专题8.4三元一次方程组的解法-2021-2022学年七年级数学下册同步培优题典【人教版】

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2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】
专题8.4三元一次方程组的解法
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•光明区期末）解三元一次方程组x-y+z=-3，①x+2y-z=1，②x+y=0，③要使解法较为简便，首先应进行的变形为（　　）
A．①+② B．①﹣② C．①+③ D．②﹣③
【分析】观察发现：第三个方程不含z，故前两个方程相加消去z，可将三元一次方程组转化为二元一次方程组来求解．
【解析】解三元一次方程组x-y+z=-3①x+2y-z=1②x+y=0③要使解法较为简便，首先应进行的变形为①+②．
故选：A．
2．（2020春•高新区校级期中）解方程组2x+y=292y+z=292z+x=32得x等于（　　）
A．18 B．11 C．10 D．9
【分析】先由①×2﹣②得出4x﹣z＝29 ④，再由④×2+③得到9x＝90，即可求得x＝10．
【解析】2x+y=29①2y+z=29②2z+x=32③，
①×2﹣②得：4x﹣z＝29 ④，
④×2+③得：9x＝90，
解得x＝10，
故选：C．
3．（2020春•天心区期中）解三元一次方程组3x-4y=14x-6y-z=23x-5y+z=4时，要使解法较为简单，应（　　）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数
【分析】利用加减消元法判断即可．
【解析】解三元一次方程组3x-4y=14x-6y-z=23x-5y+z=4时，要使解法较为简单，应先消去z，
故选：C．
4．（2020春•淮南期末）关于x，y的二元一次方程组x+y=5kx-y=9k的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值是（　　）
A．-34 B．34 C．43 D．-43
【分析】先求出方程组的解，把x、y的值代入方程2x+3y＝6，即可求出k．
【解析】解方程组x+y=5kx-y=9k得：x=7ky=-2k，
∵关于x，y的二元一次方程组x+y=5kx-y=9k的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，
∴代入得：14k﹣6k＝6，
解得：k=34，
故选：B．
5．（2020春•莱州市期末）已知方程组2x+y+3z=53x-y-2z=1，那么代数式8x﹣y﹣z的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据“3x﹣y﹣2z＝1”，得到﹣y﹣z＝1+z﹣3x，代入8x﹣y﹣z得：5x+z+1，2x+y+3z=5①3x-y-2z=1②，①+②得：5x+z＝6，代入5x+z+1，即可得到答案．
【解析】∵3x﹣y﹣2z＝1，
∴﹣y﹣z＝1+z﹣3x，
8x﹣y﹣z＝1+z﹣3x+8x＝5x+z+1，
2x+y+3z=5①3x-y-2z=1②，
①+②得：
5x+z＝6，
即8x﹣y﹣z＝6+1＝7，
故选：B．
6．（2019秋•五华区校级期末）已知2x+3y=z3x+4y=2z+6且x+y＝3，则z的值为（　　）
A．9 B．﹣3 C．12 D．不确定
【分析】用第二个方程减去第一个方程即可得到x+y与z的关系，然后根据x+y＝3，即可得到z的值，本题得以解决．
【解析】2x+3y=z①3x+4y=2z+6②
②﹣①，得
x+y＝z+6，
∵x+y＝3，
∴z+6＝3，
解得，z＝﹣3，
故选：B．
7．（2020春•射洪市期末）方程组x-z=4z-2y=-1x+y-z=-1的解是（　　）
A．x=7y=-5z=-11 B．x=-7y=5z=-11
C．x=-7y=-5z=-11 D．x=7y=-5z=11
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解析】x-z=4①z-2y=-1②x+y-z=-1③，
③﹣①得：y＝﹣5，
把y＝﹣5代入②得：z＝﹣11，
把z＝﹣11代入①得：x＝﹣7，
则方程组的解为x=-7y=-5z=-11，
故选：C．
8．（2020春•文登区期中）设x2=y3=z4，则x-2y+3zx+y+z的值为（　　）
