2021届重庆市巴蜀中学高考适应性月考卷（八）数学试题（含解析）

2021届重庆市巴蜀中学高考适应性月考卷（八）数学试题

一、单选题

1．“”是“”的（    ）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要出 D．既不充分也不必要

【答案】D

【分析】解出相应的x的范围，即可得出答案.

【详解】，，

因为，没有包含关系，

∴是的既不充分也不必要条件，

故选：D．

2．已知复数在复平面内对应的点都在射线上，且，则的虚部为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据条件设出复数，再根据模为即可求得.

【详解】设，，，，∴，虚部为3.

故选：A．

3．“垃圾分类”已成为当下最热议的话题，我们每个公民都应该认真履行，逐步养成“减量、循环、自觉、自治”的行为规范，某小区设置了“可回收垃圾”、“不可回收垃圾”、“厨余垃圾”、“其他垃圾”四种垃圾桶．一天，小区住户李四提着属于4个不同种类垃圾桶的4袋垃圾进行投放，发现每个桶只能再投一袋垃圾就满了，作为一个意识不到位份子，李四随机把4袋垃圾投放到了4个桶中，则有且仅有一袋垃圾投放正确的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出四袋垃圾的所有投放方法，再求出一袋投放下确的方法，然后利用古典概型的概率公式求解即可

【详解】四袋垃圾总共有种不同的情况，选出一袋投放正确，剩下3袋与对应垃圾桶全部错位排，共2种情况，，

故选：C．

4．已知直线与圆相交于、两点，点在圆上，且满足，则满足条件的点个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】本题首先可确定圆心与半径，然后求出圆心到直线的距离以及弦长，再然后求出点到直线的距离，最后根据两侧圆上的点到直线的最大距离分别为和即可得出结果.

【详解】，，

圆心，半径，

则圆心到的距离，

弦长，

设点到的距离为，

则，解得，

因为两侧圆上的点到直线的最大距离分别为和，

所以满足条件的点个数为，

故选：D.

5．已知在边长为3的等边中，，则在上的投影为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据条件可得出，从而根据，进行数量积的运算即可求出的值，结合，根据投影的计算公式即可求出投影的值．

【详解】，

，

在上的投影为．

故选：．

6．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先考虑奇偶性，再根据图像的特点选取特殊值来判断，通常用排除法.

【详解】为偶函数，定义域为，排除AC选项；

时，，图象恒在轴的上方，排除D选项；

当，时，,B正确．

故选：B

7．在三棱锥中，，，两两垂直，，，，点为线段的中点，过点作该三棱锥外接球的截面，则所得截面圆的面积不可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造以，，为棱长的长方体，根据题中条件，可求得其外接球半径R，分析可得，在所有过点的截面里，当截面过球心时，截面圆的面积取最大值；在所有过点的截面里，当与截面垂直时，截面圆的面积取最小值，根据圆面积公式，可得截面圆面积范围，即可得答案.

【详解】构造以，，为棱长的长方体，设该长方体的外接球球心为，半径为，

则有，则，

在所有过点的截面里，当截面过球心时，截面圆的面积取最大值，此时半径为；

在所有过点的截面里，当与截面垂直时，截面圆的面积取最小值，此时截面圆的圆心为，

因为，所以最小截面圆的半径为，

所以最小截面圆的面积为，

故截面圆的面积范围为，只有不在范围内，

故选：A．

8．函数在上单调，且，若在上存在最大值和最小值，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】在上单调，利用单调性求得的范围，利用结合对称性求得的值，然后结合正弦函数图象求得的范围.

【详解】在上单调，所以，又，所以，∴，，，所以，，当时，，或或，

故选：D．

二、多选题

9．2020年12月31日，我国第一支新冠疫苗“国药集团中国生物新冠灭活疫苗”获得国家药监局批准附条件上市，保护率为79.34%，中和抗体阳转率为99.52%，该疫苗将面向全民免费．所谓疫苗的保护率，是通过把人群分成两部分，一部分称为对照组，即注射安慰剂；另一部分称为疫苗组，即注射疫苗来进行的当从对照组和疫苗组分别获得发病率后，就可以计算出疫苗的保护率=（对照组发病率疫苗组发病率）/对照组发病率．关于注射疫苗，下列说法正确的是（    ）

A．只要注射了新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎

B．新冠疫苗的高度阳转率，使得新冠肺炎重症感染的风险大大降低

C．若对照组10000人，发病100人；疫苗组20000人，发病80人，则保护率为60%

D．若某疫苗的保护率为80%，对照组发病率为50%，那么在10000个人注射了该疫苗后，一定有1000个人发病

【答案】BC

【分析】选项显然不对，根据题意选项正确，由保护率的计算公式可知选项正确，而选项说的太绝对显然错误．

【详解】解：显然选项错误，

对于选项：新冠疫苗的阳转率高说明有高滴度的抗体，当感染新冠肺炎后，肺炎症状将会大大降低，进而减少重症率，所以选项正确，

对于选项：由保护率的计算公式可得：对照组和疫苗组的发病率分别为，，代入可得保护率为，所以选项正确，

对于选项：虽然根据公式算出样本中疫苗组的发病率为，但实际是否会发病是随机事件，所以选项错误，

故选：．

10．如图，在正方体中，点，分别是棱，上异于端点的两个动点，且，则下列说法正确的是（    ）

A．三棱锥的体积为定值

B．对于任意位置的点，平面与平面所成的交线均为平行关系

C．的最小值为

D．对于任意位置的点，均有平面平面

【答案】BD

【分析】根据换顶点法可得，由面积不定可判断A；根据线面平行的性质可判断B；设正方体棱长为1，，利用余弦定理可判断C；利用面面垂直的判定定理可判断D.

