2022中考数学一轮复习测试卷1.5《分式及其运算》(含答案)

这是一份2022中考数学一轮复习测试卷1.5《分式及其运算》(含答案)，共8页。试卷主要包含了计算)÷eq \f的结果是，化简，化简代数式，设A＝eq \f÷)等内容，欢迎下载使用。

1．把分式eq \f(xy,x2－y2)中的x，y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值( )
A．不变
B．扩大到原来的2倍
C．扩大到原来的4倍
D．缩小到原来的eq \f(1,2)
2．若分式eq \f(x2－1,x＋1)值为0，则x的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．±1
3．已知eq \f(a,2)＝eq \f(b,3)(a≠0，b≠0)，下列变形错误的是( )
A.eq \f(a,b)＝eq \f(2,3) B．2a＝3b C.eq \f(b,a)＝eq \f(3,2) D．3a＝2b
4．计算(1＋eq \f(1,x))÷eq \f(x2＋2x＋1,x)的结果是( )
A．x＋1 B.eq \f(1,x＋1) C.eq \f(x,x＋1) D.eq \f(x＋1,x)
5．要使分式eq \f(1,x－2)有意义，则x的取值范围是____________．
6．当x＝2时，代数式(eq \f(2x＋1,x)＋x)÷eq \f(x＋1,x)的值是______．
7．化简：(2－eq \f(x－1,x＋1))÷eq \f(x2＋6x＋9,x2－1).
8. 先化简，再求值：eq \f(a,a＋1)÷(a－1－eq \f(2a－1,a＋1))并从－1，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值.
9．化简代数式：(eq \f(3x,x－1)－eq \f(x,x＋1))÷eq \f(x,x2－1)，再从不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2（x－1）≥1，①,6x＋10>3x＋1 ②))的解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值．
10．已知a是方程x2＋x－1＝0的一个根，则eq \f(2,a2－a)－eq \f(1,a2－a)的值为( )
A.eq \f(－1＋\r(5),2) B.eq \f(－1±\r(5),2) C．－1 D．1
11．如图，设k＝eq \f(甲图中阴影部分面积,乙图中阴影部分面积)(a>b>0)，则有( )
A．k>2 B．1C.eq \f(1,2)12．对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x*y＝eq \f(a,x)＋eq \f(b,y).若1*(－1)＝2，则(－2)*2的值是________．
13. 将数1个1，2个eq \f(1,2)，3个eq \f(1,3)，…，n个eq \f(1,n)(为正整数)顺次排成一列：
1，eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,3)，eq \f(1,3)，…，eq \f(1,n)，eq \f(1,n)，…，记a1＝1，a2＝eq \f(1,2)，a3＝eq \f(1,2)，…，
S1＝a1，S2＝a1＋a2，
S3＝a1＋a2＋a3，…，Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S2 018＝____.
14.已知a＞b＞0，且eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(3,b－a)＝0，则eq \f(b,a)＝____.
15．观察以下等式：
第1个等式：eq \f(1,1)＋eq \f(0,2)＋eq \f(1,1)×eq \f(0,2)＝1，
第2个等式：eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝1，
第3个等式：eq \f(1,3)＋eq \f(2,4)＋eq \f(1,3)×eq \f(2,4)＝1，
第4个等式：eq \f(1,4)＋eq \f(3,5)＋eq \f(1,4)×eq \f(3,5)＝1，
第5个等式：eq \f(1,5)＋eq \f(4,6)＋eq \f(1,5)×eq \f(4,6)＝1，
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________(用含n的等式表示)，并证明．
16．对于正数x，规定f(x)＝eq \f(1,1＋x)，例如：f(4)＝eq \f(1,1＋4)＝eq \f(1,5)，f(eq \f(1,4))＝eq \f(1,1＋\f(1,4))＝eq \f(4,5)，求f(2 016)＋f(2 015)＋…＋f(2)＋f(1)＋f(eq \f(1,2))＋…＋f(eq \f(1,2 015))＋f(eq \f(1,2 016))．
17.先化简，再求值：(eq \f(2a,a2－4)－eq \f(1,a－2))÷eq \f(a,a2＋4a＋4)，其中a是方程a2＋a－6＝0的解．
18．设A＝eq \f(a－2,1＋2a＋a2)÷(a－eq \f(3a,a＋1))．
(1)化简A；
(2)当a＝3时，记此时A的值为f(3)；当a＝4时，记此时A的值为f(4)；…
解关于x的不等式：eq \f(x－2,2)－eq \f(7－x,4)≤f(3)＋f(4)＋…＋f(11)，并将解集在数轴上表示出来．
19．阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式eq \f(－x4－x2＋3,－x2＋1)拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．
解：由分母为－x2＋1，可设－x4－x2＋3＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b，
则－x4－x2＋3＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b＝－x4－ax2＋x2＋a＋b＝－x4－(a－1)x2＋(a＋b)．
∵对于任意x，上述等式均成立，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－1＝1，,a＋b＝3，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1.))
