专题5.21 《相交线与平行线》几何模型之综合探究压轴题-2021-2022学年七年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题5.21 《相交线与平行线》几何模型之综合探究压轴题-2021-2022学年七年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共43页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题5.21 《相交线与平行线》几何模型之综合探究压轴题
（专项练习）
一、填空题
1．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.
小明:老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即

已知:如图1，，为、之间一点，连接， 得到.

求证:
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明:过点作，
∴
∵，
∴
∴.
∵
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.
（1）如图，若，，则___________.

（2）如图，，平分，平分，，则___________.


二、解答题
2．探究题
学习近平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
小明遇到了下面的问题：如图1，，点P在、内部，探究，，的关系小明过点P作的平行线，可证，，之间的数量关系是：
______．
如图2，若，点P在AC、BD外部，，，的数量关系是否发生变化？
请你补全下面的证明过程．
过点P作．
______

____________
______

______．
随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．
试构造平行线解决以下问题：
已知：如图3，三角形ABC，求证：．

3．学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图l1∥l2，点P在l1、l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系．小明过点P作l1的平行线，可得到∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB=________________.
（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC、BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系如何？
为此，小明进行了下面不完整的推理证明.请将这个证明过程补充完整，并在括号内填上依据．过点P作PE∥AC．
∴∠A=∠APE（________________________________）
∵AC∥BD，
∴BD∥PE（________________________________）
∴∠B=∠BPE，
∵∠APB=∠BPE-∠APE，
∴∠APB=________________.（________________）
（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．如图3，在小学中我们已知道，三角形ABC中，∠A+∠B+∠C=180°．试构造平行线说明理由.

4．学习了平行线的性质和判定后,我们发现借助构造平行线的方法可以帮助我们解决许多问题.

（1）小明遇到下面的问题:如图1, ∥,点在的内部,探究的关系,小明过点作 的平行线，可证之间的关系是:= .
（2）如图2. , 点在的外部，的数量关系是否发生变化？请写出证明过程.
（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途.试构造平行线解决以下问题：已知，如图3，三角形.求证： .
5．课题学习：平行线的“等角转化功能.
（1）问题情景：如图1，已知点是外一点，连接、，求的度数.

天天同学看过图形后立即想出：，请你补全他的推理过程.
解：（1）如图1，过点作，∴ ， .
又∵，∴.
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.
（2）问题迁移：如图2，，求的度数.
（3）方法运用：如图3，，点在的右侧，，点在的左侧，，平分，平分，、所在的直线交于点，点在与两条平行线之间，求的度数.
6．问题发现：婷婷在一本书上看到这样一道题，如图1，l1//l2，点P在l1、l2内部，求证：∠APB=∠A+∠B。
解答过程如下：
证明：如图，过点P做PE//l1，
∵l1//l2，
∴PE//l1//l2
∴APE=∠A，∠BPE=∠B，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠A+∠B
聪明的婷婷发现：构造这样一条平行线可以是问题简单、明了，那么请你根据这个问题的解决方法，解决下列问题：
（1）如图2，若AC//BD，点P在AC、BD外部，求证：∠APB=∠B-∠A（提示：可过点P作PE//AC）
（2）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途,构造平行线解决以下问题：
已知：如图3，ΔABC，求证：∠A+∠B+∠C =180°.

7．学习完平行线的性质与判定后，我们发现借助构造平行线的方法可以解决许多问题.
(1)小明遇到了下面的问题:如图1，直线l1//l2，点P在l1、l2内部，试探究∠A、∠APB、∠B之间的数量关系。小明过点P作l1的平行线，可证∠A、∠APB、∠B之间的数量关系.请你写出小明具体的证明过程.
(2)随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途，试构造平行线解决以下问题:如图2，已知三角形ABC，求证:∠A+∠B+∠C=180°.

