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    (通用版)中考数学一轮复习重点题型 优选训练题要题加练03反比例函数的综合题 (含答案)

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    (通用版)中考数学一轮复习重点题型 优选训练题要题加练03反比例函数的综合题 (含答案)

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    这是一份(通用版)中考数学一轮复习重点题型 优选训练题要题加练03反比例函数的综合题 (含答案),共8页。
    1.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0),与反比例函数y=eq \f(k,x)(x>0)的图象交于B(a,4).
    (1)求一次函数和反比例函数的表达式;
    (2)设M是直线AB上一点,过M作MN∥x轴,交反比例函数y=eq \f(k,x)(x>0)的图象于点N,若以A,O,M,N为顶点的四边形为平行四边形,求点M的坐标.
    2.如图,已知反比例函数y=eq \f(m,x)(m≠0)的图象经过点(1,4),一次函数y=-x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q(-4,n).
    (1)求反比例函数与一次函数的表达式;
    (2)一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,与反比例函数图象的另一个交点为P,连接OP,OQ,求△OPQ的面积.
    3.如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC,∠ABC=90°,顶点A在第一象限,B,C在x轴的正半轴上(C在B的右侧),BC=2,AB=2eq \r(3),△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称.
    (1)当OB=2时,求点D的坐标;
    (2)若点A和点D在同一个反比例函数的图象上,求OB的长;
    (3)如图2,将第(2)题中的四边形ABCD向右平移,记平移后的四边形为A1B1C1D1,过点D1的反比例函数y=eq \f(k,x)(k≠0)的图象与BA的延长线交于点P.问:在平移过程中,是否存在这样的k,使得以点P,A1,D为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的k的值;若不存在,请说明理由.
    4.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上,过点D和BC的中点H的直线交AC于点F,线段DE,CD的长是方程x2-9x+18=0的两根,请解答下列问题:
    (1)求点D的坐标;
    (2)若反比例函数y=eq \f(k,x)(k≠0)的图象经过点H,则k=________;
    (3)点Q在直线BD上,在直线DH上是否存在点P,使以点F,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    参考答案
    1.解:(1)∵一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0),
    ∴0=-2+b,解得b=2,
    ∴一次函数的表达式为y=x+2.
    ∵一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=eq \f(k,x)(x>0)的图象交于B(a,4),
    ∴4=a+2,解得a=2,∴B(2,4),
    ∴4=eq \f(k,2),解得k=8,
    ∴反比例函数的表达式为y=eq \f(8,x)(x>0).
    (2)∵点A(-2,0),∴OA=2.
    设点M(m-2,m),点N(eq \f(8,m),m),
    当MN∥AO且MN=AO时,四边形AONM是平行四边形,
    |eq \f(8,m)-(m-2)|=2且m>0,
    解得m=2eq \r(2)或m=2eq \r(3)+2,
    ∴点M的坐标为(2eq \r(2)-2,2eq \r(2))或(2eq \r(3),2eq \r(3)+2).
    2.解:(1)∵反比例函数y=eq \f(m,x)(m≠0)的图象经过点(1,4),
    ∴4=eq \f(m,1),解得m=4,∴反比例函数的表达式为y=eq \f(4,x).
    ∵一次函数y=-x+b的图象与反比例函数的图象相交于点Q(-4,n),
    ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n=\f(4,-4),,n=-(-4)+b,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n=-1,,b=-5,))
    ∴一次函数的表达式为y=-x-5.
    (2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=\f(4,x),,y=-x-5))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=-4,,y=-1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=-1,,y=-4,))
    ∴点P(-1,-4).
    在一次函数y=-x-5中,令y=0得-x-5=0,
    解得x=-5,故点A(-5,0),
