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专题5.24 《相交线与平行线》平行线、角平分线问题（基础篇）（专项练习）七年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题5.24 《相交线与平行线》平行线、角平分线问题（基础篇）（专项练习）七年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共41页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题5.24 《相交线与平行线》平行线、角平分线问题（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，已知BM平分∠ABC，且BMAD，若∠ABC＝70°，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．70°
2．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于交于，若则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，O是的，的平分线的交点，交BC于点D，交BC于点E．若，则的周长是（ ）
A．16 B．10 C．8 D．以上都不对
4．如图，在中，平分，平分，经过点O，与，相交于点N，M，且，设，，，则的周长为（ ）
A．18 B．30 C．36 D．42
5．在钝角△ABC中，延长BA到D，AE是∠DAC的平分线，AE//BC，则与∠B相等的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，点A、C为∠FBE边上的两点，AD∥BE，AC平分∠BAD，若∠FAD＝45°，则∠ACE＝（ ）
A．45° B．67.5° C．112.5° D．135°
二、填空题
7．如图，已知平分平分，，则______°．
8．如图，在中，，，BD平分，CD平分，，且EF过点D，则的周长是________．
9．如图，中，，与分别是与的平分线，，．则的周长是__________．
10．如图，在△，的平分线交于点，过点作，分别交于点两点，已知，，则△的周长为 ______ ．（用式子表示）
11．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE=3，CD=4，ED=5，则FG的长为_________．
12．如图，PC∥OA，PD∥OB，∠AOB＝∠CPD，则∠AOB=________°．
13．如图，直线分别于直线、相交于点、，平分交直线于点，若，则的度数为_.
14．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G， ∠1=50°，则∠2等于_________
三、解答题
15．如图，已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，AD平分∠BAC，求证：∠1=∠E．下面是部分推理过程，请你填空或填写理由
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC (已知)，
∴∠ADC=∠EGC=90∘（ ），
∴AD∥EG（ ），
∴∠2=______，( )
∠3=______(两直线平行，同位角相等) ．
又∵AD平分∠BAC（ ），
∴∠2=∠3（ ），
∴∠1=∠E（ ）
16．如图，若直线AB，CD被直线EF所截，∠EMB=∠END，且MG平分∠EMB，NP平分∠END，猜想MG与NP是否平行？请说明理由．
17．阅读理解：我们知道“三角形三个内角的和为180°”，在学习平行线的性质之后，可以对这一结论进行推理论证．
请阅读下面的推理过程：
如图①，过点A作DEBC
∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°
∴∠B+∠BAC+∠C=180°
即：三角形三个内角的和为180°．
阅读反思：
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系．
方法运用：
如图②，已知ABDE，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：过点C作CFAB）
深化拓展：
如图③，已知ABCD，点C在点D的右侧，∠ADC=70°，点B在点A的左侧，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E，且点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．
18．完成下面的证明．
如图：与互补，，求证：．对于本题小明是这样证明的，请你将他的证明过程补充完整．
证明：与互补，（已知）
．
．两直线平行，内错角相等
，（已知）
，（等量代换）
即 ．
．内错角相等，两直线平行
．
19．如图①，、分别平分四边形的外角和，设，．
（1）若，则 ；
（2）若与相交于点，且，求、所满足的等量关系式，并说明理由；
（3）如图②，若，试判断、的位置关系，并说明理由．
20．如图，的两条外角平分线交于点，，三角形的内角和为，求的度数.
21．如图，已知线，，为，上两动点，平分线与的外角平分线交于，试问：的度数是否随，运动而发生变化？
22．如图，已知平分，平分，且，，求的度数.
23．如图所示直线与分别交于，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，试求与的数量关系.
24．如图所示，的边上有两动点，的角平分线交于点，，，求的大小.
25．如图所示直线与分别交于，与的角平分线交于点，，，，求度数.
26．如图所示，的两边分别有两个动点，的角平分线交于点，过点作的垂线，垂足分别为点，当在射线上运动时，的值是否变化，若不变，求其值，若变化，说明理由.
27．如图所示，，与的角平分线交于点，，求的大小.
28．如图所示，，点为两条平行线外部一点，为两条平行线内部一点，分别为上两点，平分，平分，且与互补，求的大小.
29．如图，已知，，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．
（1）求的度数
（2）当点P运动时，的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时，，求此时的度数．
30．已知直线，直线EF分别交AB、CD于点A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于点H，过点A作AG⊥AC交CM于点G．
（1）如图1，点G在CH的延长线上时，若∠GAB =36°，求∠MCD的度数；
（2）如图2，点G在CH上时，试说明：2∠MCD+∠GAB=90°．
31．（1）如图①，△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EFBC交AB、AC于E、F．图中有________个等腰三角形．猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中有_____个等腰三角形．它们是_____________．EF与BE、CF间的关系是___________________．
（3）如图③，若△ABC中∠ABC的平分线与三角形外角平分线交于O，过O点作OEBC交AB于E，交AC于F．这时图中有_______个等腰三角形．EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
32．如图所示，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF、∠DFE的平分线相交于点K．
（1）求∠EKF的度数；
（2）如图（2）所示，作∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，问∠K1与∠K的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明．
（3）在图（2）中作∠BEK1、∠DFK1的平分线相交于点K2，作∠BEK2、∠DFK2的平分线相交于点K3，依此类推，……，请直接写出∠K4的度数．
33．如图，已知∠AOB，作∠AOB的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P．
（1）猜想DOP是 三角形；
（2）补全下面证明过程：
∵OC平分∠AOB
∴ ＝
∵DN∥EM
∴ ＝
∴ ＝
∴ ＝
34．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于点D，∠CDE=160°，求 ∠C的度数
35．如图，，平分交于点，平分交于点，．
（1）说明的理由；
（2）若，求的度数．
36．在小学认识三角形的基础上我们来继续学习三角形．三角形可用符号“”表示．
例：如图1中的三角形可记作“”；在一个三角形中，如果有两个角相等，我们新定义这个三角形为等角三角形．
（1）如图1，的角平分线交于D，交于，
①请在图1中依题意补全图形；
②判断是不是等角三角形；(直接写出结论即可)．
（2）如图2，是的角平分线，．判断是不是等角三角形，并说明理由．
