专题01 平行线的判定与性质-2021-2022学年七年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

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2021-2022学年七年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题01 平行线的判定与性质
【典型例题】
1．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）70°
【分析】
（1）根据同位角相等，两直线平行可得CE∥GF，再根据平行线的性质可得∠C＝∠DGF，再等量代换可得∠DGF＝∠EFG，进而证明AB∥CD；
（2）结合（1）根据∠EHF＝70°，∠D＝30°，利用三角形内角和定理和平行线的性质即可求∠BEM的度数．
【详解】
（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，
∴CEGF，
∴∠C＝∠DGF，
又∵∠C＝∠EFG，
∴∠DGF＝∠EFG，
∴；
（2）解：∵∠CED＝∠GHD，∠GHD＝∠EHF＝80°，
∴∠CED＝80°，
在CDE中，∠CED＝80°，∠D＝30°，
∴∠C＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠BEM＝∠C＝70°，
答：∠BEM的度数为70°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质以及三角形的内角和，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．


【专题训练】
一、 选择题
1．下列图形中与是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，据此进行判断即可．
【详解】
解：A图不符合同位角定义，故此选项错误；
B图不符合同位角定义，故此选项错误；
C图符合同位角定义，可知答案是C；
D图不符合同位角定义，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了同位角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
2．如图，已知直线AB∥CD，∠GEB的平分线EF交CD于点F，∠1=40°，则∠2等于

A．130° B．140° C．150° D．160°
【答案】D
【解析】
试题分析：∵AB∥CD，∴∠GEB=∠1=40°．
∵EF为∠GEB的平分线，∴∠FEB=∠GEB=20°．
∴∠2=180°﹣∠FEB=160°．故选D．
3．如图，下列条件：①；②；③；④，其中能判断直线与平行的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据平行线的判定方法，对各条件逐一判断即可．
【详解】
解：①∵∠1与∠2无特殊位置关系，∴由∠1=∠2不能得到l1//l2，故本条件不合题意；
②∵∠4=∠5，∴l1//l2（同位角相等，两直线平行），故本条件符合题意；
③∵∠2+∠4=180°，∴l1//l2（同旁内角互补，两直线平行），故本条件符合题意；
④∵∠1=∠3，∴l1//l2（内错角相等，两直线平行），故本条件符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
4．如图，直线，直线与、分别相交于、两点，过点作直线的垂线交直线于点，若，则的度数为（ ）

A．32° B．68° C．58° D．34°
【答案】C
【分析】
根据平行线的性质得出∠ACB=∠1，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】
解：∵直线a∥b，
∴∠ACB=∠1=32°，
∵AC⊥BA，
∴∠BAC=90°，
∴∠2=90°-∠ACB=90°-32°=58°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【详解】
平行线的性质，三角形内角和定理．
如图，先根据三角形内角和定理求出∠4的度数，由对顶角的性质可得出∠5的度数，再由平行线的性质得出结论即可；

∵△BCD中，∠1＝50°，∠2＝60°，
∴∠4＝180°－∠1－∠2＝180°－50°－60°＝70°．∴∠5＝∠4＝70°．
∵a∥b，∴∠3＝∠5＝70°．故选C．
6．某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度，第三次转过的角度，则第二次拐弯角的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
延长ED交BF于C，依据BA∥DE，即可得到∠BCD=∠B=120°，∠FCD=60°，再根据∠FDE是△CDF的外角，即可得出∠1=∠FDE-∠DCF．
【详解】
解：如图，延长ED交BF于C，

∵BA∥DE，
∴∠BCD=∠B=120°，∠FCD=60°，
又∵∠FDE是△CDF的外角，
∴∠1=∠FDE-∠DCF=150°-60°=90°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和三角形的外角性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
二、填空题
7．如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，则∠B的度数为______

【答案】110°
【分析】
先根据邻补角的定义求出∠AGD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】
如图：

∵∠1=70°，
∴∠AGD=180°-70°=110°．
∵CD∥BE，
∴∠B=∠AGD=110°．
故答案为：110°．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”及邻补角定义是关键．
8．如图，∠BDE＝∠EBD，要使AB∥DE，应添加的一个条件是____________．(填一个即可)

【答案】∠ABD＝∠EBD(答案不唯一)
【解析】
【分析】
如果∠ABD=∠EBD，由∠BDE=∠EBD，等量代换得出∠BDE=∠ABD，根据内错角相等两直线平行，可得AB∥DE，所以加上∠ABD=∠EBD即可．
【详解】
应添加的一个条件可以是∠ABD=∠EBD.
∵∠ABD=∠EBD，∠BDE=∠EBD，
∴∠BDE=∠ABD，
∴AB∥DE.
故答案为∠ABD=∠EBD.
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握判定内容是解题的关键.
9．如图，木工师傅可以用角尺画平行线，能解释这一实际应用的数学知识是__________．