【详解】对于A选项，，面积不定，

而到平面的距离为定值，故不是定值，错误；

对于B选项，由于平面，

则经过直线的平面与平面的所有交线均与直线平行，

根据平行的传递性，可得所有交线也平行，错误；

对于C选项，设正方体棱长为1，，

则，，

则，

则，错误；

对于D选项，由正方体的性质可得直线与平面垂直，

因为平面，

故平面平面，

故选：BD．

11．已知非零实数，满足，则下列不等关系中正确的是（    ）

A． B．若，则

C． D．若，则

【答案】BCD

【分析】由指数函数的图象判定AB，根据函数的单调性判断C，根据对数及指数函数的单调性判断D.

【详解】A选项中，如图，

由指数函数的图象可知，或者，所以错误，所以B正确；

C选项中，函数在上单增，而，所以正确；

D选项中，，则有，所以正确.

故选：BCD

12．给定两个函数与，若实数，满足，则称的最小值为函数与的横向距．已知，，，则（    ）

A．当时，与的横向距为0

B．若与的横向距为0，则

C．与的横向距随着的增大而增大

D．若与的横向距大于1，则

【答案】ABD

【分析】由则，用k、t表示、，可得，进而构造利用导数求极小值，讨论k的范围结合题设定义，可得、的函数与的横向距，最后结合各选项的描述判断正误.

【详解】由，令，则，，

∴，记函数，，则，

∵，

∴单调递增，且，

故在上递减，在上递增，即，

①当时，，即，则函数与的横向距为；

②当时，，即，则，函数与的横向距为0，

A：时，有函数与的横向距为0，正确；

B：若与的横向距为0，则，正确；

C：当时，与的横向距恒为0，错误；

D：若与的横向距大于1，则有，即，正确；

故选：ABD．

【点睛】关键点点睛：令，得到m、n关于k、t的表达式，再根据横向距的定义，构造函数并用导数研究其最值.

三、填空题

13．在的展开式中，含项的系数为________．

【答案】10

【分析】根据题意，通过二项定理选取的x2项即可.

【详解】中的x2项为：，所以中x3项的系数为10.

故答案为：10.

14．已知数列为等比数列，数列为等差数列，若，，则________．

【答案】

【分析】根据等比数列的性质，可得的值，根据等差数列的性质，可得的值，代入所求，化简计算，即可得答案.

【详解】由等比数列性质知，解得，

又数列为等差数列，，解得，

又，，

所以．

故答案为：

15．如图，为测量点到河对岸塔顶的距离，选取一测量点，现测得，，，并在点处测得塔顶的仰角为，则的距离为________．

【答案】

【分析】根据正弦定理解出，再在直角三角形ABC中，利用点处测得塔顶 的仰角为，求出.

【详解】由题意知，由正弦定理，得，所以．

故答案为：

四、双空题

16．已知点为双曲线，右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，点为线段上一点，的角平分线与线段交于点，且满足，则________；若为线段的中点且，则双曲线的离心率为________．

【答案】       

【分析】过作，交于点，作，交于点，由向量共线定理可得；再由角平分线性质定理和双曲线的定义、结合余弦定理和离心率公式，可得所求值．

【详解】解：过作交于点，作交于点，

由，得，

由角平分线定理；

因为为的中点，所以，

由双曲线的定义，，

所以，，，

在中，由余弦定理，

所以.

故答案为：；.

【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及角平分线的性质定理和余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

五、解答题

17．在中，角，，的对边分别是，，，且已知的外接圆半径为，已知________，在以面下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）：

①，②，③．

问题：（1）求角的大小；

（2）若，求的最大值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）若选①，运用正弦定理边化角，再将B+C转化为A，最后用两角和差公式展开即可求得；

若选②，运用正弦定理边化角，再将C转化为A+B，最后用两角和差公式展开即可求得；

若选③，运用正弦定理边化角，再将A转化为B+C，用两角和差公式展开，化简后再结合辅助角公式即可求得；

（2）由（1）可以算出，用正弦定理求出b，再用余弦定理，结合基本不等式即可求得.