（3）如图3，BM，CM分别是和的角平分线，请过图中某一点，作一条图中已有线段的平行线，使图中出现一个或两个等角三角形，标出字母，并就出现的一个三角形是等角三角形说明理由．
37．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
（1）如图①，已知∠ABE=50°，∠DCE=25°，则∠BEC = °；
（2）如图②，若∠BEC=140°，求∠BE1C的度数；
（3）猜想：若∠BEC＝α度，则∠BEnC = °．
38．如图，已知AB//CD，直线EF与AB、CD相交于H、F两点，FG平分∠EFD．
（1）若∠AHE=112°，求∠EFG和∠FGB的度数；
（2）若∠AHE=n°，请直接写出∠EFG和∠FGB的度数．
39．如图，，点在点的右侧，，的平分线交于点（不与，点重合），．设．
（1）若点在点的左侧，求的度数（用含的代数式表示）
（2）将（1）中的线段沿方向平移，当点移动到点右侧时，请画出图形并判断的度数是否改变．若改变，请求出的度数（用含的代数式表示）；若不变，请说明理由．
40．如图，AC∥DE，BD平分∠ABC交AC于F，∠ABC=70°，∠E=50°，求∠D，∠A的度数．
参考答案
1．B
【分析】先根据角平分线的性质，求出∠ABC的度数，再由平行线的性质得到∠A的度数．
解：∵BM平分∠ABC，
∴∠MBA＝∠ABC＝35°．
∵BM∥AD，
∴∠A＝∠MBA＝35°．
故选：B．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
2．A
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，∠MBD=∠DBC，∠DCN=∠DCB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBD=∠MDB，∠NDC=∠DCN，然后即可求得结论．
解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠MBD=∠DBC，∠DCN=∠DCB，
∵MN∥BC，
∴∠DBC=∠MDB，∠NDC=∠DCB，
∴∠MBD=∠MDB，∠NDC=∠DCN，
∴BM=MD，DN=CN，
∴MN=MD+DN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=8
∴MN=8，
故选：A．
【点拨】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BME△CNE是等腰三角形．
3．A
【分析】根据题意判断出和是等腰三角形，再转化的边长即可．
解：平分，
，是等腰三角形，，
同理可得：是等腰三角形，，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，能够从平行线与角平分线中辨别出等腰三角形是解题的关键．
4．B
【分析】先根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定求得、，再由三角形周长公式、线段的和差即可求得结论．
解：∵平分，平分
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴的周长为．
故选：B
【点拨】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定（等角对等边）、三角形周长公式、线段的和差等知识点，体现了逻辑推理的核心素养．
5．C
【分析】依据角平分线的性质和平行线的性质即可求解．
解：解析：依据角平分线的性质和平行线的性质，
可知∠B =∠DAE=∠CAE=∠C
故选C．
【点拨】此题主要考查角平分线的性质与平行线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质．
6．C
【分析】先根据平角的定义求出∠BAD，根据角平分线的性质求出∠DAC，再利用平行线的性质，得到∠ACB的度数．最后通过平角求出∠ACE．
解：∵∠FAD＝45°，
∴∠BAD＝180°-45°＝135°．
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝＝67.5°．
∵AD∥BE，
∴∠ACB＝∠DAC＝67.5°．
∴∠ACE＝180°-67.5°＝112.5°．
故选：C．
【点拨】
本题考查平行的性质和角平分线的性质，解题关键是运用题目中的条件去求解角的度数，能够从角平分线和平行这两个条件想到图中存在等腰三角形．
7．60°
【分析】由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABC和∠ADC的度数，结合角平分线的定义可求出∠ABE和∠CDE的度数，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠BEF和∠DEF的度数，再结合∠BED=∠BEF+∠DEF，即可求出∠BED的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=40°，∠ADC=∠BAD=80°．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴，
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，EF∥CD，
∴，
∴，
故答案为：60°．
【点拨】本题考查了平行线的性质以及角平分线的有关证明．利用平行线的性质及角平分线的定义，求出∠BEF和∠DEF的度数是解题的关键．
8．
【分析】利用角平分线的性质与平行线结合证得与均为等腰三角形即可．
解：平分，CD平分，
，，
，，，
，，
，，
的周长．
故答案为：8cm．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，能够明确角平分线与平行线结合，会产生等腰三角形，并运用等腰三角形的性质解决问题，是本题考查的核心．
9．6
【分析】由OB，OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线和OD∥AB、OE∥AC可推出BD＝OD，OE＝EC，显然△ODE的周长即为BC的长度．
解：∵OD∥AB，
∴∠ABO＝∠BOD，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBD，
∴∠ABO＝∠BOD，
∴BD＝OD，
则同理可得CE＝OE，
∴△ODE的周长＝OD＋DE＋OE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6．
故答案为：6．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
10．
【分析】根据题中条件，可得、是等腰三角形，DP=DB，EP=EC，三边周长就是两边AB、AC之和，直接写出答案即可．
解：BP是的角平分线，
，
，
，
，DB=DP；
CP是的角平分线，
，
，
，
，EP=EC；
周长=AD+DP+PE+AE，
AD+DP=AD+DB=AB=，PE+AE=CE+AE=AC=；
周长．
故答案为：．
【点拨】本题考查平行线性质、等腰三角形性质及判定，将周长转化为的两条边长AB、AC之和是解题关键．
11．2
【分析】由题意易得BE=EG，DF=DC，然后由线段的数量关系可求解．
解：解：∵ED∥BC，
∴∠EGB=∠GBC，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠GBC，
∴∠ABG=∠EGB，
∴BE=EG，
同理可得DF=DC，
∵BE=3，ED=5，
∴GD=ED-EG=5-3=2，
∴FG=FD-DG=4-2=2；
故答案为2．
【点拨】本题主要考查角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的性质与判定，数量掌握角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键，这属于典型的“双平等腰”模型．
12．60
【分析】根据PC∥OA得∠AOB=∠PCB，再根据PD∥OB，得到∠DPC+∠PCB=180°，所以得到∠AOB+∠DPC=180°，再结合∠AOB＝∠CPD，即可求出∠AOB的度数．
解：∵ PC∥OA
∴∠AOB=∠PCB
又∵ PD∥OB
∴∠DPC+∠PCB=180°
∴∠AOB+∠DPC=180°
又∠AOB＝∠CPD
∴∠CPD=2∠AOB
∴3∠AOB=180°
∴∠AOB=60°
故答案为：60．
【点拨】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
13．
【分析】根据角平分线的性质可求出的度数，然后由平行四边形的判定与性质即可得出 的度数.
解：平分
又
故答案为
【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，灵活应用平行线的判定与性质是解题的关键.
14．65°
【分析】根据平行线和角平分线得到等腰三角形进行解题.
解：∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠2，
又∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠2；
又∵AB∥CD，
∴∠1+2∠2=180°，
∵∠1=50°，
∴∠2=65°.
故答案为65°.