【答案】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行．
【分析】
根据平行线的判定定理即可得到结论．
【详解】
解：如图：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD//EF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）
或∵∠ACD=∠AEF=90°，
∴CD//EF（同位角相等两直线平行），
故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定方法是解答此题的关键．
10．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（），BC为折痕，若，则的度数为_________．

【答案】69°
【分析】
根据平行线的性质，可以得到∠1=∠4，∠4=∠5，再根据∠1=42°和折叠的性质，即可得到∠2的度数，本题得以解决．
【详解】
解：如图所示，

∵长方形的两条长边平行，∠1=42°，
∴∠1=∠4=42°，∠4=∠5，
∴∠5=42°，
由折叠的性质可知，∠2=∠3，
∵∠2+∠3+∠5=180°，
∴∠2=69°，
故答案为：69°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．如图，一辆汽车在公路上由西向东行驶，经两次拐弯后驶上公路，驾驶员发现在公路和公路上行驶的方向都是正东方向，如果汽车第一次拐弯转过的角度，则第二次弯转过的角度________．

【答案】44°
【分析】
由于驾驶员发现在公路AB和公路CD上行驶的方向都是正东方向，所以拐弯后两直线平行，所以α，β是同位角，所以α=β．
【详解】
解：∵经两次拐弯后在公路AB和公路CD上行驶的方向都是正东方向，
∴AB∥CD，
∴α=β，
∵α=44°，
∴β=44°．
∴第二次拐弯转过的角度β是44°，
故答案为：44°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
12．如图，把一副三角板如图摆放，点E在边AC上，将图中的△ABC绕点A按每秒5°速度沿顺时针方向旋转180°，在旋转的过程中，在第_________秒时，边BC恰好与边DE平行．

【答案】21
【分析】
根据题意结合BC与DE在A点同侧画出图形．利用平行线的性质得出即可．
【详解】
解：如图1所示：当B′C′∥DE时，

由题意可得：∠B′=∠DFA=60°，∠D=45°， 则∠FAD=75°， 故∠CAF=15°，
则∠BAF=105°， 故边BC恰好与边DE平行时，旋转的时间为：（秒），
故答案为：21．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定与性质，根据题意画出图形是解题关键．
三、解答题
13．已知：如图，于点，于点，，那么是的平分线吗？若是，请说明理由．请完成下列证明并在下面的括号内填注依据
解：是，理由如下：
∵，（已知）
∴（垂直定义）
∴（___________________）
∴（两直线平行，同位角相等）
___________ （______________）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴平分（________）

【答案】同位角相等，两直线平行；∠3；两条直线平行，内错角相等； 角平分线的定义
【分析】
首先要根据平行线的判定证明两条直线平行，再根据平行线的性质证明有关的角相等，运用等量代换的方法证明AD所分的两个角相等，即可证明．
【详解】
解：是，理由如下：
∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知）
∴∠4=∠5=90°（垂直定义）
∴AD∥EG（同位角相等，两条直线平行）
∴∠1=∠E（两条直线平行，同位角相等）
∠2=∠3（两条直线平行，内错角相等）
∵∠E=∠3（已知）
∴∠1=∠2 （等量代换）
∴AD是∠BAC的平分线（角平分线定义）
故答案为：同位角相等，两直线平行；∠3；两条直线平行，内错角相等； 角平分线的定义．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
14．填写下列空格完成证明：如图，，求．

解：，
_______．（理由是：______）
，
．
_____________．（理由是：_______）
_______．（理由是：______）
，
________．
【答案】见解析
【分析】
此题要注意由EF∥AD，可得∠2=∠3，由等量代换可得∠1=∠3，可得DG∥BA，根据平行线的性质可得∠BAC+∠AGD=180°，即可求解．
【详解】
解：∵EF=AD，
∴∠2=∠3，（理由是：两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴DG∥AB（理由是：内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+∠AGD=180°（理由是：两直线平行，同旁内角互补）
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD=110°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质与判定，解题时要注意数形结合的应用．
15．如图，点G在线段上，点E，F在直线上，与交于点H，延长至点M．．