【详解】解：（1）选条件①：

由题知，

∴，

∴，

∴，又，则，

∴，又，∴．

选条件②：

由题知，

∴，又，

∴，

∴，又，则，

∴，又，∴．

选条件③：

由题知，

∴，

∴，又，则，

∴，

∴，又，

∴，∴．

（2）由正弦定理知，∴，

又，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴（当且仅当时取等号），

∴的最大值为．

18．已知正项数列的前项和为，且，，．

（1）求，，的值，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和公式．

【答案】（1），，，；（2）.

【分析】（1）由题知，进而根据递推关系即可得，，的值，利用时，，进而两式做差得，进而分奇偶项求通项公式，再和并即可；

（2）由（1）得，进而根据裂项求和即可得答案.

【详解】解：（1）由题知①，又，

∴，∴，

又，∴，

又，∴，

由①知：时，②，

①-②得，

又，∴，

∴对于数列来说，，，，…成等差数列，，，，…成等差数列，

（ⅰ）当为奇数时，，

（ⅱ）当为偶数时，，

∴时，．

（2），

∴．

19．如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，平面平面，，，，，．

（1）已知点为上一点，且，求证：平面；

（2）已知直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）连接，交于点，取的中点，连接，，，先证四边形为平行四边形，得为的中点，再证四边形为平行四边形，有，最后由线面平行的判定定理，得证；

（2）由平面平面，推出平面，以为原点建立空间直角坐标系，设且，求得平面的法向量，由，，求出，再求得平面的法向量，由，，得解．

【详解】（1）证明：连接，交于点，取的中点，连接，，，

，，

四边形为平行四边形，

为的中点，

，，

又，，

，，

四边形为平行四边形，

，

平面，平面，

平面，即平面．

（2）解：平面平面，平面平面，，平面，

平面，

以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设且，则，0，，，2，，，0，，，2，，，2，，

，2，，，2，，，，，，，，

设平面的法向量为，，，则，即，

令，则，，1，，

直线与平面所成角的正弦值为，

，，

化简得，解得或（舍，

，，，

设平面的法向量为，，，则，即，

令，则，，2，，

，，

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

20．在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段．到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽．因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．已知脐橙分类标准：果径为一级果，果径为二级果，果径或以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量奉节脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图．

（1）试估计这1000个奉节脐橙的果径的中位数；

（2）在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列与数学期望；

（3）以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？

【答案】（1）81；（2）分布列见解析，；（3），30.

【分析】（1）中位数为一组数从小到大后中间的那个数，利用频率分布直方图来求解时，中位数的左侧长方形面积之和为0.5，即可找出中位数；

（2）分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个，故随机变量，

逐个写出概率即可得到分布列；

（3）利用，判断出当时，最大.

【详解】解：（1）果径的频率为，

果径的频率为，

故果径的中位数在，不妨设为，则，

解得中位数．

（2）果径，，的频率之比为，

所以分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个，

故随机变量，

，

，

，

，

所以的分布列为

期望．

（3）这批果实中一级果的概率，每个果实相互独立，则，

则，题目即求为何值时，最大，

令，解得，

故当时，，即…，当时，，即…，所以，

即一级果的个数最有可能为30个．

21．已知函数，．

（1）当时，求证：；

（2）记数列的前项和为，若，求证：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）求导可得解析式，令，令，可得，根据a的范围，可得在恒成立，即可得的单调性，结合，即可得证.

（2）由（1）知，当时，，取，可得，即，利用累加法，化简计算，即可得证.

【详解】证明：（1）∵，，则，

当时，，

令，

则由，可得，

∵，

∴，

则，在恒成立，

∴在上单调递减，

则．

（2）由（1）知，当时，，取，

则，

∴，

∴，

∴，…

∴，

上式全部相加，则有，

则，证毕．

【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求函数单调性的方法，并灵活应用，难点在于，需合理换元，结合累加法，进行化简计算，综合性强，属难题.

22．已知椭圆方程，抛物线方程：，为坐标原点，是抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，如图所示．

（1）证明：直线，的斜率乘积为定值，并求出该定值；

（2）反向延长，分别与椭圆交于，两点，且，求椭圆方程；

（3）在（2）的条件下，若的最小值为1，求抛物线方程．

【答案】（1）证明见解析，-4；（2）；（3）.

【分析】（1）表示出斜率之积，，结合根与系数关系即可得解；

（2）利用得出，结合椭圆站 可求出；

（3）先表示出面积之比，利用基本不等式求出取最小值时，即可求出 ，得到抛物线方程.

【详解】（1）证明：设直线的斜率为，直线的斜率为，

由题可知，直线的斜率不为0，

设直线，

则由，可得，

易知，且，

又，则．

（2）解：设，，

由（1）可知，，，

联立方程，可得，

用替换式子中的，有，

又，则，且，

即，∴，

此时椭圆方程为．

（3）解：∵，

由（2）可知，当，时，

，，则，

又由（1）可知，，

当且仅当时等号成立，

由题意，，此时抛物线方程为．

【点睛】在求某式为定值时，先表示出这个式子，再根据式子的特点来判断，以及求面积最小值时，先表示出面积，结合式子特点，利用函数或者基本不等式来求最小值.