15．垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠1；两直线平行，内错角相等；∠E；已知；角平分线的定义；等量代换
【分析】根据平行线的性质和判定以及角平分线的定义证明即可．
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC (已知)，
∴∠ADC=∠EGC=90°（垂直的定义），
∴ADEG（同位角相等，两直线平行），
∴∠2=，(两直线平行，内错角相等)
∠3=∠E(两直线平行，同位角相等) ．
又∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠2=∠3（角平分线的定义），
∴∠1=∠E（等量代换）．
【点拨】本题主要考查平行线的性质及判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质及判定是解题的关键．
16．MG∥NP，理由见详解
【分析】由∠EMB=∠END，再根据MG平分∠EMB，NP平分∠END．可得∠EMG=∠ENP，从而得到MG∥NP．
解：MG∥NP．理由如下：
∵MG平分∠EMB，NP平分∠END，
∴∠EMG=∠EMB，∠ENP=∠END，
又∵∠EMB=∠END，
∴∠EMG=∠ENP，
∴MG∥NP．
【点拨】本题考查了平行线的判定、角平分线的性质．此题利用了“同位角相等，两直线平行”判定图中的两组直线相互平行．
17．方法运用：360°；深度拓展：65°
【分析】方法运用：过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
深化拓展：过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，再利用角平分线的定义和等量代换即可求∠BED的度数．
解：方法运用：解：过点C作CF∥AB
∴∠B=∠BCF
∵CF∥AB且AB∥DE
∴CF∥DE
∴∠D=∠DCF
∵∠BCD+∠BCF+∠DCF=360°
∴∠B+∠BCD+∠D=360°
深化拓展：过点E作EF∥AB
∴ ∠BEF=∠ABE
又∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°
∴∠BEF=∠ABE=∠ABC=30°
∵EF∥AB，AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠DEF=∠EDC
又∵DE平分∠ADC，∠ADC=70°
∴∠DEF=∠EDC=∠ADC=35°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°
【点拨】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，能够作出平行线是解题的关键．
18．同旁内角互补，两直线平行；；；；两直线平行，内错角相等．
【分析】已知∠BAP与∠APD互补，根据同旁内角互补两直线平行，可得AB∥CD，再根据平行线的判定与性质及等式相等的性质即可得出答案．
证明：与互补，（已知）
（同旁内角互补，两直线平行）．
（两直线平行，内错角相等），
，（已知）
，
即，
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；；；；两直线平行，内错角相等．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质和等式的性质，关键是正确理解与运用平行线的判定与性质．
19．（1）110；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】
（1）根据四边形的内角和与邻补角的性质即可求解；
（2）连接BD，先得到，再根据三角形的内角和得到角度的关系即可求解；
（3）由（1）有，∠MBC＋∠NDC＝，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，则∠CBE＋∠CDH＝（），∠CBE＋β−∠DHB＝（），根据＝，则有∠CBE＋−∠DHB＝（＋）＝，得到∠CBE＝∠DHB，故可得到BE∥DF．
解：（1）∵∠ABC＋∠ADC＝360°−（）＝250°，
∴∠MBC＋∠NDC＝180°−∠ABC＋180°−∠ADC＝360°-（∠ABC＋∠ADC）=＝110°．
故答案为：110；
（2）．理由如下：如解图①，连接BD，
由（1）知，，
、分别平分四边形的外角和，
∴，
．
在△BCD中，∠BDC＋∠CBD＝180°−∠BCD＝180°−，
在△BDG中，∠GBD＋∠GDB＋∠BGD＝180°，
∴∠CBG＋∠CBD＋∠CDG＋∠BDC＋∠BGD＝180°，
∴（∠CBG＋∠CDG）＋（∠BDC＋∠CBD）＋∠BGD＝180°，
∴（）＋180°−＋25°＝180°，
整理得；
（3）．理由如下，如解图②所示，延长交于点，
由（1）、（2）可知，，
．
，
，
．
，
，
，
．
【点拨】此题考查了平行线的性质及其判定，多边形的内角和公式，利用多边形的内角和公式倒角为解题关键．
20．.
【分析】先由三角形的内角和定理求出，然后再根据补角及角平分线的性质求出，最后再根据三角形的内角和定理求出∠P即可.
解：解：
平分，平分
【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质及补角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键.
21．的度数不随点A、B的运动而发生变化.
【分析】根据角平分线和垂线的性质，可求得，，然后再根据三角形的内角和定理求得，再利用代入法和三角形内角和定理求得∠C即可.
解：
∵的平分线与的外角平分线交于点
∵
且
∴∠C+45°+∠BAO+90°－∠BAO+∠BAO=180°，
是个定值，的度数不随点A、B的运动而发生变化，．
【点拨】本题主要考查了角平分线、垂线的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.
22．.
【分析】根据角平分线的性质及对顶角相等可求得，，然后再利用已知条件及角的和差计算求解即可.
解：如图所示：
设BC与MD的交点为E
平分，BM平分
，
在与中，
①
在与中，
②
用得：
，
故
【点拨】角平分线的性质及对顶角相等、角的和差计算是本题的考点，根据题意求得是解题的关键.
23．.
【分析】结合题意，由同旁内角角平分线基本性质可知，从而得到答案.
解：因为与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，由同旁内角角平分线基本性质可知：
，
【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质得到.
24．.
【分析】由同旁内角角平分线的性质可得，再结合题意得到 .
解：由同旁内角角平分线的性质可知：
，所以，因为，所以.
【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟悉平行线的性质.
25．60°.
【分析】由同旁内角角平分线基本性质可知，得到
，又由于，则.
解：由同旁内角角平分线基本性质可知：
又
.
【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟悉平行线的性质.
26．∠DCQ、∠BCP的值不变，.
【分析】由外角的角平分线可得
，再结合基本图形，得到之间的关系.
解：由外角的角平分线可得
再结合题意可知：
.
【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟悉平行线的性质.
27．
【分析】先设，根据平行线的性质，由靴子图可知
，由于，则，即.
解：设，
由靴子图可知，
，，，即.
【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是设，由题意得到.
28．.
【分析】
先设，，则，，
由题意及平行线的性质得，，得到，，由于与互补，得到，最终得出
解：设，，则，
由侧M图可知：，
由鸟嘴图可知：，
即，，
与互补
.
【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是设，，且由题意得到x，y的关系.
29．（1）60°；（2）不变，∠APB：∠ADB=2：1；（3）30°
【分析】（1）根据角平分线的定义只要证明∠CBD=∠ABN即可；
（2）不变．可以证明∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN=∠PBN．
（3）想办法证明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN即可解决问题；
解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN=180°-∠A=120°，
又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=（∠ABP+∠PBN）=∠ABN=60°，
（2）不变．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠ADB=∠DBN=∠PBN=∠APB，
∴∠APB：∠ADB=2：1．
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
又∵∠ACB=∠ABD，
∴∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN，
∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，
∴∠ABC=∠ABN=30°，
【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
30．（1）63°；（2）见解析
【分析】
（1）依据AG⊥AC，∠GAB=36°，可得∠CAH的度数，依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠MCD的度数；
（2）结合（1）得ACD+∠CAH=180°，再依据角平分线的定义，即可得2∠MCD+∠GAB=90°．
解：（1）∵AG⊥AC，∠GAB=36°，
∴∠CAH=90°-36°=54°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAH=180°，
∴∠ACD=126°，
∵CM是∠ACD的平分线，
∴∠ACH=∠DCM=63°；
（2）∵∠ACH=∠DCM，
∴∠ACD=2∠MCD，
由（1）得ACD+∠CAH=180°，
∵AG⊥AC，
∴∠CAG=90°，
∴2∠MCD+90°+∠GAB=180°，
∴2∠MCD+∠GAB=90°．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义，利用两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
31．（1）5，，理由见解析；（2）2，，；（3）2，，理由见解析
【分析】
（1）根据题意易得∠ABC=∠ACB，由EF∥BC可得∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，由角平分线可得∠ABO=∠OBC，∠OCB=∠ACO，进而可根据等腰三角形的判定可进行求解；
（2）由题意易得∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，进而可得∠EOB=∠EBO，则EO=EB，同理可得FO=FC，然后问题可求解；
（3）由题意易得∠ABO=∠OBC，∠1=∠2，∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠2，进而可得∠EOB=∠EBO，则EO=EB，同理可得FO=FC，然后问题可求解．
解：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=∠ACO，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠AEF=∠AFE，∠EOB=∠EBO，∠FOC=∠FCO，
∴AE=AF，EB=EO，FO=FC，
∴△AEF、△EBO、△FOC都是等腰三角形，
∴，
故答案为5；
（2）∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EOB=∠EBO，
∴EO=EB，
同理可得FO=FC，
∴△EBO、△FOC都是等腰三角形，
∴，
故答案为2，，；
（3），理由如下：
如图，
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠1=∠2，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠2，
∴∠EOB=∠EBO，
∴EO=EB，
同理可得FO=FC，
∴△EBO、△FOC都是等腰三角形，