8．（问题情景） 通过作平行线来实现问题转化是我们常用到的方法．
如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=2，BE=4，求BC+DE的值．我们可以过点D作BE的平行线（如图2），也可过点E作CD的平行线解决问题．
（问题解决）（1）请回答：BC+DE的值为　　．
（类比探究）（2）如图3，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，参考上述思考问题的方法，求∠AGF的度数．

（迁移应用）（3）如图4，已知：AB、CD交于E点，连接AD、BC，AD=3，BC=1．且∠B与∠D互为余角，∠A与∠C互为补角，则∠AED= 度，若CD=，求AB的长．

9．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
(1)按小明的思路，请你求出∠APC的度数；
(2)问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B，D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)联想拓展：在(2)的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时(点P与点O，B，D三点不重合)，请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系；
(4)解决问题：我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题，随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．试构造平行线解决以下问题．
已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°


10．学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图，，点在、内部，探究，，的关系，小明过点作的平行线，可推出，，之间的数量关系，请你补全下面的推理过程，并在括号内填上适当的理由．
解：过点作，


， （ ）

（2）如图，若，点在、外部，探究，，之间的数量关系，小明过点作，请仿照问写出推理过程．

11．如图，中，按要求解答下列问题：
（1）尺规作图：（保留作图痕迹，不必写作法与证明）
①作的平分线交于点D；
②过点D作的平行线交于点E；
（2） 根据作出的正确图形，判定的形状是________．

12．（1）读读做做：平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．请根据上述思想解决教材中的问题：如图①，AB∥CD，则∠B+∠D　 　∠E（用“＞”、“＝”或“＜”填空）；
（2）倒过来想：写出（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．
（3）灵活应用：如图②，已知AB∥CD，在∠ACD的平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN．

13．（数学阅读）在数学课上，老师出了这样一个有趣的数学问题：如图，直线，现想在直线、之间作一条直线平行于直线、，并且使直线上的点到直线、之间的距离相等．小明做了如下操作：分别作、的平分线交于点，过点作直线、的平行线，过点分别作直线、、的垂线，垂足分别为、、，此时直线上的点到直线、的距离相等．
　　
（知识运用）
（1）试说明：；
（理解应用）
（2）若，，直线交于点．试问的度数为 ，是 三角形；周长为 ；
（问题迁移）
（3）若点是射线上的一个动点（不包括端点）．如图，连接，将折叠，顶点落在点处，若，点刚好落在其中的一条平行线上，试求的度数．
14．问题情境：
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板中，，长方形中，．
问题初探：
（1）如图（1），若将三角板的顶点放在长方形的边上，与相交于点，于点，求的度数．
分析：过点作，则有，从而得，从而可以求得的度数．
由分析得，请你直接写出：的度数为____________，的度数为___________．
类比再探：
（3） 若将三角板按图（2）所示方式摆放（与不垂直），请你猜想写出与的数量关系，并说明理由．

15．探究题：学完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图1，，点在内部，探究之间的关系．小明过点作的平行线，可证得之间的数量关系是： ．

（2）如图2，若，点在的外部，之间的数量关系是否会发生变化？请证明你的结论．

（3）试构造平行线解决以下问题：如图3，一条河流的两岸当小船行驶到河中点时，与两岸码头所形成的夹角为即)，当小船行驶到河中点时，恰好满足请你求出此时点与码头所形成的夹角的度数．

16．利用平行线的性质探究：
如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图1，过点P作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：
（1）当动点P落在第②部分时，在图2中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；
（2）当动点P落在第③、第④部分时，在图3、图4中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．

17．已知：如图，AC∥BD，折线AMB夹在两条平行线间．(1)判断∠M，∠A，∠B的关系；(2)请你尝试改变问题中的某些条件，探索相应的结论．建议：①折线中折线段数量增加到n条(n＝3，4，…)；
②可如图1，图2，或M点在平行线外侧．

18．问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB∥，， ，求度数．
经过讨论形成的思路是：如图2，过P作∥，通过平行线性质，可求得度数．
（1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出度数；
（2）问题迁移：如图3，∥，点在、两点之间运动时， ，．请你判断 、、 之间有何数量关系？并说明理由；
（3）拓展应用：如图4，已知两条直线∥，点在两平行线之间，且的平分线与 的平分线相交于点Q，求的度数．

19．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数．
　　　　　　
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点作
，__________．
__________

