2020-2021学年河北省衡水市第十四中学高二下学期摸底考试数学试题含解析

这是一份2020-2021学年河北省衡水市第十四中学高二下学期摸底考试数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了 单项选择题，多项选择题，填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

衡水市第十四中学2020-2021学年高二下学期摸底考试
数 学 试 卷
一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，集合M＝{x|x2＜3x+4}，N＝{x|x＜3}，则M∩N＝（　　）
A．（﹣1，3） B．（﹣12） C．（3，4） D．（4，+∞）
2．已知i为虚数单位，则z＝在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知数列{an}是等差数列，记数列{an}的前n项和为Sn，若a13＝7，则S25＝（　　）
A．350 B．700 C． D．175
4．（5分）若双曲线mx2﹣y2＝1的一条渐近线为2x﹣y═0，则实数m＝（　　）
A． B． C．2 D．4
5．已知函数f（x）＝2log2（x﹣a）﹣log2x．若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≥1，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B． C．（﹣∞，﹣1] D．
6．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1的面积为4，则正三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．已知点O为△ABC的外心，且A＝，＝，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．直角三角形或等边三角形
D．钝角三角形
8．已知直线l过点（﹣2，0）且倾斜角为α，若l与圆（x﹣3）2+y2＝20相切，则＝（　　）
A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．(2020·山东临沂二模、枣庄三调)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则(　　)
A．|a|＝|b| B．(a－b)∥b
C．(a－b)⊥b D．a与b的夹角为
10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF＝，则下列结论中正确的是（　　）

A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．△AEF的面积与△BEF的面积相等
D．三棱锥E﹣ABF的体积为定值

11．已知函数f（x）＝asinx+bcosx（ab≠0），且对任意x∈R都有，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）在上单调递增
C．是f（x）的一个零点
D．
12．(多选)(2020·山东潍坊高密一模)关于函数f(x)＝，下列结论正确的是(　　)
A．图象关于y轴对称
B．图象关于原点对称
C．在(－∞，0)上单调递增
D．f(x)恒大于0
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知函数f（x）＝xex﹣1，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为　 　．
14.（5分）2020年在抗击新型冠状病毒期间，武汉市在汉阳、江岸、硚口、洪山、武汉开发区等城区修建了方舱医院，专门收治新型冠状病毒肺炎感染的轻症患者．现将6名志愿者分配到汉阳、江岸、硚口这3个城区去负责药品的分发工作，若每个城区，至少有一名志愿者，则不同的分配方法有　 　种．（用数字作答）
x
0
2
4
6
y
1
2m+1
2﹣m
3﹣m


15．已知x与y之间的一组数据如下，且它们之间存在较好的线性关系．
则y与x的回归直线方程必过定点　 　．
16．已知A（﹣5，0），B（5，0），若对任意实数t∈R，点P都满足，则的最小值为　 　，此时||＝　 　．
四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知函数的图象与直线y＝2的相邻两个交点间的距离为2π，且____．
在①函数为偶函数；②；③∀x∈R，；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间．

18. 已知等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的前项和.

19．如图①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起使AD＝，得到如图②所示的四棱锥A﹣BCDE．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ABC；
（Ⅱ）若P为AC的中点，求三棱锥P﹣ABD的体积．









20．某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的化学成绩，把其中不低于50分的分成五段[50，60），[60，70），…，[90，100]后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求出这60名学生中化学成绩低于50分的人数；
（2）估计高二年级这次考试化学学科及格率（60分以上为及格）；
（3）从化学成绩不及格的学生中随机调查1人，求他的成绩低于50分的概率
21．（12分）已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，A，B分别为椭圆的左、右顶点，且|AB|＝4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过左顶点A的直线l与椭圆C另交于点D，与y轴交于点E，在平面内是否存在一定点P，使得恒成立？若存在，求出该点的坐标，并求△ADP面积的最大值；若不存在，说明理由．

22．（12分）已知函数f（x）＝2lnx+x2﹣2ax（a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明．





