∴，
故答案为2．
【点拨】本题主要考查角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定是解题的关键，这题属于“双平等腰”的经典模型．
32．（1）∠EKF＝90°；（2）∠K＝2∠K1，证明见解析；（3）∠K4＝5.625°．
【分析】
（1）过K作KG∥AB，交EF于G，根据平行于同一条直线的两直线平行可得AB∥KG∥CD，从而得出∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，然后根据角平分线的定义即可求出∠BEK+∠DFK＝90°，从而得出结论；
（2）根据角平分线的定义可得∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，结合（1）的结论可得∠BEK1+∠DFK1＝45°，从而求出∠K1，即可得出结论；
（3）根据（2）中的规律即可得出结论．
解：（1）如图（1），过K作KG∥AB，交EF于G，
∵AB∥CD，
∴AB∥KG∥CD，
∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，
∵EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线，
∴∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK，
∴2（∠BEK+∠DFK）＝180°，
∴∠BEK+∠DFK＝90°，
则∠EKF＝∠EKG+∠GKF＝90°；
（2）∠K＝2∠K1，理由为：
∵∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，
∴∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，
∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠KFD）＝180°，
∴∠BEK+∠KFD＝90°，即∠BEK1+∠DFK1＝45°，
同（1）得∠K1＝∠BEK1+∠DFK1＝45°，
则∠K＝2∠K1；
（3）如图（3），
根据（2）中的规律和推导方法可得：∠K2＝∠K1＝22.5°，∠K3＝∠K2＝11.25°，∠K4＝∠K3＝5.625°．
【点拨】题考查的是平行线的性质及判定，掌握平行线的各个性质定理是解题关键．
33．等腰，∠DOP，∠BOP，∠DPO，∠BOP，∠DOP，∠DPO，OD，PD，见解析
【分析】
（1）三角形的种类有多种，从边和角的关系上看常见的有：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、观察此三角形即可大体猜想出三角形的类型；
（2）根据角平分线的性质和平行线的性质，求得∠DOP＝∠DPO，即可判断三角形的形状．
解：（1）我们猜想△DOP是等腰三角形；
（2）补全下面证明过程：
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP＝∠BOP，
∵DN∥EM，
∴∠DPO＝∠BOP，
∴∠DOP＝∠DPO，
∴OD＝PD．
故答案为：等腰，∠DOP，∠BOP，∠DPO，∠BOP，∠DOP，∠DPO，OD，PD．
【点拨】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质及等腰三角形，解决本题的关键是掌握平行线的性质定理，找到相等的角．
34．140°
【分析】先根据邻补角的定义求出∠CDB的度数，再根据平行线的性质及角平分线的定义得出∠ADB及∠ABC的度数，由平行线的性质可得出∠C的度数．
解：∵∠CDE=160°，
∴∠CDB=180°-∠CDE=180°-160°=20°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB=20°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=2×20°=40°，
∴∠C=180°-∠ABC=180°-40°=140°．
【点拨】本题考查的是平行线的性质、角平分线的定义及邻补角的性质，熟知平行线的性质是解答此题的关键．
35．（1）见解析；（2）55°
【分析】
（1）根据角平分线的定义和，可证，从而，再证明，即可证明结论成立；
（2）先求∠ADC的度数，再求∠EDC的度数，然后根据平行线的性质可求的度数
解：解：（1）因为平分，平分，
所以，．
因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以；
（2）因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
【点拨】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
36．（1）①见解析；②△EBD是等角三角形；（2）△ABC是等角三角形，理由见解析；（3）见解析
【分析】
（1）①根据题意画出图形即可；
②根据角平分线定义可得∠ABD＝∠DBC，根据平行线的性质可得∠EDB＝∠DBC，进而可得∠EBD＝∠EDB，从而可得△EBD是等角三角形；
（2）根据平行线的性质可得∠1＝∠B，∠2＝∠C，再根据角平分线的性质可得∠1＝∠2，进而可得结论；
（3）过点M作GH∥BC，交AB于点G，交AC于点H，利用平行线的性质和角平分线定义解答即可．
解：（1）①补全图形如图4所示．
②△EBD是等角三角形．
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴△EBD是等角三角形；
（2）△ABC是等角三角形．
理由如下：如图5，∵AF∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∵AF是∠GAC的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等角三角形．
（3）过点M作GH∥BC，交AB于点G，交AC于点H，如图6，出现两个等角三角形分别是：△GBM和△HMC．
下面说明△GBM是等角三角形．
理由：∵GH∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵BM是∠ABC角平分线，
∴∠GBM＝∠2，
∴∠1＝∠GBM，
所以△GBM是等角三角形．
【点拨】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确理解题意、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
37．（1）75；（2）70°；（3）
【分析】
（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；
（2）先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；
（3）根据∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，得出∠BE2C=∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C=∠BEC；…据此得到规律∠En=∠BEC，最后求得∠BEnC的度数．
解：解：（1）如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；
故答案为：75；
（2）如图2，
∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴由（1）可得，
∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；
∵∠BEC=140°，
∴∠BE1C=70°；
（3）如图2，
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴由（1）可得，
∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；
∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；
…
以此类推，∠En=∠BEC，
∴当∠BEC=α度时，∠BEnC等于°．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
38．（1）∠EFG=34°，∠FGB=146°；（2）∠EFG=90°n°；∠FGB=90°+n°
【分析】
（1）由邻补角的性质计算∠1=68°，根据AB∥CD得∠1=∠EFD，∠FGB+∠DFG=180°，角平分线的定义得∠EFG=34°，两直线平行，同旁内角互补得∠FGB=146°；
（2）根据同样的方法计算出∠EFG=90°n°；∠FGB=90°+n°．
解：如图所示：
（1）∵∠1+∠AHE=180°，∠AHE=112°，
∴∠1=68°，
又∵AB∥CD，
∴∠1=∠EFD，∠FGB+∠DFG=180°
∴∠EFD=68°，
又∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG=∠DFG=∠EFD=34°，
∴∠FGB=146°；
（2）若∠AHE=n°时，
由（1）同理可得：
∠EFG=90°n°；
∠FGB=90°+n°
【点拨】本题综合考查了平行线的性质，邻补角的性质，角平分线的定义等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是运用从特殊到一般的数学归纳方法．
39．（1）；（2）的度数改变，度数为
【分析】
（1）过点E作，根据平行线性质推出∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，根据角平分线定义得出，∠CDE=∠ADC=35°，求出∠BEF的度数，进而可求出∠ABC的度数；
（2）过点E作，根据角平分线定义得出，∠CDE=∠ADC=35°，根据平行线性质得出即可．
解：（1）如图1，过点作．
∵，
∴，
∴，．
∵平分，平分，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
（2）的度数改变．
画出的图形如图2，过点作．
∵平分，平分，，
∴，．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了平行线性质和角平分线定义的应用，主要考查学生的推理能力．熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
40．
【分析】
根据BD平分∠ABC，∠ABC=70°得出,再根据得出,从而计算．
解：∵根据BD平分∠ABC交AC于F，∠ABC=70°
∴
又∵
∴
∴
∴
综上所述：
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理以及平行线的性质，转化相关的角度是解题关键．
专题5.24 《相交线与平行线》平行线、角平分线问题（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，已知BM平分∠ABC，且BMAD，若∠ABC＝70°，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．70°
2．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于交于，若则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，O是的，的平分线的交点，交BC于点D，交BC于点E．若，则的周长是（ ）
A．16 B．10 C．8 D．以上都不对
4．如图，在中，平分，平分，经过点O，与，相交于点N，M，且，设，，，则的周长为（ ）
A．18 B．30 C．36 D．42
5．在钝角△ABC中，延长BA到D，AE是∠DAC的平分线，AE//BC，则与∠B相等的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，点A、C为∠FBE边上的两点，AD∥BE，AC平分∠BAD，若∠FAD＝45°，则∠ACE＝（ ）
A．45° B．67.5° C．112.5° D．135°
二、填空题
7．如图，已知平分平分，，则______°．
8．如图，在中，，，BD平分，CD平分，，且EF过点D，则的周长是________．
9．如图，中，，与分别是与的平分线，，．则的周长是__________．
10．如图，在△，的平分线交于点，过点作，分别交于点两点，已知，，则△的周长为 ______ ．（用式子表示）
11．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE=3，CD=4，ED=5，则FG的长为_________．
12．如图，PC∥OA，PD∥OB，∠AOB＝∠CPD，则∠AOB=________°．
13．如图，直线分别于直线、相交于点、，平分交直线于点，若，则的度数为_.