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知，试说明：（提示：过点做）．
深化拓展：
（3）已知，点在点的右侧，．平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．
①如图3，点在点的左侧，若，则的度数为________．
②如图4，点在点的右侧，且，．若，则的度数为________．（用含的代数式表示）
20．问题情境：如图1，，，，求的度数．
　　
小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得______．
问题迁移：如图3，，点在射线上运动，，．
（1）当点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出、、之间有何数量关系．

参考答案
1．240° 51°
【分析】
（1）作EM∥AB，FN∥CD，如图，根据平行线的性质得AB∥EM∥FN∥CD，所以∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，然后利用等量代换计算∠B+∠F+∠C；
（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用∠ABG和∠DCG分别表示出∠H和∠G，从而可找到∠H和∠G的关系，结合条件可求得∠H．
【详解】
（1）解：作EM∥AB，FN∥CD，如图，

AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180°，
∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF +180°，
∵，
∴∠B+∠CFE+∠C=60°+180°=240°；
（2）解：如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，

∵平分，平分，
∴∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥RS∥MN，
∴∠RHB=∠ABE=∠ABG，∠SHC=∠DCF=∠DCG，∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180°，
∴∠BHC=180°-∠RHB-∠SHC=180°-(∠ABG+∠DCG)，
∠BGC=180°-∠NGB-∠MGC=180°-(180°-∠ABG)-(180°-∠DCG)=∠ABG+∠DCG-180°，
∴∠BGC=360°-2∠BHC-180°=180°-2∠BHC，
又∵∠BGC=∠BHC+27°，
∴180°-2∠BHC=∠BHC+27°，
∴∠BHC =51°．
故答案为：（1）240°；（2）51°．
【点拨】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
2．（1）；（2）；PE；BD；；；（3）证明见解析．
【分析】
如图，过P作，根据平行线性质得，，
；
（2）如图2，过点P作．由平行线性质得：，，；
(3) 如图3，过点A作，由平行线性质得，，，．
【详解】
如图，过P作，

，
，
，，
，
故答案为．
如图2，过点P作．

，
，
，
，
，
；
故答案为，PE，BD，，；
证明：如图3，过点A作，

，，
，
．
【点拨】
本题考核知识点：平行线的性质.解题关键点：作平行线，灵活运用平行线的性质．
3．（1）∠APB=∠A+∠B；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）由两直线平行内错角相等可得∠APB，∠A，∠B之间的数量关系；（2）过点P作PE∥AC，易知BD∥PE，根据两直线平行内错角相等可得∠A=∠APE，∠B=∠BPE等量代换可得结论；（3）过点A作直线DE∥BC，由两直线平行内错角相等可得∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，由平角的定义知∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，等量代换即可.
【详解】
解：（1）如图，过点P作PE∥AC．

∴∠A=∠APE
∵AC∥BD
∴BD∥PE
∴∠B=∠BPE
∵∠APB=∠BPE+∠APE，
∴∠APB=∠A+∠B
所以∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB=∠A+∠B
（2）过点P作PE∥AC．
∴∠A=∠APE（两直线平行，内错角相等）
∵AC∥BD，
∴BD∥PE（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条件直线也平行）
∴∠B=∠BPE，
∵∠APB=∠BPE-∠APE，
∴∠APB=∠B-∠A．（等量代换）
（3）过点A作直线DE∥BC，
∵DE∥BC.
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）

【点拨】
本题考查了平行线的判定和性质，通过构造平行线将角进行拆分或合并是解题的关键.
4．（1）；（2）发生了变化，见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质即可求出∠APB与∠A、∠B的关系．
（2）根据平行线的性质以及三角形的外角性质即可求出答案．
（3）过点作∥，根据平行线的性质即可求出答案．
【详解】
解：
（1）（1）∵l1∥PE∥l2，

∴∠A=∠APE，∠B=∠BPE，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠A+∠B；
（2）发生了变化.理由如下：

过点作∥,又∥，则∥∥
∴
∴
即
（3）过点作∥

∴
∵
∴.