（1）请说明的理由
（2）若平分，且，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）65°
【分析】
（1）先证明AM∥FG，得到∠A=∠BGF，从而推出∠BGF=∠1，可得结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得∠A=∠B，再利用三角形内角和求出∠AEB，可得∠B．
【详解】
解：（1）∵∠2=∠EHF，∠2+∠MEB=180°，
∴∠EHF+∠MEB=180°，
∴AM∥FG，
∴∠A=∠BGF，
∵∠1=∠A，
∴∠BGF=∠1，
∴CD∥AB；
（2）∵CD∥AB，
∴∠MED=∠A，∠BED=∠B，
∵ED平分∠MEB，
∴∠MED=∠BED，
∴∠A=∠B，
∵∠A-∠AEB=15°，
∴∠A=∠B=∠AEB+15°，
在△ABE中，∠AEB+15°+∠AEB+15°+∠AEB=180°，
∴∠AEB=50°，
∴∠B=∠AEB+15°=65°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
16．如图，在中，点在边上，，分别交、于点、，平分，交于点，．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）64°
【分析】
（1）由平行线的性质和∠1+∠2=180°，可推出DG∥AB；
（2）由（1）的结论和DG平分∠ADC，可得结论．
【详解】
解：（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠2+∠3=180°．
∵∠1+∠2=180°．
∴∠1=∠3．
∴DG∥AB；
（2）∵DG平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠1=2∠4．
由（1）知DG∥AB，
∴∠4=∠B=32°，
∴∠ADC=2∠4=64°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的性质及平行线的判定，熟练掌握平行线的性质和判定，是解决本题的关键．
17．已知：如图，平分，．

（1）求证：；
（2）若，，求的大小．
【答案】（1）见解析；（2）25°
【分析】
（1）根据同旁内角互补，两直线平行证明；
（2）利用两直线平行，同旁内角互补求得∠ADC的度数，根据角的平分线求得∠BDC的度数，利用互余性质求解即可
【详解】
（1）∵∠1=∠3，∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠3=180°，
∴AB//CD；

（2）∵AB//CD，
∴∠A+∠ADC=180°，
∵∠A=50°，
∴∠ADC=130°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠BDC=∠ADC=65°，
∵ED⊥BD，
∴∠EDC+∠BDC=90°，
∴∠EDC =25°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，平行线的性质，角的平分线，互余的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
18．已知：如图，点在的一边上，过点的直线，平分，．
（1）若，求的度数；
（2）当为多少度时，，并说明理由．

【答案】（1）116°；（2）60°，见解析
【分析】
（1）依据平行线的性质，即可得到∠BCM的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠DCM的度数，进而得出∠BCD 的度数；
（2）根据角平分线的定义及两直线平行内错角相等，列方程求解．
【详解】
解：（1）∵AB∥ON
∴∠O=∠MCB（两直线平行，同位角相等）
∵∠O=52°
∴∠MCB=52°
∵∠ACM+∠MCB=180°（平角定义）
∴∠ACM=180°-52°=128°
又∵CD平分∠ACM
∴∠DCM=64°（角平分线定义）
∴∠BCD=∠DCM+∠MCB=64°+52°=116°
（2）∵AB∥ON
∴
当时
设，则
又∵CD平分∠ACM
∴
∴
即∠O=60°
【点睛】
本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
19．如图1所示：点E为BC上一点，∠A＝∠D，AB∥CD
（1）直接写出∠ACB与∠BED的数量关系；
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，BG的反向延长线与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠GHD大60°，求∠DEB 的度数；
（3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不发生变化，请求它的度数，若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．

【答案】(1) ；(2) ；(3)不发生变化，理由见解析
【分析】
(1)如图1，延长DE交AB于点F，根据平行线的性质推出；
(2)如图2，过点E作ES∥AB，过点H作HT∥AB，根据AB∥CD，AB∥ES推出，再根据AB∥TH，AB∥CD推出，最后根据比大得出的度数；
(3)如图3，过点E作EQ∥DN，根据得出的度数，根据条件再逐步求出的度数．
【详解】
(1)如答图1所示，延长DE交AB于点F．
AB∥CD，所以，
又因为，所以，所以AC∥DF，所以．
因为，所以．
(2)如答图2所示，过点E作ES∥AB，过点H作HT∥AB．
设，，
因为AB∥CD，AB∥ES，所以，，
所以，
因为AB∥TH，AB∥CD，所以，，所以，
因为比大，所以，所以，所以，所以
(3)不发生变化
如答图3所示，过点E作EQ∥DN．
设，，
由(2)易知，所以，所以，
所以，
所以．

【点睛】
本题考查了平行线的性质，求角的度数，正确作出相关的辅助线，根据条件逐步求出角度的度数是解题的关键．
20．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　 　度；
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．

【答案】（1）110°；（2）∠CPD=∠α+∠β，见解析；（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；当P在AB延长线上时，∠CPD=∠α-∠β
【分析】
（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】
解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案为110°；
（2）∠CPD=∠α+∠β，
理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α，
理由是：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE =∠β-∠α；
当P在AB延长线时，∠CPD=∠α-∠β，
理由是：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE -∠CPE =∠α-∠β．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，分类讨论是解题的关键．