14．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G， ∠1=50°，则∠2等于_________
三、解答题
15．如图，已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，AD平分∠BAC，求证：∠1=∠E．下面是部分推理过程，请你填空或填写理由
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC (已知)，
∴∠ADC=∠EGC=90∘（ ），
∴AD∥EG（ ），
∴∠2=______，( )
∠3=______(两直线平行，同位角相等) ．
又∵AD平分∠BAC（ ），
∴∠2=∠3（ ），
∴∠1=∠E（ ）
16．如图，若直线AB，CD被直线EF所截，∠EMB=∠END，且MG平分∠EMB，NP平分∠END，猜想MG与NP是否平行？请说明理由．
17．阅读理解：我们知道“三角形三个内角的和为180°”，在学习平行线的性质之后，可以对这一结论进行推理论证．
请阅读下面的推理过程：
如图①，过点A作DEBC
∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°
∴∠B+∠BAC+∠C=180°
即：三角形三个内角的和为180°．
阅读反思：
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系．
方法运用：
如图②，已知ABDE，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：过点C作CFAB）
深化拓展：
如图③，已知ABCD，点C在点D的右侧，∠ADC=70°，点B在点A的左侧，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E，且点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．
18．完成下面的证明．
如图：与互补，，求证：．对于本题小明是这样证明的，请你将他的证明过程补充完整．
证明：与互补，（已知）
．
．两直线平行，内错角相等
，（已知）
，（等量代换）
即 ．
．内错角相等，两直线平行
．
19．如图①，、分别平分四边形的外角和，设，．
（1）若，则 ；
（2）若与相交于点，且，求、所满足的等量关系式，并说明理由；
（3）如图②，若，试判断、的位置关系，并说明理由．
20．如图，的两条外角平分线交于点，，三角形的内角和为，求的度数.
21．如图，已知线，，为，上两动点，平分线与的外角平分线交于，试问：的度数是否随，运动而发生变化？
22．如图，已知平分，平分，且，，求的度数.
23．如图所示直线与分别交于，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，试求与的数量关系.
24．如图所示，的边上有两动点，的角平分线交于点，，，求的大小.
25．如图所示直线与分别交于，与的角平分线交于点，，，，求度数.
26．如图所示，的两边分别有两个动点，的角平分线交于点，过点作的垂线，垂足分别为点，当在射线上运动时，的值是否变化，若不变，求其值，若变化，说明理由.
27．如图所示，，与的角平分线交于点，，求的大小.
28．如图所示，，点为两条平行线外部一点，为两条平行线内部一点，分别为上两点，平分，平分，且与互补，求的大小.
29．如图，已知，，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．
（1）求的度数
（2）当点P运动时，的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时，，求此时的度数．
30．已知直线，直线EF分别交AB、CD于点A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于点H，过点A作AG⊥AC交CM于点G．
（1）如图1，点G在CH的延长线上时，若∠GAB =36°，求∠MCD的度数；
（2）如图2，点G在CH上时，试说明：2∠MCD+∠GAB=90°．
31．（1）如图①，△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EFBC交AB、AC于E、F．图中有________个等腰三角形．猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中有_____个等腰三角形．它们是_____________．EF与BE、CF间的关系是___________________．
（3）如图③，若△ABC中∠ABC的平分线与三角形外角平分线交于O，过O点作OEBC交AB于E，交AC于F．这时图中有_______个等腰三角形．EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
32．如图所示，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF、∠DFE的平分线相交于点K．
（1）求∠EKF的度数；
（2）如图（2）所示，作∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，问∠K1与∠K的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明．
（3）在图（2）中作∠BEK1、∠DFK1的平分线相交于点K2，作∠BEK2、∠DFK2的平分线相交于点K3，依此类推，……，请直接写出∠K4的度数．
33．如图，已知∠AOB，作∠AOB的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P．
（1）猜想DOP是 三角形；
（2）补全下面证明过程：
∵OC平分∠AOB
∴ ＝
∵DN∥EM
∴ ＝
∴ ＝
∴ ＝
34．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于点D，∠CDE=160°，求 ∠C的度数
35．如图，，平分交于点，平分交于点，．
（1）说明的理由；
（2）若，求的度数．
36．在小学认识三角形的基础上我们来继续学习三角形．三角形可用符号“”表示．
例：如图1中的三角形可记作“”；在一个三角形中，如果有两个角相等，我们新定义这个三角形为等角三角形．
（1）如图1，的角平分线交于D，交于，
①请在图1中依题意补全图形；
②判断是不是等角三角形；(直接写出结论即可)．
（2）如图2，是的角平分线，．判断是不是等角三角形，并说明理由．
（3）如图3，BM，CM分别是和的角平分线，请过图中某一点，作一条图中已有线段的平行线，使图中出现一个或两个等角三角形，标出字母，并就出现的一个三角形是等角三角形说明理由．
37．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
（1）如图①，已知∠ABE=50°，∠DCE=25°，则∠BEC = °；
（2）如图②，若∠BEC=140°，求∠BE1C的度数；
（3）猜想：若∠BEC＝α度，则∠BEnC = °．
38．如图，已知AB//CD，直线EF与AB、CD相交于H、F两点，FG平分∠EFD．
（1）若∠AHE=112°，求∠EFG和∠FGB的度数；
（2）若∠AHE=n°，请直接写出∠EFG和∠FGB的度数．
39．如图，，点在点的右侧，，的平分线交于点（不与，点重合），．设．
（1）若点在点的左侧，求的度数（用含的代数式表示）
（2）将（1）中的线段沿方向平移，当点移动到点右侧时，请画出图形并判断的度数是否改变．若改变，请求出的度数（用含的代数式表示）；若不变，请说明理由．
40．如图，AC∥DE，BD平分∠ABC交AC于F，∠ABC=70°，∠E=50°，求∠D，∠A的度数．
参考答案
1．B
【分析】先根据角平分线的性质，求出∠ABC的度数，再由平行线的性质得到∠A的度数．
解：∵BM平分∠ABC，
∴∠MBA＝∠ABC＝35°．
∵BM∥AD，
∴∠A＝∠MBA＝35°．
故选：B．