数学参考答案及评分标准
一．1．【分析】求出集合M，N，由此能求出M∩N．
【解答】解：∵集合M＝{x|x2＜3x+4}＝{x|﹣1＜x＜4}，
N＝{x|x＜3}，
∴M∩N＝{x|﹣1＜x＜3}＝（﹣1，3）．
故选：A．
2．【分析】对复数z进行化简，从而求出其所在的象限即可．
【解答】解：z＝＝＝，
故z在复平面内对应的点位于第二象限，
故选：B．
3．【分析】利用等差数列前n项和公式和等差数列通项公式能求出S25的值．
【解答】解：∵数列{an}是等差数列，记数列{an}的前n项和为Sn，a13＝7，
∴S25＝（a1+a25）＝25a13＝175．
故选：D．
4．求解得答案．
【解答】解：双曲线mx2﹣y2＝1化为标准方程为，
其渐近线方程为y＝，
又双曲线mx2﹣y2＝1的一条渐近线为2x﹣y＝0，
∴，即m＝4．
故选：D．
5．【分析】由对数的运算性质可得，即，令，则．由二次函数的最值求法，即可得到所求范围．
【解答】解：由f（x）≥1整理得log2（x﹣a）≥log2x+＝log2，
所以，即，
令，则．
令，其图象的对称轴为，
所以g（t）min＝g（）＝﹣×＝﹣，
则．
故选：B．
6．【分析】画出图形，设出侧面BCC1B1的边长，利用面积列出关系式，转化求解外接球的半径的最小值，然后求解表面积的最小值即可．
【解答】解：如图：设BC＝a，BB1＝b，球的半径为R，
外接球的球心为O，底面三角形的中心为O1，由侧面BCC1B1的面积为4，
可得ab＝4，外接球的表面积取最小值时，外接球的半径最小，
∵A1O1＝×＝a，
∴R＝≥＝，
当且仅当，ab＝4，即a＝，b＝时等号成立．
此时外接球取得最小值：4π•＝．
故选：D．

7．【分析】取AB、AC的中点E、F，则根据平面向量的三角形法则可得2a2＝b2+c2，然后求出B的范围，再求出B的值，根据三角形的内角和定理可得A＝B＝C＝，即可判断△ABC的形状．
【解答】解：取AB、AC的中点E、F，
则＝（）＝＝（）•（）＝（a2﹣b2），
同理＝（c2﹣a2），所以2a2＝b2+c2．
又A＝，由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣bc，
即b2+c2＝a2+bc，所以bc＝a2，
由正弦定理，得sinBsinC＝sin2A＝，即sinBsin（﹣B）＝，
所以sinBsin（﹣B）＝sinB（cosB+sinB）＝sin2B+＝，
所以sin2B﹣cos2B＝2，所以2sin（2B﹣）＝2，即sin（2B﹣）＝1，
因为B，2B﹣∈（﹣，），
所以2B﹣＝，解得B＝，
所以A＝B＝C＝，△ABC的形状是等边三角形．
故选：B．
8.【分析】求出圆的圆心和半径，根据点到直线的距离求出m的值，求出tanα的值，再化简三角函数，根据二倍角公式求出答案即可．
【解答】解：圆（x﹣3）2+y2＝20的圆心坐标是（3，0），半径r＝2，
设直线l的方程为x＝my﹣2，即x﹣my+2＝0，显然m≠0，
由题意得：＝2，
化简得4m2﹣1＝0，解得：m＝或m＝﹣，
∵tanα＝，
∴tanα＝±2，
∴sin（﹣2α）＝﹣cos2α＝﹣＝．
故选：A．
二．

9.答案　CD
解析　因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以|a|＝2，|b|＝，所以|a|≠|b|，故A错误；因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以a－b＝(1，－1)，所以(a－b)与b不平行，故B错误；又(a－b)·b＝1－1＝0，故C正确；又cos〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为，故D正确．故选CD.

10．【分析】证明线面垂直，可得线线垂直判断A；由直线与平面平行的判定定理判断B；由点A和点B到EF的距离不相等，可得△AEF的面积与△BEF的面积不相等，判断C错误；连接BD，交AC于O，则AO为三棱锥A﹣BEF的高，利用等体积法证明三棱锥E﹣ABF的体积为定值判断D．
【解答】解：由正方体的结构特征可知，DD1⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，则D1D⊥AC，
又ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵D1D∩BD＝D，且D1D、BD⊂平面DD1B1B，∴AC⊥平面DD1B1B，
∵BE⊂平面DD1B1B，∴AC⊥BE，故A正确；
∵B1D1∥BD，BD⊂平面ABCD，B1D1⊄平面ABCD，
∴BD∥平面ABCD，而EF在B1D1上，∴EF∥平面ABCD，故B正确；
点B到EF的距离为正方体的棱长，A到EF的距离大于棱长，则△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故C错误；
如图所示，连接BD，交AC于O，则AO为三棱锥A﹣BEF的高，
•EF•BB1＝××1＝，＝×＝，
则为定值，故D正确．
故选：ABD．