【点拨】
本题考查了平行的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质与三角形的外角性质，本题属于中等题型．
5．（1）∠EAB，∠DAC； （2）360°；（3）65°
【分析】
（1）根据平行线性质“两直线平行，内错角相等”可得∠B+∠BCD+∠D∠BCF+∠BCD+∠DCF；（2）过C作CF∥AB，根据平行线性质可得；（3）如图3，过点E作EF∥AB，根据平行线性质和角平分线定义可得∠ABE=∠ABC=30°，∠CDE=∠ADC=35°，故∠BED=∠BEF+∠DEF.
【详解】
（1）根据平行线性质可得：因为，所以∠EAB，∠DAC；

（2）过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，∴CF∥DE∥AB，
∴∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，
∴∠B+∠BCD+∠D=360°，
（3）如图3，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，
∴∠ABE=∠ABC=30°，∠CDE=∠ADC=35°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．
【点拨】
考核知识点：平行线性质和角平分线定义.作辅助线构造平行线是关键.
6．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）过点P作PE∥AC，根据平行线的性质得出∠A=∠1，∠B=∠EPB，进而得出∠APB=∠B-∠A；
（2）过点A作MN∥BC，根据平行线的性质进行推导即可．
【详解】
解：（1）如图2，过点P作PE∥AC．
∴∠A=∠1，
∵AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠B=∠EPB，
∵∠APB=∠EPB-∠1，
∴∠APB=∠B-∠A；
（2）证明：如图3，过点A作MN∥BC，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BAC+∠1+∠2=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．

【点拨】
本题考查平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作平行线构造内错角．
7．（1）∠APB =∠A+∠B；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）过P作PE∥l1，根据平行线的性质得到∠APE=∠A，∠BPE=∠B，据此可得∠APB=∠APE+∠BPE=∠A+∠B；
（2）过点A作MN∥BC，根据平行线的性质进行推导即可．
【详解】
（1）如图1，过点P作PE//l1 ，
因为l1//l2，
所以PE//l1//l2，
所以∠APE=∠A，∠BPE=∠B，
所以∠APB=∠APE+∠BPE=∠A+∠B；
（2）如图2，过点A作MN//BC，
所以∠B=∠1，∠C=∠2，
因为∠BAC+∠1+∠2=180°，
所以∠BAC+∠B+∠C=180°.

【点拨】
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作平行线构造内错角．
8．（1）BC+DE=；（2）60°；（3）45°；7
【分析】
（1）由可证得四边形BEDF是平行四边形，即可得DF=BE=4，DE=BF，即可得,然后利用勾股定理,求得的值；
（2）首先连接AE，CE，由四边形ABCD是平行四边形,四边形ABEF是矩形，易证得四边形DCEF是平行四边形，继而证得是等边三角形,则可求得答案；
（3）首先得出∠AED+∠BEC+90°+180°＝360°，进而得出∠AED+∠BEC＝90°最后求出∠AED的度数；以CD、CB为邻边作平行四边形BCDM，连接AM，得出∠ABM＝∠AED＝45°，再求出∠ADM ＝135°，然后过A作AP⊥DM交DM的延长线于P，过点M作MN⊥AB于N，再根据勾股定理得出结果．
【详解】
解：（1）解:，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DF=BE=4，DE=BF，
，
，
，
∴BC+DE=．
（2）连接AE，CE，如图．

∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，
∴AB∥DC，AB∥FE，BF＝AE．
∴DC∥FE．
∴四边形DCEF是平行四边形，
∴CE∥DF．
∵AC＝BF＝DF，
∴AC＝AE＝CE．
∴△ACE是等边三角形．
∴∠ACE＝60°
∵CE∥DF，
∴∠AGF＝∠ACE＝60°．
（3）①∵∠D+∠B＝90°，∠A+∠C＝180°，∠A+∠D+∠AED＝180°，
∠B+∠C+∠BEC＝180°，
∴∠A+∠D+∠AED+∠B+∠C+∠BEC＝360°．
∴∠AED+∠BEC+90°+180°＝360°．
∴∠AED+∠BEC＝90°．
∵∠AED＝∠BEC，
∴∠AED＝∠BEC＝45°．
故答案为：45°
②以CD、CB为邻边作平行四边形BCDM，连接AM，如图，
∵四边形BCDF是平行四边形，
∴BM＝DC＝4，DM＝BC＝1，∠DMB＝∠C＝180°﹣∠DAB，DC∥BM．
∴∠ABM＝∠AED＝45°
在四边形ABMD中，
∵∠DAB+∠ABM+∠BMD+∠ADM＝360°，∠DMB＝180°﹣∠DAB，∠ABM＝45°，
∴∠ADM ＝135°
过A作AP⊥DM交DM的延长线于P，过点M作MN⊥AB于N．
∵AD=，∠ADP=45o
∴AP=DP=3，DM=1
∴PM=4
在Rt△AMP中，AM=5
在Rt△BMN中，
∵CD=BM=，∠ABM=45o
∴BN=MN=4
在Rt△AMN中，AN=3．
∴AB＝7．
∴AB的长为7．