A．27 B．23 C．89 D．57
【分析】设已知等式等于k，表示出x，y，z，代入原式计算即可得到结果．
【解析】设x2=y3=z4=k，得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，
则原式=2k-6k+12k2k+3k+4k=89．
故选：C．
9．（2018秋•乐至县期末）已知y＝ax2+bx+c当x＝﹣2时，y＝9；当x＝0时，y＝3；当x＝2时，y＝5，则a+b﹣c的值是（　　）
A．5 B．﹣3 C．3 D．5
【分析】把x与y的三对值代入计算求出a，b，c的值，进而求出所求．
【解析】把x＝﹣2，y＝9；x＝0，y＝3；x＝2，y＝5代入得：4a-2b+c=9c=34a+2b+c=5，
解得：a=1b=-1c=3，
则a+b﹣c＝1﹣1﹣3＝﹣3．
故选：B．
10．（2019秋•雁塔区校级期末）某班元旦晚会需要购买甲、乙、丙三种装饰品，若购买甲3件，乙5件，丙1件，共需62元，若购甲4件，乙7件，丙1件共需77元．现在购买甲、乙、丙各一件，共需（　　）元．
A．31 B．32 C．33 D．34
【分析】设甲种装饰品x元/件，乙种装饰品y元/件，丙种装饰品z元/件，根据“若购买甲3件，乙5件，丙1件，共需62元，若购甲4件，乙7件，丙1件共需77元”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，用（3×①﹣2×②）可求出x+y+z＝32，此题得解．
【解析】设甲种装饰品x元/件，乙种装饰品y元/件，丙种装饰品z元/件，
依题意，得：3x+5y+z=62①4x+7y+z=77②，
3×①﹣2×②，得：x+y+z＝32．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春•津南区校级月考）三元一次方程组x+y=10y+z=20z+x=40的解是　x=15y=-5z=25　．
【分析】将方程组三方程相加求出x+y+z的值，即可确定出解．
【解析】x+y=10①y+z=20②z+x=40③，
①+②+③得：2（x+y+z）＝70，即x+y+z＝35④，
把①、②、③分别代入④得：z＝25，x＝15，y＝﹣5，
则方程组的解为x=15y=-5z=25，
故答案为：x=15y=-5z=25．
12．（2020•晋江市模拟）已知方程组x+y-5z=0x-y+z=0，则x：y：z＝　2：3：1　．
【分析】先解方程组，用含z的代数式表示x、y，再求x：y：z．
【解析】x+y-5z=0①x-y+z=0②，
①+②，得2x﹣4z＝0，
∴x＝2z．
①﹣②，得2y﹣6z＝0，
∴y＝3z．
∴x：y：z＝2z：3z：z＝2：3：1．
故答案为：2：3：1．
13．（2020春•临颍县期末）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60．则a+b+c＝　﹣4　．
【分析】把x与y的值代入已知等式得到方程组，求出方程组的解得到a，b，c的值，代入原式计算即可求出值．
【解析】把x＝﹣1，y＝0；x＝2，y＝3；x＝5，y＝60代入得：a-b+c=04a+2b+c=325a+5b+c=60，
解得：a=3b=-2c=-5，
则a+b+c＝3﹣2﹣5＝﹣4．
故答案为：﹣4．
14．（2020春•醴陵市期末）如果x+y=5y+z=6x+z=7，则x+y+z＝　9　．
【分析】方程组三方程相加即可求出x+y+z的值．
【解析】x+y=5①y+z=6②x+z=7③，
①+②+③得：2（x+y+z）＝18，即x+y+z＝9，
故答案为9．
15．（2020春•惠安县期末）某顾客到商场购买甲、乙、丙三种款式服装．若购买甲4件，乙7件，丙1件共需450元；若购买甲5件，乙9件，丙1件共需520元，则该顾客购买甲、乙、丙各一件共需　240　元．
【分析】等量关系为：甲4件的总价+乙7件的总价+丙1件的总价＝450，甲5件的总价+乙9件的总价+丙1件的总价＝520，把相关数值代入，都整理为等式左边为x+y+z的等式，设法消去等号右边含未知数的项，可得甲、乙、丙各1件共需的费用．
【解析】设购买甲、乙、丙各1件分别需要x，y，z元，
依题意得，4x+7y+z=450①5x+9y+z=520②，
由①×4﹣②×3得，x+y+z＝240，
即现在购买甲、乙、丙各1件，共需240元．
故答案为：240．