11．【分析】由已知可得函数f（x）的图象关于x＝对称，则f（0）＝f（），由此可求得a＝b，代入f（x）解析式中，利用辅助角公式化简可得f（x）＝2bsin（x+），由正弦函数的性质逐一选项判断即可得结论．
【解答】解：函数f（x）＝asinx+bcosx（ab≠0），且对任意x∈R都有，
所以函数f（x）的图象关于x＝对称，
所以f（0）＝f（），即b＝a﹣b，所以a＝b，由ab≠0，可得＝，故D正确；
所以f（x）＝bsinx+bcosx＝2b（sinx+cosx）＝2bsin（x+），
所以f（x）的最小正周期为2π，故A正确；
当x∈，x+∈[﹣，]，当b＞0时，f（x）在上单调递增；当b＜0时，f（x）在上单调递减，故B错误．
当x＝时，f（x）＝0，故是f（x）的一个零点，故C正确．
故选：ACD．
12答案　ACD
解析　函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，①因为f(x)＝＝·，f(－x)＝·＝－·＝·＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，所以A正确，B不正确；②当x>0时，y＝>0，且y＝在(0，＋∞)上单调递减，当x>0时，y＝1＋>0，且y＝1＋在(0，＋∞)上单调递减，而f(x)＝，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)为偶函数，故f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以C正确；③由①知，f(x)＝·，当x<0时，<0，ex＋1>0，ex－1<0，故此时f(x)>0，又f(x)关于y轴对称，故D正确．故选ACD

三．

13．【分析】求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可．
【解答】解：f′（x）＝xex﹣1+ex﹣1
f′（1）＝2，f（1）＝1，
故切线方程是：y﹣1＝2（x﹣1），
即y＝2x﹣1；
14．【分析】根据题意，按分配人数的不同分3种情况讨论，求出每种情况的方案数目，由加法原理计算可得答案．
由分类加法原理，所以共有90+360+90＝540种分配方案．
15．【分析】运用回归直线过样本中心点可得结果．
【解答】解：根据题意得，回归直线过样本中心点
∵＝＝3，＝＝
∴y与x的回归直线方程必过定点（3，）
故答案为（3，）．

16．【分析】不妨以A，B的中点为原点，AB所在直线为x轴，过O且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，设，H为AB上一点，推出，说明P到直线AB的距离为3，P点在直线L：y＝3上，然后求解
取最小值﹣16，推出．
【解答】解：∵A（﹣5，0）和B（5，0）在中点为原点O（0，0），
不妨以A，B的中点为原点，AB所在直线为x轴，
过O且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，

设，H为AB上一点，，
故，
所以，P到直线AB的距离为3，
则P点在直线L：y＝3上，
可得：A（﹣5，0），B（5，0），P（x，3），
则＝（﹣5﹣x，﹣3）⋅（5﹣x，﹣3）＝x2﹣25+9＝x2﹣16，
当且仅当x＝0时，取最小值﹣16，
此时P（0，3），．
故答案为：﹣16；6．
四．17．【分析】（1）根据三角函数的图象和性质分别求出ω 和φ的值即可．
（2）求出角的范围，结合是函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：（1）函数的图象与直线y＝2的相邻两个交点间的距离为2π，
即周期T＝2π，即＝2π，得ω＝1，则f（x）＝2sin（x+φ）．
若选①函数为偶函数，
则＝2sin（x++φ）是偶函数，则+φ＝kπ+，k∈Z，得φ＝kπ+，k∈Z，
∵0＜φ＜，∴k＝0时，φ＝，则f（x）＝2sin（x+）．
若选②，则f（x）＝2sin（+φ）＝，即sin（+φ）＝，
∵0＜φ＜，∴＜φ+＜，则φ+＝，即φ＝，则则f（x）＝2sin（x+）．
若选③∀x∈R，，当x＝时，函数f（x）取得最大值，
即+φ＝2kπ+，k∈Z，得φ＝2kπ+，k∈Z，
∵0＜φ＜，∴k＝0时，φ＝，则f（x）＝2sin（x+）．
综上函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x+）．
（2）当x∈[0，π]时，x+∈[，]，
则当x+∈[，]时，函数f（x）为增函数，
此时由≤x+≤，得0≤x≤，
即f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[0，]．
18. (本小题满分12分)
（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，
∵a2＝6，a3＋a4＝72，
∴6q＋6q2＝72，即q2＋q－12＝0，
∴q＝3或q＝－4．
又∵an＞0，∴q＞0，
∴q＝3，a1＝＝2．
∴an＝a1qn－1＝2×3n－1(n∈N*).
（Ⅱ）∵bn＝2×3n－1－n，
∴Sn＝2(1＋3＋32＋…＋3n－1)－(1＋2＋3＋…＋n)
＝2×－
＝3n－1－．

19．【分析】（Ⅰ）由已知证明AE⊥底面BCDE，可得BC⊥AE，再由BC⊥BE，得到BC⊥平面ABE，进一步可得平面ABE⊥平面ABC；
（Ⅱ）利用VP﹣ABD＝VA﹣BCD﹣VP﹣BCD求解．
【解答】证明：（Ⅰ）在图①中，由AB＝2，AE＝1，∠A＝60°，
得BE2＝AB2+AE2﹣2AB•AE•cos60°＝．
∴AE2+BE2＝AB2，可得BE⊥AE，则BE⊥BC．
在图②中，有AE⊥BE，
又AE＝ED＝1，AD＝，∴AE2+ED2＝AD2，即AE⊥ED．
∵BE∩ED＝E，∴AE⊥平面BCDE，得AE⊥BC，
又BE∩AE＝E，∴BC⊥平面ABE，而BC⊂平面ABC，
∴平面ABE⊥平面ABC；