【点拨】
本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理.注意掌握辅助线的作法.
9．(1)∠APC＝110°； (2)∠APC＝α+β，理由见解析；(3)见解析；(4)证明见解析.
【分析】
（1）过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（4）作平行线，构建平角，可得结论．
【详解】
(1)如图1，过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°；
(2)∠APC＝α+β，
理由是：如图2，过P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠PAB＝α，∠CPE＝∠PCD＝β，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β，
(3)如图3，所示，当P在BD延长线上时，

过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠1＝∠PAB＝α，
∵∠1＝∠APC+∠PCD
∴∠APC＝∠1﹣∠PCD，
∴∠APC＝α﹣β，
如图4所示，当P在DB延长线上时，

同理可得：∠APC＝β﹣α，
(4)证明：如图5，过点A作MN∥BC
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BAC+∠1+∠2＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．

【点拨】
本题主要考查了平行线的性质和判定的应用、三角形内角和定理的证明、外角的性质，主要考查学生的推理能力，第3问在解题时注意分类思想的运用．
10．（1）；；；两直线平行，内错角相等；；；（2），推理过程见详解
【分析】
（1）过点作，根据平行线的性质得，据此得出；
（2）过点作，根据平行线的性质得出，进而得出．
【详解】
解：（1）如图1，过点作


（两直线平行，内错角相等）

故答案为：；；；两直线平行，内错角相等；；；
（2），理由如下：
如图2，过点作
∵
∴
∴
∴
∴．
【点拨】
本题考查的知识点是平行线的判定与性质，掌握平行线的判定定理以及平行线的性质内容是解此题的关键．
11．（1）①见解析；②见解析；（2）等腰三角形
【分析】
（1）以点B为圆心任意长为半径，画弧交BA，BC与两点，再以这两点为圆心，以大于这两点的距离一半为半径再画弧交于交ABC内部一点，以B为端点作射线交AC与D，作，交AB与点E，可得即可；
（2）由就是所求的的角平分线，可得∠ABD=∠CBD，由，可得∠EDB=∠CBD利用传递性质可得∠EBD=∠EDB利用等角对等边得EB=ED即可．
【详解】
（1）以点B为圆心任意长为半径，画弧交BA，BC与两点，再以这两点为圆心，以大于这两点的距离一半为半径再画弧交于交ABC内部一点，以B为端点作射线交AC与D，
如图，就是所求的的角平分线，

作，交AB与点E，则，
就是所求作的．
（2）∵就是所求的的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∵，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，
为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【点拨】
本题考查尺规作图，角平分线，平行线，等腰三角形，掌握尺规作图的方法，角平分线作图的步骤，会利用作一角等于已知角作平行线，等腰三角形判定方法是解题关键．
12．（1）=；（2）若∠B+∠D＝∠BED，则AB∥CD，该逆命题为真命题，见解析；（3）见解析
【分析】
(1）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，即可得出结论；
（2）过E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF，证出∠D＝∠DEF，得出EF∥CD，即可得出结论；
（3）过点N作NG∥AB，交AM于点G，则NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠AMN＝∠ACM+∠CAM，证出∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，得出∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，由角平分线得出∠ACM＝∠NCD，即可得出结论．
【详解】
（1）解：过E作EF∥AB，如图①所示：
则EF∥AB∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，
即∠B+∠D＝∠BED；
故答案为：＝；