16．（2020春•嘉陵区期末）三元一次方程组x+y=7x-z=152x+z=6的解是　x=7y=0z=-8　．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解析】x+y=7①x-z=15②2x+z=6③，
②+③得：3x＝21，
解得：x＝7，
把x＝7代入①得：y＝0，
把x＝7代入③得：z＝﹣8，
则方程组的解为x=7y=0z=-8，
故答案为x=7y=0z=-8．
17．（2020春•仙居县期末）为防控新冠疫情，做好个人防护，小君去药店购买口罩．若买6个平面口罩和4个KN95口罩，则她所带的钱还剩下10元；若买4个平面口罩和6个KN95口罩，则她所带的钱还缺8元．若只买10个KN95口罩，则她所带的钱还缺　44　元．
【分析】设平面口罩的单价为x元，KN95口罩的单价为y元，小君带的钱数为a元，根据“若买6个平面口罩和4个KN95口罩，则她所带的钱还剩下10元；若买4个平面口罩和6个KN95口罩，则她所带的钱还缺8元”，即可得出关于x，y，a的三元一次方程组，利用（6×②﹣4×①）÷2可得出10y＝a+44，移项后即可得出结论．
【解析】设平面口罩的单价为x元，KN95口罩的单价为y元，小君带的钱数为a元，
依题意，得：6x+4y=a-10①4x+6y=a+8②，
（6×②﹣4×①）÷2，得：10y＝a+44，
∴10y﹣a＝44．
故答案为：44．
18．（2020春•遂宁期末）若x、y、z满足x+2y-z=4x-y+2z=1，则x+y的值为　3　．
【分析】方程组利用加减消元法求出x+y的值即可．
【解析】x+2y-z=4①x-y+2z=1②，
①×2+②得：3x+3y＝9，
则x+y＝3．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•越秀区校级期中）解方程组：
（1）2x+y=42y+1=5x；
（2）2x+y=10x-y+z=43x-y-z=0．
【分析】（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【解析】（1）2x+y=4①2y+1=5x②，
由①得：y＝4﹣2x③，
把③代入②得：2（4﹣2x）+1＝5x，
解得：x＝1，
把x＝1代入③得：y＝2，
∴方程组的解为x=1y=2；
（2）2x+y=10①x-y+z=4②3x-y-z=0③，
②+③得：2x﹣y＝2④，
①+④得：4x＝12，
解得x＝3，
把x＝3代入④得：y＝4，
把x＝3，y＝4代入②得：z＝5，
∴方程组的解为x=3y=4z=5．
20．（2020春•汉阳区期末）解方程组
（1）x+2y=-35x-2y=9；
（2）x-y+z=04x-2y+z=1116x+4y+z=35．
【分析】各方程组利用加减消元法求出解即可．
【解析】（1）x+2y=-3①5x-2y=9②，
①+②得：6x＝6，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝﹣2，
则方程组的解为x=1y=-2；
（2）x-y+z=0①4x-2y+z=11②16x+4y+z=35③，
②﹣①得：3x﹣y＝11④，
③﹣①得：15x+5y＝35，即3x+y＝7⑤，
④+⑤得：6x＝18，
解得：x＝3，
④﹣⑤得：﹣2y＝4，
解得：y＝﹣2，
把x＝3，y＝﹣2代入①得：z＝﹣5，
则方程组的解为x=3y=-2z=-5．
21．（2020春•海安市期末）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝2时，y＝3；当x＝﹣2时，y＝11．
（1）求a，b，c的值；
（2）小苏发现：当x＝﹣1或x=53时，y的值相等．请分析“小苏发现”是否正确？
【分析】（1）由“当x＝0时，y＝﹣5；当x＝2时，y＝3；当x＝﹣2时，y＝11”即可得出关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）把x＝﹣1，x=53分别代入等式求得y的值，即可判断．
【解析】（1）根据题意，得c=-5①4a+2b+c=3②4a-2b+c=11③，
②﹣③，得4b＝﹣8，
解得b＝﹣2；
把b＝﹣2，c＝﹣5代入②得4a﹣4﹣5＝3，
解得a＝3，
因此a=3b=-2c=-5；
（2）“小苏发现”是正确的，
由（1）可知等式为y＝3x2﹣2x﹣5，
把x＝﹣1时，y＝3+2﹣5＝0；
把x=53时，y=253-103-5＝0，
所以当x＝﹣1或x=53时，y的值相等．