∴eq \f(－x4－x2＋3,－x2＋1)＝eq \f(（－x2＋1）（x2＋2）＋1,－x2＋1)
＝eq \f(（－x2＋1）（x2＋2）,－x2＋1)＋eq \f(1,－x2＋1)＝x2＋2＋eq \f(1,－x2＋1)，
这样，分式eq \f(－x4·x2＋3,－x2＋1)被拆分成了一个整式x2＋2与一个分式eq \f(1,－x2＋1)的和．
解答：
(1)将分式eq \f(－x4－6x2＋8,－x2＋1)拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式；
(2)试说明eq \f(－x4·6x2＋8,－x2＋1)的最小值为8.
20．设eq \f(x,x2＋x＋1)＝a(a≠0)，求eq \f(x2,x4＋x2＋1)的值．
参考答案
【基础训练】
1．A 2.B 3.B 4.B 5.x≠2 6.3
7．解：原式＝eq \f(2（x＋1）－（x－1）,x＋1)÷eq \f(（x＋3）2,（x＋1）（x－1）)
＝eq \f(x＋3,x＋1)·eq \f(（x＋1）（x－1）,（x＋3）2)
＝eq \f(x－1,x＋3).
8．解：原式＝eq \f(a,a＋1)÷(eq \f(a2－1,a＋1)－eq \f(2a－1,a＋1))
＝eq \f(a,a＋1)÷eq \f(a2－2a,a＋1)
＝eq \f(a,a＋1)·eq \f(a＋1,a（a－2）)
＝eq \f(1,a－2).
由题意可知a＋1≠0，a≠0，a－2≠0，所以a≠－1，a≠0，a≠2，
当a＝1时，原式＝－1.
9．解：解不等式①得x≤1，
解不等式②得x＞－3，
∴不等式组的解集为－3＜x≤1.
(eq \f(3x,x－1)－eq \f(x,x＋1))÷eq \f(x,x2－1)
＝eq \f(3x（x＋1）－x（x－1）,（x－1）（x＋1）)·eq \f(x2－1,x)
＝eq \f(3x（x＋1）－x（x－1）,（x－1）（x＋1）)·eq \f(（x－1）（x＋1）,x)
＝3(x＋1)－(x－1)
＝3x＋3－x＋1
＝2x＋4.
∵x≠0，x≠±1，
∴当x取－2时，原式＝2×(－2)＋4＝0.
【拔高训练】
10．D 11.B 12.－1
13.eq \f(2 017,32) 14.eq \f(－1＋\r(3),2)
15．解：(1)eq \f(1,6)＋eq \f(5,7)＋eq \f(1,6)×eq \f(5,7)＝1
(2)eq \f(1,n)＋eq \f(n－1,n＋1)＋eq \f(1,n)×eq \f(n－1,n＋1)＝1
证明：∵左边＝eq \f(1,n)＋eq \f(n－1,n＋1)＋eq \f(1,n)×eq \f(n－1,n＋1)＝eq \f(n＋1＋n（n－1）＋n－1,n（n＋1）)＝1，右边＝1
∴左边＝右边，∴原等式成立．
16．解：∵当x＝1时，f(1)＝eq \f(1,2)；当x＝2时，f(2)＝eq \f(1,3)，当x＝eq \f(1,2)时，f(eq \f(1,2))＝eq \f(2,3)；当x＝3时，f(3)＝eq \f(1,4)；当x＝eq \f(1,3)时，f(eq \f(1,3))＝eq \f(3,4)，…，
∴f(2)＋f(eq \f(1,2))＝1，f(3)＋f(eq \f(1,3))＝1，…，
∴f(n)＋…＋f(1)＋…＋f(eq \f(1,n))＝f(1)＋(n－1)，
∴f(2 016)＋f(2 015)＋…＋f(2)＋f(1)＋f(eq \f(1,2))＋…＋f(eq \f(1,2 015))＋f(eq \f(1,2 016))＝f(1)＋(2 016－1)＝eq \f(1,2)＋2 015＝2 015.5.