（2）解：逆命题为：若∠B+∠D＝∠BED，则AB∥CD；
该逆命题为真命题；理由如下：
过E作EF∥AB，如图①所示：
则∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠D＝∠BED，∠BEF+∠DEF＝∠BED，
∴∠D＝∠BED﹣∠B，∠DEF＝∠BED﹣∠BEF，
∴∠D＝∠DEF，
∴EF∥CD，
∵EF∥AB，
∴AB∥CD；
（3）证明：过点N作NG∥AB，交AM于点G，如图②所示：
则NG∥AB∥CD，
∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠AMN是△ACM的一个外角，
∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，
又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，
∵CN平分∠ACD，
∴∠ACM＝∠NCD，
∴∠CAM＝∠BAN．

【点拨】
本题考查了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．
13．（1）见解析；（2），等边，；（3）当落在上时：；当落在上时：．
【分析】
（1）根据角平分线的性质得出，得出；
（2）由平行线的性质得出，根据角平分线的性质得，由三角形的内角和即可求得的度数；由平角的定义得出，根据角平分线的定义和平行线的性质得出，根据等边的三角形的判定定理得出是等边三角形；等边三角形的周长等于，代入即可得出结论；
（3）根据题意分两种情况讨论，当落在上时，根据折叠的性质得出FP⊥AB，由三角形的内角和即可求得的度数；当落在上时，由折叠的性质可得，由平行的性质得出，由三角形的内角和即可求得的度数；
【详解】
解：（1）∵EG平分、GM⊥AB，GH⊥EF，
∴ GM＝GH
∵GF平分，GH⊥EF，GN⊥CD，
∴ GH＝GN
∴
（2）∵ AB//CD，
∴ ，
∵ EG平分，GF平分，
∴，
∴ 在三角形中，；
∵ ，
∴，
∵ AB//，
∴，
∵EG平分，
∴，
∴是等边三角形；
∴的周长，
∵，
∴的周长为9．
故答案为：；等边；；
（3）当落在上时，如图1，
由折叠的性质可得FP⊥AB，即∠EPF＝90°，
∵，
∴．
当落在上时，如图2，
由折叠的性质可得，
又∵ AB//CD，
∴，
∴，
∵
∴．

【点拨】
本题考查了角平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理，三角形折叠的性质，掌握各性质定理是解题的关键．
14．（1）30°，60°；（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由见解析
【分析】
（1）利用∠CAF=∠BAF-∠BAC求出∠CAF度数，求∠EMC度数转化到∠MCH度数；
（2）过点C作CH∥GF，得到CH∥DE，∠CAF与∠EMC转化到∠ACH和∠MCH中，从而发现∠CAF、∠EMC与∠ACB的数量关系．
【详解】
（1）过点C作CH∥GF，则有CH∥DE，
所以∠CAF=∠HCA，∠EMC=∠MCH，
∵∠BAF=90°，
∴∠CAF=90°-60°=30°．
∠MCH=90°-∠HCA=60°，
∴∠EMC=60°．
故答案为30°，60°．
（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由如下：
过点C作CH∥GF，则∠CAF=∠ACH．
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE．
∴∠EMC=∠HCM．
∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°．

【点拨】
考查了平行线的判定和性质，解题关键是熟记并灵活运用其性质和判定．
15．（1）；（2）会发生变化，，证明见解析；（3）
【分析】
（1）如图4，根据平行公理的推论可得，根据平行线的性质可得∠APQ=∠A，∠BPQ=∠B，然后根据角的和差即得结论；
（2）如图5，过点作，根据平行公理的推论可得，根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差即可得到结论；
（3）如图6，过点分别作与相交于点，根据平行公理的推论可得，然后根据平行线的性质、三角形的外角性质、角的和差可得，进而可得结果．
【详解】
解：（1）如图4，∵，，
∴，
∴∠APQ=∠A，∠BPQ=∠B，
∴∠APB=∠APQ+∠BPQ=．
故答案为：；