【点拨】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
2．A
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，∠MBD=∠DBC，∠DCN=∠DCB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBD=∠MDB，∠NDC=∠DCN，然后即可求得结论．
解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠MBD=∠DBC，∠DCN=∠DCB，
∵MN∥BC，
∴∠DBC=∠MDB，∠NDC=∠DCB，
∴∠MBD=∠MDB，∠NDC=∠DCN，
∴BM=MD，DN=CN，
∴MN=MD+DN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=8
∴MN=8，
故选：A．
【点拨】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BME△CNE是等腰三角形．
3．A
【分析】根据题意判断出和是等腰三角形，再转化的边长即可．
解：平分，
，是等腰三角形，，
同理可得：是等腰三角形，，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，能够从平行线与角平分线中辨别出等腰三角形是解题的关键．
4．B
【分析】先根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定求得、，再由三角形周长公式、线段的和差即可求得结论．
解：∵平分，平分
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴的周长为．
故选：B
【点拨】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定（等角对等边）、三角形周长公式、线段的和差等知识点，体现了逻辑推理的核心素养．
5．C
【分析】依据角平分线的性质和平行线的性质即可求解．
解：解析：依据角平分线的性质和平行线的性质，
可知∠B =∠DAE=∠CAE=∠C
故选C．
【点拨】此题主要考查角平分线的性质与平行线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质．
6．C
【分析】先根据平角的定义求出∠BAD，根据角平分线的性质求出∠DAC，再利用平行线的性质，得到∠ACB的度数．最后通过平角求出∠ACE．
解：∵∠FAD＝45°，
∴∠BAD＝180°-45°＝135°．
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝＝67.5°．
∵AD∥BE，
∴∠ACB＝∠DAC＝67.5°．
∴∠ACE＝180°-67.5°＝112.5°．
故选：C．
【点拨】
本题考查平行的性质和角平分线的性质，解题关键是运用题目中的条件去求解角的度数，能够从角平分线和平行这两个条件想到图中存在等腰三角形．
7．60°
【分析】由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABC和∠ADC的度数，结合角平分线的定义可求出∠ABE和∠CDE的度数，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠BEF和∠DEF的度数，再结合∠BED=∠BEF+∠DEF，即可求出∠BED的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=40°，∠ADC=∠BAD=80°．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴，
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，EF∥CD，
∴，
∴，
故答案为：60°．
【点拨】本题考查了平行线的性质以及角平分线的有关证明．利用平行线的性质及角平分线的定义，求出∠BEF和∠DEF的度数是解题的关键．
8．
【分析】利用角平分线的性质与平行线结合证得与均为等腰三角形即可．
解：平分，CD平分，
，，
，，，
，，
，，
的周长．
故答案为：8cm．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，能够明确角平分线与平行线结合，会产生等腰三角形，并运用等腰三角形的性质解决问题，是本题考查的核心．
9．6
【分析】由OB，OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线和OD∥AB、OE∥AC可推出BD＝OD，OE＝EC，显然△ODE的周长即为BC的长度．
解：∵OD∥AB，
∴∠ABO＝∠BOD，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBD，
∴∠ABO＝∠BOD，
∴BD＝OD，
则同理可得CE＝OE，
∴△ODE的周长＝OD＋DE＋OE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6．
故答案为：6．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
10．
【分析】根据题中条件，可得、是等腰三角形，DP=DB，EP=EC，三边周长就是两边AB、AC之和，直接写出答案即可．
解：BP是的角平分线，
，
，
，
，DB=DP；
CP是的角平分线，
，
，
，
，EP=EC；
周长=AD+DP+PE+AE，
AD+DP=AD+DB=AB=，PE+AE=CE+AE=AC=；
周长．
故答案为：．
【点拨】本题考查平行线性质、等腰三角形性质及判定，将周长转化为的两条边长AB、AC之和是解题关键．
11．2
【分析】由题意易得BE=EG，DF=DC，然后由线段的数量关系可求解．
解：解：∵ED∥BC，
∴∠EGB=∠GBC，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠GBC，
∴∠ABG=∠EGB，
∴BE=EG，
同理可得DF=DC，
∵BE=3，ED=5，
∴GD=ED-EG=5-3=2，
∴FG=FD-DG=4-2=2；
故答案为2．
【点拨】本题主要考查角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的性质与判定，数量掌握角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键，这属于典型的“双平等腰”模型．
12．60
【分析】根据PC∥OA得∠AOB=∠PCB，再根据PD∥OB，得到∠DPC+∠PCB=180°，所以得到∠AOB+∠DPC=180°，再结合∠AOB＝∠CPD，即可求出∠AOB的度数．
解：∵ PC∥OA
∴∠AOB=∠PCB
又∵ PD∥OB
∴∠DPC+∠PCB=180°
∴∠AOB+∠DPC=180°
又∠AOB＝∠CPD
∴∠CPD=2∠AOB
∴3∠AOB=180°
∴∠AOB=60°
故答案为：60．
【点拨】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
13．
【分析】根据角平分线的性质可求出的度数，然后由平行四边形的判定与性质即可得出 的度数.
解：平分
又
故答案为
【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，灵活应用平行线的判定与性质是解题的关键.
14．65°
【分析】根据平行线和角平分线得到等腰三角形进行解题.
解：∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠2，
又∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠2；
又∵AB∥CD，
∴∠1+2∠2=180°，
∵∠1=50°，
∴∠2=65°.
故答案为65°.
