2021-2022高中数学人教版选修2-2教案：2.3数学归纳法+（二）+Word版含答案
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数学归纳法教学设计
【教学目标】
（1）知识与技能：
①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；
②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题；
③能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证明结论。
（2）过程与方法：
努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。
（3）情感态度与价值观：
通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。
【教学重点】
借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数有关的数学命题；
【教学难点】
数学归纳法中递推关系的应用。
【辅助教学】
多媒体技术辅助课堂教学。
【教学过程】
一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性）
（情景一）问题1：大球中有个小球，如何证明它们都是绿色的？
问题2: 如果是一个等差数列，怎样得到?
（情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例。
【设计意图：】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不同，而这里实际上体现了数学中的归纳思想。归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。
（情景三）问题：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？
二、搜索生活实例，激发学生兴趣
展示多米诺骨牌的动画，探究多米诺骨牌如何才能全部倒下？
（由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境三的问题。）
① 第一块骨牌必须要倒下 ②任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则后一块也倒下
相当于能推倒第一块骨牌 相当于第块骨牌能推倒第块骨牌
三、师生合作，形成概念。
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可以按照以下步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；
（2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当命题也成立.
完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立。
上述这种证明方法叫做数学归纳法。
四、讲练结合，巩固概念
类型一 用数学归纳法证明等式
例1：用数学归纳法证明：
证明：（1）当时，左边：，右边：，左边=右边，等式成立。
（2）假设当时等式成立，
即
则当时，
左边
右边
即当时，等式也成立。
由(1)，(2)得：对，等式成立
【方法技巧】证明中的几个注意问题：
（1）在第一步中的初始值不一定从取起, 证明应根据具体情况而定.（找准起点，奠基要稳）
（2）在第二步中,证明命题成立时,必须用到命题成立这一归纳假设，否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. （用上假设，递推才真）
（3）明确变形目标（写明结论，才算完整）
变式训练：用数学归纳法证明：
证明： （1）当时，左边，右边，左边=右边，等式成立；
（2）假设当时，等式成立，
即，
则当时
所以，公式成立，
由（1）（2）可知，当时，
公式成立.
类型二 归纳——猜想——证明
例2：已知数列 为该数列的前项和，
计算，根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.
解：，
，
根据上述结果，猜想.
证明：（1）当时，左边，右边，猜想成立，
（2）假设当时猜想成立，即
，
那么，当时，
，
所以，时，猜想成立，
由（1）（2）可知，对于，猜想成立，即，
【方法技巧】 “归纳—猜想—证明”的一般环节
学生总结 课件展示 框图呈现
变式训练：设，令，
(1)写出，并猜想出数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论.
五、课堂小结
1.归纳法：完全归纳法和不完全归纳法；
2.用数学归纳法证明等式：
①找准基础，奠基要稳。②用上假设，递推才真。③写明结论，才算完整
3.归纳——猜想——证明
六、当堂检测
1.用数学归纳法证明的过程中，在验证时，左端计算所得的项为( C )
A. B. C. D.
2.用数学归纳法证明
，“从到”左端增乘的代数式为
3.已知数列的前n项和，而，通过计算，猜想( B )
A. B. C. D.
设计意图：检测学生对本节课内容的掌握程度，锻炼实际应用能力.
拓展训练（延伸提高，课下思考）
1.用数学归纳法证明.
2. (2014·石家庄高二检测)求证：.