    ∴S△OPQ=S△OPA-S△OAQ=eq \f(1,2)×5×4-eq \f(1,2)×5×1=7.5.
    3.解:(1)如图,作DE⊥x轴于E.
    ∵∠ABC=90°,∴tan∠ACB=eq \f(AB,BC)=eq \r(3),
    ∴∠ACB=60°.
    根据对称性可知DC=BC=2,∠ACD=∠ACB=60°,
    ∴∠DCE=60°,∴∠CDE=90°-60°=30°,
    ∴CE=1,DE=eq \r(3),∴OE=OB+BC+CE=5,
    ∴点D坐标为(5,eq \r(3)).
    (2)设OB=a,则点A的坐标(a,2eq \r(3)).
    由题意CE=1,DE=eq \r(3)得D(3+a,eq \r(3)).
    ∵点A,D在同一反比例函数图象上,
    ∴2eq \r(3)a=eq \r(3)(3+a),∴a=3,∴OB=3.
    (3)存在.k的值为10eq \r(3)或12eq \r(3).
    提示:①如图,当点A1在线段CD的延长线上,连接AA1,且PA1∥AD时,∠PA1D=90°.
    在Rt△ADA1中,∵∠DAA1=30°,AD=2eq \r(3),
    ∴AA1=eq \f(AD,cs 30°)=4.
    在Rt△APA1中,∵∠APA1=60°,
    ∴PA=eq \f(4\r(3),3),∴PB=eq \f(10\r(3),3).
    设P(m,eq \f(10\r(3),3)),则D1(m+7,eq \r(3)).
    ∵P,D1在同一反比例函数图象上,
    ∴eq \f(10\r(3),3)m=eq \r(3)(m+7),解得m=3,
    ∴P(3,eq \f(10\r(3),3)),∴k=10eq \r(3).
    ②如图,当∠PDA1=90°时,连接AA1,交线段PD于点K.
    ∵∠PAK=∠KDA1=90°,∠AKP=∠DKA1,
    ∴△AKP∽△DKA1,
    ∴eq \f(AK,KD)=eq \f(PK,KA1),∴eq \f(PK,AK)=eq \f(KA1,DK).
    ∵∠AKD=∠PKA1,∴△KAD∽△KPA1,
    ∴∠KPA1=∠KAD=30°,∠ADK=∠KA1P=30°,
    ∴∠APD=∠ADP=30°,∴AP=AD=2eq \r(3),AA1=6.
    设P(m,4eq \r(3)),则D1(m+9,eq \r(3)).
    ∵P,D1在同一反比例函数图象上,
    ∴4eq \r(3)m=eq \r(3)(m+9),解得m=3,
    ∴P(3,4eq \r(3)),∴k=12eq \r(3).
    综上所述,k的值为10eq \r(3)或12eq \r(3).
    4.解:(1)∵x2-9x+18=0,
    ∴(x-3)(x-6)=0,∴x=3或6.
    ∵CD>DE,∴CD=6,DE=3.
    ∵四边形ABCD是菱形,
    ∴AC⊥BD,AE=EC=eq \r(62-32)=3eq \r(3),
    ∴∠DCA=30°,∠EDC=60°,
    ∴Rt△DEM中,∠DEM=30°,
    ∴DM=eq \f(1,2)DE=eq \f(3,2).
    ∵OM⊥AB,∴S菱形ABCD=eq \f(1,2)AC·BD=CD·OM,
    ∴eq \f(1,2)×6eq \r(3)×6=6OM,∴OM=3eq \r(3),
    ∴D(-eq \f(3,2),3eq \r(3)).
    (2)eq \f(9\r(3),2)
    (3)存在.点P的坐标为(eq \f(9,2),eq \r(3))或(-eq \f(15,2),5eq \r(3))或(eq \f(21,2),-eq \r(3)).
    提示:①∵DC=BC,∠DCB=60°,∴△DCB是等边三角形.
    ∵H是BC的中点,∴DH⊥BC,
    ∴当Q与B重合时,如图,四边形CFQP是平行四边形.
    ∵FC=FB,∴∠FCB=∠FBC=30°,
    ∴∠ABF=∠ABC-∠CBF=120°-30°=90°,
    ∴AB⊥BF.
    在Rt△ABF中,∠FAB=30°,AB=6,
    ∴FB=2eq \r(3)=CP,∴P(eq \f(9,2),eq \r(3)).
    ②如图,连接QA.
    ∵四边形QPFC是平行四边形,∴CQ∥PH.
    由①知PH⊥BC,∴CQ⊥BC.
    在Rt△QBC中,BC=6,∠QBC=60°,
    ∴∠BQC=30°,∴CQ=6eq \r(3).
    ∵AE=EC,QE⊥AC,∴QA=QC=6eq \r(3),
    ∴∠QAC=∠QCA=60°,∠CAB=30°,
    ∴∠QAB=90°,∴Q(-eq \f(9,2),6eq \r(3)).
    由①知F(eq \f(3,2),2eq \r(3)),
    由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律,则P(-eq \f(9,2)-3,6eq \r(3)-eq \r(3)),即(-eq \f(15,2),5eq \r(3)).
    ③如图,四边形CQFP是平行四边形,
    同理知Q(-eq \f(9,2),6eq \r(3)),F(eq \f(3,2),2eq \r(3)),C(eq \f(9,2),3eq \r(3)),
    ∴P(eq \f(21,2),-eq \r(3)).
    综上所述,点P的坐标为(eq \f(9,2),eq \r(3))或(-eq \f(15,2),5eq \r(3))或(eq \f(21,2),-eq \r(3)).

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