∠AED＝45°，AC＝AE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝eq \r(2)AC.
∵CE＝CD＋DE＝CD＋BC，
∴BC＋CD＝eq \r(2)AC.
(2)BC＋CD＝eq \r(3)AC.
证明如下：如图，延长CD至E，使DE＝BC.
∵∠ABD＝∠ADB＝30°，
∴AB＝AD，∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝120°.
∵∠ACB＝∠ACD＝30°，∴∠ACB＋∠ACD＝60°，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.
∵∠ADC＋∠ADE＝180°，∴∠ABC＝∠ADE.
在△ABC和△ADE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AD，,∠ABC＝∠ADE，,BC＝DE，))
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠ACB＝∠AED＝30°，AC＝AE，
∴∠AEC＝30°.
如图，过点A作AF⊥CE于F，
∴CE＝2CF.
在Rt△ACF中，∠ACD＝30°，CF＝AC·cs∠ACD＝eq \f(\r(3),2)AC，
∴CE＝2CF＝eq \r(3)AC.
∵CE＝CD＋DE＝CD＋BC，
∴BC＋CD＝eq \r(3)AC.
2．解：(1)△PQC 90
(2)如图，过P作PF∥AC，交BA的延长线于F，则eq \f(BA,AF)＝eq \f(BC,CP).
又∵AB＝BC，∴AF＝CP.
∵∠FAP＝∠ABC＋∠APB＝α＋∠APB，∠CPQ＝∠APQ＋∠APB＝α＋∠APB，
∴∠FAP＝∠CPQ.
由旋转可得PA＝PQ，
∴△AFP≌△PCQ，∴FP＝CQ.
∵PF∥AC，∴△ABC∽△FBP，
∴eq \f(BP,BC)＝eq \f(FP,AC)，
∴eq \f(BP,CQ)＝eq \f(BP,FP)＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(m,n).
(3)线段CQ的长为2或8.理由如下：
如图，当P在CB的延长线上时，
∠CPQ＝∠APQ－∠APB＝60°－30°＝30°，
∴∠APC＝∠QPC.
又∵AP＝QP，PC＝PC，∴△APC≌△QPC，
∴CQ＝AC.
又∵BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC－∠APB＝30°，
∴BP＝AB＝BC＝eq \f(1,2)PC＝2，
∴QC＝AC＝BC＝2.
如图，当P在BC的延长线上时，连接AQ.
由旋转可得AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠AQP.
又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°，∴∠CAP＝∠CPA，
∴AC＝PC，∴△ACQ≌△PCQ，
∴∠AQC＝∠PQC＝eq \f(1,2)∠AQP＝30°，
∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8.
综上所述，线段CQ的长为2或8.