22．（2020秋•西丰县期中）下表给出了代数式ax2+bx+c与x的一些对应值：
x
…
0
1
2
3
4
…
ax2+bx+c
…
3
m
﹣1
0
n
…
（1）利用表中所给数值求出a，b，c的值；
（2）直接写出：m＝　0　，n＝　3　；
（3）设y＝ax2+bx+c，则当x取何值时，y＜0．
【分析】（1）根据题意得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组即可求得结果；
（2）当x＝1代数式x2+bx+c的值为0可计算出m，同理求得n＝0；
（3）根据抛物线的性质得抛物线开口向上，然后找出x轴下方的抛物线所对应的自变量的范围即可；
【解析】（1）根据题意得c=34a+2b+c=-19a+3b+c=0，解得a=1b=-4c=3，
∴a，b，c的值分别为1，﹣4，3．
（2）当x＝1时，x2﹣4x+3＝1﹣4+3＝0，
当x＝4时，x2﹣4x+3＝16﹣16+3＝3；
∴m＝0，n＝3，
故答案为0，3；
23．（2020春•武昌区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b），B（a，c），
（1）若AB＝2，则b﹣c＝　2或﹣2　；
（2）若a，b，c满足a+2b-c=2a-b+c=4．
①若点A到x轴的距离是它到y轴距离的4倍，求点A的坐标；
②点C的横坐标为m，且3m＝4a+2b，△ABC的面积等于92，求a的值．
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2）①根据题意列出三元一次方程组计算即可求解；
②根据方程组求得2a+b＝6，3a+c＝10，从而得到b﹣c＝6﹣2a﹣10+3a＝a﹣4，由2a+b＝6，得到4a+2b＝12，根据题意求得C的横坐标为4，然后根据三角形面积公式得到12|b﹣c|×|a﹣4|=92，即|（a﹣4）2＝9，解方程即可求得a的值．
【解析】（1）若AB＝2，则b﹣c＝±2．
故答案为：2或﹣2；
（2）若a，b，c满足a+2b-c=2a-b+c=4．
①依题意有a+2b-c=2a-b+c=4|b|=4|a|，
解得a1=1b1=4，a2=-3b=12．
故点A的坐标为（1，4）或（﹣3，12）；
②∵a，b，c满足a+2b-c=2①a-b+c=4②，
①+②得2a+b＝6，
①+②×2得3a+c＝10，
∴b＝6﹣2a，c＝10﹣3a，
∴b﹣c＝6﹣2a﹣10+3a＝a﹣4，
∵2a+b＝6，
∴4a+2b＝12，
∵点C的横坐标为m，且3m＝4a+2b，
∴3m＝12，
∴m＝4，
∴点C的横坐标为4，
∵△ABC的面积等于92，
∴12|b﹣c|×|a﹣4|=92，即|（a﹣4）2＝9，
解得a＝7或a＝1，
∴a的值为7或1．
24．（2020春•海淀区校级月考）阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”例如：x=1y=8就是方程3x+y＝11的一组“好解”；x=1y=2z=3是方程组3x+2y+z=10x+y+z=6的一组“好解”．
（1）求方程x+2y＝5的所有“好解”；
（2）关于x，y，k的方程组x+y+k=15x+5y+3k=27有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由．
【分析】（1）分别计算y＝0、1、2对应的x的值得到方程x+2y＝5的“好解”；
（2）先利用加减消元法得到k＝6﹣2y，x＝9+y，则利用x、y、k为非负整数得到y＝0、1、2，然后计算出对应的x、k的值，从而得到方程组的“好解”．
【解析】（1）当y＝0时，x＝5；
当y＝1时，x+2＝5，解得x＝3；
当y＝2时，x+4＝5，解得x＝1，
所以方程x+2y＝5的所有“好解”为x=5y=0或x=3y=1或x=1y=2；
（2）有．
x+y+k=15①x+5y+3k=27②，
②﹣①得4y+2k＝12，则k＝6﹣2y，
①×3﹣②得2x﹣2y＝18，则x＝9+y，
∵x、y、k为非负整数，
∴6﹣2y≥0，解得y≤3，
∴y＝0、1、2，
当y＝0时，x＝9，k＝6；当y＝1，x＝10，k＝4；当y＝2时，x＝11，k＝2，当y＝3时，x＝12，k＝0
∴关于x，y，k的方程组x+y+k=15x+5y+3k=27的“好解”为x=9y=0k=6或x=10y=1k=4或x=11y=2k=2或x=12y=3k=0．