15．垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠1；两直线平行，内错角相等；∠E；已知；角平分线的定义；等量代换
【分析】根据平行线的性质和判定以及角平分线的定义证明即可．
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC (已知)，
∴∠ADC=∠EGC=90°（垂直的定义），
∴ADEG（同位角相等，两直线平行），
∴∠2=，(两直线平行，内错角相等)
∠3=∠E(两直线平行，同位角相等) ．
又∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠2=∠3（角平分线的定义），
∴∠1=∠E（等量代换）．
【点拨】本题主要考查平行线的性质及判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质及判定是解题的关键．
16．MG∥NP，理由见详解
【分析】由∠EMB=∠END，再根据MG平分∠EMB，NP平分∠END．可得∠EMG=∠ENP，从而得到MG∥NP．
解：MG∥NP．理由如下：
∵MG平分∠EMB，NP平分∠END，
∴∠EMG=∠EMB，∠ENP=∠END，
又∵∠EMB=∠END，
∴∠EMG=∠ENP，
∴MG∥NP．
【点拨】本题考查了平行线的判定、角平分线的性质．此题利用了“同位角相等，两直线平行”判定图中的两组直线相互平行．
17．方法运用：360°；深度拓展：65°
【分析】方法运用：过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；
深化拓展：过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，再利用角平分线的定义和等量代换即可求∠BED的度数．
解：方法运用：解：过点C作CF∥AB
∴∠B=∠BCF
∵CF∥AB且AB∥DE
∴CF∥DE
∴∠D=∠DCF
∵∠BCD+∠BCF+∠DCF=360°
∴∠B+∠BCD+∠D=360°
深化拓展：过点E作EF∥AB
∴ ∠BEF=∠ABE
又∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°
∴∠BEF=∠ABE=∠ABC=30°
∵EF∥AB，AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠DEF=∠EDC
又∵DE平分∠ADC，∠ADC=70°
∴∠DEF=∠EDC=∠ADC=35°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°
【点拨】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，能够作出平行线是解题的关键．
18．同旁内角互补，两直线平行；；；；两直线平行，内错角相等．
【分析】已知∠BAP与∠APD互补，根据同旁内角互补两直线平行，可得AB∥CD，再根据平行线的判定与性质及等式相等的性质即可得出答案．
证明：与互补，（已知）
（同旁内角互补，两直线平行）．
（两直线平行，内错角相等），
，（已知）
，
即，
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；；；；两直线平行，内错角相等．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质和等式的性质，关键是正确理解与运用平行线的判定与性质．
19．（1）110；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】
（1）根据四边形的内角和与邻补角的性质即可求解；
（2）连接BD，先得到，再根据三角形的内角和得到角度的关系即可求解；
（3）由（1）有，∠MBC＋∠NDC＝，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，则∠CBE＋∠CDH＝（），∠CBE＋β−∠DHB＝（），根据＝，则有∠CBE＋−∠DHB＝（＋）＝，得到∠CBE＝∠DHB，故可得到BE∥DF．
解：（1）∵∠ABC＋∠ADC＝360°−（）＝250°，
∴∠MBC＋∠NDC＝180°−∠ABC＋180°−∠ADC＝360°-（∠ABC＋∠ADC）=＝110°．
故答案为：110；
（2）．理由如下：如解图①，连接BD，
由（1）知，，
、分别平分四边形的外角和，
∴，
．
在△BCD中，∠BDC＋∠CBD＝180°−∠BCD＝180°−，
在△BDG中，∠GBD＋∠GDB＋∠BGD＝180°，
∴∠CBG＋∠CBD＋∠CDG＋∠BDC＋∠BGD＝180°，
∴（∠CBG＋∠CDG）＋（∠BDC＋∠CBD）＋∠BGD＝180°，
∴（）＋180°−＋25°＝180°，
整理得；
（3）．理由如下，如解图②所示，延长交于点，
由（1）、（2）可知，，
．
，
，
．
，
，
，
．
【点拨】此题考查了平行线的性质及其判定，多边形的内角和公式，利用多边形的内角和公式倒角为解题关键．
20．.
【分析】先由三角形的内角和定理求出，然后再根据补角及角平分线的性质求出，最后再根据三角形的内角和定理求出∠P即可.
解：解：
平分，平分
【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质及补角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键.
21．的度数不随点A、B的运动而发生变化.
【分析】根据角平分线和垂线的性质，可求得，，然后再根据三角形的内角和定理求得，再利用代入法和三角形内角和定理求得∠C即可.
解：
∵的平分线与的外角平分线交于点
∵
且
∴∠C+45°+∠BAO+90°－∠BAO+∠BAO=180°，
是个定值，的度数不随点A、B的运动而发生变化，．
【点拨】本题主要考查了角平分线、垂线的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.
22．.
【分析】根据角平分线的性质及对顶角相等可求得，，然后再利用已知条件及角的和差计算求解即可.
解：如图所示：
设BC与MD的交点为E
平分，BM平分
，
在与中，
①
在与中，
②
用得：
，
故
【点拨】角平分线的性质及对顶角相等、角的和差计算是本题的考点，根据题意求得是解题的关键.
23．.
【分析】结合题意，由同旁内角角平分线基本性质可知，从而得到答案.
解：因为与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，由同旁内角角平分线基本性质可知：
，
【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质得到.
24．.
【分析】由同旁内角角平分线的性质可得，再结合题意得到 .
解：由同旁内角角平分线的性质可知：
，所以，因为，所以.
【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟悉平行线的性质.
25．60°.
【分析】由同旁内角角平分线基本性质可知，得到
，又由于，则.
解：由同旁内角角平分线基本性质可知：
又
.
【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟悉平行线的性质.
26．∠DCQ、∠BCP的值不变，.
【分析】由外角的角平分线可得
，再结合基本图形，得到之间的关系.
解：由外角的角平分线可得
再结合题意可知：
.
【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟悉平行线的性质.
27．
【分析】先设，根据平行线的性质，由靴子图可知
，由于，则，即.
解：设，
由靴子图可知，
，，，即.
【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是设，由题意得到.
28．.
【分析】
先设，，则，，
由题意及平行线的性质得，，得到，，由于与互补，得到，最终得出
解：设，，则，
由侧M图可知：，
由鸟嘴图可知：，
即，，
与互补
.
【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是设，，且由题意得到x，y的关系.
29．（1）60°；（2）不变，∠APB：∠ADB=2：1；（3）30°
【分析】（1）根据角平分线的定义只要证明∠CBD=∠ABN即可；
（2）不变．可以证明∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN=∠PBN．
（3）想办法证明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN即可解决问题；
解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN=180°-∠A=120°，
又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=（∠ABP+∠PBN）=∠ABN=60°，
（2）不变．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠ADB=∠DBN=∠PBN=∠APB，
∴∠APB：∠ADB=2：1．
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
又∵∠ACB=∠ABD，
∴∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN，
∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，
∴∠ABC=∠ABN=30°，
【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
30．（1）63°；（2）见解析
【分析】
（1）依据AG⊥AC，∠GAB=36°，可得∠CAH的度数，依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠MCD的度数；
（2）结合（1）得ACD+∠CAH=180°，再依据角平分线的定义，即可得2∠MCD+∠GAB=90°．
解：（1）∵AG⊥AC，∠GAB=36°，
∴∠CAH=90°-36°=54°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAH=180°，
∴∠ACD=126°，
∵CM是∠ACD的平分线，
∴∠ACH=∠DCM=63°；
（2）∵∠ACH=∠DCM，
∴∠ACD=2∠MCD，
由（1）得ACD+∠CAH=180°，
∵AG⊥AC，
∴∠CAG=90°，
∴2∠MCD+90°+∠GAB=180°，
∴2∠MCD+∠GAB=90°．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义，利用两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
31．（1）5，，理由见解析；（2）2，，；（3）2，，理由见解析
【分析】
（1）根据题意易得∠ABC=∠ACB，由EF∥BC可得∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，由角平分线可得∠ABO=∠OBC，∠OCB=∠ACO，进而可根据等腰三角形的判定可进行求解；
（2）由题意易得∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，进而可得∠EOB=∠EBO，则EO=EB，同理可得FO=FC，然后问题可求解；
（3）由题意易得∠ABO=∠OBC，∠1=∠2，∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠2，进而可得∠EOB=∠EBO，则EO=EB，同理可得FO=FC，然后问题可求解．