（2）会发生变化，．
证明：如图5，过点作，则，
，
，
，
，
即；

（3）如图6，过点分别作与相交于点

，∴，
，
，
即；
．
【点拨】
本题考查了平行线的性质、平行公理的推论和三角形的外角性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
16．（1）当动点P落在第②部分时,∠APB=360°-（∠PAC+∠PBD）；（2）当动点P落在第③部分时,∠PAC=∠APB+∠PBD；当动点P落在第④部分时，∠PAC =∠APB+∠PBD．
【分析】
（1）在第②部分和和第①部分是同样的结论，可以画图得到结论．
（2）可分别画出图形，作出辅助线证明结论．
【详解】
解：（1）如图，当动点P落在第②部分时,∠APB=360°-（∠PAC+∠PBD）；

（2）当动点P落在第③部分时, ∠PAC=∠APB+∠PBD；
当动点P落在第④部分时，∠PAC =∠APB+∠PBD．
证明：如图，∵∠PAC=∠AEB，
∠AEB=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC= ∠APB +∠PBD．

【点拨】
本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.
17．见解析
【解析】
试题分析：（1）过点M作ME∥AC，再根据平行线的性质进行解答即可；
（2）根据题意可假设点M在平行线外，画出图形，再根据平行线的性质及三角形内角和定理求解．
试题解析：
（1）过点M作ME∥AC，
∵AC∥BD，
∴AC∥BD∥ME，
如图1所示：
∵AC∥ME，
∴∠A=∠1，
∵BD∥ME，
∴∠B=∠2，
∴∠1+∠2=∠A+∠B，即∠AMB=∠A+∠B；
如图2所示：
∵AC∥ME，
∴∠A+∠3=180°，
∵BD∥ME，
∴∠B+∠4=180°，
∴∠A+∠B+∠3+∠4=360°，即∠A+∠B=360°-∠AMB；
（2）如图③所示：
延长CA交BM于点E，
∵AC∥BD，
∴∠B=∠AEM，
∵∠CAM是△AEM的外角，
∴∠M+∠B=∠CAM．

【点拨】本题考查了平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握和运用这些知识是解题的关键.
18．（1）110°；（2）∠CPD＝＋β，见解析；（3）360°
【分析】
（1）过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．
（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）由（1）可得，
再进行代入求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，

∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD．
∴∠A＋∠APE＝180°，∠C＋∠CPE＝180°
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝110°．
（2）∠CPD＝＋β，
理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E．

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠DPE＝，∠CPE＝β，
∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝＋β．
（3）由（1）可得，
又QE平分，QF平分
∴
∴


【点拨】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
19．（1）∠DAC;（2）见解析（3）①65②215°−n
【分析】
（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D+∠FCD=180°，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）①过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；
②∠BED的度数改变．过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝35°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF＝180°−∠ABE＝180°−n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，进而可求∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝180°−n°＋35°＝215°−n°．
【详解】
（1）过点作
，∠DAC．


故答案为：∠DAC;；
（2）如图2，过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D+∠FCD=180°，
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF，
∵=∠FCD+∠BCF，
∴=；
即；
（3）①如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∠CDE＝∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝30°＋35°＝65°；
故答案为：65；
②如图4，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝35°
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°−∠ABE＝180°−n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝180°−n°＋35°＝215°−n°．
故答案为：215°−n．

【点拨】
此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．
20．；（1）；理由见解析；（2）当点在、两点之间时，；当点在射线上时，．
【分析】
问题情境：理由平行于同一条直线的两条直线平行得到 PE∥AB∥CD，通过平行线性质来求∠APC．

（1）过点作，得到理由平行线的性质得到，，即可得到
（2）分情况讨论当点在、两点之间，以及点在射线上时，两种情况，然后构造平行线，利用两直线平行内错角相等，通过推理即可得到答案．
【详解】
解：问题情境：

∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°；
（1）
过点作.

又因为,所以
则，
所以
（2）情况1:如图所示，当点在、两点之间时

过P作PE∥AD，交ON于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥PE，
∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β
情况2：如图所示，当点在射线上时，

过P作PE∥AD，交ON于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥PE，
∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α
【点拨】本题主要借助辅助线构造平行线，利用平行线的性质进行推理．