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE⊥平面BCD，且AE＝1，
∵P为AC的中点，∴P到平面BCD的距离为．
又＝×2×＝．
∴VP﹣ABD＝VA﹣BCD﹣VP﹣BCD＝＝．
故三棱锥P﹣ABD的体积为．

20．【分析】（1）低于50分的频率为0.1，由此能求出低于50分的人数．
（2）成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组），频率之和为0.75，由此可以估计这次考试化学学科及格率约为75%．
（3）“成绩低于50分”的人数是6人，成绩在[50，60）这组的人数是9人，由此能求出从成绩不及格的学生中随机调查1人，他的成绩低于50分的概率．
【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，
故低于50分的频率为：1﹣（0.015×2+0.03+0.025+0.005）×10＝0.1，
所以低于50分的人数为60×0.1＝6（人）．
（2）依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组），
频率之和为（0.015+0.03+0.025+0.005）×10＝0.75，
所以，抽样学生成绩的及格率是75%，

于是，可以估计这次考试化学学科及格率约为75%．
（3）由（1）知，“成绩低于50分”的人数是6人，
成绩在[50，60）这组的人数是0.015×10×60＝9（人），
所以从成绩不及格的学生中随机调查1人，有15种选法，成绩低于50分有6种选法，
故他的成绩低于50分的概率为．

21．【分析】（1）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，结合顶点的概念和a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y＝k（x+2），联立椭圆方程，运用韦达定理，可得D的坐标，由A（﹣2，0），B（2，0），设P（m，n），在平面内假设存在一定点P，使得恒成立，运用向量数量积的坐标表示，化简整理，结合恒等式的性质，可得m，n，可得P的坐标，再由三角形的面积公式，结合基本不等式，可得所求三角形的面积的最大值．
【解答】解：（1）双曲线的离心率为＝2，由题意可得椭圆的离心率为e＝＝，
|AB|＝4，即2a＝4，即a＝2，b＝，
椭圆的方程为+＝1；
（2）过左顶点A的直线l的斜率显然存在，设为k，方程设为y＝k（x+2），可得E（0，2k），
且A（﹣2，0），B（2，0），设P（m，n），
由可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，则﹣2xD＝，即xD＝，
即有D（，），
在平面内假设存在一定点P，使得恒成立．
可得•＝（﹣m，2k﹣n）•（﹣2，）＝（﹣m）（﹣）+（2k﹣n）•＝＝0，
由于上式恒成立，可得k（4m+6）﹣3n＝0，即有4m+6＝0，且﹣3n＝0，可得m＝﹣，n＝0，
则存在P（﹣，0），使得恒成立．
此时S△ADP＝|AP|•|yD|＝ו＝，当k＝0时，S△ADP＝0；
当k≠0时，S△ADP＝时，取得等号．
综上可得，S△ADP的最大值为．
≤＝，当且仅当|k|2＝，即k＝±
22．【分析】（1）由于f′（x）＝+2x﹣2a＝，令x2﹣ax+1＝0，△＝a2﹣4，分若a2﹣4＞0与a2﹣4≤0两类讨论，即可求得f（x）在（0，+∞）单调区间；
（2）依题意，可求得＝﹣a，则问题转为证明＞0即可，由0＜x1＜1＜x2，易证结论成立．
【解答】（1）解：∵f（x）＝2lnx+x2﹣2ax（a＞0），
∴f′（x）＝+2x﹣2a＝，
令x2﹣ax+1＝0，△＝a2﹣4，
①若a2﹣4＞0，
当a＞2时，x2﹣ax+1＝0的两个根x1＜x2，且x1+x2＝a，x1x2＝1，故均为正，
所以，f（x）在（0，x1），（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）单调递减；
②若a2﹣4≤0，即0＜a≤2时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）在（0，+∞）单调递增；
综上所述，0＜a≤2时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞2时，f（x）在（0，x1），（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）单调递减；
（2）证明：由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1+x2＝a，x1x2＝1，
则f（x1）﹣f（x2）＝2lnx1+﹣2ax1﹣2lnx2﹣+2ax2＝2（lnx1﹣lnx2）+（x1+x2）（x1﹣x2）﹣2a（x1﹣x2），
则＝+（x1+x2）﹣2a＝+a﹣2a＝﹣a，
则问题转为证明＞0即可，
由0＜x1＜1＜x2，知，上式成立，
故原结论成立．