解：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=∠ACO，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠AEF=∠AFE，∠EOB=∠EBO，∠FOC=∠FCO，
∴AE=AF，EB=EO，FO=FC，
∴△AEF、△EBO、△FOC都是等腰三角形，
∴，
故答案为5；
（2）∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EOB=∠EBO，
∴EO=EB，
同理可得FO=FC，
∴△EBO、△FOC都是等腰三角形，
∴，
故答案为2，，；
（3），理由如下：
如图，
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠1=∠2，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠2，
∴∠EOB=∠EBO，
∴EO=EB，
同理可得FO=FC，
∴△EBO、△FOC都是等腰三角形，
∴，
故答案为2．
【点拨】本题主要考查角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定是解题的关键，这题属于“双平等腰”的经典模型．
32．（1）∠EKF＝90°；（2）∠K＝2∠K1，证明见解析；（3）∠K4＝5.625°．
【分析】
（1）过K作KG∥AB，交EF于G，根据平行于同一条直线的两直线平行可得AB∥KG∥CD，从而得出∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，然后根据角平分线的定义即可求出∠BEK+∠DFK＝90°，从而得出结论；
（2）根据角平分线的定义可得∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，结合（1）的结论可得∠BEK1+∠DFK1＝45°，从而求出∠K1，即可得出结论；
（3）根据（2）中的规律即可得出结论．
解：（1）如图（1），过K作KG∥AB，交EF于G，
∵AB∥CD，
∴AB∥KG∥CD，
∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，
∵EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线，
∴∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK，
∴2（∠BEK+∠DFK）＝180°，
∴∠BEK+∠DFK＝90°，
则∠EKF＝∠EKG+∠GKF＝90°；
（2）∠K＝2∠K1，理由为：
∵∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，
∴∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，
∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠KFD）＝180°，
∴∠BEK+∠KFD＝90°，即∠BEK1+∠DFK1＝45°，
同（1）得∠K1＝∠BEK1+∠DFK1＝45°，
则∠K＝2∠K1；
（3）如图（3），
根据（2）中的规律和推导方法可得：∠K2＝∠K1＝22.5°，∠K3＝∠K2＝11.25°，∠K4＝∠K3＝5.625°．
【点拨】题考查的是平行线的性质及判定，掌握平行线的各个性质定理是解题关键．
33．等腰，∠DOP，∠BOP，∠DPO，∠BOP，∠DOP，∠DPO，OD，PD，见解析
【分析】
（1）三角形的种类有多种，从边和角的关系上看常见的有：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、观察此三角形即可大体猜想出三角形的类型；
（2）根据角平分线的性质和平行线的性质，求得∠DOP＝∠DPO，即可判断三角形的形状．
解：（1）我们猜想△DOP是等腰三角形；
（2）补全下面证明过程：
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP＝∠BOP，
∵DN∥EM，
∴∠DPO＝∠BOP，
∴∠DOP＝∠DPO，
∴OD＝PD．
故答案为：等腰，∠DOP，∠BOP，∠DPO，∠BOP，∠DOP，∠DPO，OD，PD．
【点拨】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质及等腰三角形，解决本题的关键是掌握平行线的性质定理，找到相等的角．
34．140°
【分析】先根据邻补角的定义求出∠CDB的度数，再根据平行线的性质及角平分线的定义得出∠ADB及∠ABC的度数，由平行线的性质可得出∠C的度数．
解：∵∠CDE=160°，
∴∠CDB=180°-∠CDE=180°-160°=20°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB=20°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=2×20°=40°，
∴∠C=180°-∠ABC=180°-40°=140°．
【点拨】本题考查的是平行线的性质、角平分线的定义及邻补角的性质，熟知平行线的性质是解答此题的关键．
35．（1）见解析；（2）55°
【分析】
（1）根据角平分线的定义和，可证，从而，再证明，即可证明结论成立；
（2）先求∠ADC的度数，再求∠EDC的度数，然后根据平行线的性质可求的度数
解：解：（1）因为平分，平分，
所以，．
因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以；
（2）因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
【点拨】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
36．（1）①见解析；②△EBD是等角三角形；（2）△ABC是等角三角形，理由见解析；（3）见解析
【分析】
（1）①根据题意画出图形即可；
②根据角平分线定义可得∠ABD＝∠DBC，根据平行线的性质可得∠EDB＝∠DBC，进而可得∠EBD＝∠EDB，从而可得△EBD是等角三角形；
（2）根据平行线的性质可得∠1＝∠B，∠2＝∠C，再根据角平分线的性质可得∠1＝∠2，进而可得结论；
（3）过点M作GH∥BC，交AB于点G，交AC于点H，利用平行线的性质和角平分线定义解答即可．
解：（1）①补全图形如图4所示．
②△EBD是等角三角形．
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴△EBD是等角三角形；
（2）△ABC是等角三角形．
理由如下：如图5，∵AF∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∵AF是∠GAC的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等角三角形．
（3）过点M作GH∥BC，交AB于点G，交AC于点H，如图6，出现两个等角三角形分别是：△GBM和△HMC．
下面说明△GBM是等角三角形．
理由：∵GH∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵BM是∠ABC角平分线，
∴∠GBM＝∠2，
∴∠1＝∠GBM，
所以△GBM是等角三角形．
【点拨】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确理解题意、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
37．（1）75；（2）70°；（3）
【分析】
（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；
（2）先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；
（3）根据∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，得出∠BE2C=∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C=∠BEC；…据此得到规律∠En=∠BEC，最后求得∠BEnC的度数．
解：解：（1）如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；
故答案为：75；
（2）如图2，
∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴由（1）可得，
∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；
∵∠BEC=140°，
∴∠BE1C=70°；
（3）如图2，
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴由（1）可得，
∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；
∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；
…
以此类推，∠En=∠BEC，
∴当∠BEC=α度时，∠BEnC等于°．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
38．（1）∠EFG=34°，∠FGB=146°；（2）∠EFG=90°n°；∠FGB=90°+n°
【分析】
（1）由邻补角的性质计算∠1=68°，根据AB∥CD得∠1=∠EFD，∠FGB+∠DFG=180°，角平分线的定义得∠EFG=34°，两直线平行，同旁内角互补得∠FGB=146°；
（2）根据同样的方法计算出∠EFG=90°n°；∠FGB=90°+n°．
解：如图所示：
（1）∵∠1+∠AHE=180°，∠AHE=112°，
∴∠1=68°，
又∵AB∥CD，
∴∠1=∠EFD，∠FGB+∠DFG=180°
∴∠EFD=68°，
又∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG=∠DFG=∠EFD=34°，
∴∠FGB=146°；
（2）若∠AHE=n°时，
由（1）同理可得：
∠EFG=90°n°；
∠FGB=90°+n°
【点拨】本题综合考查了平行线的性质，邻补角的性质，角平分线的定义等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是运用从特殊到一般的数学归纳方法．
39．（1）；（2）的度数改变，度数为
【分析】
（1）过点E作，根据平行线性质推出∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，根据角平分线定义得出，∠CDE=∠ADC=35°，求出∠BEF的度数，进而可求出∠ABC的度数；
（2）过点E作，根据角平分线定义得出，∠CDE=∠ADC=35°，根据平行线性质得出即可．
解：（1）如图1，过点作．
∵，
∴，
∴，．
∵平分，平分，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
（2）的度数改变．
画出的图形如图2，过点作．
∵平分，平分，，
∴，．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了平行线性质和角平分线定义的应用，主要考查学生的推理能力．熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
40．
【分析】
根据BD平分∠ABC，∠ABC=70°得出,再根据得出,从而计算．
解：∵根据BD平分∠ABC交AC于F，∠ABC=70°
∴
又∵
∴
∴
∴
综上所述：
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理以及平行线的性质，转化相关的角度是解题关键．
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