17．解：原式＝eq \f(2a－（a＋2）,（a＋2）（a－2）)·eq \f(（a＋2）2,a)＝eq \f(a＋2,a).
解a2＋a－6＝0得(a＋3)(a－2)＝0，
解得a＝－3或a＝2，
∵a－2≠0，∴a≠2，
∴a＝－3.
当a＝－3时，原式＝eq \f(a＋2,a)＝eq \f(－3＋2,－3)＝eq \f(1,3).
18．解：(1)A＝eq \f(a－2,1＋2a＋a2)÷(a－eq \f(3a,a＋1))
＝eq \f(a－2,（a＋1）2)÷eq \f(a（a＋1）－3a,a＋1)
＝eq \f(a－2,（a＋1）2)·eq \f(a＋1,a2－2a)
＝eq \f(a－2,（a＋1）2)·eq \f(a＋1,a（a－2）)
＝eq \f(1,a（a＋1）)
＝eq \f(1,a2＋a).
(2)∵当a＝3时，f(3)＝eq \f(1,32＋3)＝eq \f(1,12)，
a＝4时，f(4)＝eq \f(1,42＋4)＝eq \f(1,20)，
a＝5时，f(5)＝eq \f(1,52＋5)＝eq \f(1,30)，
…
∴eq \f(x－2,2)－eq \f(7－x,4)≤f(3)＋f(4)＋…＋f(11)，
即eq \f(x－2,2)－eq \f(7－x,4)≤eq \f(1,3×4)＋eq \f(1,4×5)＋…＋eq \f(1,11×12)，
∴eq \f(x－2,2)－eq \f(7－x,4)≤eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)－eq \f(1,5)＋…＋eq \f(1,11)－eq \f(1,12)，
∴eq \f(x－2,2)－eq \f(7－x,4)≤eq \f(1,3)－eq \f(1,12)，
∴eq \f(x－2,2)－eq \f(7－x,4)≤eq \f(1,4)，
解得x≤4，
∴原不等式的解集是x≤4，在数轴上表示如下所示，
【培优训练】
19．解：(1)由分母为－x2＋1，可设－x4－6x2＋8＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b，
则－x4－6x2＋8＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b＝－x4－ax2＋x2＋a＋b＝－x4－(a－1)x2＋(a＋b)．
∵对于任意x，上述等式均成立，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－1＝6，,a＋b＝8，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝7，,b＝1.))
∴eq \f(－x4－6x2＋8,－x2＋1)＝eq \f(（－x2＋1）（x2＋7）＋1,－x2＋1)＝eq \f(（－x2＋1）（x2＋7）,－x2＋1)＋eq \f(1,－x2＋1)
＝x2＋7＋eq \f(1,－x2＋1).
这样，分式eq \f(－x4－6x2＋8,－x2＋1)被拆分成了一个整式x2＋7与一个分式eq \f(1,－x2＋1)的和．
(2)由eq \f(－x4－6x2＋8,－x2＋1)＝x2＋7＋eq \f(1,－x2＋1)知，
对于x2＋7＋eq \f(1,－x2＋1)，当x＝0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，
即eq \f(－x4－6x2＋8,－x2＋1)的最小值为8.
20．解：∵a≠0，eq \f(x,x2＋x＋1)＝a，
∴eq \f(x2＋x＋1,x)＝eq \f(1,a)，即x＋eq \f(1,x)＝eq \f(1,a)－1
∵eq \f(x4＋x2＋1,x2)＝x2＋1＋eq \f(1,x2)＝(x＋eq \f(1,x))2－1
＝(eq \f(1,a)－1)2－1＝eq \f(1,a2)－eq \f(2,a)＝eq \f(a－2,a2)
∴eq \f(x2,x4＋x2＋1)＝eq \f(a2,a－2).